35. Fortbildungstagung für Geometrie in Strobel am Wolfgangsee Nov Wie hängt die Ladungsdichte auf dem Ellipsoid von der Krümmung ab?

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1 5. Fortildungstgung für Geometrie in Stroel m Wolfgngsee.- 6. Nov. Wie ängt die Ldungsdite uf dem Ellipsoid von der Krümmung? Klus Holländer, Giessen (D) Tenise Hosule Mittelessen (THM). Ds Ellipsoid Aluf:. Die Ldungsdite uf einem metllisen Ellipsoid. Die gußse Krümmung K und die mittlere Krümmung H. Die Ldungsdite in Aängigkeit von der gußsen Krümmung 5. Die Ldungsdite in Aängigkeit von der mittleren Krümmung 6. Ergänungen E-Mil: klus.ollender@mni.tm.de

2 Ds Ellipsoid mit den Hlsen > > Gleiung des Ellipsoids: = Allgemeine Gleiung der Eene: A B C D = Gleiung der Tngentileene ε im Punkt P( ) des Ellipsoids: = Astnd der Eene vom Ursprung O: C B A D = Astnd der Tngentileene ε im Punkt P vom Mittelpunkt O des Ellipsoids: = oder =

3 Die Fläenldungsdite uf dem geldenen Ellipsoid Befindet si uf dem Fläenelement F die Ldung, so ist die Fläen- ldungsdite dur Ldungsmenge s = = definiert. Fläe F Die elektrisen Ldungen eines Leiters (= Ldungsträger) siten nur uf seiner äußeren Oerfläe. - Auf einer Kugel ist die Ldung gleimäßig verteilt; uf einem nit kugelförmigen Körper siten die Ldungen n Stellen stärkerer Krümmung diter ls n swäer gekrümmten Stellen. (Crmer- Weidmnn: Psik der Unterstufe, 956) Krümmung einer Fläe: Drunter verstet mn die lokle Aweiung einer Fläe von der Eene. (Herder Leikon) Die Formel für die Fläenldungsdite uf dem leitenden Ellipsoid lutet: () = π mit = Die Ldungsdite ist proportionl um Astnd : ~. Die Eineit der elektrise Ldungsmenge ist Coulom: Coulom = 9 ESE (elektrosttise Ldungseineiten). Die Eineit der Stromstärke ist Ampère : Ampère = `Coulom. `Sekunde

4 Auf der Kugel mit Rdius r = ist die Ldungsmenge gleimäßig verteilt. Es ist = = und = ; ds in () eingesett ergit: s = onst. = π Ldungsverteilung n der Erdoerfläe Die Erde trägt eine eitli gemittelte negtive Ldung von 6 5 Coulom. Zerlegt mn die Oerfläe des Ellipsoids in N Teilfläen Fi, multipliiert diese mit der mittleren Ldungsdit ~ i und summiert die Produkte, so muss ls Ergenis näerungsweise die Ldungsmenge eruskommen: ~ i i F i

5 Die gußse Krümmung K und die mittlere Krümmung H Es sei R der kleinste Krümmungsrdius und R der größte Krümmungsrdius in einem elieigen Fläenpunkt P( ), dnn ist K = R R ds gußse Krümmungsmß R und H = R = R R R R ds mittlere Krümmungsmß. Krümmungsrdius im Punkt A: ρ = Krümmungsrdius im Punkt B: ρ = In den Huptseitelpunkten A, B, C lssen si die Krümmungsrdien, die gußse Krümmung sowie die Ldungsdite leit ngeen: A( ): R = w. R =, K = und m = π B( ): R = w. R =, K = und = π C( ): R = w. R =, K = und min = π

6 Die Ldungsdite in Aängigkeit von der gußsen Krümmung K Wir men den Anst: () α = D K mit K = R R und D = D(;,,) Anst () entält wei Uneknnte: D und α. Im Seitelpunkt A( ) gilt : = π und K =. Im Seitelpunkt B( ) gilt: = π und K =. Sett mn diese Werte in () ein, so erält mn wei Gleiungen für D und α. Die Auflösung ergit: α = und D = π und mit () folgt = π K () Die Ldungsdite ist proportionl ur -ten Wurel us der gußsen Krümmung: ~ K Die Kurven konstnter Ldungsdite, gußser Krümmung K uf dem Ellipsoid sind identis mit den Kurven mit konstntem Astnd der Tngentileene vom Mittelpunkt O. = onst. = onst. und K = onst. In der Kreiselteorie wird eine sole Kurve Poln oder Polodie gennnt. Wie erenet mn die Krümmung K in ()?

7 Dur Gleisetung von () = π und () = π K folgt die geometrise Beieung: = (). ( ) R R - Diese Beieung t W. Wunderli geometris ergeleitet (98?) - N Müller und Krmes gilt diese Formel für Mittelpunktsfläen weiten Grdes d.. ds Ellipsoid, ds einslige und weislige Hperoloid (9) - Die Formel stmmt vermutli von George Slmon (86) Die Ldungsdite in Aängigkeit von der mittleren Krümmung H Ein Anst der Form R R = α D H mit H = = R R R R ist nit mögli, weil der Fktor D u von den Koordinten, und ängt. Prolem: In einem Ellipsoidpunkt P den Huptkrümmungsrdius R u estimmen; mit Hilfe der Beieung () lässt si dnn der Huptkrümmungskreis R erenen. Am einfsten ist es, einen Punkt P( ) uf der Ellipse mit den Seitelpunkten A und C u wälen: = w. = und OP =. Mit Hilfe der Formel " k = und = ( ( ) ) erält mn R = =.

8 N Formel () gilt: ( ) R =. R Die Addition von R und R ergit n einigen lgerisen Umformungen: [ ( )] R R = mit und llgemein (5) R R = [ ( )] mit OP = OP = Zusmmen mit Gleiung () = = K R R ( folgt für die mittlere Krümmung: R R H = R R Die Auflösung n ergit: und mit () folgt = = ) [ ( )] ( ) H ( ) ( ) = π ( ) H = D(,, ) H (6) d.. die Fläenldungsdite ängt von der -ten Wurel us der mittleren Krümmung H. Gilt usätli PO = = r = onst., dnn ist für lle Punkte uf den Snittlinien wisen dem Ellipsoid und den Kugeln ( < r < ) die Ldungsdite proportionl ur dritten Wurel us H: ~ H Längs der Snittlinien Ellipsoid-Kugel sind die mittlere Krümmung H, die Ldungsdite und der Astnd der Tngentileene von O nit konstnt!

9 Längs der Snittlinien Ellipsoid-Kugel ist ~ H Aus: L.D. Lndu, E.M. Lifsit: Leru der Teoretisen Psik Bd. I, Menik, Vieweg Akdemise Verlgsnstlt Frnkfurt, 969.