(1) (2) (3) (4) α... Ellipse ε = α... Parabel ε> α... Hyperbel. Mittelpunktsgleichung des Kreises:

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1 Kegelschnitte 9 KEGELSCHNITTE Kreis, Ellise, rel und Herel werden Kegelschnitte gennnt, weil mn sie wie die folgenden Figuren zeigen ls Schnitte einer Eene mit einem Drehkegel erhält. Zur Klssifizierung der Kegelschnitte ist es hinreichend, den jeweiligen Neigungswinkel ε der Schnitteene mit dem siswinkel α des Kreiskegels, ds ist der Neigungswinkel der Mntellinie gegenüer der sis, zu vergleichen. Wie die Figuren zeigen ist es der Schnitteene in den Fällen () is () unmöglich, den oeren Kegel zu durchdringen. Dher können Kreis, Ellise und rel niemls einen zweiten st hen. Der oere Kegel ist dher erst ei Fll (4) (Herel) von edeutung. () () () (4) ε=0... Kreis 0 < ε< α... Ellise ε = α... rel ε> α... Herel. Kreis k M r ϕ X Mittelunktsgleichung des Kreises: + = r us der Mittelunktsgleichung des Kreises erhält mn durch Umformung: = r... für den oeren Hlkreis = r... für den unteren Hlkreis Die Menge k ller unkte der Eene, welche von einem festen unkt M den gleichen stnd r hen, heißt Kreis mit Mittelunkt M und Rdius r: k = { X XM = r} Für jeden Winkel ϕ gilt = r cosϕ zw. = r sinϕ. = r cos ϕ Wir können für den Kreis dher folgende rmeterdrstellung ngeen: k: = r sinϕ Wir wollen nun nchstehende Frgen klären: Wie steht es mit der Lgeeziehung Kreis Gerde? Git es eine Möglichkeit, ein Instrumentrium, diese Lgeeziehung rsch und llgemeingültig zuklären? Kreis und Gerde Tngente M Seknte ssnte

2 40 Kegelschnitte eisiel: Gegeen sind der Kreis k: + = r und die Gerde g: = k + d. ) Mn leite die eziehung zwischen t, k, d her, sodss k g genu zwei Elemente, genu ein Element zw. kein Element enthält. ) Weiters ist die edingung für genu zwei Schnittunkte, genu einen Schnittunkt ( = erührungsunkt) zw. keinen Schnittunkt nzugeen. Lösung: ) () + = r () = k + d = k + dk + d Gleichung () wird in Gleichung () eingesetzt : + k + dk + d r = 0 ( + k ) + dk + d r = 0 Es liegt nun die llgemeine Form einer qudrtischen Gleichung + + c = 0 vor. ( = + k, = dk, c= d r ) Die Diskriminnte 4c entscheidet üer die nzhl der Lösungen. Diskriminnte: 4kd 4( + k )( d r ) = 4( kd d kd + r + rk ) Die Lösungsmenge des Gleichungssstems ht zwei Elemente für: r (+ k ) d > 0 ein Element für: r (+ k ) d = 0 kein Element für: r (+ k ) d < 0 ) Die edingung für die Eistenz von genu zwei Schnittunkten lutet: r (+ k ) > d g ist Seknte Die edingung für die Eistenz von genu einem Schnittunkt (erühredingung) lutet: r (+ k ) = d g ist Tngente Die edingung, dss kein Schnittunkt eistiert, lutet: r (+ k ) < d g ist ssnte 89. Liegt der unkt ) (, ), ) (, 0) uf dem Kreis k: + = 4? (Rechnerische egründung!) 90. Mn ermittle die Gleichung jenes Mittelunktskreises, der durch den unkt ) (, 4), ) ( 8, 5) geht. emerkung: Mittelunktskreise sind Kreise, deren Mittelunkte im Ursrung liegen. UFGEN 9. Die Schnittunkte S und S des Kreises k mit der Gerden g sind zu estimmen. ) k : + = 4, g: = 0 ) k : + = 69, g: 47 = 6 c) km(0, 0 ), r= 5, g: 9 5 : + = 6, (4, 7), ( 7, 6) [ ] = + d) k gx [ Y ] 9. Durch den unkt ( 7, > 0) des Kreises k: + = 65 ist eine Sehne zu ziehen, welche den nstieg k = ht. Die Gleichung der Sehne und die Koordinten des zweiten Schnittunkts sind zu erechnen.

3 Kegelschnitte 4. Ellise ell r C X r F M F D e ezeichnungen: M... Mittelunkt X... Ellisenunkt F, F... rennunkte,... Hutscheitel C, D... Neenscheitel r, r... Leitstrhlen (rennstrhlen) =... Hutchse CD =... Neenchse,... Hlchsen (, R + ) e... linere Ezentrizität Mittelunktsgleichung der Ellise: Die Menge ell ller unkte der Eene, für die die Summe der Entfernungen von zwei festen unkten (rennunkten) konstnt und größer ls die Entfernung der rennunkte ist, heißt Ellise: ell = { X ( XF + XF = = ) ( > F F )} + = + = us dem ros eingezeichneten Dreieck MF C folgt: e = e = rmeterdrstellung der Ellise: cost ell: = = sint Herleitung der Mittelunktsgleichung: XF+ XF = ( e) + + ( + e) + = ( e) + = ( + e) + Qudrieren, vgl. () r r e + e + = 4 4 ( + e) e + e + Um eine Ellise zu zeichnen ist es vorteilhft, die sogennnten Krümmungskreise zu konstruieren vgl. die in der nchstehenden Figur lu gekennzeichneten Linien: ( + e) + = + e Qudrieren, vgl. () 4 ( + e + e + ) = + e + e 4 ( e ) + = e ( e ) + = ( e ) Es gilt: e = für > + = Durch Umformung ergit sich die elizite Form der Mittelunktsgleichung der Ellise: C r r D = für die oere Ellisenhälfte und = für die untere Ellisenhälfte. Mn echte dss Qudrieren keine quivlenzumformung ist. Es sind dher zur oigen Herleitung noch folgende Üerlegungen nzustellen: () TL = r> 0, TR = r, weil = r+ r > r () TL = r > 0, weil > 0 und r > 0 Es muss dher gelten: TR = + e 0 e Dies ist für erfüllt, d > e e ( ) Erst mit den neenstehenden Üerlegungen ist ewiesen, dss die Gleichung + = genu dnn erfüllt ist, wenn die unkte X(, ) uf der Ellise ell liegen.

4 4 Kegelschnitte Ellise und Gerde Tngente M Seknte ssnte Die edingung für die Eistenz von genu zwei Schnittunkten lutet: k + > d Die edingung für die Eistenz von genu einem Schnittunkt (erühredingung) lutet: k + = d Die edingung, dss kein Schnittunkt eistiert, lutet: k + < d eisiel: Gegeen sind die Ellise ell: + = und die Gerde g: = k + d Mn leite die eziehung zwischen,, k, d her, sodss ell g genu zwei Elemente, genu ein Element zw. kein Element enthält. Lösung: () + = + = () = k + d = k + kd + d Gleichung () wird in Gleichung () eingesetzt: ( + k ) + kd + d = 0 ( + k 0) 4 Diskriminnte: 4d k 4( + k)( d ) = = 4 [ + k d ] Die Lösungsmenge des Gleichungssstems ht zwei Elemente für : k + d > 0 ein Element für : k + d = 0 kein Element für : k + d < 0 UFGEN 9. Liegt der unkt ) K(6, 4) ) L(4, ) uf der Ellise ell: = 56? (Rechnerische egründung!) 94. Mn ermittle die Gleichung der Ellise, deren Mittelunkt im Ursrung liegt: ) = 5, = 8 ) = 4, e = 95. Mn erechne die linere Ezentrizität e: ) ell: = 900 ) ell: = 05 c) ell [ M ( 0, 0), = 5, ( 4, )] d) ell [ M (0, 0), = 0, Q( 4, )] 96. Die Schnittunkte S und S der Ellise ell mit der Gerden g sind zu estimmen! ) ell: 4 + = 00, g: = 4 50 ) ell: + 4 = 69, g: = + c) ell: + 4 = 5, g[ Q(, 0), k = 0, 5] d) ell: 4 + = 00, g[ (0, 0), (, 8)] 97. Der Ellise ell: = 44 ist ein Rechteck mit der Seitenlänge = 7 einzuschreien. ) Flächeninhlt ) Umfng u des Rechtecks? ell ( 7, ) 98. Der Ellise ell: + = 0 ist ein Qudrt einzuschreien. ) Flächeninhlt ) Umfng u des Qudrts? 99. Die Schnittunkte des Kreises k: + = 9 mit der Ellise ell [M (0, 0) = 6, = )] sind zu erechnen. 00. Wie lutet die Mittelunktsgleichung der Ellise, die durch die unkte (5, 6) und (0, ) geht? emerkung: Der Mittelunkt der gesuchten Ellise soll im Ursrung liegen.

5 Kegelschnitte 4. Herel F h r C T X r M F D e ezeichnungen: M... Mittelunkt X... Herelunkt F, F... rennunkte,... Hutscheitel C,D... Endunkte der Neenchse r, r... Leitstrhlen (rennstrhlen) =... Hutchse CD =... Neenchse,... Hlchsen (, R + ) e... linere Ezentrizität Die Menge h ller unkte der Eene, für die der etrg der Differenz der Entfernung von zwei festen unkten (rennunkten) konstnt und kleiner ls die Entfernung der rennunkte ist, heißt Herel: h = { X ( XF XF = = ) ( < FF )} Mittelunktsgleichung der Herel: = = us dem ros eingezeichneten Dreieck MT folgt: e = + e = + cosh t rmeterdrstellung der Herel: ) h: = = sinh t Herleitung der Mittelunktsgleichung: XF XF = ( ) + ( + ) + = e e uch für ds Zeichnen einer Herel sind Krümmungskreise hilfreich: ( ) + ( + ) + = () e e C ( ) + ( + ) + = () e e d () ( e) + = + ( + e) { 4444 Qudrieren 0 > 0 0 e+ e + = ( + e) e+ e + ( + e) + = +e ) 0 4 ( + e + e + ) = + e + e ( e ) + = = Qudrieren e = D Die Mittelunktsgleichung der Herel d () wird nlog für estimmt. Durch Umformung ergit sich die elizite Form der Mittelunktsgleichung der Herel: = für den oeren Teil der Herel und = für den unteren Teil der Herel. Mn echte uch hier, dss Qudrieren keine Äquivlenzumformung ist. Es sind dher nloge Üerlegungen wie ei der Herleitung der Ellisengleichung nzustellen. ) In dieser rmeterdrstellung treten Herelfunktionen uf. ) + e 0 für erfüllt: e e e <. ( )

6 44 Kegelschnitte Wir wollen n dieser Stelle ls Ekurs die sogennnten Herelfunktionen und deren Umkehrung ) esrechen: = Herelsinus (Sinus herolicus) sinh = e e Funktion mit der Gleichung = sinh, der Definitionsmenge D = R, der Wertemenge W = R (ungerde Funktion). 4 Herelkosinus (Cosinus herolicus) cosh = e + e Funktion mit der Gleichung = cosh, der Definitionsmenge D = R, der Wertemenge W = { R } (gerde Funktion). = Hereltngens (Tngens herolicus) tnh = e e e + e Funktion mit der Gleichung = tnh, der Definitionsmenge D = R, der Wertemenge W = ],[ (ungerde Funktion). sinh Mn echte: tnh = cosh leitung von Herelfunktionen: ( sinh) = cosh ( cosh) = sinh ( tnh) = cosh Integrtion von Herelfunktionen: sinh d = cosh + C cosh d = sinh + C Weiters gilt folgender Zusmmenhng: eisiel: Es sind die Werte in den nchstehenden Gleichungen zu ermitteln: ) = sinh,8 ) = cosh c) = tnh (,8) Lösung: ) = sinh,8 = e 8, e 8, =,94 =,94 ) = cosh = e e =,54 =,54 8, ( 8, ) cosh sinh = c) = tnh (,8) = e e 8, ( 8, ) = 0,9468 = 0,9468 e + e d = + C sinh tnh d = tnh + C Die in der ußenslte drgestellten leitungs- zw. Integrtionsformeln cosh lssen sich mit den eknnten Regeln herleiten. ) Die Umkehrfunktionen der Herelfunktionen heißen refunktionen.

7 Kegelschnitte 45 Für die geometrische Deutung der Herelfunktionen gehen wir von der sogennnten Einheitsherel = us. (Ihr Nme rührt dher, dss die zugehörigen Hlchsen zw. die Länge hen.) Wählen wir einen elieigen unkt uf ihr und erechnen wir die in der neenstehenden Figur ros unterlegte Fläche, so emerken wir, dss sie eine ähnliche Rolle sielt wie ei den Kreisfunktionen der Winkel ϕ im Einheitskreis: Es lässt sich zeigen, dss der ros eingezeichneten Strecke Q n der Herel der Funktionwert sinh, der lu eingezeichnerten Strecke 0Q der Funktionswert cosh und der grün eingezeichneten Strecke RS der Funktionswert tnh zugeordnet werden knn. (uf den eweis wollen wir verzichten.) S tnh sinh R Q cosh ' = Umkehrung des Herelsinus (re sinus herolicus) ( ) rsinh = ln + + = rsinh ist die Umkehrung der Funktion mit = sinh. D = R, W = R Umkehrung des Herelkosinus (re cosinus herolicus) ( ) rcosh = ln + ( ) = rcosh ist die Umkehrung der Funktion mit = cosh. D = { R }, W = R 0 = Umkehrung des Hereltngens (re tngens herolicus) rtnh ln + ln + ( ) = rtnh ist die Umkehrung der Funktion = tnh. D = ],[, W = R eisiel: Es sind die Werte in den nchstehenden Gleichungen zu ermitteln: ) = rsinh ) = rcosh c) = rtnh 0 Lösung: ) = rsinh = ln + + ln ( ) = + ( + ) = + ) = rcosh =ln ln 8 ( ) = 0,884 = 0,884 ( ) =,768 =,768 c) = rtnh 0 = ln + 0 = 0 ln = 0 =0 Es gilt: ( rsinh) = ( rcosh) = + ( rtnh) =

8 46 Kegelschnitte ( ) UFGEN 0. Liegt der unkt ) 45, ) ) Q(, 6) uf der Herel h:4 9 = 44? (Rechnerische egründung!) 0. Mn ermittle die Gleichung der Herel, deren Mittelunkt im Ursrung liegt: ) =, =7 ) =, = 8 0. us den gegeenen Mittelunktsgleichungen der Herel h sind die Länge der Hlchsen und die Koordinten der rennunkte zu ermitteln! ) h: 9 6 = 44 ) h: 64 5 = 4400 c) h: = 764 d) h: 69, 70, 56 = 9, Die Menge S der Schnittunkte der Herel h mit der Gerden g ist zu estimmen! ) h: 4 5 = 64, g: = 0 ) h: = 6, g: 7 = 0 c) h: 9 = 44, g: + = 0 d) h: = 64, g: + 6 = Dem einen st der Herel h: = ist ein gleichschenkeliges Dreieck (c = 8) derrt einzuschreien, dss die Dreieckssitze im Hutscheitel liegt und die sis c rllel zur -chse verläuft. Flächeninhlt des Dreiecks? 06. Die Gleichung der Herel ist ufzustellen: ) M(0, 0), = 5, ( 7, ) ) M(0, 0), F ( 0, 0), (4, 8 ) c) M(0, 0), 5, (, Q(4, 0) ) d) M(0, 0), X(5, ), Y, 5 ( ) 07. Es sind die Werte in den nchstehenden Gleichungen zu ermitteln: ) = sinh(,) ) = cosh,4 c) = tnh0 d) = rsinh( ) e) = rcosh5 f) = rtnh0,5 4. rel,4 c h l. F X r rel ezeichnungen:... Scheitel X... relunkt F... rennunkt l... Leitlinie... relchse... rmeter Die Menge r ller unkte der Eene, die von einem festen unkt (rennunkt) und einer Gerden (Leitlinie) gleichen stnd hen, heißt rel: r = XXF= Xl { } Scheitelgleichung der links drgestellten rel: = Krümmungskreis: l S F Herleitung der Scheitelgleichung: + = = = Scheitelgleichung der rel, deren chse die -chse ist!

9 Kegelschnitte Wir unterscheiden folgende Hutlgen der rel: UFGEN () () () (4) = = = = ) Ws geschieht, wenn mn () zw () n der Gerden = siegelt? ) Welcher Hutlge entsricht die rel r = c) Wie erhält mn lgerisch die Umkehrrel von () zw. ()? ( ) 09. Liegt der unkt ) S (6, ) ) S, uf der rel =? (Rechnerische egründung!) 8 0. Die Scheitelgleichung der rel mit S(0, 0 ) ist jeweils zu estimmen: ) = 5, rel rechts offen ) =, rel links offen c) =, rel unten offen d) = 5,, rel oen offen. ) Wie lutet die Scheitelgleichung einer rel, deren rennunkt F(0, ) ist? ) Wie lutet die Scheitelgleichung einer rel, deren Leitlinie die Gleichung = ht? emerkung: Der Scheitel der rel soll jeweils im Ursrung liegen.. Die Gleichung der rel, deren Scheitel im Ursrung liegt, ist ufzustellen: ) l: = 5 ) ( 85, ) c) F(0, 7). Die Koordinten des rennunktes der rel ) = 6 ) = 6 c) = 9 d) = 67 sind zu ermitteln! 4. Die Menge S der Schnittunkte der rel r ( = ) mit der Gerden g ist zu estimmen! ) r: = 4, g: + 6 = 0 ) r: = 68, g: = 09 c) r X 4 Y 5 4,, 0,, g: 4 4 = d) r X(, 6), Y 4 4, 4, g (, 0),, 5. Der rel r: = 5 ist ein Qudrt CD derrt einzuschreien, dss seine Digonle C uf der -chse liegt. Wie groß ist der Flächeninhlt des Qudrts? 6. Der rel r: = 6 ist ein gleichschenkeliges Dreieck ( h = 4 cm) derrt einzuschreien, dss die Dreieckssitze im Scheitel der rel liegt. Flächeninhlt des Dreiecks? 7. Gesucht sind die Schnittunkte der Ellise ell: 7 + = 5 mit der rel r: =. 8. Mn ermittle die gemeinsmen unkte der Gerden g: = 6 und der rel r: = 6 und erechne ) die Sehnenlänge s ) den Sehnenmittelunkt c) den stnd d zwischen Sehne und rennunkt.

10 48 Kegelschnitte Vermischte ufgen 9. Der Ellise ell: + 4 = 64ist ein Rechteck einzuschreien, dessen Länge doelt so groß ist wie seine reite. Flächeninhlt des Rechtecks? ( Lösungen) 0. Der Ellise ell: 4 ell C + = ist ein gleichschenkeliges Dreieck mit dem Flächeninhlt = 4, 5 so einzuschreien, dss die Höhe mit der großen chse eine gemeinsme Trägergerde ht (vgl. neenstehende Figur). Wie groß ist der Umfng des Dreiecks? + D Q. Der Ellise ell: = 6 ist ds gleichschenkelige Trez mit dem Flächeninhlt = 9 so einzuschreien, dss die sis des Trezes mit der kleinen chse der Ellise zusmmen fällt. Es ist zu zeigen, dss 0 = die einzige reelle Lösung ist. Der Umfng des Trezes ist zu erechnen. ell C D Q. Die Gerde g : = 6 schneidet die Herel h: = 4 4 in zwei unkten S, S (vgl. neenstehende Figur). Üer der entstehenden Sehne ls sis ist ein Dreieck mit dem Flächeninhlt S 6( ) = zu errichten, dessen Sitze uf der Herel zwischen S und S liegt. Wie groß ist der Umfng des Dreiecks? g S h. Welcher unkt Q (, ) der Herel h: 4 6 = ht vom unkt (7, 0) den stnd d = 5? ( Lösungen) 0 Q(, ) d h 4. Von der Gerden g: = und der rel r: = 6 wird ein relsegment egrenzt, dem ein Rechteck mit dem Flächeninhlt = wie in neenstehender Figur gezeigt wird einzuschreien ist. Umfng des Rechtecks? nleitung: Es ist günstig, zu eliminieren. 5. Die oere Hälfte der rel r: = 6, die -chse und die Ordinte des unktes Q (7, 0) ilden ein Flächenstück. Mit welchen Koordinten ist ein unkt S(, ) r nzugeen, dmit ds us der relfläche herusgeschnittene Rechteck QRS den Flächeninhlt = nnimmt? 4 4 nleitung: Der unkt S liegt uf der rel, lso müssen seine Koordinten = 6 erfüllen. Für die uf dieser sis erhltene Glei- chung ( eliminieren!) = 0 lässt sich zeigen, 7 dss es für s nur eine Doelwurzel und eine 4-ml so große einfche Wurzel git. r (,) Q - S(,) r 7- g S(,) R R Q(7,0)