Simulation von Störungen mit zeitlichen Schranken

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1 Simultion von Störungen mit zeitlichen Schrnken Die geräuchlichen sttistischen Verteilungen können elieig große Werte hervorringen, ws ei der Simultion von Störungen oft nicht erwünscht ist. Verwendet mn eine oere Schrnke, so verkleinert sich der Mittelwert und uch die Stndrdweichung. Wir verwenden die Bezeichnungen: = untere Schrnke = oere Schrnke mit 0 < Der ttsächlichen Mittelwert der geschnitenen Verteilung wird mit µ ezeichnet. Umrechnungen Drstellung zur Störsimultion Bei der Betätigung des Kontrollkästchen Verfügrkeit werden die Drstellungen Astnd/Duer von Störungen und Verfügrkeit/MTTR umgerechnet. Die Verfügrkeit ist definiert durch Verfügrkeit = 00 MTBF MTBF + MTTR Berechnung von Verfügrkeit und MTTR: Sind für Astnd und Duer Exponentil- zw. Erlngverteilung eingestellt, so werden von den Verteilungen unter Bechtung der Schrnken die Mittelwerte MTBF und MTTR erechnet. Berechnung von Astnd und Duer: Wenn MTTR mit Schrnken eschrieen ist, so wird eine Erlngverteilung mit diesen Schrnken estimmt, die den Mittelwert MTTR ht. Diese Verteilung ist die Duer Verteilung. Ist der Mittelwert MTTR für die eingegeenen Schrnken nicht für eine Erlngverteilung relisierr, so werden die möglichen Mittelwerte für diese Schrnken estimmt. Ds ist insesondere dnn notwendig, wenn der Mittelwert nicht zwischen den Schrnken liegt. Aus MTTR und der Verfügrkeit knn die MTBF ermittelt werden. MTBF ist lso der rmeter der Exponentilverteilung, die die Intervll Verteilung ist. Die Exponentilverteilung der Intervll Verteilung ht keine Schrnken. Sttistische Verteilungen für MTBF und MTTR Die Zeit zwischen Störungen MTBF wird durch eine Exponentilverteilung eschrieen, die den rmeter = Mittelwert der Exponentilverteilung ht. Die Dichte- und Verteilungsfunktion einer Exponentilverteilung sind fx = e x, F x = e x für x 0. Für die Störduer MTTR wird eine Erlngverteilung verwendet, die die Summe zweier Exponentilverteilungen mit dem rmeter ist. Diese spezielle Erlngverteilung ezeichnen wir mit Erlngverteilung. Für eine Erlngverteilte Zufllszhl X k,, die Summe von k Exponentilverteilungen mit dem rmeter ist, sind die Dichte- und Verteilungsfunktion fx = k! xk k e x, k F x = e x j x für x 0.

2 3 Die Trefferwhrscheinlichkeit Die Whrscheinlichkeit, dss eine Zufllszhl X k, einer Erlngverteilung zwischen die Schrnken und fällt, ist k := < X k, < = F F = e e + e j j e woei = und = ist siehe Methode Erlng im Beispielmodell. Die verwendete Summe wird später ei der Berechnung des Mittelwerts wieder uftreten. Wir ezeichnen sie mit S k. Für k = erhlten wir die Trefferwhrscheinlichkeit, dss eine Zufllszhl X einer Exponentilverteilung zwischen die Schrnken und fällt j= = < X < = F F = e e. 4 Mittelwert der Erlngverteilung mit Schrnken Die Dichtefunktion der Erlngverteilung mit den Schrnken und mit < ist fx = k! xk k e x für x woei = F F ist. Der Mittelwert der Erlngverteilung mit Schrnken ist x fx dx = k! k x e Wir sustituieren z = x, lso x = z und dx = dz und erhlten k! z k e z dz Wir erechnen ds unestimmte Integrl e x dx: rtielle Integrtion u :=, u = k und v = e x, v = e x ergit e x dx = e x + k e x dx Setzt mn die gesucht Stmmfunktion F k x := e x dx, so ergit sich die rekursive Vorschrift F k x = e x + k F k x F 0 x = e x F x = e x x F x = e x x x Wir zeigen mit vollständiger Induktion F k x = e x dx = k! e x Durch Anwendung der Rekursionsgleichung ergit sich dx für k IN F k+ x = + e +! k +! + k + k! e x = k +! e x k+ = k +! e x xk+ k +! +

3 Nun können wir mit Berechnung des Mittelwerts weitermchen: k! z k e z dz = k! k! e z Zur esseren Üersicht schreien wir = und nlog =. k e z z k = k e k e z k k Mit folgender Formel knn der Mittelwert erechnet werden siehe Methode clcmuerlng im Beispielmodell. k e j j = k e e e + e j j. e Wir erkennen die Summe S k us der Berechnung der Trefferwhrscheinlichkeit. Es ist k + e k k! k = k + k k e k! e k! k, e k! ws uch zeigt, dß für 0 und der Mittelwert erwrtungsgemäß k ist. Für eine Erlngverteilung k = ist = e + e + und deshl e + e + e + + e + +. Für k = erhlten wir den Mittelwert der Exponentilverteilung mit Schrnken siehe Methode clcmuexpo im Beispielmodell. j= e e e + e + 5 Bereich der Mittelwerte von Erlngverteilungen mit gegeenen Schrnken und Trefferwhrscheinlichkeit Für die Störduer MTTR wird eine Erlngverteilung verwendet. Es wird untersucht, o es möglich ist, den rmeter so zu wählen, dß sich ein gewünschte Mittelwert µ einstellt. Die Trefferwhrscheinlichkeit ist die Whrscheinlichkeit, dss eine Zufllszhl X, einer Erlngverteilung zwischen die Schrnken und fällt. Ist die Trefferwhrscheinlichkeit zu klein, so muß die Simultion unterrochen werden, d kein Wert zwischen den Schrnken gewürfelt werden konnte. Besser ist es, dem Benutzer den Hinweis zu geen, die Schrnken und zu vergrößern oder zu verkleinern, so dß die Trefferwhrscheinlichkeit größer ls eine unteren Schrnke min ist. Diese Schrnke min verhindert, dß ei den numerischen Berechnungen Fehler uftreten. Die Trefferwhrscheinlichkeit untersuchen wir ls Funktion von. Ψ := < X, < = F F = e + e + Diese Trefferwhrscheinlichkeit wird für elieig klein: lim < X, < = 0 3

4 Um die Funktion Ψ uf Monotoie und Extrem zu untersuchen, erechnen wir erste Aleitung. Ψ = e + + e e + e Ψ = e 3 e 3 Wir müssen eine Fllunterscheidung durchführen: Fll > 0 Aus der Bedingung Ψ = 0 erhält mn den -Wert mit der mximlen Trefferwhrscheinlichkeit: Es liegt ein Mximum vor: e = = ln = ln Ψ > 0 < ln Ψ < 0 ln < Für +0 wird die Trefferwhrscheinlichkeit elieig klein: < X, < < e + lim +0 < X h, < = 0 wegen lim h e h = 0. Dmit die Trefferwhrscheinlichkeit größer ls min ist, muß in [ min, mx ] IR liegen. Die zu diesen Werten gehörenden Mittelwerte der Erlngverteilung mit den Schrnken und ilden ein Teilintervll von,. Fll = 0 Die Trefferwhrscheinlichkeit Ψ wird für 0 mximl, d Ψ < 0 ist. 0 < X, < = e + lim +0 0 < X h, < = wegen lim h e h = 0. Dmit die Trefferwhrscheinlichkeit größer ls min ist, muß [0, mx ] IR sein. 6 rmetrierung der Erlngverteilung mit Schrnken Wir untersuchen, o es zu den Werten mit 0 < < µ < einen rmeter git, so dss µ der Mittelwert der Erlngverteilung mit Schrnken ist. e + e + e + + e + + µ e + e + = e + + e + + 4

5 Wir erhlten die itertierre Form fct,,µ = 0 e µ + + e + + µ + = 0. Zur numerischen Berechnung der Nullstellen einer Funktion fct wurde die Regul Flsi oder ds Intervllhlierungsverfhren verwendet. Hier ist ds zugehörige rogrmm in der Sprche SimTlk, die in dem Simultionssystem em-lnt verwendet wird: -- Berechnung der Nullstellen low, upp:rel:rel is mid,f low,f upp,f mid :rel; do f low := fctlow; f upp := fctupp; mid := upp+low ; f mid := fctmid; while sf mid > delt AND upp low > delt loop mid := low fupp upp f low f upp f low ; -- Regul Flsi mid := low+upp ; -- Intervllhlierung f mid := fctmid; if f low f mid < 0 then upp := mid; else low := mid; result := upp+low ; 5