6. Grundbegriffe der Analysis (II)

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1 7 Mthemtik für Biologen, Biotechnologen und Biochemiker 6 Grundegriffe der Anlsis (II) 6 Integrle: Flächeninhlte Seien < reelle Zhlen, sei I = [, ] = { R } ds Intervll der Zhlen zwischen und Wir etrchten eine stetige Funktion f : I R und ds zugehörige Integrl f() d (dies ist eine reelle Zhl, die durch einen Grenzwert- Prozess definiert ist) Ws ist die Bedeutung dieser Zhl? Sei zuerst f() für lle I Dnn ist f() d gerde der Flächeninhlt des Flächenstücks zwischen dem Grphen von f und der -Achse: Ist f eine elieige Funktion, die uch negtive Werte nnimmt, so etrchtet mn immer noch die Flächenstücke zwischen dem Grphen und der -Achse, versieht er diejenigen unterhl der -Achse mit dem Fktor (mn ildet lso die Differenz der Flächeninhlte oerhl der -Achse und derjenigen unterhl der -Achse + + Auf diese Weise erreicht mn die folgende Monotonie-Regel: Aus f() g() für lle folgt f() d g() d Beispiel: Grph von f 2 f() d = 2 Wir ruchen eine klre Vorstellung dvon, ws mn unter dem Flächeninhlt einer Teilmenge der Eene R 2 versteht Die Fläche, um die es sich eim Integrl einer Funktion f : [, ] R hndelt ist die Menge Γ(f) = {(, ), f()} Es ht sich gezeigt, dss mn gr nicht jeder Teilmenge von R 2 einen Flächeninhlt zuordnen knn (versucht mn es, so erhält mn logische Widersprüche); mn muss sich uf Flächen eschränken, die einigermßen wohlgeformt sind: in unserem Fll der Fläche Γ(f) reicht es zu verlngen, dss f stetig ist (ws wir j meist vorussetzen); llgemeiner verlngt mn een, dss die Funktion f integrierr ist Ws soll ds heißen?

2 Leitfden 72 Der Flächeninhltsegriff eruht druf, dss mn den Flächeninhlt eines jeden Rechtecks kennt: Ein Rechteck mit Kntenlängen c und d ht den Flächeninhlt cd (es hndelt sich lso um die Produktildung, und mn ildet uch ds Produkt der Dimensionen misst mn die Längen in Metern [m], so den Flächeninhlt entsprechend in Qudrtmetern [m 2 ]) Als nächstes etrchtet mn eine Flächen F, die sich durch endlich viele Schnitte in Rechtecke R,, R n zerlegen lässt: Als Flächeninhlt von F nimmt mn die Summe der Flächeninhlte der Rechtecke R,, R n Im Fll unserer Funktion f : [, ] R knn mn sogennnte Oersummen und Untersummen etrchten Zuerst einml Untersummen: mn teilt ds Intervll [, ] in k gleichlnge Intervlle, und ildet jeweils größtmögliche Rechtecke innerhl Γ(f): Den Flächeninhlt dieser Fläche knn mn erechnen, mn nennt dies eine Untersumme Entsprechend etrchtet mn zu dieser Einteilung des Intervll [, ] die jeweils kleinsten Rechtecke, die zusmmen Γ(f) üerdecken: mn erhält uf diese Weise eine Oersumme: Wenn mn nun ds Intervll [, ] immer weiter verfeinert, so sollten die entsprechenden Untersummen und Oersummen gegen den gleichen Wert konvergieren tun sie dies, so nennt mn diesen Wert den Flächeninhlt von Γ(f), ezeichnet ihn een mit f() d und mn sgt, dss die Funktion f üer dem Intervll [, ] integrierr ist (Ds merkwürdige Zeichen ist us dem Summenzeichen Σ entstnden und sollte drn erinnern, dss mn im wesentlichen Summen ildet, und zwr hndelt es sich um Summnden ei denen ein Funktionswert f() mit der Länge eines kleinen Intervlls uf der -Achse multipliziert wird, für diese kleine Länge steht ds Smol d; die Vrilen-Bezeichnung knn mn durch einen elieigen nderen Buchsten ersetzen, lso etw f(t) dt schreien, wenn mn den Buchsten für ndere Zwecke rucht) Wichtig ist: Jede stetige Funktion ist üer jedem Intervll integrierr Aer uch ndere Funktionen sind integrierr, zum Beispiel die folgende Treppenfunktion f : [, 3] R Rechts skizzieren wir die Funktion F() = f(t) dt Mn erhält eine stetige Funktion F : [, 3] R, die er nicht üerll differenzierr ist: die Knickstellen von F entsprechen den Sprungstellen von f: f F

3 73 Mthemtik für Biologen, Biotechnologen und Biochemiker 62 Berechnung von Integrlen: Stmmfunktionen Wie erechnet mn Integrle? Entweder durch Approimtion, indem mn die gegeenen Flächenstücke mit Rechtecken (oder uch Trpezen) uslegt, dfür git es verschiedene Ansätze, die ülicherweise unter dem Titel Numerische Integrtion diskutiert werden Vor llem er, indem mn eine Stmmfunktion sucht Definition: Sei eine Funktion f : I R gegeen Eine Stmmfunktion von f ist eine differenzierre Funktion F : I R mit F = f Ist F eine Stmmfunktion von f und c R, so ist uch F + c eine Stmmfunktion von f (denn die Aleitung einer konstnten Funktion ist ); Stmmfunktionen sind lso nicht eindeutig estimmt, mn knn sie immer durch eine Konstnte ändern Aer dies ist uch die einzige Möglichkeit der Aänderung: Sind F, G Stmmfunktionen von f, so unterscheiden sich F und G nur durch eine Konstnte (denn us F = f = G, folgt (F G) =, er die einzigen Funktionen, deren Aleitung Null ist, sind die konstnten Funktionen) Stz Ist F eine Stmmfunktion von f : [, ] R, so ist f(t) dt = F() F() Bemerkung: Dies ist eine recht üerrschende Aussge! Die Definition einer Stmmfunktion verwies uf ds Differenzieren, der Stz dgegen hndelt vom Integrieren: Beim Differenzieren interessiert mn sich für Tngentensteigungen, eim Integrieren für die Berechnung von Flächeninhlten zwei völlig verschiedene Themen, wie mn meinen möchte Die mthemtische Behndlung dieser eiden Themen zeigt jedoch, dß sich diese eiden Frgestellungen entsprechen: Gilt F = f, ist lso f die Aleitung von F, so eschreit f die Tngentensteigungen der Funktion F, während F zur Berechnung von Flächeninhlten, die sich uf den Grphen von f eziehen, verwendet werden knn Im Hintergrund dieser Üerlegungen steht der folgende Stz: Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung: Sei f : I R eine stetige Funktion Sei I Die Funktion G() = f(t) dt ist eine Stmmfunktion von f Beweis des Huptstzes : Wir müssen zeigen, dß G = f gilt Für I ist G () folgendermßen definiert: Es ist G( + h) = +h +h f(t) dt G ( ) () = lim G( + h) G() h h f(t) dt, lso G( + h) G() = +h f(t) dt f(t) dt = f() +h t

4 Leitfden 74 Ds Integrl +h f(t) dt ist er ungefähr h f(), jedenflls dnn, wenn h sehr klein ist Und wir interessieren uns j gerde für lim h Wir sehen, G () = lim h h f() = f() h Aus dem Huptstz folgt oige Behuptung: Ist nämlich F eine Stmmfunktion von f, so unterscheidet sich F nur durch eine Konstnte von G, etw F() = G() +c für ein festes c R Dnn ist er F() F() = G() G() = f(t) dt f(t) dt = f(t) dt Hier eine kleine Zusmmenstellung von Stmmfunktionen Für ndere Funktionen sehe mn in einer Formelsmmlung nch; llerdings git es viele Funktionen, deren Stmmfunktionen nicht ohne weiteres hingeschrieen werden können! Funktion Stmmfunktion n n+ n+ flls n e ln( ) e sin cos tn + 2 rctn ln für > cos sin ln( cos ) Zusätzlich rucht mn folgende Regeln: Kennt mn schon Stmmfunktionen F von f und G von g, so erhält mn die folgenden Stmmfunktionen: f() + g() c f() F() + G() c F() f( + ) F( + ) f() G() F() G() (F(t) g(t)) dt f(g()) g() F(G()) f() F() ln(f()) flls F() > für lle Besonders die letzte Formel sollte mn sich einprägen: von rechts nch links gelesen esgt sie: Vorusgesetzt wird F() > für lle, dnn knn mn ln(f) ilden und die Aleitung von ln(f) ist gerde F (lso die Funktion, die n der Stelle den Wert F F nnimmt); mn nennt demnch die logrithmische Aleitung der Funktion f F () F() F

5 75 Mthemtik für Biologen, Biotechnologen und Biochemiker 63 Integrle liefern Mittelwerte Eine wichtige Gelegenheit, wo mn Integrle verwendet, ist die Berechnung von Mittelwerten Sind endlich viele Werte, 2,, n gegeen, so ist ihr Mittelwert j einfch durch n n i= i gegeen (ds hen wir schon oft verwendet); nun etrchten wir die Sitution, wo eine Funktion f : [, ] R gegeen ist, und wir suchen den Mittelwert MW(f) der Funktionswerte; hier können wir keine endliche Summe ilden, stttdessen etrchtet mn ds Integrl MW(f) = f(t) dt Dhinter steckt die Vorstellung, dß ei einer Funktion mit nicht-negtiven Werten ds Rechteck mit Kntenlängen MW(f) und den gleichen Flächeninhlt hen muß wie ds Flächenstück zwischen dem Grphen und der -Achse, dß lso gilt: ( ) MW(f) = f(t) dt MW(f) Beispiel: Berechnung des Mittelwerts MW(f) der Funktion f : [, ] R mit f(t) = t 2 Eine Stmmfunktion von f(t) = t 2 ist die Funktion F(t) = 3 t3 Demnch ist MW(f) = f(t) dt = F() F() = 3 = 3 Der Mittelwert ist lso 3 Glättung einer Funktion Sei f : R R eine integrierre Funktion Mn knn sie glätten, indem mn den Funktionswert f() durch den Mittelwert im Intervll [ 2, + 2 ] lso durch f() = +/2 /2 f(t) dt ersetzt; sttt der Intervlllänge knn mn ntürlich je nch Bedrf uch jede ndere Intervlllänge nehmen, lso f() = +/2 /2 f(t) dt etrchten Mn knn uf diese Weise den Effekt kleiner periodischer Schwnkungen, n denen mn nicht interessiert ist, usschlten: Ist nämlich g() eine integrierre Funktion mit Periode und ist g(t) dt =, so ist die geglättete Funktion g() = +/2 /2 g(t) dt die Nullfunktion!

6 Leitfden Numerische Integrtion Sei f : [, ] R eine stetige Funktion Als erste Approimtion für f() d ietet sich die Fläche des Trpezes mit den Eckpunkten (, ), (, ), (, f()),(,f()) n, lso f() d h 2( f() + f()) mit h = Eine Veresserung sollten wir erhlten, wenn wir uch den Funktionswert n der Stelle = + 2 erücksichtigen 2 2 Sttt schreien wir, sttt schreien wir 2 Hier hen wir zweiml die Trpez- Regel enutzt, der rechte Flächeninhlt läßt sich in der Form h 4 ( f( ) + 2f( ) + f( 2 ) ) erechnen: mn etrchtet lso die drei Stützstellen,, 2 (mit = 2+ 2 ) und gewichtet die mittlere doppelt Besser ewährt ht sich jedoch die Regel, ei der der mittlere Punkt vierml so strk wie die eiden Rndpunkte gewichtet wird: f() d h 6 ( f( ) + 4f( ) + f( 2 ) ) die Kepler sche Fßregel us dem Jhr 65; Simpson ht 743 mehrere derrtige Regeln vorgelegt: dies ist seine /3-Regel (oder esser 2/6-Regel) Hier die 3/8-Regel: ds Intervll wird in 3 gleichgroße Teilintervlle zerlegt, und mn ildet f() d h 8 ( f( ) + 3f( ) + 3f( 2 ) + f( 3 ) ) (die Zhl 8 ist die Summe der Koeffizienten und entsprechend uch der Nenner in h 8 ) Alle diese Formeln sind Notehelfe, die oft ziemlich genue Näherungen liefern und uf jeden Fll sehr schnell erechnet werden können Dher werden sie in der Pris verwendet Aer es git viele Fälle, wo sie offensichtlich völlig versgen Insofern ist Vorsicht geoten!

7 77 Mthemtik für Biologen, Biotechnologen und Biochemiker 65 Uneigentliche Integrle Wir hen uns isher vor llem für Flächen der Form {(, ), f()} interessiert, woei < reelle Zhlen sind und f : [, ] R eine Funktion ist Dei hen wir stillschweigend vorusgesetzt, dss die Werte f() eschränkt sind, dss es lso eine reelle Zhl c mit f() c für lle git (nur dnn knn mn Oersummen ilden!) Von uneigentlichen Integrlen spricht mn, wenn mn uf derrtige Beschränktheits-Vorussetzungen verzichtet wenn mn lso eine uneschränkte Funktion üer einem Intervll integrieren möchte (mnchml geht ds), oder er wenn mn sttt des Intervlls [, ] zum Beispiel üer die Menge { } integrieren möchte Wir eschäftigen uns hier nur mit dem letztgennnten Fll und etrchten drei derrtige Beispiele: nämlich die Funktionen ep( ),, 2 Frge: Wie groß ist jeweils die punktierte Fläche? f() = ep( ) f() = f() = 2 Dei geht mn folgendermßen vor: Um f() d zu estimmen, erechnet mn die Integrle f() d für lle mit < und üerlegt sich, ws pssiert, wenn immer größer wird (lso gegen geht ) Sollte sich der Wert stilisieren, lso gegen eine feste Zhl konvergieren, so ist dies die gesuchte Zhl Wir erechnen für die drei Beispiels-Funktionen ep( ),, 2 die Integrle f() d und zwr mit = im ersten Beispiel und = in den eiden nderen Beispielen: ep( ) d = ep( ) d = ln() 2 d = = ep( ) + ep() = ep( ) + = ln() ln() = ln() = + dei hen wir verwendet, dss ep( ) eine Stmmfunktion von ep( ) ist, dss ln() für > eine Stmmfunktion von ist, und dss schließlich eine Stmmfunktion von 2 ist Es ist nun dher gilt: lim ep( ) =, und uch lim =, er lim ln( ) =, ep( ) d =, d =, 2 d = Wir hen hier d = geschrieen, er d mn eigentlich nur n Zhlenwerten interessiert ist (und ist zwr ein Smol, ds mn mnchml hinschreit, er een keine Zhl), sgt mn uch: ds uneigentliche Integrl d eistiert nicht

8 Leitfden 78 Insgesmt sieht mn, dss die drei Kurven, die j sehr ähnlich ussehen, gnz verschiedene Eigenschften hen! Zumindest hen wir gezeigt, dss die mittlere Kurve sich gnz nders verhält, ls die eiden nderen (er uch diese eiden lssen sich durch weitere Eigenschften unterscheiden) In der Sttistik spielen uneigentliche Integrle eine große Rolle Mn etrchte zum Beispiel eine Verteilungsfunktion f : R R, die durch einen Grphen der Form z gegeen ist, lso zum Beispiel durch die Funktion f(z) = +z 2, dei interessiert mn sich dnn für ds Integrl F() = f(z) dz (ist z eine Merkmls-Achse, und f(z) der zugehörige Bestnd, so liefert dieses Integrl F() gerde den Gesmtestnd mit Merkml z ), lso für den Flächeninhlt der folgenden punktierten Fläche: z Eistiert ds uneigentliche Integrl B = f(z) d z, so ist die Funktion F() offensichtlich eine Sigmoide mit Wchstumsschrnke B (lso eine monoton wchsende Funktion, deren Werte im Intervll zwischen und B liegen, mit Wendepunkt n der Stelle = ) B 66 Ds Bunsen-Roscoe-Gesetz Betrchte einen Lichtlitz mit Duer t und Intensität I Der Helligkeitseindruck ei kurzen Blitzen (t < ms) entspricht dem Produkt I t (dei git es Whrnehmungsschwellen für t wie für I, der der Blitz whrgenommen wird) Der Helligkeitseindruck entspricht lso dem Flächeninhlt eines Rechtecks Bei gleicher Sklierung der Achsen sind die Flächeinhlte der folgenden Rechtecke ntürlich gleich: t I t I t I Die Pre (t, I) mit gleichem Flächeninhlt I t liegen uf einem Hperel-Ast: Für lle diese Pre ist lso der Helligkeitseindruck der gleiche