1. Rechensteine und der Pythagoräische Lehrsatz.

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1 1. Rechensteine und der Pythgoräische Lehrstz. Der Beginn der wissenschftlichen Mthemtik fällt mit dem Beginn der Philosophie zusmmen. Er knn uf die Pythgoräer zurückdtiert werden. Die Pythgoräer wren eine Gruppe, mnche sgen ein Geheimund, die zwischen v.u.z. in Süd Itlien gewirkt ht und die eine erste Philosophie der Ntur entwickelt ht und dies wr in dieser frühen Zeit dssele wie Nturwissenschft (ndere Philosophen in dieser Zeit wren Thles und Anximnder von denen wir er nicht viel wissen). Grundlge dieser Philosophie wr nun Mthemtik, insesondere die Zhlen. Für die Pythgoräer wren die Zhlen die Grundlge ller Wirklichkeit. Ihre Devise hieß Alles ist Zhl. Ds Wort Zhl er htte für sie nicht nur eine quntittive sondern uch eine qulittive Bedeutung. Weiter shen sie die Welt, wie in der Musik von hrmonischen Zhlenverhältnissen estimmt. Wir können hier er uf diese philosophische Seite nicht weiter eingehen. Bemerkenswert ist vielleicht die Ttsche, dss sich die griechische Mthemtik (und dmit die wissenschftliche Mthemtik) nicht us den Bedürfnissen der Anwendungen herus entwickelt ht. Vielmehr stnd m Anfng der ntiken Mthemtik und dmit m Anfng der wissenschftlichen (oder der philosophischen) Mthemtik ein Spiel, ds Spiel mit Rechensteinen. 1. Rechensteine und Zhlenreihen. Rechensteine htten verschiedene Fren (zumindest schwrz und weiss) und die Aufge estnd drin Rechensteine zu interessnten geometrischen Konfigurtionen zu legen um mthemtische Gesetzmässigkeiten zu entdecken. Eines der ältesten üerlieferten Stücke der ntiken Mthemtik ist die Lehre vom Gerden und Ungerden (die den Pythgoräern zugeschrieen wird). Sie eginnt mit der Beochtung, dss eine Kette von Steinen einen Mittelstein hen knn oder nicht, und dmit knn mn zwischen Gerde und Ungerde unterscheiden. Um dies nzudeuten knn mn für den Mittelstein eine esondere Fre wählen, etw: weiß: Klus Johnnson, Geometrie (L)

2 . Geometrie (L) ungerde gerde Pythgoräische Lehre vom Gerden und Ungerden. Die üerlieferten Lehrsätze sind: gerde + gerde = gerde gerde + ungerde = ungerde ungerde + ungerde = gerde gerde gerde = gerde gerde ungerde = gerde ungerde ungerde = ungerde. Aufge. Mn zeige, mit Rechensteinen, dss ungerde ungerde = ungerde. Lösung. Für die Lösung der Aufe eochte mn z.b., dss jeder Stein im Qudrt sein Gegenstück ht. Ausgenommen der Stein in der Mitte. Für ihn git es kein Gegenstück. Also ist die Anzhl der Steine im Qudrt (= ds Produkt) ungerde. Mit den Spielsteinen konnte mn Dreiecke, Qudrte, Rechtecke und ndere Figuren legen. Solche Figuren nennt mn figurierte Zhlen. Einen esonders wichtigen symolischen Wert für die pythgoräische Mthemtik, htte die Zehnzhl. Sie glt ls vollkommen glt. Weiter wichtig wr der Drusenstern, der den Pythgoräern ls Erkennungszeichen diente. Diesen Drusenstern erhält mn us den Digonlen des Pentgons. Deshl ht ds Pentgon (und später uch ndere regulr re Polygone) in der griechischen Mthemtik eine wichtige Rolle gespielt. Klus Johnnson, Geometrie (L)

3 1 Pythgoräischer Lehrstz 3 Der Drusenstern Die Zehnzhl Die Pythgoräer knnten neen der Dreieckszhl 10 uch ndere Dreieckszhlen. Ttsächlich ildeten sie us Rechensteinen eine gnze Folge von Dreieckszhlen: Aufge. Mn zeige, mit Rechensteinen, dss ds n-te Dreieck 1 n(n+1) Steine ht. Lösung. Zur Lösung der Aufge rucht mn Steine in zwei Fren (lso etw weisse und schwrze Steine). Dnn ilde folgende Rechteckszhlen: Zwei Dreieckszhlen ilden zusmmen eine Rechteckszhl, eine sog. Heteromeke. Ds n-te Rechteck ht n (n+1) Steine. Dreieckszhlen sind die Hälfte dvon. Also folgen die Dreickszhlen dem Bildungsgesetz 1 n(n+1) Dies löst die Aufge. Aufge. Mn zeige, dss (n 1) = n. Lösung. Die Pythgoräer etrchteten die Folge der Qudrtzhlen und mchten folgende Beochtung ei Verwendung zwei-friger Spielsteinen: Klus Johnnson, Geometrie (L)

4 4. Geometrie (L) Die Folge der Qudrtzhlen entsteht lso durch Ansetzen von sog. Gnomonen (die uch ei Euklid eine große Rolle spielen): Die Gnomone estehen us n+1 Steinen. Die Differenzen der Qudrte ildet lso die Folge ller ungerden Zhlen. Die Summierung der ungerden Zhlen ist er ntürlich ds Gleiche wie ds letzte Qudrt. Also oder llgemeiner 5 = n = (n 1) = n (m 1) Mit Hilfe der Gnomone konnten die Pythgoräer uch Formeln für die Summe von Qudrten ufstellen. Der nächste Stz zeigt eine etws nspruchsvollere Anwendung der pythgoräischen Spielstein Arithmetik. m=1 Aufge. Mn zeige, dss n = 1 3 (n+1)( n).i Lösung. Unterer, mittlerer und oerer Teil sind gleich Im unteren Drittel sieht mn die vier Qudrte Streckt mn die Gnomone zu Strecken us, dnn sieht mn leicht, dss ds untere Drittel der schwrzen Steine gleich der Anzhl der weißen Steine ist. Zusmmen mit dem oeren Drittel erhält mn: 3 ( ) = (n+1) (1++3+4) Drus folgt der Stz. Klus Johnnson, Geometrie (L)

5 . Verdoppeln von Seiten. 1 Pythgoräischer Lehrstz 5 Ds Prolem des Verdoppelns konnte mn uch mit Rechensteien ngehen. Ds nächste Bild zeigt ds Ergenis einer Seitenverdopplung eim Qudrt: Wir sehen: ei einer Verdopplung der Seiten verdoppelt sich nicht der Inhlt sondern er vervierfcht sich. Behuptung. Beim Qudrt gilt immer: Seite Fläche = Fläche 4. Bemerkung. Wie sieht ds ei nderen Figuren us. Hier ist ds Ergenis eim Hexgon. Die Seite ist wieder verdoppelt? Wieviel Steine ht ds rechte Hexgon? Um die Frge zu entworten, würden wir heute die Steine des Hexgons uszählen. Wir erhlten 37. Ds Vierfche des linken Hexgons ist er 8. ALso ist der Flächeninhlt nicht verdoppelt. Die Pythgoräer würden er so nicht vorgehen. Zählen is verpönt. Sie könnten stttdessen z.b. die Steine des linken Hexgons in eine Reihe legen und dnn verdoppeln. Dnch koennten Sie die Steine des rechten Hexgons in eine Reihe legen und dnch mit der verdoppelten Reihe vergleichen. Oder lterntiv könnten sie ihre Lehre vom Gerden und Ungerden verwenden. Ds rechte Hexgon ht eine gerde Zhl von gerden Zeilen und eine ungerde Zhl von ungerden Zeilen. Gerde ml gerde ist gerde. Ungerde ml ungerde ist ungerde. Gerde plus ungerde isit ungerde. Also muß die Anzhl der Steine im grossen Hexgon ungerde sein. Also knn es nicht ds Inhlts-doppelte irgendeiner nderen Figur sein. Dies gilt für lle Hexgone. Also ist der Inhlt eines Seiten-verdoppelten Hexgons niemls ds Vierfche des ursprünglichen Hexgons. Klus Johnnson, Geometrie (L)

6 6. Geometrie (L) 3. Rechensteine und pythgoräische Tripel. Beim Legen der Qudrtzhlen mcht mn eine ndere interessnte Entdeckung: Beochte, dss mn ds letzte Qudrt wie folgt zerlegen knn: = + = + Wir sehen, dss ds grosse Qudrt die Summe des kleinen Qudrts und eines Gnomons ist. Ds Gnomon wiederum ist Summen von zwei Rechtecken und einem Qudrt. Diese Teile knn mn useinnder nehmen und neu zu einem Qudrt zusmmenlegen. Dmit ist ds grosse Qudrt eine Summe von zwei Qudrten! Alle drei Qudrte sind us Rechensteinen geildet und wir hen 3 +4 = 5 Definition. Ein Tripel (,, c) von Zhlen heißt pythgoräisches Tripel, wenn + = c. Aufge. Mn zeige, dss es elieig viele Qudrte git, die Summe von zwei Qudrte sind. Lösung. Zur Lösung eochten wir, dss ds 5-Qudrt noch eine ndere Zerlegung ht: Klus Johnnson, Geometrie (L)

7 1 Pythgoräischer Lehrstz 7 Diesml hen wir ein Gnomon der Breite 1 (sttt eines Gnomons der Breite ). Mn sieht leicht, dss uch ds neue Gnomon wieder eine Qudrtzhl ist. Und wir lesen : 4 +3 = 5 Diesml knn mn er us der Zerlegung des Qudrts eine llgemeine Gesetzmäßigkeit für pythgoräische Tripel herleiten. Sei dzu n irgendeine ungerde Zhl, z.b. n = 5. Wir sehen, dss ds Gnomon us 5 Stücken mit jeweils 5 Steinen esteht. Also ist ds Gnomon ein Qudrt. Die Summe von diesem Qudrt mit dem gruen Qudrt ist uch ein Qudrt. Also ist 1 +5 = 13 und wir hen ein neues pythgoräisches Tripel gefunden. Die oige Konstruktion funktioniert er nicht nur für n = 5, sondern für lle ungerden Zhlen n. Somit hen wir den llgemeinen Stz ewiesen, dss es elieig viele pythgoräische Tripel git. Die Aufge ist gelöst. Klus Johnnson, Geometrie (L)

8 8. Geometrie (L) 4. Eine Entdeckung des pythgoräischen Lehrstzes. Ds Operieren mit Gnomonen führt noch zu einer weiteren llgemeinen Beochtung. Um diese zu eschreien, etrchte mn eine elieige Gnomon Zerlegung eines Qudrts: Bemerkung. Diesml sind wir zum ersten Ml von Rechensteinen gegngen und enutzen vielmehr eine geometrische Zeichnung (vielleicht eine Zeichnung im Snd oder uf Ppyros). Wir hen die Rechtecke (schrffiert) in Pre von rechtwinkligen Dreiecken zerlegt und innerhl des großen Qudrts neu verschoen. Es entsteht ds Bild uf der rechten Seite. Diesml esteht die Zerlegung des großen Qudrts us 4 (schrffierten) Dreiecken und 1 (weißen) Viereck. Die Seiten des weißen Vierecks sind lle gleich lng. Eenso sind seine eiden Digonlen gleich lng. Also ist es ein Qudrt. Die eiden weißen Dreiecke des linken Qudrts sind ußen n ds rechte Qudrt ngesetzt. Ihre Summe ist flächengleich dem weißen Qudrt der rechten Figur. Dmit gilt: Bemerkung. Aus heutiger Sicht ist die Gnomon Zerlegung des Qudrts Der inomische Lehrstz Klus Johnnson, Geometrie (L)

9 nichts weiter ls der inomische Lehrstz: 1 Pythgoräischer Lehrstz 9 (+) = ++ Ws den pythgoräischen Lehrstz etriftt, würden wir heute in moderner Sprechweise (die er die Pythgoräer nicht knnten) wie folgt rgumentieren. Stz von Pythgors. In einem rechtwinkligen Dreieck mit Hypothenuse c und Ktheten, gilt + = c. Beweis. Betrchte c c c c Aus dem oigen Digrmm entnimmt mn Beweis des Stzes von Pythgors c + = (+) = ++ c = + Prolem. Der Stz von Pythgors wurde mit Rechensteien entdeckt, die oigen Beweise wurden er geometrisch geführt. Git es uch einen Beweis mit Rechensteinen? Die Antwort zu dieser Frge ist: Nein. Dieses Prolem ehndeln wir in der nächsten Vorlesung. Klus Johnnson, Geometrie (L)

10 10. Geometrie (L) 5. Anhng. Die rithmetische Theorie der pythgoräischen Tripel. Der Vollständigkeit hler geen wir hier die komplette Auflistung ller pythgoräische Tripel. Der Beweis gehört nicht zur Geometrie, sondern zur elementren Zhlentheorie, deshl ehndeln wir ihn nur in einem Anhng. Existenz. Wenn dnn x := r s, y := rs, z := r +s x +y = (r s ) +(rs) = r 4 r s +s 4 +4r s = r 4 +r s +s 4 = (r +s ) = z Dmit hen wir eine unendliche Menge von pythgoräischen Tripeln (x, y, z) gefunden. Wir ehupten, dss dies uch lle pythgoräischen Tripel sind. Vollständigkeit. Sei (x, y, z) ein pythgoräisches Tripel. O.B.d.A. x = ungerde und y =gerde. (Andernflls sind x,y,z lle gerde oder x,y eide ungerde. Der erste Fll ist o.b.d.a. unmöglich. Im zweiten Fll 4 x 1, 4 y 1 und somit 4 z. Ds ist er unmöglich, wie mn leicht sieht, wenn mn gerde oder ungerde Zhlen mit sich selst multipliziert.) Dnn ist z ungerde, d z = x +y. Also gilt und somit z +x z +x z x = z x 4 = r und z x = y 4 (der ggt von z+x und z x ist 1). Er teilt nämlich uch die Summe und somit z (und eenso x). Aer ggt(x,z) = 1.) Nun ist Dies wr zu zeigen. x = z +x z x = s = r s y = rs, denn y 4 = r s z = z +x + z x = r +s Klus Johnnson, Geometrie (L)