Formale Systeme, Automaten, Prozesse SS 2010 Musterlösung - Übung 2 M. Brockschmidt, F. Emmes, C. Fuhs, C. Otto, T. Ströder

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1 Prof Dr J Giesl Formle Systeme, Automten, Prozesse SS 2010 Musterlösung - Üung 2 M Brockschmidt, F Emmes, C Fuhs, C Otto, T Ströder Hinweise: Die Husufgen sollen in Gruppen von je 2 Studierenden us dem gleichen Tutorium ereitet werden Die Lösungen der Husufgen müssen is Mi, im Tutorium gegeen werden Alterntiv ist es is 17 Uhr möglich, diese in den Ksten im Flur des LuFG I2 einzuwerfen (Ahornstr 55, E1, 2 Etge) Nmen und Mtrikelnummern der Studierenden sowie die Nummer der Üungsgruppe sind uf jedes Bltt der Age zu schreien Heften zw tckern Sie die Blätter! Die Tutorufgen werden in den jeweiligen Tutorien gemeinsm esprochen und ereitet Tutorufge 1 (Aschlusseigenschften): Sei Σ := {, } ein Alphet Sei L := { n 2n n 0} eine Sprche üer Σ Hierei ezeichnet n ds Wort } {{ } Es existiert kein DFA, der L kzeptiert Zeigen Sie, dss dnn uch kein DFA existiert, der die folgenden n-ml Sprchen üer Σ kzeptiert ) L 1 = {w w = n m für m, n 0 und m 2n} Σ Σ ) L 2 = { n n m n n m 0} ) Es gilt L = Σ \ L 1 D kein DFA existiert, der L kzeptiert, folgt us der Ageschlossenheit unter Komplement von Sprchen, die von einem DFA kzeptiert werden können, dss L 1 nicht von einem DFA kzeptiert werden knn ) Es gilt L = L 2 L mit L = { m n m, n 0} Der folgende DFA kzeptiert L, q 0 q 1 q 2 D kein DFA existiert, der L kzeptiert, folgt us der Ageschlossenheit unter Schnitt von Sprchen, die von einem DFA kzeptiert werden können, dss L 2 nicht von einem DFA kzeptiert werden knn 1

2 Formle Systeme, Automten, Prozesse SS 2010 Musterlösung - Üung 2 Husufge 2 (Aschlusseigenschften): (4 Punkte) Sei Σ ds Alphet us der vorherigen Aufge Sei L 3 := { n n n 0} eine Sprche üer Σ Es existiert kein DFA, der L 3 kzeptiert Zeigen Sie, dss dnn uch kein DFA existiert, der die Sprche L 4 := { m n m, n 0, m n} üer Σ kzeptiert Hinweis: Benutzen Sie die Aschlusseigenschften für Sprchen, die von einem DFA kzeptiert werden können Es gilt L 3 = (Σ \ L 4 ) L D es einen DFA git, der L kzeptiert, es er keinen DFA git, der L 3 kzeptiert, knn ufgrund der Ageschlossenheit unter Schnitt und Komplement von Sprchen, die von einem DFA kzeptiert werden können, die Sprche L 4 nicht von einem DFA kzeptiert werden Tutorufge 3 (DFAs us regulären Ausdrücken): Sei Σ ein Alphet Konstruieren Sie einen Automten, der genu die Sprche L( ( ) ) erkennt Zwei Lösungen, woei die rechte miniml ist q 1 q 2 q 1 q 2 Tutorufge 4 (DFAs us Wörtern): Sei Σ := {,, z} ein Alphet Wir führen ls verkürzende Schreiweise ein, dss Knten in einem Automten mit Mengen (zb Σ \ {}) eschriftet werden können und meinen dmit, dss die eschriftete Knte einem Üergng entspricht, der für lle Symole us der Menge erlut ist Betrchten Sie dzu ds folgende Beispiel: Σ \ {} Σ q 1 q 2 In diesem Automten ist lso ein Üergng von Zustnd q 1 zu Zustnd q 2 nur mit dem Symol möglich Alle weiteren Buchsten führen von Zustnd q 1 wieder zu sich selst zurück Der Automt erkennt lso die Sprche Σ Σ 2

3 Formle Systeme, Automten, Prozesse SS 2010 Musterlösung - Üung 2 Konstruieren Sie nun einen Automten, der die Wörter erkennt, die mindestens einml ds Wort chen enthlten, lso die Sprche Σ chenσ Σ \ {} q 1 q 2 c q 4 h q 5 e q 6 n q 7 Σ \ {} Σ \ {, c} Σ \ {, h} Σ \ {, e} Σ \ {, n} Σ Husufge 5 (DFAs us Wörtern): (3 Punkte) Sei Σ ein Alphet Konstruieren Sie einen Automten, der die Wörter erkennt, die mindestens einml ds Wort essen enthlten, lso die Sprche Σ essenσ Hinweis: Um die Drstellung des Automten zu vereinfchen, nutzen Sie m esten die verkürzende Schreiweise, die in Tutorufge 4 eingeführt wurde Σ \ {e} e Σ e s q e 1 q s 2 q s 3 q e 4 q n 5 q 6 Σ \ {e, s} e Σ \ {e, s} Σ \ {e} Σ \ {e, n, s} 3

4 Formle Systeme, Automten, Prozesse SS 2010 Musterlösung - Üung 2 Tutorufge 6 (L k ij -Algorithmus): Bestimmen Sie mit Hilfe des L k ij-algorithmus einen regulären Ausdruck, der die Sprche erkennt, die der folgende endliche Automt kzeptiert q 2, q 1, D es nur einen Endzustnd git, reicht es, L 3 1,2 zu estimmen L 3 1,2 = L2 1,2 + L2 1,3 (L2 3,3 ) L 2 3,2 = L 2 1,2 = L1 1,2 + L1 1,2 (L1 2,2 ) L 1 2,2 = L 1 1,2 = L0 1,2 + L0 1,1 (L0 1,1 ) L 0 1,2 = L 0 1,2 = L 0 1,1 = ε = + εε = L 1 2,2 = L0 2,2 + L0 2,1 (L0 1,1 ) L 0 1,2 = L 0 2,2 = ε + + L0 2,1 = = (ε + + ) + ( )(ε) () = ε + + = () + ()(ε + + ) (ε + + ) = (ε + + ) L 2 1,3 = L1 1,3 + L1 1,2 (L1 2,2 ) L 1 2,3 = L 1 1,3 = L0 1,3 + L0 1,1 (L0 1,1 ) L 0 1,3 = L 0 1,3 = = + εε = L 1 2,3 = L0 2,3 + L0 2,1 (L0 1,1 ) L 0 1,3 = L 0 2,3 = L0 2,1 = = = + (ε + + ) = L 2 3,3 = L1 3,3 + L1 3,2 (L1 2,2 ) L 1 2,3 = L 1 3,3 = L0 3,3 + L0 3,1 (L0 1,1 ) L 0 1,3 = L 0 3,3 = ε + + L0 3,1 = = ε + + L 1 3,2 = L0 3,2 + L0 3,1 (L0 1,1 ) L 0 1,2 = L 0 3,2 = L0 3,1 = = = (ε + + ) + (ε + + ) = ε + + L 2 3,2 = L1 3,2 + L1 3,2 (L1 2,2 ) L 1 2,2 = + (ε + + ) (ε + + ) = 4

5 Formle Systeme, Automten, Prozesse SS 2010 Musterlösung - Üung 2 = (ε + + ) + (ε + + ) = ( + ) Husufge 7 (L k ij -Algorithmus): (4 Punkte) Bestimmen Sie mit Hilfe des L k ij-algorithmus einen regulären Ausdruck, der die Sprche erkennt, die der folgende endliche Automt kzeptiert q 1 q 2, D es nur einen Endzustnd git, reicht es L 3 1,3 zu estimmen L 3 1,3 = L2 1,3 + L2 1,3 (L2 3,3 ) L 2 3,3 = L 2 1,3 = L1 1,3 + L1 1,2 (L1 2,2 ) L 1 2,3 = L 1 1,3 = L0 1,3 + L0 1,1 (L0 1,1 ) L 0 1,3 = L 0 1,3 = L 0 1,1 = ε + = + (ε + )(ε + ) = L 1 1,2 = L0 1,2 + L0 1,1 (L0 1,1 ) L 0 1,2 = L 0 1,2 = = + (ε + )(ε + ) = L 1 2,2 = L0 2,2 + L0 2,1 (L0 1,1 ) L 0 1,2 = L 0 2,2 = ε L 0 2,1 = = ε + (ε + ) = ε + + L 1 2,3 = L0 2,3 + L0 2,1 (L0 1,1 ) L 0 1,3 = L 0 2,3 = = + (ε + ) = = + (ε + + ) = (ε + + ) L 2 3,3 = L1 3,3 + L1 3,2 (L1 2,2 ) L 1 2,3 = L 1 3,3 = L0 3,3 + L0 3,1 (L0 1,1 ) L 0 1,3 = L 0 3,3 = ε + + L 0 3,1 = = (ε + + ) + (ε + ) = ε + + L 1 3,2 = L0 3,2 + L0 3,1 (L0 1,1 ) L 0 1,2 = L 0 3,2 = = + (ε + ) = 5

6 Formle Systeme, Automten, Prozesse SS 2010 Musterlösung - Üung 2 = (ε + + ) + ( )(ε + (ε + ) ) = ε + + = ( (ε + + ) ) + ( (ε + + ) )(ε + + ) (ε + + ) = (ε + + ) Σ = ( + ) ( + ) Tutorufge 8 (Produktutomt): ) In der Vorlesung wurde der Produktutomt M M verwendet, um genu die Wörter zu kzeptieren, die sowohl von M ls uch von M kzeptiert werden Wie knn mn die Konstruktion des Produktutomten so modifizieren, dss stttdessen die Vereinigung der eiden Sprchen L(M) und L(M ) kzeptiert wird? ) Verwenden Sie die Konstruktion us der vorherigen Teilufge, um zu zeigen, dss jedes Wort us Σ mit Σ = {, } von einem der folgenden Automten kzeptiert wird q 0 q 1 q 2 ) Nch wie vor verwendet mn ds krtesische Produkt der Zustndsmengen eider Ausgngsutomten ls neue Zustndsmenge und enutzt die gleiche Kntenreltion wie eim herkömmlichen Produktutomten Als Endzustände definiert mn llerdings nicht nur solche Zustände, die Pren entsprechen, ei denen eide Ausgngsutomten einen Endzustnd hen, sondern uch solche, ei denen nur einer der eiden Ausgngsutomten einen Endzustnd ht ) Der modifizierte Produktutomt q 0, q 2 q 1, kzeptiert offensichtlich jedes Wort us Σ, d er nur Endzustände esitzt Husufge 9 (Produktutomt): Gegeen seien zwei endliche Automten (3+1 Punkte) 6

7 Formle Systeme, Automten, Prozesse SS 2010 Musterlösung - Üung 2 q 1 q 2 q 4 q 5 ) Konstruieren Sie den Produktutomten der eiden Automten ) Beweisen Sie, dss es kein Wort der Sprche {, } git, ds von eiden Automten kzeptiert wird ) q 2, q 5 q 2, q 4 q 1, q 4 q 1, q 5, q 4 ) Flls es kein Wort git, ds von eiden Automten erknnt wird, ht ihr Produkt keinen erreichren Endzustnd Dies ist hier der Fll Alterntive Im ersten Automt sind lle eingehenden Knten des Endzustndes mit eschriftet und im zweiten Automt mit Dher knn es kein Wort geen, ds von eiden Automten erknnt wird Husufge 10 (Verifiktion mit Model Checking): (2+4+1 Punkte) Sei Σ = {, } ein Alphet Wir wollen nun ein Verifiktions-Prolem etrchten und ein Verfhren entwickeln, ds utomtisch und in endlicher Zeit üerprüft, o jedes Wort, ds ein DFA (die Implementierung ) kzeptiert, uch in einer ls Sprche gegeenen Spezifiktion L liegt 7

8 Formle Systeme, Automten, Prozesse SS 2010 Musterlösung - Üung 2 Sei nun L die Sprche ller Wörter, die mit einer gerden Anzhl von s enden, dh L := {w() n (Σ {ε}), n > 0} Als zu üerprüfende Implementierung etrchten wir den Automten M: w q 0 q 1 q 2 ) Konstruieren Sie einen Automten M, der genu die Sprche L kzeptiert ) Geen Sie ein Verfhren n, mit dem utomtisch für zwei elieige, gegeene DFAs M und M entschieden werden knn, o jedes von M kzeptierte Wort uch von M kzeptiert wird Es soll lso ein Algorithmus entwickelt werden, der für eine Einge von zwei Automten M, M genu dnn true usgit, flls L(M) L(M ) gilt und sonst flse usgit Verwenden Sie (elieigen) Pseudo-Code, um ds Verfhren zu eschreien Hinweis: Zur Lösung der Aufge hilft es, sich klr zu mchen, dss L(M) L(M ) genu dnn gilt, wenn w L(M) w L(M ) für lle w Σ gilt Dnch sollen Sie die us der Vorlesung eknnten Verfhren nwenden, mit denen utomtisch der Schnitt und ds Komplement von durch DFAs kzeptierten Sprchen ermittelt werden knn Benutzen Sie uch ds Verfhren zum Leerheitstest us Aufge 9, mit dem Sie üerprüfen können, o die von einem DFA erknnte Sprche leer ist c) Führen Sie ds Verfhren exemplrisch durch und geen Sie ein Wort w mit w L(M), w L n ) Der Automt M : q 4 q 5 ) Es gelten die folgenden Äquivlenzen, wenn wir mit M und M die Komplementärutomten von M zw M ezeichnen: L(M) L(M ) w L(M) w L(M ) w L(M) w L(M ) w L(M) w L(M ) w (L(M) L(M )) w (L(M) L(M )) w L(M M ) 8

9 Formle Systeme, Automten, Prozesse SS 2010 Musterlösung - Üung 2 Wir können lso L(M) L(M ) üerprüfen, indem wir üerprüfen, o die vom Automten M M erknnte Sprche leer ist Dies ist genu dnn der Fll, wenn es keinen erreichren Endzustnd git Dmit ergit sich der folgende Pseudocode: lngsuset(m, M ): CM = Complement(M ) PM = ProductDFA(M, CM ) return PMhsNoRechleFinlStte() c) Zuerst müssen wir den Komplementärutomten M konstruieren: q 4 q 5 Nun können wir den Produktutomten M M konstruieren: q 0, q 1, q 4 q 2, q 5 q 2, q 4 Es gilt zb L(M M ) Es gilt offensichtlich w L und w L(M) 9

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