Endliche Automaten 7. Endliche Automaten

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1 Endliche Automten 7 Endliche Automten Einfches Modellierungswekzeug (z.b. UML-Sttechrts) Verrbeiten Wörter/Ereignisfolgen Erkennen Sprchen Erluben schnelle Sprcherkennung Anwendungsbereiche: Objektorientierte Modellierung, Model-Checking, Lexiklische Anlyse, XML-Prser, Kontrollnweisungen, Spezifiktion von Kommuniktionsbläufen, Beschreibung von Rechnersystemen und deren Systemprogrmmierung,... S. Kuske: Wörter und Endliche Automten; 05.November 2007

2 Endliche Automten 8 Tktweises Arbeiten Eingbe: ein Wort w Funktionsweise Lesen von w Zeichen für Zeichen von links nch rechts In jedem Tkt wird ein Zeichen gelesen. In jedem Tkt befindet sich der endliche Automt in einem seiner endlich vielen Zustände. Ds Eingbewort w wird kzeptiert, flls sich der Automt nch dem Lesen von w in einem Endzustnd befindet. S. Kuske: Wörter und Endliche Automten; 05.November 2007

3 Endliche Automten 9 Zustände Komponenten ußer Betrieb betriebsbereit heizen Eingbelphbet (Menge von potenziellen Ereignissen) {n, us, < 20, 20 } S. Kuske: Wörter und Endliche Automten; 05.November 2007

4 Endliche Automten 10 Zustndsüberführungen ußer Betrieb n us betriebsbereit < heizen Strtzustnd ußer Betrieb n us betriebsbereit < heizen S. Kuske: Wörter und Endliche Automten; 05.November 2007

5 Endliche Automten 11 Endzustände ußer Betrieb n us betriebsbereit < heizen S. Kuske: Wörter und Endliche Automten; 05.November 2007

6 1 Endlicher Automt Ein endlicher Automt ist ein System A = (Z, I, d, s 0, F ) mit Z: endliche Menge von Zuständen, I: endliches Eingbelphbet, d Z I Z: Zustndsüberführung, s 0 Z: Strtzustnd, F Z: Endzustände. S. Kuske: Endliche Automten; 12.November 2007

7 Endlicher Automt 2 Gegeben: A = (Z, I, d, s 0, F ) Grphische Drstellung s d(s, x), s F S. Kuske: Endliche Automten; 12.November 2007

8 Endlicher Automt 3,...,z Beispiel 1 e n s 0 s 1 s d 2 s 3 S. Kuske: Endliche Automten; 12.November 2007

9 Endlicher Automt 4 Beispiel 2,b s 0 s c 1 s 2 Akzeptiert u.. ds Wort bc: (s 0, bc) (s 0, bc) (s 1, bc) (s 1, c) (s 2, λ) (s 0, bc) (s 1, bc) (s 1, bc) (s 1, c) (s 2, λ) S. Kuske: Endliche Automten; 12.November 2007

10 Endlicher Automt 5 Fortgesetzte Zustndsüberführung Die fortgesetzte Zustndsüberführung verrbeitet Wörter sttt Zeichen. Gegeben: A = (Z, I, d, s 0, F ) Für lle s, s, s Z, x I, w I : d (s, λ) = {s}, d (s, wx) = s d (s,w) d(s, x). S. Kuske: Endliche Automten; 12.November 2007

11 Endlicher Automt 6,...,z Beispiel e n s 0 s 1 s d 2 s 3 d (s 0, end) = s d (s 0,en) d(s, d) = 1. s {s 0,s 2 } d(s, d) = d(s 0, d) d(s 2, d) = {s 0 } {s 3 } = {s 0, s 3 } 1. d (s 0, en) = s d (s 0,e) d(s, n) = 2. s {s 0,s 1 } d(s, n) = d(s 0, n) d(s 1, n) = {s 0 } {s 2 } = {s 0, s 2 } 2. d (s 0, e) = s d (s 0,λ) d(s, e) = s {s 0 } d(s, e) = d(s 0, e) = {s 0, s 1 } S. Kuske: Endliche Automten; 12.November 2007

12 Endlicher Automt 7 Erknnte Sprche Die erknnte Sprche besteht us llen Wörtern, die der Automt usgehend vom Strtzustnd lesen knn, so dss nch dem Lesen ein Endzustnd erreicht wird. Erknnte Sprche Gegeben: A = (Z, I, d, s 0, F ) L(A) = {w I d (s 0, w) F } S. Kuske: Endliche Automten; 12.November 2007

13 Endlicher Automt 8 Beispiele,...,z A: e n s 0 s 1 s d 2 s 3 L(A) = {wend w {,..., z} } S. Kuske: Endliche Automten; 12.November 2007

14 Endlicher Automt 9 Beispiele A:,b s 0 s c 1 s 2 L(A) = { n n N} { n wc n 1, w {, b} } = {} ({}{} {, b} {c}) S. Kuske: Endliche Automten; 12.November 2007

15 Endlicher Automt 10 Teilwortsuche mit endlichen Automten Eingbe: u, v A Ausgbe: Alle Stellen in v, n denen u vorkommt. Idee: Konstruiere einen endlichen Automten, der lle Anfngswörter (Präfixe) von v erkennt, die uf u enden. S. Kuske: Endliche Automten; 12.November 2007

16 Deterministische endliche Automten 11 Deterministische endliche Automten Definition Ein deterministischer endlicher Automt (DEA) ist ein System A = (Z, I, d, s 0, F ) mit Z: endliche Menge von Zuständen, I: endliches Eingbelphbet, d: Z I Z: Abbildung s 0 Z: Strtzustnd, F Z: Endzustände. S. Kuske: Endliche Automten; 12.November 2007

17 Deterministische endliche Automten 12 Beispiel b b b s 0 s 1 s 2 S. Kuske: Endliche Automten; 12.November 2007

18 Deterministische endliche Automten 13 Fortgesetzte Zustndsüberführung A = (Z, I, d, s 0, F ): DEA Für lle s, s, s Z, x I, w I : d (s, λ) = s; d (s, wx) = d(d (s, w), x). S. Kuske: Endliche Automten; 12.November 2007

19 Deterministische endliche Automten 14 Beispiel b b b s 0 s 1 s 2 d (s 1, b) = d(d (s 1, ), b) = d(d(d (s 1, ), ), b) = d(d(d(d (s 1, λ), ), ), b) = d(d(d(s 1, ), ), b) = d(d(s 2, ), b) = d(s 0, b) = s 0 S. Kuske: Endliche Automten; 12.November 2007

20 Deterministische endliche Automten 15 Erknnte Sprche Erknnte Sprche Gegeben: A = (Z, I, d, s 0, F ) L(A) = {w I d (s 0, w) F } S. Kuske: Endliche Automten; 12.November 2007

21 Deterministische endliche Automten 16 Erknnte Sprche: Beispiel b b b s 0 s 1 s 2 {w {, b} count(, w) mod 3 = 0} S. Kuske: Endliche Automten; 12.November 2007

22 Verrbeitung von Wörtern in itertiver Drstellung 17 Sei Verrbeitung von Wörtern in itertiver A = (Z, I, d, s 0, F ) Drstellung w = 1 n mit i I für i = 1,..., n (n = 0 impl. w = λ) s, s Z Dnn s d (s, w) Es ex. t 0,..., t n Z, so dss t i d(t i 1, i ) (i = 1,..., n). S. Kuske: Endliche Automten; 12.November 2007

23 Verrbeitung von Wörtern in itertiver Drstellung 18 Verrbeitung im Zustndsgrph t 1 0 t 2 n 1 t n S. Kuske: Endliche Automten; 12.November 2007

24 Wortproblem 19 Wortproblem Gegeben: eine Sprche L I (z.b. ls endlicher Automt). Eingbe: Ein Wort w I. Ausgbe: J, flls w L Nein, sonst. Stz (schnelle Worterkennung) Für von endlichen Automten erknnte Sprchen ist ds Wortproblem in linerer Zeit lösbr. S. Kuske: Endliche Automten; 12.November 2007

25 1 Potenzutomt Gegeben: A = (Z, I, d, s 0, F ) P(A) = (P(Z), I, D, {s 0 }, F P ) P(Z) = {S S Z}: Potenzmenge von Z; D : P(Z) I P(Z) mit D(S, x) = d(s, x) s S für lle S P(Z), x I; F P = {S P(Z) S F }. S. Kuske: Endliche Automten; 19.November 2007

26 Potenzutomt 2 Beispiel:, b c s 0 s 1 s 2, b, c c b, c b, c, b, c s 0 s 0, s 2 s 0, s 1, s 2 s 0, s 1 b c b s 2 c c s 1, s 2 s 1, b, b S. Kuske: Endliche Automten; 19.November 2007

27 Potenzutomt 3 Ein optimierter Potenzutomt, b c s 0 s 1 s 2, b, c b, c, b, c s 0 s 0, s 1 c s 2 b c s 1, b (Alle Zustände, die von s 0 nicht erreichbr sind, wurden gestrichen.) S. Kuske: Endliche Automten; 19.November 2007

28 Potenzutomt 4 Äquivlenz von nichtdeterministischen und deterministischen endlichen Automten Stz (Äquivlenz) Sei A = (Z, I, d, s 0, F ) ein endlicher Automt. Dnn gilt L(A) = L(P(A)). S. Kuske: Endliche Automten; 19.November 2007

29 Potenzutomt 5 Schnelle Worterkennung Stz Für von endlichen Automten erknnte Sprchen ist ds Wortproblem in linerer Zeit lösbr. S. Kuske: Endliche Automten; 19.November 2007

30 Potenzutomt 6 Beweisskizze Sei A = (Z, I, d, s 0, F ) ein endlicher Automt. 1. Flls A nichtdeterministisch ist, A := P(A). (Dies muss höchstens einml durchgeführt werden.) 2. Sei w = 1 n ( i I, i = 1,..., n). Verrbeite w mit A: t 1 0 t 2 n 1 t n (Zeitverbruch: n Schritte, d Folgezustände eindeutig sind.) 3. J, flls t n F ; sonst nein. S. Kuske: Endliche Automten; 19.November 2007

31 Model-Checking (beispielhft) 7 Model-Checking (beispielhft) ußer Betrieb n us betriebsbereit 20 kleiner 20 heizen L(heting) : L forbidden : Menge ller möglichen Abläufe Alle verbotenen Abläufe S. Kuske: Endliche Automten; 19.November 2007

32 Model-Checking (beispielhft) 8 Heting ist korrekt bezüglich L forbidden, flls L(heting) L forbidden =. Knn mn einen endlichen Automten für den Schnitt konstruieren? Knn mn feststellen, ob ein beliebiger, gegebener endlicher Automt die leere Sprche erkennt? S. Kuske: Endliche Automten; 19.November 2007

33 Produktutomt (Prllelschltung zweier endlicher Automten) 9 Produktutomt (Prllelschltung zweier endlicher Automten) Gegeben: deterministische endliche Automten A 1 = (Z 1, I, d 1, s 01, F 1 ), A 2 = (Z 2, I, d 2, s 02, F 2 ) Produktutomt A 1 A 2 = (Z 1 Z 2, I, d, (s 01, s 02 ), F 1 F 2 ) mit d((s 1, s 2 ), x) = (d 1 (s 1, x), d 2 (s 2, x)) für lle (s 1, s 2 ) Z 1 Z 2 und x I. S. Kuske: Endliche Automten; 19.November 2007

34 Produktutomt (Prllelschltung zweier endlicher Automten) 10 Produktutomt erkennt Schnitt Stz Seien A 1 = (Z 1, I, d 1, s 01, F 1 ), A 2 = (Z 2, I, d 2, s 02, F 2 ) deterministische endliche Automten. Dnn gilt L(A 1 A 2 ) = L(A 1 ) L(A 2 ). S. Kuske: Endliche Automten; 19.November 2007

35 Leerheitsproblem 13 Leerheitsproblem Eingbe: eine Sprche L (z.b. in Form eines endlichen Automten). Ausgbe: J, flls L = Nein sonst. S. Kuske: Endliche Automten; 19.November 2007

36 Leerheitsproblem 14 Beispiel Eingbe:, b s 0 s b 1 s 2 s 3 b s 4, b, b Ausgbe: J S. Kuske: Endliche Automten; 19.November 2007

37 Leerheitsproblem 15 Stz (Lösbrkeit des Leerheitsproblems) Für von endlichen Automten erknnte Sprchen ist ds Leerheitsproblem lösbr. S. Kuske: Endliche Automten; 19.November 2007

38 Leerheitsproblem 16 Gesucht: Algorithmus, der für jeden endlichen Automten A die folgende Funktion leer berechnet: { J, flls L(A) = leer(a) = Nein sonst Überlegung L(A) = genu dnn, wenn es keinen Weg in A vom Strtzustnd zu einem Endzustnd gibt. S. Kuske: Endliche Automten; 19.November 2007

39 Leerheitsproblem 17 Idee 1. Smmle lle vom Strtzustnd erreichbren Zustände uf. 2. L(A) = genu dnn, wenn sich in der Menge der gesmmelten Zustände kein Endzustnd befindet. S. Kuske: Endliche Automten; 19.November 2007

40 Leerheitsproblem 18 Algorithmus (Skizze) Gegeben: DEA A = (Z, I, d, s 0, F ). 1. (Aufsmmeln der erreichbren Zustände) () R 0 := {s 0 }; i := 0; R 1 = R 0 {d(s 0, x) x I}; (b) while R i+1 R i do i := i + 1; R i+1 := R i {d(s, x) s R i, x I} (end of while) 2. (Entscheiden) If R i F = then J else Nein S. Kuske: Endliche Automten; 19.November 2007

41 Leerheitsproblem 19, b Beispiel s 0 s b 1 s 2 s 3 b s 4, b, b 1. R 0 = {s 0 } R 1 = {s 0 } {s 1, s 4 } = {s 0, s 1, s 4 } R 2 = {s 0, s 1, s 4 } {s 1, s 4 } = {s 0, s 1, s 4 } 2. {s 0, s 1, s 4 } {s 2, s 3 } =, d.h., die erk. Sprche ist leer. S. Kuske: Endliche Automten; 19.November 2007

42 Leerheitsproblem 20 Korrektheit Termintion (Algorithmus hält.) Es existiert ein m N: R m = R m+1. Prtielle Korrektheit (Algorithmus liefert bei Hlten korrektes Resultt.) Sei m N die kleinste Zhl mit R m = R m+1. Dnn enthält R m lle von s 0 erreichbren Zustände, d.h. R m = {d (s 0, w) w I }. S. Kuske: Endliche Automten; 19.November 2007

43 Vrinten endlicher Automten 2 Endliche Automten mit λ-übergängen können ktuellen Zustnd wechseln, ohne ein Zeichen zu lesen; sind prktisch (vereinfchen oft die Modellierung mit endlichen Automten); sind äquivlent zu DEA s. S. Kuske: 10.Dezember 2007

44 Vrinten endlicher Automten 3 Verllgemeinerte endliche Automten lesen in jedem Schritt ein Wort sttt eines Zeichens; sind nützlich für die Modellierung mit endlichen Automten ( Abkürzen möglich); sind äquivlent zu DEA s. S. Kuske: 10.Dezember 2007

45 Vrinten endlicher Automten 4 Minimle endliche Automten Jeder DEA A knn in einen äquivlenten DEA Min(A) übersetzt werden, dessen Anzhl von Zuständen miniml ist. Min(A) ist bis uf Zustndsnmen eindeutig. Minimierungsverfhren knn benutzt werden, um zu entscheiden, ob zwei endliche Automten äquivlent sind, d.h., ob sie dieselbe Sprche erkennen. S. Kuske: 10.Dezember 2007