Ergänzungsblatt 7. Letzte Änderung: 30. November Vorbereitungsaufgaben

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1 Theoretische Informtik I WS 2018 Crlos Cmino Ergänzungsltt 7 Letzte Änderung: 30. Novemer 2018 Vorereitungsufgen Vorereitungsufge 1 Wiederholen Sie die Begriffe us Üungsltt 0, Aschnitt Welche der Pre (N, +), (N, ), (Z, +), (Z, ), (N, mx), (N, min), (Q, ), (Q\{0}, ) und ({, }, ) sind Mgmen/Hlgruppen/Monoide/Gruppen? Welche dvon sind kommuttiv? 2. Sei (S, ) eine endliche Hlgruppe mit S = {,, c, d, e, f} ls Trägermenge und der rechtsstehenden Verknüpfungstfel für. () Ist (S, ) ein Monoid? () Ist (S, ) eine Gruppe? (c) Ist (S, ) kommuttiv? Begründen Sie Ihre Antworten kurz. Vorereitungsufge 2 c d e f d e f c f d e c c e f d c d c d e f e c e f d f c f d e Seien (M, ) und (N, ) zwei Monoide mit neutrlen Elementen 1 M und 1 N. Eine Funktion ϕ: M N heißt Monoid-Homomorphismus, wenn gilt: ϕ(1 M ) = 1 N und x, y M : ϕ(x y) = ϕ(x) ϕ(y). Wenn klr ist, dss es sich ei (M, ) und (N, ) um Monoide hndelt, nennen wir ϕ uch einfch Homomorphismus. 1. Geen Sie einen Homomorphismus zwischen (R, +) und (R +, ) n. 2. Geen Sie einen Homomorphismus zwischen ({, }, ) und (N, +) n. 3. Seien (A, A), (B, B) und (C, C) drei Monoide und ϕ: A B und ψ : B C zwei Homomorphismen. Zeigen Sie, dss die Funktion χ: A C mit χ(x) = ψ(ϕ(x)) wieder ein Homomorphismus ist. Bemerkung: Mn schreit dnn χ = ψ ϕ ( ψ nch ϕ ) und nennt χ die Komposition von ϕ und ψ. 1

2 Vorereitungsufge 3 Eine Äquivlenzreltion heißt Kongruenzreltion uf ein Monoid (S, ), wenn gilt: x, x, y, y S : (x x y y ) = x y x y. Ist eine Kongruenzreltion uf (S, ), dnn ist mit [x] [y] = [x y] eine wohldefinierte Verknüpfung, die zusmmen mit S/ ein Monoid ildet, ds sogennnte Quotientenmonoid (S/, ). Wohldefiniert heißt in diesem Fll, dss ds Ergenis der Verknüpfung [x] [y] nicht von der konkreten Whl der Repräsentnten x und y hängt. Sei eine Reltion uf Z mit x y genu dnn, wenn x 2 = y Zeigen Sie, dss eine Äquivlenzreltion uf Z ist. 2. Zeigen Sie, dss eine Kongruenzreltion uf (Z, ) ist. 3. Zeigen Sie, dss keine Kongruenzreltion uf (Z, +) ist. Bemerkungen: Oft vrewendet mn dssele Symol für und, owohl ds forml zwei verschiedene Verknüpfungen sind. Kongruenzreltionen können uch für Mgmen, Hlgruppen und Gruppen definiert werden. Die entstehende Struktur (S/, ) wird dnn entsprechend Quotientenmgm, -hlgruppe oder -gruppe gennnt. Vorereitungsufge 4 Bentworten Sie folgende Frgen: 1. Welche Chrkterisierungen von regulären Sprchen kennen wir? 2. Unter welchen Opertionen ist die Klsse der regulären Sprchen geschlossen? Präsenzufgen Präsenzufge 1 Sei M der folgende DEA: ,, 5 6, 2

3 1. Führen Sie den in Einheit 16 vorgestellten Minimierungslgorithmus durch. Ansttt nicht äquivlente Zustände (ezüglich der Myhill-Nerode-Äquivlenz R L ) zu mrkieren, soll ein Zeuge eingetrgen werden, der die Inäquivlenz der Zustände elegt. Forml ist ein Wort w Σ ein Zeuge für die Inäquivlenz von p und q, flls gilt: ˆδ(p, w) F ˆδ(q, w) F. Trgen Sie in jedes Feld einen Zeugen minimler Länge ein oder schreien Sie R L, flls die Zustände äquivlent sind. 2. Wie sieht der resultierende minimle DEA us? 3. Geen Sie einen regulären Audruck γ mit L(γ) = T (M) n. Präsenzufge 2 Seien (Σ, ) ds freie Monoid üer dem Alphet Σ = {,, c} mit der Konktention von Wörtern ls Verknüpfung und (M, ) ein Monoid mit der Trägermenge M = { 1, 0, 1} und der gewöhnlichen Multipliktion uf Zhlen ls Verknüpfung. Wir etrchten den Homomorphismus ϕ: Σ M, der durch ϕ() = 1, ϕ() = 0 und ϕ(c) = 1 eindeutig definiert ist. 1. Geen Sie die Verknüpfungstfel von (M, ) n. Wrum ist (M, ) ein Monoid? Ist (M, ) eine Gruppe? 2. Geen Sie eine Formel für ϕ(w) für lle w Σ n. 3. Welche Sprchen L Σ werden von (M, ) mit ϕ erknnt? Präsenzufge 3 Seien R L die Myhill-Nerode-Äquivlenz und L die syntktische Kongruenz. Beknntlich sind R L und L Äquivlenzreltionen. 1. Zeigen Sie, dss R L im Allgemeinen keine Kongruenzreltion uf (Σ, ) ist. 2. Zeigen Sie, dss L eine Kongruenzreltion uf (Σ, ) ist. 3. Wrum ist die uf Folie 16.7 definierte Funktion ϕ: Σ Synt(L) mit ϕ(w) = [w] L ein Monoid-Homomorphismus? 4. Seien nun L = { m n m, n N} und Σ = {, }. Geen Sie Quotientenmenge und Index von L sowie die Verknüpfungstfel von (Synt(L), ) n. Wrum wird L von Synt(L) erknnt? Erinnerung: Synt(L) = Σ / L. 3

4 Präsenzufge 4 Sei L eine reguläre Sprche üer einem Alphet Σ. Zeigen Sie, dss die Sprche L = {w ww L} uch regulär ist. Hinweis: Sie dürfen verwenden, dss die Vereinigung endlich vieler regulärer Sprchen wieder regulär ist und dss für jeden DEA M = (Q, Σ, δ, s, F ) die Sprche } L p,q = {w Σ ˆδ(p, w) = q für lle p, q Q regulär ist. Beide Resultte werden in den Husufgen ewiesen. Zustzufgen Zustzufge 1 Aus Ergänzung 6 wissen wir, dss die Kongruenzreltion modulo n eine Äquivlenzreltion ist. Zeigen Sie, dss die Kongruenzreltion modulo n sowohl uf (Z, +) ls uch uf (Z, ) eine Kongruenzreltion ist. Zustzufge 2 Seien (Σ, ) ds freie Monoid üer dem Alphet Σ = {,, c} mit der Konktention von Wörtern ls Verknüpfung und (M, min) ein Monoid mit der Trägermenge M = {1, 2, 3} und der Minimum-Opertion { x, flls x y min(x, y) = y sonst ls Verknüpfung. Wir etrchten den Homomorphismus ϕ: Σ M, der durch ϕ() = 1, ϕ() = 2 und ϕ(c) = 3 eindeutig definiert ist. 1. Geen Sie die Verknüpfungstfel von (M, min) n. Wrum ist (M, min) ein Monoid? Ist (M, min) eine Gruppe? 2. Geen Sie eine Formel für ϕ(w) für lle w Σ n. 3. Welche Sprchen L Σ werden von (M, min) mit ϕ erknnt? 4

5 Zustzufge 3 Seien Σ und Γ zwei Alphete, ϕ: Σ Γ ein Homomorphismus, A eine Sprche üer Σ und B eine Sprche üer Γ. Aus den Üungslättern kennen wir folgende Aschlusseigenschften: A regulär = ϕ(a) regulär und B regulär = ϕ 1 (B) regulär. Zeigen oder widerlegen Sie die Umkehrungen: 1. ϕ(a) regulär = A regulär 2. ϕ 1 (B) regulär = B regulär Zustzufge 4 Zeigen Sie, dss jede endliche Sprche regulär ist. Zustzufge 5 Zeigen Sie mithilfe der Aschlusseigenschften regulärer Sprchen, dss folgende Sprchen nicht regulär sind. 1. L 1 = {w {, } w = w } 2. L 2 = {w {,, c} w = w = w c } Verwenden Sie insesondere weder ds Pumping-Lemm noch den Stz von Myhill-Nerode. Sie dürfen jedoch verwenden, dss L = { n n n 1} nicht regulär ist. 5