Berechenbarkeitstheorie 4. Vorlesung
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- Gerhard Breiner
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1 1 Berechenbrkeitstheorie Dr. Institut für Mthemtische Logik und Grundlgenforschung WWU Münster WS 15/16 Alle Folien unter Cretive Commons Attribution-NonCommercil 3.0 Unported Lizenz.
2 Reguläre Ausdrücke Formlismus zum Beschreiben von formlen Sprchen ein Regulärer Ausdruck (RA) ist ein Wort über dem Alphbet Σ {, ε, (, ), +,, } 2 Syntx (1) Σ {, ε}: ist RA (2) Wenn A, B Reg. Ausdrücke, dnn uch (A + B) (3) Wenn A, B Reg. Ausdrücke, dnn uch A B (kurz AB) (4) Wenn A Reg. Ausdruck, dnn uch A (5) Wenn A Reg. Ausdruck, dnn uch (A) Bsp ((b + bb) b + ε) ist RA ( + b)b( b) ist kein RA Induktive Definition korrekt, d RA durch die Anwendung der (umgekehrten) Regeln immer kürzer werden
3 Semntik Regulärer Ausdrücke Für jeden RA R definieren wir induktiv eine Sprche L(R): (1) R =, dnn L(R) = R = ε, dnn L(R) = {ε} R =, und Σ, dnn L(R) = {} (2) R = (A + B) und A, B sind RA, dnn L(R) = L(A) L(B) (3) R = (AB) und A, B sind RA, dnn L(R) = L(A) L(B) (4) R = A und A ist RA, dnn L(R) = L(A) (5) R = (A) und A ist RA, dnn L(R) = L(A) 3 Reihenfolge der Opertoren: vor vor + Bsp. R = ( + b) b( + b) L(R) = {w {, b} w enthält Teilwort b}
4 Stz von Kleene Stz 5 {L RA R mit L(R) = L} = REG Beweis (Orgnistion) 4 1. Teil: 2. Teil: heute Wir konstruieren zu einem RA R einen NEA N mit L(R) = L(N) ds zeigt {L RA R mit L(R) = L} REG Wir konstruieren zu einem DEA M einen RA R mit L(M) = L(R) ds zeigt {L RA R mit L(R) = L} REG
5 Vom DEA zum RA Anstz Wenn L REG, dnn existiert ein DEA M der L erkennt. M = (Q, Σ, δ, 1, F ) mit Q = {1, 2,..., n} Ziel: Konstriere RA R mit L(R) = L 5 R k ij := RA für lle Wörter die von Zustnd i nch j führen ohne einen Zustnd > k zu benutzen. Anfngs- und Endzustnd i, j dürfen > k sein! b c b b, c c 4, b, c Bsp R 0 22 = c + ε R 2 24 = c b R 3 24 = (c b + c (b + c))
6 Von den Termen zum RA Annhme: Ich kenne lle Terme R k ij w L(M) genu dnn, wenn δ (1, w) = j und j F }{{} w R n 1j oberer Index n heißt keine Beschränkung 6 verbinde für lle kzeptierende Zustände die R k ij Terme R := R n 1f 1 + R n 1f 2 + R n 1f k wobei F = {f 1, f 2,..., f k }
7 Konstruktion der R k ij Terme Rekursive Konstuktion Bsisfll (R 0 ij ): R 0 ij := { nur direkte Übergänge flls i j und i { δ(i, ) = j} ε flls i = j und i { δ(i, ) = i} 7 Rekursion (R k ij ): ich kenne bereits lle R k 1 ij Bsp. von einem Luf us Rij 6 x x y z z y y y y z z j } {{ } R6j 5 i }{{}}{{} Ri6 5 }{{} R66 5 R66 5 R k knn ich mit Termen R k 1 beschreiben
8 Rekursion für R k ij 1. Möglichkeit: der Luf eines Wortes besucht nicht den Zustnd k R k ij R k 1 ij 2. Möglichkeit: der Luf eines Wortes besucht einml oder mehrmls den Zustnd k R k ij R k 1 ik (Rk 1 kk ) R k 1 kj es gibt keine ndere Möglichkeit, deshlb 8 R k ij = R k 1 ij + R k 1 ik (Rk 1 kk ) R k 1 kj Berechnung mit nsteigendem k (k = 0,..., n) ller R k ij Terme Dynmisches Progrmmieren
9 Beispiel b, c 1 2, b c { Rij 0 := flls i j und i { δ(i, ) = j} ε flls i = j und i { δ(i, ) = i} 9 R 0 11 = b + ε R 0 12 = + c R 0 21 = c R 0 22 = ( + b + ε) R k ij = Rk 1 ij + R k 1 ik (Rk 1 kk ) R k 1 kj R 1 11 = (b + ε) + (b + ε)(b + ε) (b + ε) = b R 1 12 = ( + c) + (b + ε)(b + ε) ( + c) = b ( + c) R 1 21 = c + c(b + ε) (b + ε) = cb R 1 22 = ( + b + ε) + c(b + ε) ( + c) = ( + b + ε) + cb ( + c) R = R 2 12 = b ( + c)+ b ( + c) [( + b + ε) + cb ( + c)] [( + b + ε) + cb ( + c)]
10 Fzit Reguläre Sprchen vom DEA erknnt (nch Def.) 10 Stz von Kleene Potenzutomt äquivlent zu RA Formlismus zum Beschreiben formler Sprchen äquivlent zum NEA Berechnungsmodell mit Nichtdeterminismus ε-übergängen
11 Minimierung von DEAs M 1 M 2 11 L(M 1 ) = { k k ist ungerde} L(M 2 ) = { k k ist ungerde} Definition Zwei DEAs M 1 und M 2 heißen äquivlent, gdw. L(M 1 ) = L(M 2 ) Frge: Welches ist der kleinste DEA für eine Sprche L? minimle Anzhl von Zuständen
12 Äquivlenz von Zuständen Definition Sei M = (Q, Σ, δ, q 0, F ) ein DEA, dnn heißen zwei Zustände p, q Q äquivlent (Schreibweise p q) gdw. z Σ : δ (p, z) F δ (q, z) F Zwei nicht äquivlente Zustände nennen wir uch trennbr. Bsp. q 1 q 2 q 4 q 3 12 q 1 und q 2 sind trennbr (z.b. durch ds Trennwort ) q 1 und q 3 sind äquivlent
13 Lemm 2 Die Reltion ist eine Äquivlenzreltion. Erinnerung: p q wenn z Σ : Symmetrie δ (p, z) F δ (q, z) F δ (p, z) F δ (q, z) F δ (q, z) F δ (p, z) F 13 Reflexivität p Q: δ (p, z) F δ (p, z) F Trnsitivität [ δ (p, z) F δ (q, z) F δ (q, z) F δ (r, z) F ] δ (p, z) F δ (r, z) F die Zustndsmenge Q zerfällt in Äquivlenzklssen Äquivlenzklsse die q Q enthält [q] := {p Q p q} Für zwei Zustände p, q us einer Klsse gilt 1. p F q F, 2. Σ, dss δ(p, ) δ(q, ).
14 Der kollbierte Automt Definition Der kollbierte Automt M = (Q, Σ, δ, q 0, F ) ist ein DEA mit Q = {[q] q Q}, δ ([q], ) = [δ(q, )], q 0 = [q 0 ], F = {[q] q F }. Außerdem werden lle nicht erreichbren Zustände gestrichen. Definition ist korrekt, denn Alle Elemente us [q] beschreiben den gleichen Folgezustnd bzgl. δ p q δ(p, ) δ(q, ) Akzeptierte Klssen sind wohldefiniert p 1, p 2 [q] δ(p 1, ε) F δ(p 2, ε) F p 1 F p 2 F 14
15 M Beispiel: Der kollbierte Automt b b q 1 q 2 q 4 q 3 b b Alle Zustndspre trennbr bis uf q 1 q 3, q 2 q 4. zwei Klssen: [q 1 ] = {q 1, q 3 } und [q 2 ] = {q 2, q 4 }, d.h. Q = {[q 1 ], [q 2 ]} nur [q 2 ] enthält kz. Zustände, deshlb F = {[q 2 ]} [q 1 ] enthält Strtzustnd, deshlb q 0 = [q 1 ] 15 Kollbierter Automt: b [q 1 ] [q 2 ] b
16 Lemm 2 Sei M der kollbierte Automt von M, dnn gilt L(M) = L(M ). Beweis wir betrchten ein w Σ, w = x 1 x 2 x k, mit x i Σ sei (s 1, s 2,..., s k+1 ) der w-luf in M (s i Q) Zur Erinnerung 1. q 0 = s 1, 2. δ(s i, x i ) = s i+1 für lle 1 i k. 16 ([s 1 ], [s 2 ],..., [s k+1 ]) ist der w-luf in M, denn 1. q 0 = [q 0 ] = [s 1 ], 2. δ ([s i ], x i ) = [δ(s i, x i )] = [s i+1 ] für lle 1 i k. [s k+1 ] F s k+1 F w-luf kzeptierend in M gdw. w-luf kzeptierend in M w L(M) w L(M )
17 Tble-Filling Algorithmus Algorithmus zum effizienten Finden ller äquivlenten Zustände Dtenstruktur: Tbelle T, mit Q Zeilen und Splten, Q = {1, 2, 3,..., n}. Invrinte: Enthält T [p, q] die Mrkierung 1 dnn sind p und q trennbr (p q) Tbelle T wird nch und nch mit 1en gefüllt bis eine Abruchbedingung eintritt m Ende notieren lle unmrkierten Einträge T [p, q] äquivlente Zustndspre p, q 17
18 Tble-Filling Algorithmus Wir füllen nur die Hälfte der Tbelle T us (T [p, q] mit p < q) Algorithm 1: TbleFilling Algorithmus 1 Initilisiere T 0; 2 for ll (p, q) Q Q do 3 if (p F und q F ) oder (p F und q F ) then T [p, q] = 1; 4 end 5 repet 6 for ll (p, q) Q Q mit T [p, q] 1 do 7 if Σ: T [δ(p, ), δ(q, )] == 1 then T [p, q] = 1; 8 end 9 until keine neue Mrkierung gesetzt; 18
19 Tble-Filling Algorithmus Wir füllen nur die Hälfte der Tbelle T us (T [p, q] mit p < q) Algorithm 1: TbleFilling Algorithmus 1 Initilisiere T 0; Initilisierung 2 for ll (p, q) Q Q do 3 if (p F und q F ) oder (p F und q F ) then T [p, q] = 1; 4 end 5 repet 6 for ll (p, q) Q Q mit T [p, q] 1 do 7 if Σ: T [δ(p, ), δ(q, )] == 1 then T [p, q] = 1; 8 end 9 until keine neue Mrkierung gesetzt; Abbruchbedingung Bedingung zum Setzen neuer Mrken 18
20 Tble-Filling Algorithmus Beispiel 19
21 Tble-Filling Algorithmus Beispiel 1 b b 3 b 2 4,b Keine weiteren Veränderungen 1 3 und
22 Korrektheit TF-Algorithmus Zu zeigen: 1. nur trennbre Pre wurden mrkiert (Invrinte bleibt erhlten) 2. lle trennbren Pre wurden mrkiert 1. 2 Möglichkeiten wie mrkiert wurde Bei der Initilisierung: if (p F und q F ) oder (p F und q F ) then T [p, q] = 1 p, q trennbr mit ε 20 In der repet Schleife: if Σ: T [δ(p, ), δ(q, )] == 1 then T [p, q] = 1 δ(p, ), δ(q, ) trennbr mit w Σ (Invrinte) p, q trennbr mit w
23 2. Alle trennbren Pre wurden mrkiert Schlechtes Pr: trennbr ber nicht mrkiert Annhme: sei (p, q) schlechtes Pr mit kürzestem Trennwort w und kein schlechtes Pr besitzt ein Trennwort kürzer ls w w ε, denn sonst wäre (p, q) während der Initilisierung mrkiert worden w = u mit Σ p = δ(p, ) und q = δ(q, ) w = } {{ } u δ (p, u) = δ (q, u) = 21 OBdA δ (p, w) F δ (q, w) F T [p, q ] 1, denn sonst wäre während der Ausführung T [p, q] = 1 gesetzt ber: (p, q ) trennbr mit u, und u < w Widerspruch zur Annhme, d.h. es gibt kein schlechtes Pr!
Minimalautomat. Wir stellen uns die Frage nach dem. kleinsten DFA für eine reguläre Sprache L, d.h. nach einem DFA mit möglichst wenigen Zuständen.
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