Einführung in die Theoretische Informatik

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Einführung in die Theoretische Informatik"

Transkript

1 Technische Universität München Fkultät für Informtik Prof. Tois Nipkow, Ph.D. Ssch Böhme, Lrs Noschinski Sommersemester 2011 Lösungsltt Juni 2011 Einführung in die Theoretische Informtik Hinweis: Bitte echten Sie unedingt die Hinweise zum Üungsluf und zu den Aufgentypen uf der THEO-Wesite ( Husufge 1 (6 Punkte) Wir etrchten die eiden folgenden deterministischen Automten. 1., q 0 q 1 q 2 q 3 q 4 q 5 q 6 2. q 0 q 1 q 2 q 3 q 4, Verwenden Sie ds in der Vorstellung vorgestellte Verfhren, um diese Automten zu minimieren. Gehen Sie dei wie folgt vor: 1. Stellen Sie die Telle us der Vorlesung uf und geen Sie zu jedem unterscheidren Pr von Zuständen n, mit welchem Zeichen (oder ɛ) sie unterschieden werden können. 2. Verwenden Sie die ufgestellte Telle, um den Quotientenutomt zu konstruieren.

2 Lösungsvorschlg 1. Die Tellen sehen folgendermßen us. Dei ist eine Zelle mit i/c eschriftet, wenn die eiden Zustände mit dem Buchsten c durch ein Zustndspr, dss mit einer Zhl j < i eschriftet ist, unterschieden werden können. Mit X sind diejenigen Zellen eschriftet, die wegen der Endzustände unterschieden werden können 1) 0 1/ 1 2/ 1/ 2 1/ 1/ 3 X X X X 4 1/ 1/ X 5 X X X X X 6 2) 0 1/ 1 X X 2 2/ 1/ X 3 1/ X 2/ 4 1) 0 1/ 1 2/ 1/ 2 1/ 1/ 3 X X X X 4 1/ 1/ X 5 X X X X X 6 2) 0 1/ 1 X X 2 2/ 1/ X 3 1/ X 2/ 4 2. Die dzugehörigen Quotientenutomten sehen folgendermßen us:, q 0 q, 135 q 2 q 46, q 04, q 2 q 3 q 1 2

3 Husufge 2 (4 Punkte) Konstruieren Sie durch Lösen entsprechender Gleichungen einen regulären Ausdruck für die Sprche L(M) des DFA M = ({q 0, q 1, q 2, q 3, q 4 }, {, }, δ, q 0, {q 2, q 4 }) mit folgender Üergngstelle: q i δ(q i, ) δ(q i, ) q 0 q 1 q 2 q 1 q 3 q 4 q 2 q 2 q 1 q 3 q 3 q 3 q 4 q 4 q 2 Lösungsvorschlg Die entsprechenden Gleichungen sind: X 0 X 1 X 2 (1) X 1 X 3 X 4 (2) X 2 X 2 X 1 ɛ (3) X 3 X 3 X 3 (4) X 4 X 4 X 2 ɛ (5) Gleichung (4) läßt sich leicht lösen: Dmit läßt sich X 3 us (2) eliminieren: X 3 ( )X 3 ( ) (6) Dnn folgt: X 1 X 4 X 4 (7) Mit Arden s Lemm erhält mn us (9): X 0 (X 4 ) X 2 X 4 X 2 (8) X 2 X 2 (X 4 ) ɛ X 2 X 4 ɛ (9) X 2 (X 4 ɛ) X 4 (10) Einsetzen in (5) und Anwenden von Arden s Lemm ergit: X 4 X 4 ( X 4 ) ɛ ( )X 4 ɛ ( ) ( ɛ) 3

4 Im Folgenden kürzen wir den regulären Ausdruck mit γ. Durch Einsetzen in (8) und unter Verwendung von (10) erhlten wir den gesuchten regulären Ausdruck: X 0 X 4 ( X 4 ) ( γ)x 4 ( γ)( γ) ( ɛ) Husufge 3 (5 Punkte) Sei Σ = {0, 1, #}. Ein Wort w Σ knn ls Binärdrstellung einer ntürlichen Zhl ufgefsst werden, die wir mit w ezeichnen. Wir etrchten zwei verschiedene Additionssprchen. 1. Zeigen Sie: Die Sprche ist regulär. L 1 = {u 1 v 1 w 1 u n v n w n n N i. u i, v i, w i {0, 1} u 1 u n = v 1 v n + w 1 w n } 2. Verwenden Sie ds Pumping-Lemm, um zu zeigen, dss die Sprche nicht regulär ist. L 2 = {u#v#w u, v, w {0, 1} u = v + w } Lösungsvorschlg 1. D reguläre Sprchen geschlossen sind unter Spiegelungen zeigen wir stttdessen, dss die Sprche L R 1 = {w n v n u n w 1 v 1 u 1 n N i. u i, v i, w i Σ u 1 u n = v 1 v n + w 1 w n } regulär ist. Dzu geen wir einen Automten uf der Zustndsmenge Q = { 0, 1, 0, 1, 2, c 0, c 1, c 2, c 3 } n, der die Einge in Dreier-Blöcken verreitet. Den Zuständen wird dei folgende Bedeutung zugeordnet: i : Der Automt liest ls nächstes ein Zeichen von w ein, und es git einen Üertrg i. i : Der Automt liest ls nächstes ein Zeichen von v ein. Die Summe us Üertrg und dem letzten Zeichen us w eträgt i. c i : Der Automt liest ls nächstes ein Zeichen von u ein. Die Summe us Üertrg und den letzten Zeichen us w und v eträgt i. 4

5 Strtzustnd und einziger Endzustnd ist dnn 0. Die Üergngsreltion sieht wie folgt us: q i δ(q i, 0) δ(q i, 1) 0 { 0 } { 1 } 1 { 1 } { 2 } 0 {c 0 } {c 1 } 1 {c 1 } {c 2 } 2 {c 2 } {c 3 } c 0 { 0 } c 1 { 0 } c 2 { 1 } c 3 { 1 } In den Üergängen von nch zw. nch c werden lso die Ziffern von w, v mit dem Üertrg ufsummiert; in den Üergängen von c nch wird verglichen, o die Summe mit der ktuellen Ziffer von u üereinstimmt und ein eventueller Üertrg für die nächste Runde üernommen. Wir ezeichnen den Automt (Q, Σ, δ, 0, { 0, 1 }) mit A. Formler Korrektheitseweis (wurde in der Üung nicht erwrtet): Betrchtet mn die Zustndsüergngsreltion δ, so sieht mn, dss für lle i, j 0, 1 ein Üergng von i zu j (ohne dss dziwschen ein weiteres k, k 0, 1 vorkommt) immer in genu drei Schritten erfolgt. D 0 der Strtzustnd ist und 0, 1 die einzigen Endzustände sind, kzeptiert der Automt A nur Wörter, deren Länge ein vielfches von 3 ist. Wir setzen jetzt: R 0 = L(A) und R 1 = L ((Q, Σ, δ, 1, { 0, 1 })). Wir zeigen jetzt per Induktion üer n: x = w 1 v 1 u 1 w n v n u n R 0 u + v = w und x R u + v = w. 2. Angenommen, L 2 sei regulär. Dnn sei n eine Pumping-Lemm-Zhl, und wir wählen ds Wort z = 1 n #0#1 n L 2. Für jede Zerlegung z = uvw mit uv n und v ɛ git es k 0, l > 0 so dss u = 1 k, v = 1 l und w = 1 (n k l) #0#1 n. Aer dnn ist uv 0 w = 1 (n l) #0#1 n nicht in L, denn die Summe us 1 (n l) und 0 ist nicht 1 n. Dmit erhlten wir einen Widerspruch zur Annhme, und somit ist L 2 nicht regulär. Husufge 4 (5 Punkte) Für zwei Sprchen L 1 und L 2 üer einem Alphet Σ definieren wir die Quotientensprche L 1 /L 2 = {u uv L 1 v L 2 }. Zeigen Sie: Ist L 1 regulär, so ist uch L 1 /L 2 regulär. Lösungsvorschlg Sei M = (Q, Σ, δ, q 0, F ) ein DFA mit L(M) = L 1. Wir ehupten, der Automt M = (Q, Σ, δ, q 0, F ) mit F = {q Q u, v Σ. δ(q 0, u) = q v L 2 uv L 1 } erkennt L 1 /L 2. 5

6 Sei w L(M ). Dnn git es ein q F, so dss ˆδ(q 0, w) = q ist. Also git es u, v Σ mit ˆδ(q 0, u) = q, v L 2 und uv L 1. Weiterhin gilt ˆδ(q 0, uv) = ˆδ(ˆδ(q 0, u), v) = ˆδ(ˆδ(q 0, w), v) = ˆδ(q 0, wv) und dmit wv L 1 und dmit w L 1 /L 2. Sei jetzt umgekehrt w L 1 /L 2 und ˆδ(q 0, w) = q. Dnn git es ein v L 2, so dss wv L 1. Also gilt nch Definition von F uch q F und dmit w L(M ). Dmit hen wir gezeigt, dss die Sprche L 1 /L 2 von einem DFA kzeptiert wird. Also ist L 1 /L 2 regulär. 6

7 Quiz 1 Bentworten Sie kurz die folgenden Frgen: 1. Git es endliche, nicht kontextfreie Sprchen? 2. Ist die Sprche { m n m < n} kontextfrei? 3. Welche Sprche eschreit die Grmmtik mit den Produktionen S S B und B B? Lösungsvorschlg 1. Nein, denn jede endliche Sprche ist regulär und dmit kontextfrei. 2. J, sie wird von der Grmmtik G = ({S}, {, }, P, S) mit P = {S S S } erzeugt. 3. Die leere Sprche, denn jede endliche Aleitung endet mit einem Wort, dss ein Nichtterminl enthält. Tutorufge 1 1. Sei Σ = {, }. Zeigen Sie, dss im untenstehenden DFA q 3 M q 4 und q 3 M q 6 gelten:, q 6 q 4 q 0 q 1 q 5 q 2 q 3, 2. Sei L = L( ). Zeigen oder widerlegen Sie die folgenden Äquivlenzeziehungen: L ɛ, L, L, L ɛ. 3. Sei nun Σ n = { 1,..., n } und L n = {w Σ n Σ n. w = 1}. Zeigen Sie, dss jeder DFA, der L n kzeptiert, mindestens 2 n + 1 Zustände hen muss. Betrchten Sie dzu die Äquivlenzklssen von Ln. 7

8 Lösungsvorschlg 1. ˆδ(q 3, ) = q 3 / F, er ˆδ(q 4, ) = q 5 F. Dmit ist die Definition von Äquivlenz nicht erfüllt. Alle von q 3 zw. q 6 usgehenden Trnsitionen führen wieder nch q 3 zw. q 6. Ds heißt, für lle w Σ gilt ˆδ(q 3, w) = q 3 F und ˆδ(q 6, w) = q 6 F und dmit ist q 3 M q L ɛ: w L w L( ) w = m n für gewisse m 2 und n 0 ɛw = m n für gewisse m 0 und n 0 ɛw L( ) ɛw L L : Für w = gilt w = L und w = L. L : Für lle w gilt w L und w L. L ɛ: Für w = ɛ gilt w = L und ɛw = ɛ L. 3. Betrchte Äquivlenzklssen von Ln. Für jede Teilmenge A Σ sei w A ein elieiges Wort, welches jedes Zeichen us A genu einml enthält. Seien nun A, B Σ elieig mit A B. Dnn existiert o.b.d.a. ein x Σ mit x B und x A (sonst vertusche A und B). Nun gilt einerseits w A w Σ\A L n und ndererseits w B w Σ\A L n (denn x kommt sowohl in w B ls uch in w Σ\A vor). Dmit ist w A Ln w B. Wir erhlten lso für jede der 2 n Teilmengen von Σ eine Äquivlenzklsse in Ln. Eine weitere Äquivlenzklsse ht den Repräsentnten ( Σ), welches zu keinem der w A äquivlent ist. D die Äquivlenzklssen die Zustände des knonischen Minimlutomten sind, ergit sich drus die untere Schrnke 2 n + 1 für die Anzhl der Zustände. Tutorufge 2 1. Sei Σ = {0, 1}. Geen Sie eine Grmmtik n, die lle Wörter eschreit, ei denen Nullen vor Einsen kommen, die Anzhl der Nullen geringer ls die Anzhl der Einsen ist sowie die Länge jedes Wortes ungerde ist. 2. Gegeen sei die CFG G = ({S, T, U}, {,, c}, P, S) mit den Produktionen S T c T T T T c U U c Entscheiden Sie, welche der folgenden Wörter in der Sprche L(G) liegen und geen Sie für von der Grmmtik erzeugte Wörter eine Kette von Aleitungsschritten n: cc cc cc 3. Zeigen Sie forml mit Induktion: x n y y m z = x n+m z. 8

9 Lösungsvorschlg 1. G = ({S}, {0, 1}, P, S) mit den Produktionen S 0S1 S S T c Uc cc cc ist nicht in L(G) S T T T c Uc cc 3. Induktion üer m: Wenn m = 0, dnn ist y = z und es ist nichts zu zeigen. Im Induktionsschritt schließen wir wie folgt: x n y y m+1 z = x n y y m w w z (nch Def.) = x n+m w w z (nch Induktionshypothese) = x n+m+1 z (nch Def.) Tutorufge 3 Zeigen Sie: Jede Sprche, die von einer rechtslineren CFG erzeugt wird, knn uch von einer linkslineren CFG erzeugt werden. Lösungsvorschlg Sttt zu einer elieigen rechtslineren Grmmtik eine äquivlente linkslinere Grmmtik zu kontruieren, ws sehr ufwendig ist, nehmen wir den Umweg üer reguläre Sprchen und Automten. Wir zeigen dzu, dss (1) die Sprche einer rechtslinere Grmmtik regulär ist, (2) jede reguläre Sprche durch eine rechtslinere Grmmtik eschrieen werden knn, sowie (3) die geforderte Aussge mithilfe der regulären Aschlußeigenschft von Spiegelsprchen. 1. Zu einer rechtslineren kontextfreien Grmmtik G = (V, Σ, P, S) konstruieren wir einen NFA N = (V, Σ, δ, S, F ), der diesele Sprche kzeptiert: δ(a, ) = {B V A B P } F = {A V A ɛ P } Wir eweisen L(G) = L(N) in zwei Teilschritten: () Sei A V elieig. Dnn gilt w L(A) = ˆδ({A}, w) F ufgrund folgender Induktion üer die Erzeugung von w: A ɛ: Dnn muss A F sein und somit ˆδ(A, ɛ) = {A} F. A B: Sei w = u mit u L(B): Nch Induktionsvorussetzung git es somit ein C ˆδ(B, u) F. Nun ist ˆδ({A}, u) = ˆδ( δ(a, ), u) = ˆδ(δ(A, ), u). A {A} D B δ(a, ), ist uch C ˆδ({A}, u). 9

10 () Für die Gegenrichtung müssen wir für jeden möglichen Aluf des NFA eine Aleitung konstruieren. Wir zeigen lso ˆδ({A}, w) F = A G w mit Induktion üer w: w = ɛ: Wenn ˆδ({A}, ɛ) F, dnn ist A F und dmit A ɛ P. Dmit gilt A G ɛ. w = u: Wenn ˆδ({A}, u) F, dnn git es einen Zustnd B δ(a, ) so dss ˆδ({B}, u) F. Mit Induktionshypothese erhlten wir B u und drus die Aleitung A B u = w. 2. Sei M = (Q, Σ, δ, q 0, F ) ein DFA. Dnn definieren wir die rechtslinere Grmmtik G = (Q Σ, Σ, P, q 0 ) mit P = {q q δ(q, ) = q } {q, ɛ δ(q, ) F } Offensichtlich ist G rechtsliner. Der Beweis von L(G) = L(M) ist einfch Sei G eine rechtslinere Grmmtik. Dnn ist L(G) nch (1) regulär. D nch Lemm 2.22 die gespiegelte Sprche L(G) R eenflls regulär ist, git es einen DFA M, der L(G) R kzeptiert. Nch (2) git es eine rechtslinere Grmmtik G, die L(M) = L(G) R erzeugt. Die Spiegelung der Produktionen der Grmmtik G liefert dnn offensichtlich eine linkslinere Grmmtik G, die L(M) R = L(G) erzeugt (induktiver Beweis üer die Aleitung von Wörtern in L(G ) zw. von gespiegelten Wörtern w R in L(G )). 10

Automaten und formale Sprachen Notizen zu den Folien

Automaten und formale Sprachen Notizen zu den Folien 5 Ds Pumping Lemm Schufchprinzip (Folie 144) Automten und formle Sprchen Notizen zu den Folien Im Block Ds Schufchprinzip für endliche Automten steht m n (sttt m > n), weil die Länge eines Pfdes die Anzhl

Mehr

Automaten und Formale Sprachen alias Theoretische Informatik. Sommersemester Kurzer Einschub: das Schubfachprinzip.

Automaten und Formale Sprachen alias Theoretische Informatik. Sommersemester Kurzer Einschub: das Schubfachprinzip. Reguläre Sprchen Automten und Formle Sprchen lis Theoretische Informtik Sommersemester 0 Ds Pumping-Lemm Wir hen is jetzt vier Formlismen kennengelernt, mit denen wir eine reguläre Sprche ngeen können:

Mehr

Automaten und formale Sprachen Notizen zu den Folien

Automaten und formale Sprachen Notizen zu den Folien 3 Endliche Automten Automten und formle Sprchen Notizen zu den Folien Üerführungsfunction eines DFA (Folie 92) Wie sieht die Üerführungfunktion us? δ : Z Σ Z Ds heißt: Ein Pr us Zustnd und Alphetsymol

Mehr

Lösung zur Klausur. Grundlagen der Theoretischen Informatik. 1. Zeigen Sie, dass die folgende Sprache regulär ist: w {a, b} w a w b 0 (mod 3) }.

Lösung zur Klausur. Grundlagen der Theoretischen Informatik. 1. Zeigen Sie, dass die folgende Sprache regulär ist: w {a, b} w a w b 0 (mod 3) }. Lösung zur Klusur Grundlgen der Theoretischen Informtik 1. Zeigen Sie, dss die folgende Sprche regulär ist: { w {, } w w 0 (mod 3) }. Lösung: Wir nennen die Sprche L. Eine Sprche ist genu dnn regulär,

Mehr

Formale Systeme, Automaten, Prozesse SS 2010 Musterlösung - Übung 2 M. Brockschmidt, F. Emmes, C. Fuhs, C. Otto, T. Ströder

Formale Systeme, Automaten, Prozesse SS 2010 Musterlösung - Übung 2 M. Brockschmidt, F. Emmes, C. Fuhs, C. Otto, T. Ströder Prof Dr J Giesl Formle Systeme, Automten, Prozesse SS 2010 Musterlösung - Üung 2 M Brockschmidt, F Emmes, C Fuhs, C Otto, T Ströder Hinweise: Die Husufgen sollen in Gruppen von je 2 Studierenden us dem

Mehr

6. Übungsblatt. (i) Von welchem Typ ist die Grammatik G? Begründen Sie Ihre Antwort kurz.

6. Übungsblatt. (i) Von welchem Typ ist die Grammatik G? Begründen Sie Ihre Antwort kurz. Vorlesung Theoretische Informtik Sommersemester 2015 Prof. S. Lnge 6. Üungsltt 1. Aufge Es sei die folgende Grmmtik G = [Σ, V, S, R] gegeen. Dei seien Σ = {, } und V = {S, B}, woei S ds Strtsymol ist.

Mehr

a q 0 q 1 a M q 1 q 3 q 2

a q 0 q 1 a M q 1 q 3 q 2 Prof Dr J Giesl Formle Systeme, Automten, Prozesse SS 2010 Musterlösung - Üung 4 M Brockschmidt, F Emmes, C Fuhs, C Otto, T Ströder Hinweise: Die Husufgen sollen in Gruppen von je 2 Studierenden us dem

Mehr

Automaten und formale Sprachen Notizen zu den Folien

Automaten und formale Sprachen Notizen zu den Folien 3 Endliche Automten Automten und formle Sprchen Notizen zu den Folien Üerführungsfunktion eines NFA (Folien 107 und 108) Wie sieht die Üerführungsfunktion us? δ : Z Σ P(Z) Ds heißt, jedem Pr us Zustnd

Mehr

Vorname: Nachname: Matrikelnummer: Studiengang (bitte ankreuzen): Technik-Kommunikation M.A.

Vorname: Nachname: Matrikelnummer: Studiengang (bitte ankreuzen): Technik-Kommunikation M.A. Formle Systeme, Automten, Prozesse SS 2010 Musterlösung - Klusur 23.09.2010 Prof. Dr. J. Giesl M. Brockschmidt, F. Emmes, C. Fuhs, C. Otto, T. Ströder Vornme: Nchnme: Mtrikelnummer: Studiengng (itte nkreuzen):

Mehr

Was nicht bewertet werden soll, streichen Sie bitte durch. Werden Täuschungsversuche beobachtet, so wird die Präsenzübung mit 0 Punkten bewertet.

Was nicht bewertet werden soll, streichen Sie bitte durch. Werden Täuschungsversuche beobachtet, so wird die Präsenzübung mit 0 Punkten bewertet. Prof Dr Dr hc W Thoms Formle Systeme, Automten, Prozesse SS 2011 Musterlösung - Präsenzüung Dniel Neider, Crsten Otto Vornme: Nchnme: Mtrikelnummer: Studiengng (itte nkreuzen): Informtik Bchelor Informtik

Mehr

Einführung in die Theoretische Informatik

Einführung in die Theoretische Informatik Einführung in die Theoretische Informtik Johnnes Köler Institut für Informtik Humoldt-Universität zu Berlin WS 2011/12 Minimierung von DFAs Frge Wie können wir feststellen, o ein DFA M = (Z, Σ, δ, q 0,

Mehr

FORMALE SYSTEME. Kleene s Theorem. Wiederholung: Reguläre Ausdrücke. 7. Vorlesung: Reguläre Ausdrücke. TU Dresden, 2.

FORMALE SYSTEME. Kleene s Theorem. Wiederholung: Reguläre Ausdrücke. 7. Vorlesung: Reguläre Ausdrücke. TU Dresden, 2. FORMALE SYSTEME 7. Vorlesung: Reguläre Ausdrücke Mrkus Krötzsch Rndll Munroe, https://xkcd.com/851_mke_it_etter/, CC-BY-NC 2.5 TU Dresden, 2. Novemer 2017 Mrkus Krötzsch, 2. Novemer 2017 Formle Systeme

Mehr

Mitschrift Repetitorium Theoretische Informatik und Logik

Mitschrift Repetitorium Theoretische Informatik und Logik Mitschrift Repetitorium Theoretische Informtik und Logik Teil 1: Formle Sprchen, 15.01.2010, 1. Edit Allgemeine Hinweise für die Prüfung Ds Pumping-Lemm für kontextfreie Sprchen kommt nicht (sehr wohl

Mehr

Automaten und Formale Sprachen alias Theoretische Informatik. Sommersemester 2012. Sprachen. Grammatiken (Einführung)

Automaten und Formale Sprachen alias Theoretische Informatik. Sommersemester 2012. Sprachen. Grammatiken (Einführung) Wörter, Grmmtiken und die Chomsky-Hierrchie Sprchen und Grmmtiken Wörter Automten und Formle Sprchen lis Theoretische Informtik Sommersemester 2012 Dr. Snder Bruggink Üungsleitung: Jn Stückrth Alphet Ein

Mehr

Inhalt. Endliche Automaten. Automaten und Formale Sprachen. Franz Binder. Endliche Automaten. Deterministische Automaten

Inhalt. Endliche Automaten. Automaten und Formale Sprachen. Franz Binder. Endliche Automaten. Deterministische Automaten Formle Inhlt Reguläre Reguläre Formle Zustndsdigrmm Reguläre δ: Σ (Q Q Ω) Beispiel δ 0 δ 0 1 2 1 2 0 1 2 δ Formle Automt Reguläre Definition Ein nicht-deterministischer, endlicher Automt esteht us einer

Mehr

Einführung in die theoretische Informatik Sommersemester 2017 Übungsblatt Lösungsskizze 3

Einführung in die theoretische Informatik Sommersemester 2017 Übungsblatt Lösungsskizze 3 Prof. J. Esprz Technische Universität München S. Sickert, J. Krämer KEINE ABGABE Einführung in die theoretische Informtik Sommersemester 27 Üungsltt 3 Üungsltt Wir unterscheiden zwischen Üungs- und Agelättern.

Mehr

Übungsblatt Nr. 1. Lösungsvorschlag

Übungsblatt Nr. 1. Lösungsvorschlag Institut für Kryptogrphie und Sicherheit Prof. Dr. Jörn Müller-Qude Nico Döttling Dirk Achench Tois Nilges Vorlesung Theoretische Grundlgen der Informtik Üungsltt Nr. svorschlg Aufge (K) (4 Punkte): Semi-Thue-Systeme

Mehr

Franz Binder. Vorlesung im 2006W

Franz Binder. Vorlesung im 2006W Formle Reguläre und Formle Institut für Alger Johnnes Kepler Universität Linz Vorlesung im 2006W http://www.lger.uni-linz.c.t/students/win/ml Formle Inhlt Reguläre Reguläre Formle Zustndsdigrmm δ: Σ (Q

Mehr

Automaten und formale Sprachen Notizen zu den Folien

Automaten und formale Sprachen Notizen zu den Folien 5 Ds Pumping Lemm Shufhprinzip (Folie 137) Automten und formle Sprhen Notizen zu den Folien Im Blok Ds Shufhprinzip für endlihe Automten steht m n (sttt m > n), weil die Länge eines Pfdes die Anzhl von

Mehr

Übungsblatt 1. Vorlesung Theoretische Grundlagen der Informatik im WS 17/18

Übungsblatt 1. Vorlesung Theoretische Grundlagen der Informatik im WS 17/18 Institut für Theoretische Informtik Lehrstuhl Prof. Dr. D. Wgner Üungsltt Vorlesung Theoretische Grundlgen der Informtik im WS 78 Ausge 9. Oktoer 27 Age 7. Novemer 27, : Uhr (im Ksten im UG von Geäude

Mehr

Umwandlung von endlichen Automaten in reguläre Ausdrücke

Umwandlung von endlichen Automaten in reguläre Ausdrücke Umwndlung von endlichen Automten in reguläre Ausdrücke Wir werden sehen, wie mn us einem endlichen Automten M einen regulären Ausdruck γ konstruieren knn, der genu die von M kzeptierte Sprche erzeugt.

Mehr

Endliche Automaten können wahlweise graphisch oder tabellarisch angegeben werden.

Endliche Automaten können wahlweise graphisch oder tabellarisch angegeben werden. Aufgensmmlung GTI Hinweise. Dies ist eine Aufgensmmlung zum Lernen für die Klusur, keine Proeklusur. Die Zeitduer, die für die Lösung vorgesehen ist, ist lso nicht uf drei Stunden normiert. Für die Klusur

Mehr

Theoretische Informatik und Logik Übungsblatt 2 (2013S) Lösung

Theoretische Informatik und Logik Übungsblatt 2 (2013S) Lösung Theoretische Informtik und Logik Üungsltt 2 (2013S) en Aufge 2.1 Geen Sie jeweils eine kontextfreie Grmmtik n, welche die folgenden Sprchen erzeugt, sowie einen Aleitungsum für ein von Ihnen gewähltes

Mehr

RWTH Aachen Lehrgebiet Theoretische Informatik Rossmanith Dreier Hark Kuinke. SS 2017 Blatt

RWTH Aachen Lehrgebiet Theoretische Informatik Rossmanith Dreier Hark Kuinke. SS 2017 Blatt RWTH Achen Lehrgeiet Theoretische Informtik Rossmnith Dreier Hrk Kuinke SS 2017 Bltt 4 22.5.2017 Lösungsvorschlg zur Vorlesung Formle Sprchen, Automten und Prozesse Aufge T11 1. L, d L, er / L. L, d für

Mehr

Klausur zur Vorlesung Grundbegriffe der Informatik 10. März 2009 mit Lösungsvorschlägen

Klausur zur Vorlesung Grundbegriffe der Informatik 10. März 2009 mit Lösungsvorschlägen Klusur zur Vorlesung Grundegriffe der Informtik 10. März 2009 mit Lösungsvorschlägen Klusurnummer Nme: Vornme: Mtr.-Nr.: Aufge 1 2 3 4 5 6 7 mx. Punkte 4 2 7 8 8 8 9 tts. Punkte Gesmtpunktzhl: Note: Aufge

Mehr

FORMALE SYSTEME. 7. Vorlesung: Reguläre Ausdrücke. TU Dresden, 2. November Markus Krötzsch

FORMALE SYSTEME. 7. Vorlesung: Reguläre Ausdrücke. TU Dresden, 2. November Markus Krötzsch FORMALE SYSTEME 7. Vorlesung: Reguläre Ausdrücke Mrkus Krötzsch TU Dresden, 2. November 2017 Rndll Munroe, https://xkcd.com/851_mke_it_better/, CC-BY-NC 2.5 Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme

Mehr

Frank Heitmann 2/71. 1 Betrachten wir Σ für ein Alphabet Σ, so ist Σ die Menge

Frank Heitmann 2/71. 1 Betrachten wir Σ für ein Alphabet Σ, so ist Σ die Menge Formle Grundlgen der Informtik Kpitel 2 und reguläre Sprchen Frnk Heitmnn heitmnn@informtik.uni-hmurg.de 7. April 24 Frnk Heitmnn heitmnn@informtik.uni-hmurg.de /7 Alphet und Wörter - Zusmmengefsst Die

Mehr

Grundlagen der Theoretischen Informatik, WS11/12 Minimale Automaten

Grundlagen der Theoretischen Informatik, WS11/12 Minimale Automaten Fkultät IV Deprtment Mthemtik Lehrstuhl für Mthemtische Logik und Theoretische Informtik Prof. Dr. Dieter Spreen Dipl.Inform. Christin Uhrhn Grundlgen der Theoretischen Informtik, WS11/12 Minimle Automten

Mehr

Übung Grundbegriffe der Informatik

Übung Grundbegriffe der Informatik Üung Grundegriffe der Informtik 11. Üung Krlsruher Institut für Technologie Mtthis Jnke, Geäude 50.34, Rum 249 emil: mtthis.jnke ät kit.edu Mtthis Schulz, Geäude 50.34, Rum 247 emil: schulz ät ir.uk.de

Mehr

Formal Languages and Automata

Formal Languages and Automata Forml Lnguges nd Automt Aufgensmmlung Jn Hldik und Stephn Schulz 10. Novemer 2014 1 Üungsufgen 1.1 Endliche Automten 1.1.1 Aufge Sei Σ = {, }. Geen Sie für die folgenden Sprchen einen DFA n L 0 = {w Σ

Mehr

vollständig (Vervollständigung) deterministisch, DFA (Potenzmengenkonstruktion) Minimalautomat: minimaler vollständiger DFA

vollständig (Vervollständigung) deterministisch, DFA (Potenzmengenkonstruktion) Minimalautomat: minimaler vollständiger DFA Ws isher geschh NFA A = (X, Q, δ, I, F ) vollständig (Vervollständigung) deterministisch, DFA (Potenzmengenkonstruktion) Minimlutomt: minimler vollständiger DFA Für jede Sprche L X sind die folgenden Aussgen

Mehr

dem Verfahren aus dem Beweis zu Satz 2.20 erhalten wir zunächst die folgenden beiden ε-ndeas für die Sprachen {a} {b} und {ε} {a} +

dem Verfahren aus dem Beweis zu Satz 2.20 erhalten wir zunächst die folgenden beiden ε-ndeas für die Sprachen {a} {b} und {ε} {a} + Lösungen zu Üungsltt 3 Aufge 1. Es gilt L(( ) ) = ({} {}) {} = ({} {}) ({} {} + ). Mit dem Verfhren us dem Beweis zu Stz 2.20 erhlten wir zunächst die folgenden eiden -NDEAs für die Sprchen {} {} und {}

Mehr

Automaten, Spiele, und Logik

Automaten, Spiele, und Logik Automten, Spiele, und Logik Woche 9 13. Juni 2014 Inhlt der heutigen Vorlesung Büchi Automten co-büchi Automten Komplementierung für deterministische Büchi Automten Ein Ziel: den Stz von Büchi-Elgot-Trkhtenrot

Mehr

Klausur über den Stoff der Vorlesung Grundlagen der Informatik II (90 Minuten)

Klausur über den Stoff der Vorlesung Grundlagen der Informatik II (90 Minuten) Institut für Angewndte Informtik und Formle Beschreiungsverfhren 2.7.24 Klusur üer den Stoff der Vorlesung Grundlgen der Informtik II (9 Minuten) Nme: Vornme: Mtr.-Nr.: Semester: (SS 24) Ich estätige,

Mehr

Technische Universität München Sommer 2016 Prof. J. Esparza / Dr. M. Luttenberger, S. Sickert. Lösung

Technische Universität München Sommer 2016 Prof. J. Esparza / Dr. M. Luttenberger, S. Sickert. Lösung Technische Universität München Sommer 2016 Prof. J. Esprz / Dr. M. Luttenerger, S. Sickert Lösung Einführung in die theoretische Informtik Klusur Bechten Sie: Soweit nicht nders ngegeen, ist stets eine

Mehr

Prof. Dr. Ulrich Furbach Dr. Manfred Jackel Dr. Björn Pelzer Christian Schwarz. Nachklausur

Prof. Dr. Ulrich Furbach Dr. Manfred Jackel Dr. Björn Pelzer Christian Schwarz. Nachklausur Grundlgen der Theoretischen Infomtik SS 213 Institut für Informtik Prof. Dr. Ulrich Furch Dr. Mnfred Jckel Dr. Björn Pelzer Christin Schwrz Nchklusur Modul Grundlgen der Theoretischen Informtik 4IN118/INLP1

Mehr

Hausaufgabe 2 (Induktionsbeweis):

Hausaufgabe 2 (Induktionsbeweis): Prof. Dr. J. Giesl Formle Sprhen, Automten, Prozesse SS 2010 Üung 3 (Age is 12.05.2010) M. Brokshmidt, F. Emmes, C. Fuhs, C. Otto, T. Ströder Hinweise: Die Husufgen sollen in Gruppen von je 2 Studierenden

Mehr

Einführung in die theoretische Informatik Sommersemester 2017 Übungsblatt 5

Einführung in die theoretische Informatik Sommersemester 2017 Übungsblatt 5 Prof. J. Esprz Technische Universität München S. Sickert, J. Krämer KEINE ABGABE Vielen Dnk n Jn Wgener für die erweiterten Aufgenlösungen Einführung in die theoretische Informtik Sommersemester 2017 Üungsltt

Mehr

DEA1 Deterministische Version

DEA1 Deterministische Version Endliche Automten 4 Deterministische endliche Automten Zu dem nichtdeterministischen Automten EA git es eine deterministische Version. EA Akzeptor für Wörter üer X = { } mit mindestens einem führenden.

Mehr

S 1. Definition: Ein endlicher Automat ist ein 5-Tupel. Das endliche Eingabealphabet

S 1. Definition: Ein endlicher Automat ist ein 5-Tupel. Das endliche Eingabealphabet Der endliche Automt Modell: Eingend rechtsseitig unegrenzt F F F F F F F F F F F F F F Lesekopf S 1 Definition: Ein endlicher Automt ist ein 5-Tupel A = ( Σ;S;F;s 0 ; ϕ ) Dei ist Σ= {e 1;e 2...e n} Ds

Mehr

Deterministische endliche Automaten

Deterministische endliche Automaten Endliche Automten Idee: endlicher Automt A ht endlich viele innere Zustände liest Einge wєσ* zeichenweise von links nch rechts git zum Schluß eine J/Nein Antwort A Lesekopf w 1 w 2 w n gelesenes Symol

Mehr

Klausur TheGI 2 Automaten und Komplexität (Niedermeier/Hartung/Nichterlein, Sommersemester 2013)

Klausur TheGI 2 Automaten und Komplexität (Niedermeier/Hartung/Nichterlein, Sommersemester 2013) Berlin, 17.07.2013 Nme:... Mtr.-Nr.:... Klusur TheGI 2 Automten und Komplexität (Niedermeier/Hrtung/Nichterlein, Sommersemester 2013) 1 2 3 4 5 6 7 8 Σ Bereitungszeit: mx. Punktezhl: 60 min. 60 Punkte

Mehr

Einführung in die Theoretische Informatik

Einführung in die Theoretische Informatik Einführung in die Theoretische Informtik Johnnes Köler Institut für Informtik Humoldt-Universität zu Berlin WS 011/1 Inhlt der Vorlesung Themen dieser VL: Welche Rechenmodelle sind däqut? Welche Proleme

Mehr

Übungen zur Vorlesung Modellierung WS 2003/2004 Blatt 11 Musterlösungen

Übungen zur Vorlesung Modellierung WS 2003/2004 Blatt 11 Musterlösungen Dr. Theo Lettmnn Pderorn, den 9. Jnur 24 Age 9. Jnur 24 A x, A 2 x, Üungen zur Vorlesung Modellierung WS 23/24 Bltt Musterlösungen AUFGABE 7 : Es sei der folgende prtielle deterministishe endlihe Automt

Mehr

Universität Karlsruhe Institut für Theoretische Informatik. Klausur: Informatik III

Universität Karlsruhe Institut für Theoretische Informatik. Klausur: Informatik III Nme Vornme Mtrikelnummer Lösungsvorschlg Universität Krlsruhe Institut für Theoretische Informtik o. Prof. Dr. P. Snders 8. März 2006 Klusur: Informtik III Aufgbe 1. Multiple Choice 10 Punkte Aufgbe 2.

Mehr

Algorithmen und Datenstrukturen 1 Kapitel 4.2

Algorithmen und Datenstrukturen 1 Kapitel 4.2 Endliche Automten Algorithmen und Dtenstrukturen 1 Kpitel 4.2 Roert Giegerich Technische Fkultät roert@techfk.uni-bielefeld.de Vorlesung, U. Bielefeld, Winter 2005/2006 Roert Giegerich Endliche Automten

Mehr

L = L(a(a b) b b(a b) a)

L = L(a(a b) b b(a b) a) Lösungen zur Proeklusur mit Kommentren Aufge 1. Ein Wort w {,} liegt genu dnn in L, wenn es entweder mit nfängt und mit endet oder umgekehrt. Also erhält mn L = L(( ) ( ) ). Ein DEA, der die Sprche L kzeptiert,

Mehr

Automaten, Spiele, und Logik

Automaten, Spiele, und Logik Automten, Spiele, und Logik Woche 1 15. April 2014 Inhlt der gnzen Vorlesung Automten uf endlichen Wörtern uf undendlichen Wörtern uf endlichen Bäumen Spiele Erreichrkeitsspiele Ehrenfeucht-Frïssé Spiele

Mehr

Automaten, Spiele, und Logik

Automaten, Spiele, und Logik Automten, Spiele, und Logik Wohe 7 19. Mi 2014 Inhlt der heutigen Vorlesung Alternierende Automten Definition Verindung zu regulären Sprhen Komplementtion Engel und Teufel Ws ist eine nihtdeterministishe

Mehr

Grundbegriffe der Informatik

Grundbegriffe der Informatik Grundegriffe der Informtik Üung Simon Wcker Krlsruher Institut für Technologie Wintersemester 2015/2016 GBI Grundegriffe der Informtik Krlsruher Institut für Technologie 1 / 9 Regex-Bäume Anzhl A = {,

Mehr

Berechenbarkeitstheorie 2. Vorlesung

Berechenbarkeitstheorie 2. Vorlesung Berechenrkeitstheorie Dr. Frnzisk Jhnke Institut für Mthemtische Logik und Grundlgenforschung WWU Münster WS 15/16 Alle Folien unter Cretive Commons Attriution-NonCommercil 3.0 Unported Lizenz. Deterministischer

Mehr

Dank. Grundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I. Gleichmächtigkeit von DEA und NDEA

Dank. Grundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I. Gleichmächtigkeit von DEA und NDEA Dnk Vorleung Grundlgen der Theoretichen Informtik / Einführung in die Theoretiche Informtik I Bernhrd Beckert Diee Vorleungmterilien ieren gnz weentlich uf den Folien zu den Vorleungen von Ktrin Erk (gehlten

Mehr

Grundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I

Grundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I Vorlesung Grundlgen der Theoretischen Informtik / Einführung in die Theoretische Informtik I Bernhrd Beckert Institut für Informtik Sommersemester 2007 B. Beckert Grundlgen d. Theoretischen Informtik:

Mehr

Name... Matrikel-Nr... Studiengang...

Name... Matrikel-Nr... Studiengang... Proeklusur zum ersten Teil der Vorlesung Berechenrkeitstheorie WS 2015/16 30. Novemer 2015 Dr. Frnzisk Jhnke, Dr. Dniel Plcín Bereitungszeit: 80 Minuten Nme... Mtrikel-Nr.... Studiengng... 1. So oder so

Mehr

Grundbegriffe der Informatik Aufgabenblatt 5

Grundbegriffe der Informatik Aufgabenblatt 5 Grundegriffe der Informtik Aufgenltt 5 Mtr.nr.: Nchnme: Vornme: Tutorium: Nr. Nme des Tutors: Ausge: 20. Novemer 2013 Age: 29. Novemer 2013, 12:30 Uhr im GBI-Briefksten im Untergeschoss von Geäude 50.34

Mehr

Automaten und Formale Sprachen 7. Vorlesung

Automaten und Formale Sprachen 7. Vorlesung Automten und Formle Sprchen 7. Vorlesung Mrtin Dietzfelinger Bis nächste Woche: Folien studieren. Detils, Beispiele im Skript, Seiten 70 99. Definitionen lernen, Beispiele nsehen, Frgen vorereiten. Üungsufgen

Mehr

Name... Matrikel Nr... Studiengang...

Name... Matrikel Nr... Studiengang... Proeklusur zur Vorlesung Berechenrkeitstheorie WS 201/1 1. Jnur 201 Prof. Dr. André Schulz Bereitungszeit: 120 Minuten [So oder so ähnlich wird ds Deckltt der Klusur ussehen.] Nme... Mtrikel Nr.... Studiengng...

Mehr

Automaten und formale Sprachen Bemerkungen zu den Folien

Automaten und formale Sprachen Bemerkungen zu den Folien Inhltsverzeichnis Automten und formle Sprchen Bemerkungen zu den Folien 1 Wiederholung Mengentheorie 3 Beispiele für die Potenzmenge (Folie 28)........................... 3 Beispiele für ds Kreuzprodukt

Mehr

Einführung in die Theoretische Informatik

Einführung in die Theoretische Informatik Technische Universität München Fakultät für Informatik Prof. Tobias Nipkow, Ph.D. Sascha Böhme, Lars Noschinski Sommersemester 2 Lösungsblatt 23. Mai 2 Einführung in die Theoretische Informatik Hinweis:

Mehr

Lösung zur Bonusklausur über den Stoff der Vorlesung Grundlagen der Informatik II (45 Minuten)

Lösung zur Bonusklausur über den Stoff der Vorlesung Grundlagen der Informatik II (45 Minuten) Institut für Angewndte Informtik und Formle Beschreiungsverfhren 15.01.2018 Lösung zur Bonusklusur üer den Stoff der Vorlesung Grundlgen der Informtik II (45 Minuten) Nme: Vornme: Mtr.-Nr.: Semester: (WS

Mehr

Reguläre Ausdrücke, In12 G8

Reguläre Ausdrücke, In12 G8 Reguläre Ausdrücke, In2 G8 Beweise, dss A* unendlich viele Elemente esitzt. Hinweis: Indirekter Beweis R A = {0,} Bilde A 3, A 4 A = {,, c} Bilde A 2, A 3 A = {,, c} Gi die Menge ller Wörter der Länge

Mehr

Formale Sprachen. Endliche Automaten - Kleene. Reguläre Sprachen. Rudolf FREUND, Marion OSWALD. Endliche Automaten. Endliche Automaten: Beispiel

Formale Sprachen. Endliche Automaten - Kleene. Reguläre Sprachen. Rudolf FREUND, Marion OSWALD. Endliche Automaten. Endliche Automaten: Beispiel Formle Sprchen Reguläre Sprchen Endliche Automten - Kleene STEPHEN KLEENE (99-994) Rudolf FREUND, Mrion OSWALD 956: Representtion of events in nerve nets nd finite utomt. In: C.E. Shnnon und J. McCrthy

Mehr

Formale Systeme, Automaten, Prozesse SS 2010 Musterlösung - Übung 6 M. Brockschmidt, F. Emmes, C. Fuhs, C. Otto, T. Ströder

Formale Systeme, Automaten, Prozesse SS 2010 Musterlösung - Übung 6 M. Brockschmidt, F. Emmes, C. Fuhs, C. Otto, T. Ströder Prof Dr J Giesl Formle ysteme, utomten, Prozesse 2010 M rockschmidt, F Emmes, C Fuhs, C Otto, T tröder Hinweise: Die Husufgben sollen in Gruppen von je 2 tudierenden us dem gleichen Tutorium berbeitet

Mehr

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 14 MULTIPLIKATION EINES VEKTORS MIT EINEM SKALAR

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 14 MULTIPLIKATION EINES VEKTORS MIT EINEM SKALAR Mthemtik: Mg. Schmid Wolfgng Areitsltt. Semester ARBEITSBLATT MULTIPLIKATION EINES VEKTORS MIT EINEM SKALAR Zunächst einml müssen wir den Begriff Sklr klären. Definition: Unter einem Sklr ersteht mn eine

Mehr

Hans U. Simon Bochum, den Annette Ilgen. Beispiele zur Vorlesung. Theoretische Informatik. WS 08/09

Hans U. Simon Bochum, den Annette Ilgen. Beispiele zur Vorlesung. Theoretische Informatik. WS 08/09 Hns U. Simon Bohum, den 7..28 Annette Ilgen Beispiele zur Vorlesung Theoretishe Informtik WS 8/9 Voremerkung: Hier findet sih eine Smmlung von Beispielen und Motivtionen zur Vorlesung Theoretishe Informtik.

Mehr

R(i,j,0) ist also für alle i,j = 1,...,n endlich und somit eine durch einen regulären Ausdruck beschreibbare Sprache!

R(i,j,0) ist also für alle i,j = 1,...,n endlich und somit eine durch einen regulären Ausdruck beschreibbare Sprache! 1 2 Reguläre Audrücke und reguläre Sprchen Grundlgen der Theoretichen Inormtik Till Mokowki Fkultät ür Inormtik Otto-von-Guericke Univerität Mgdeurg Winteremeter 2014/15 Stz: [Kleene] Die Kle der durch

Mehr

Endliche Automaten. Stoyan Mutafchiev. Programming Systems Lab, Universität des Saarlandes, Saarbrücken

Endliche Automaten. Stoyan Mutafchiev. Programming Systems Lab, Universität des Saarlandes, Saarbrücken Endliche Automten Stoyn Mutfchiev Progrmming Systems L, Universität des Srlndes, Srrücken Astrct Gegenstnd dieser Areit ist der endliche Automt, sowie die Aschlusseigenschften der Sprchen, die von endlichen

Mehr

Einführung in die Theoretische Informatik I/ Grundlagen der Theoretischen Informatik. SS 2007 Jun.-Prof. Dr. Bernhard Beckert Ulrich Koch.

Einführung in die Theoretische Informatik I/ Grundlagen der Theoretischen Informatik. SS 2007 Jun.-Prof. Dr. Bernhard Beckert Ulrich Koch. Einführung in die Theoretishe Informtik I/ Grundlgen der Theoretishen Informtik SS 2007 Jun.-Prof. Dr. Bernhrd Bekert Ulrih Koh Nhklusur 25. 09. 2007 Persönlihe Dten itte gut leserlih usfüllen! Vornme:...

Mehr

10: Lineare Abbildungen

10: Lineare Abbildungen Chr.Nelius: Linere Alger SS 2008 1 10: Linere Aildungen 10.1 BEISPIEL: Die Vektorräume V 2 und Ê 2 hen diegleiche Struktur. Es git eine ijektive Aildung f : V 2 Ê 2, die durch die Vorschrift definiert

Mehr

1 Folgen von Funktionen

1 Folgen von Funktionen Folgen von Funktionen Wir etrchten Folgen von reell-wertigen Funktionen f n U R mit Definitionsereicht U R und interessieren uns für ntürliche Konvergenzegriffe. Genuer setzen wir uns mit folgenden Frgen

Mehr

Bonusklausur über den Stoff der Vorlesung Grundlagen der Informatik II (45 Minuten)

Bonusklausur über den Stoff der Vorlesung Grundlagen der Informatik II (45 Minuten) Institut für Angewndte Informtik und Formle Beschreiungsverfhren 5.0.208 Bonusklusur üer den Stoff der Vorlesung Grundlgen der Informtik II (45 Minuten) Nme: Vornme: Mtr.-Nr.: Semester: (WS 207/8) Ich

Mehr

Reduktion. Seien A Σ und B Γ. Man sagt A ist reduzierbar auf B (A B) gdw. f : Σ Γ : x Σ : x A f(x) B

Reduktion. Seien A Σ und B Γ. Man sagt A ist reduzierbar auf B (A B) gdw. f : Σ Γ : x Σ : x A f(x) B Reduktion Seien A Σ und B Γ. Mn sgt A ist reduzierr uf B (A B) gdw. f : Σ Γ : x Σ : x A f(x) B Í* * A B von speziellem Interesse: Polynomilzeitreduktion ( pol ), logrithmische-pltz- Reduktion ( log ).

Mehr

7 Modellierung von Abläufen 7.1 Endliche Automaten

7 Modellierung von Abläufen 7.1 Endliche Automaten 7 Modellierung von Aläufen 7. Endliche Automten Mod-7. Endlicher Automt: Formler Klkül zur Spezifiktion von relen oder strkten Mschinen. Sie regieren uf äußere Ereignisse, ändern ihren inneren Zustnd,

Mehr

Reduktion. Seien A Σ und B Γ. Man sagt A ist reduzierbar auf B (A B) gdw. von speziellem Interesse: Polynomialzeitreduktion

Reduktion. Seien A Σ und B Γ. Man sagt A ist reduzierbar auf B (A B) gdw. von speziellem Interesse: Polynomialzeitreduktion Reduktion Seien A Σ und B Γ. Mn sgt A ist reduzierr uf B (A B) gdw. f : Σ Γ. x Σ.x A f(x) B Í* * A B von speziellem Interesse: Polynomilzeitreduktion ( pol ), logrithmische-pltz- Reduktion ( log ). F3

Mehr

Dank. 1 Determinierte endliche Automaten (DEAs) 2 Indeterminierte endliche Automaten (NDEAs) 3 Automaten mit epsilon-kanten

Dank. 1 Determinierte endliche Automaten (DEAs) 2 Indeterminierte endliche Automaten (NDEAs) 3 Automaten mit epsilon-kanten Dnk Vorleung Grundlgen der Theoretichen Informtik / Einführung in die Theoretiche Informtik I Bernhrd Beckert Diee Vorleungmterilien ieren gnz weentlich uf den Folien zu den Vorleungen von Ktrin Erk (gehlten

Mehr

FORMALE SYSTEME. 6. Vorlesung: Reguläre Ausdrücke. TU Dresden, 27. Oktober Markus Krötzsch

FORMALE SYSTEME. 6. Vorlesung: Reguläre Ausdrücke. TU Dresden, 27. Oktober Markus Krötzsch FORMALE SYSTEME 6. Vorlesung: Reguläre Ausdrücke Mrkus Krötzsch TU Dresden, 27. Oktober 2016 Rückblick Mrkus Krötzsch, 27. Oktober 2016 Formle Systeme Folie 2 von 29 Wiederholung: Opertionen uf Automten

Mehr

1 Grundlagen der Theorie formaler Sprachen

1 Grundlagen der Theorie formaler Sprachen 1 Grundlgen der Theorie formler Sprchen Wir eginnen dmit, dss wir in diesem Kpitel zunchst einige grundlegende Begriffe und Methoden us der Theorie formler Sprchen, insesondere der regulären Sprchen, wiederholen.

Mehr

2. Klausur zur Vorlesung Informatik III Wintersemester 2003/2004

2. Klausur zur Vorlesung Informatik III Wintersemester 2003/2004 Universität Krlsruhe Theoretische Informtik Fkultät für Informtik WS 2003/04 ILKD Prof. Dr. D. Wgner 14. April 2004 2. Klusur zur Vorlesung Informtik III Wintersemester 2003/2004 Lösung! Bechten Sie: Bringen

Mehr

mathematik und informatik

mathematik und informatik Prof. Dr. André Schulz Kurs 0657 Grundlgen der Theoretischen Informtik A LESEPROBE mthemtik und informtik Ds Werk ist urheerrechtlich geschützt. Die ddurch egründeten Rechte, insesondere ds Recht der Vervielfältigung

Mehr

Datenstrukturen & Algorithmen Lösungen zu Blatt 2 FS 12

Datenstrukturen & Algorithmen Lösungen zu Blatt 2 FS 12 Eidgenössische Technische Hochschule Zürich Ecole polytechnique fédérle de Zurich Politecnico federle di Zurigo Federl Institute of Technology t Zurich Institut für Theoretische Informtik 29 Ferur 2012

Mehr

Endliche Automaten 7. Endliche Automaten

Endliche Automaten 7. Endliche Automaten Endliche Automten 7 Endliche Automten Einfches Modellierungswekzeug (z.b. UML-Sttechrts) Verrbeiten Wörter/Ereignisfolgen Erkennen Sprchen Erluben schnelle Sprcherkennung Anwendungsbereiche: Objektorientierte

Mehr

2. Übungsblatt (mit Lösungen) 3.0 VU Formale Modellierung

2. Übungsblatt (mit Lösungen) 3.0 VU Formale Modellierung . Üungsltt (mit en) 3. VU Formle Modellierung Mrion Brndsteidl, Gernot Slzer 3. Mi 3 (Korrektur 4.6.) Aufge (.3 Punkte) Sei A der folgende Mely-Automt. u/ h/ h/ h/ u/ h/ 3 4 u/ u/ () Geen Sie die Ausge

Mehr

Einführung in die Theoretische Informatik

Einführung in die Theoretische Informatik Technische Universität München Fakultät für Informatik Prof. Tobias Nipkow, Ph.D. Dr. Werner Meixner, Dr. Alexander Krauss Sommersemester 2 Lösungsblatt 3. April 2 Einführung in die Theoretische Informatik

Mehr

18. Algorithmus der Woche Der Euklidische Algorithmus

18. Algorithmus der Woche Der Euklidische Algorithmus 18. Algorithmus der Woche Der Euklidische Algorithmus Autor Friedrich Eisenrnd, Universität Dortmund Heute ehndeln wir den ältesten ereits us Aufzeichnungen us der Antike eknnten Algorithmus. Er wurde

Mehr

Teil V: Formale Sprachen

Teil V: Formale Sprachen Formle Sprchen Teil V: Formle Sprchen 1. Sprchen und Grmmtiken 2. Endliche Automten Frnz-Josef Rdermcher & Uwe Schöning, Fkultät für Ingeneurwissenschften und Informtik, Universität Ulm, 2008/09 Formle

Mehr

Grundbegriffe der Informatik Aufgabenblatt 6

Grundbegriffe der Informatik Aufgabenblatt 6 Mtr.nr.: Nchnme: Vornme: Grundbegriffe der Informtik Aufgbenbltt 6 Tutorium: Nr. Nme des Tutors: Ausgbe: 2. Dezember 2015 Abgbe: 11. Dezember 2015, 12:30 Uhr im GBI-Briefksten im Untergeschoss von Gebäude

Mehr

Datenstrukturen & Algorithmen Lösungen zu Blatt 2 FS 16

Datenstrukturen & Algorithmen Lösungen zu Blatt 2 FS 16 Eidgenössische Technische Hochschule Zürich Ecole polytechnique fédérle de Zurich Politecnico federle di Zurigo Federl Institute of Technology t Zurich Institut für Theoretische Informtik 9. März 2016

Mehr

Grundlagen der Informatik

Grundlagen der Informatik Grundlgen der Informtik Vorlesungsprüfung vom 02.03.2007 Gruppe B Lösung Nme: Mtrikelnummer: Zuerst itte Nme und Mtrikelnummer uf ds Titelltt schreien. Es sind keine Unterlgen und keine Temreit erlut.

Mehr

/LQHDUH*OHLFKXQJVV\VWHPH

/LQHDUH*OHLFKXQJVV\VWHPH /LQHDUH*OHLFKXQJVV\VWHPH (für Grund- und Leistungskurse Mthemtik) 6W55DLQHU0DUWLQ(KUHQE UJ*\PQDVLXP)RUFKKHLP Nch dem Studium dieses Skripts sollten folgende Begriffe eknnt sein: Linere Gleichung; homogene

Mehr

Beispiellösungen zu Blatt 24

Beispiellösungen zu Blatt 24 µthemtischer κorrespondenz- zirkel Mthemtisches Institut Georg-August-Universität Göttingen Aufge Beispiellösungen zu Bltt Mn eweise, dss mn ein Qudrt für jede Zhl n 6 in genu n kleinere Qudrte zerlegen

Mehr

4. Lineare Gleichungen mit einer Variablen

4. Lineare Gleichungen mit einer Variablen 4. Linere Gleichungen mit einer Vrilen 4. Einleitung Werden zwei Terme einnder gleichgesetzt, sprechen wir von einer Gleichung. Enthlten eide Terme nur Zhlen, so entsteht eine Aussge, die whr oder flsch

Mehr

Kapitel: Endliche Automaten & reguläre Sprachen. Endliche Automaten und reguläre Sprachen 1 / 125

Kapitel: Endliche Automaten & reguläre Sprachen. Endliche Automaten und reguläre Sprachen 1 / 125 Kpitel: Endliche Automten & reguläre Sprchen Endliche Automten und reguläre Sprchen 1 / 125 Endliche Automten Endliche Automten erluen eine Beschreiung von Hndlungsläufen: Wie ändert sich ein Systemzustnd

Mehr

Die Dreiecke ADM A und BCM C sind kongruent aufgrund

Die Dreiecke ADM A und BCM C sind kongruent aufgrund Westfälische Wilhelms-Universität Münster Mthemtisches Institut pl. Prof. Dr. Lutz Hille Dr. Krin Hlupczok Üungen zur Vorlesung Elementre Geometrie Sommersemester 010 Musterlösung zu ltt 4 vom 3. Mi 010

Mehr

Kontextsensitive Sprachen. Christian Scheideler Universität Paderborn WS 2014

Kontextsensitive Sprachen. Christian Scheideler Universität Paderborn WS 2014 Kontextsensitive Sprchen Christin Scheideler Universität Pderorn WS 2014 Kontextsensitive Sprchen Definition 5.1.4 Eine Grmmtik heißt kontextsensitiv oder vom Typ Chomsky-1 flls für jede Regel u v gilt

Mehr

Grundlagen der Informatik II Übungsblatt: 2, WS 17/18 mit Lösungen

Grundlagen der Informatik II Übungsblatt: 2, WS 17/18 mit Lösungen PD. Dr. Prdyumn Shukl Mrlon Brun Micel Wünsche Dr. Friederike Pfeiffer-Bohnen Dr. Luks König Institut für ngewndte Informtik und Formle Beschreibungsverfhren Grundlgen der Informtik II Übungsbltt: 2, WS

Mehr

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 3 5. Semester ARBEITSBLATT 3 PARAMETERDARSTELLUNG EINER GERADEN

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 3 5. Semester ARBEITSBLATT 3 PARAMETERDARSTELLUNG EINER GERADEN Mthemtik: Mg. Schmid Wolfgng Areitsltt 3 5. Semester ARBEITSBLATT 3 PARAMETERDARSTELLUNG EINER GERADEN Wir wollen eine Gerde drstellen, welche durch die Punkte A(/) und B(5/) verläuft. Die Idee ist folgende:

Mehr

Satz 6.5 (Mittelwertsatz der Integralrechnung) Sei f : [a, b] R stetig. Dann gibt es ein ξ [a, b], so dass. b a. f dx = (b a)f(ξ) f dx (b a)m.

Satz 6.5 (Mittelwertsatz der Integralrechnung) Sei f : [a, b] R stetig. Dann gibt es ein ξ [a, b], so dass. b a. f dx = (b a)f(ξ) f dx (b a)m. Stz 6.5 (Mittelwertstz der Integrlrechnung) Sei f : [, b] R stetig. Dnn gibt es ein ξ [, b], so dss 9:08.06.2015 gilt. f dx = (b )f(ξ) Lemm 6.6 Sei f : [, b] R stetig und m f(x) M für lle x [, b]. Dnn

Mehr

Lösungsbeispiele zur Wiederholung quer durch den Stoff

Lösungsbeispiele zur Wiederholung quer durch den Stoff Vorlesung Theoretische Informtik Wintersemester 25/6 Dr. B. Bumgrten Lösungseispiele zur Wiederholung quer durch den Stoff. (Automten und Grmmtiken) ) (Zustndsnmen weggelssen, d irrelevnt. Hier ürigens

Mehr

13. Quadratische Reste

13. Quadratische Reste ChrNelius: Zhlentheorie (SS 007) 3 Qudrtische Reste Wir ehndeln jetzt ei den Potenzresten den Sezilfll m und führen die folgende Begriffsildung ein: (3) DEF: Seien n und teilerfremd heißt qudrtischer Rest

Mehr

Weihnachtsblatt zu Theoretische Grundlagen der Informatik im WS 2015/16

Weihnachtsblatt zu Theoretische Grundlagen der Informatik im WS 2015/16 Krlsruher Institut für Technologie Institut für Theoretische Informtik Prof. Dr. Peter Snders L. Hüschle-Schneider, T. Mier Weihnchtsltt zu Theoretische Grundlgen der Informtik im WS 2015/16 http://lgo2.iti.kit.edu/tgi2015.php

Mehr