Datenstrukturen & Algorithmen Lösungen zu Blatt 2 FS 16

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1 Eidgenössische Technische Hochschule Zürich Ecole polytechnique fédérle de Zurich Politecnico federle di Zurigo Federl Institute of Technology t Zurich Institut für Theoretische Informtik 9. März 2016 Peter Widmyer Thoms Tschger Dtenstrukturen & Algorithmen Lösungen zu Bltt 2 FS 16 Lösung 2.1 Asymptotische Lufzeit einschätzen. Die äussere Schleife wird Θ(log n Ml usgeführt. Die innere Schleife (Zeilen 2 und wird Θ(n Ml durchlufen. Insgesmt ist die Lufzeit dher in Θ(n log n. Die äussere Schleife wird Θ(n Ml usgeführt. Die innere Schleife (Zeilen 2 is 9 in jedem Durchluf i n Ml durchlufen, lso insgesmt n i=1 i = n(n+1 2 Θ(n 2 ml. Die while- Schleife (Zeile 4 und 5 wird jeweils Θ( n Ml durchlufen. Insgesmt ist die Lufzeit dher in Θ(n 2 n. c Der Aufwnd für die Zeilen 1 is 8 ohne den rekursiven Aufruf in Schritt 6 ist liner in n, d.h. er eträgt mximl cn für eine geeignet gewählte Konstnte c > 0. Die Gesmtlufzeit (mit Berücksichtigung der rekursiven Aufrufe ist dnn durch cn + c n 2 + c n +... = cn ( cn (1 nch oen eschränkt und eträgt dmit eenflls Θ(n. Lösung 2.2 Rekursionsgleichungen. Mittels Teleskopieren kommt mn uf folgende Vermutung: T (n = T + c n + d (2 ( = T 2 + c n + d + c n + d ( ( ( = T + c n 2 + d + c n + d + c n + d (4 = T + cn cn + cn + d2 + d + d (5 = log (n e + cn log (n 1 i=0 ( i + d log (n 1 i=0 i. (6 Durch Anwendung der geometrischen Summenformel erhlten wir für, 1 die geschlossene Form ( log (n T (n = log (n 1 e + cn 1 + d log(n 1. (7 1 Wir eweisen mittels vollständiger Induktion: Induktionsvernkerung: Die Vermutung ist korrekt für n = 1, denn T (1 = 0 e + c 0 + d 0 = e.

2 Induktionsnnhme: Wir nehmen n, dss unsere Vermutung für T (n/ korrekt ist, lso (es gilt log (n/ = log (n 1 T (n/ = log (n 1 e + cn ( log (n d log(n 1 1. (8 1 Induktionsschritt: Wir zeigen unter Verwendung der Induktionsnnhme, dss unsere Vermutung uch für T (n stimmt: T (n = T (n/ + cn + d ( Ind. Ann. = log (n 1 e + cn = log (n e + cn = log (n e + cn ( log (n d log(n ( log (n 1 + cn log (n 1 ( 1 + d log(n 1. 1 Hinweis: Für die Annhme, = 1 ändert sich unsere Vermutung zu T (n = e + cn ( 1 log (n Flls = und 1 gilt, gelngen wir zur Vermutung + cn + d d log(n + d d log (n = d log (n + c 1 n 1 + e. T (n = ne + cn log (n + d n 1 1. Lösung 2. Offene Hshverfhren. (i Lineres Sondieren: : h( = 18: h(18 = 4 2: h(2 = : h(4 = 4 h(4 1 h(4 2 2 h( : h(17 = h( h( h( Die Anzhl der Kollisionen eträgt 6. 2

3 (ii Qudrtisches Sondieren: : h( = 18: h(18 = 4 2: h(2 = : h(4 = 4 h(4 1 h( : h(17 = h( h( h( Die Anzhl der Kollisionen eträgt 5. (iii Doule Hshing: : h( = 18: h(18 = 4 2: h(2 = : h(4 = 4 h(4 h ( : h(17 = h(17 h ( Die Anzhl der Kollisionen eträgt 2. Dmit ist Doule Hshing für diese Sitution optiml. Die Löschung eines Schlüssels k ist prolemtisch, wenn ein weiterer Schlüssel k mit h(k = h(k nch Schlüssel k eingefügt wurde. Würde k einfch gelöscht werden (z.b. indem die Position ls frei mrkiert wird, dnn könnte der Schlüssel k nicht mehr gefunden werden, d ds Sondieren endet, sold eine freie Position gefunden wird. Im gegeenen Beispiel könnte der Schlüssel 17 nicht mehr gefunden werden. Aer uch der Schlüssel 4 könnte (zumindest ei linerem und qudrtischem Sondieren nicht mehr gefunden werden, denn die Sondierung räche vorzeitig, sold sie die (leere Position esucht. Folglich muss die entsprechende Position explizit ls gelöscht mrkiert werden, und ei der Suche nch einem Schlüssel muss die Sondierung fortgesetzt werden, sold eine solche Position gefunden wird. Selstverständlich drf die Mrkierung eim späteren Einfügen eines nderen Schlüssels üerschrieen werden, sofern dies nötig ist. Werden nun viele Schlüssel gelöscht, dnn knn es pssieren, dss die Suche nch einem Schlüssel sehr ineffizient wird (denn die Sondierung esucht u.u. viele ls gelöscht mrkierte Positionen. Hshing ist lso esonders dnn geeignet, wenn Schlüssel grösstenteils eingefügt und gesucht, jedoch nur selten gelöscht werden.

4 c Auch hier nehmen wir n, dss eide Sondierverfhren zuerst nch links sondieren. Wir fügen in die Hshtelle die 4-Tupel 6j +, 6j + 4, 6j + 5, 6j + m + 4 für j = 0,..., n/6 1 ein. Qudrtisches Sondieren erzeugt für jedes 4-Tupel genu drei Kollisionen und fügt die Elemente schliesslich n den Stellen 6j +, 6j + 4, 6j + 5 und 6j ein. Lineres Sondieren erzeugt nur jeweils zwei Kollision und fügt ds letzte Element des Tupels n der Stelle 6j + 2 ein. Sondiert mn eim qudrtischen Sondieren hingegen zuerst nch rechts, so reicht es, wenn mn Tripel der Form j +1, j +2, j +1+m für j = 0,..., n/ 1 einfügt. Qudrtisches Sondieren erzeugt für jedes solche Tripel genu zwei Kollisionen und fügt die drei Elemente schliesslich n den Stellen j + 1, j + 2, j ein. Lineres Sondieren erzeugt nur jeweils eine Kollision und fügt die Elemente n die gleichen Positionen ein. In diesem Fll git es sogr eine einfchere Sequenz, ei der qudrtisches Sondieren n 1 Kollisionen erzeugt und lineres nur eine, nämlich 1, 1, 2,, 4,..., n 1. Bei qudrtischem Sondieren kollidiert jedes Element mit seinem Vorgänger in der Einfügereihenfolge. Bei linerem Sondieren kollidiert lediglich die zweite 1 mit der ersten und wird dnn n Position 0 eingefügt. Lösung 2.4 Kuckucks-Hshing (Cuckoo hshing. Im folgenden wird Telle T 1 (links und T 2 (rechts nch jeder Einfügeopertion drgestellt: Beim Einfügen des Schlüssels 48 terminiert ds Verfhren nicht. In der folgenden Telle werden lle Verdrängungsopertionen ufgeführt is diesele Tellenkonfigurtion wie zu Beginn uftritt. 4

5 Schlüssel Eintrg in T 1 Eintrg in T 2 vorher nchher vorher nchher