Kapitel 1 : Mathematische Grundlagen und Stöchiometrie

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1 pitel : Mthemtische Grundlgen und Stöchiometrie Elementre Rechenumformungen. Dreistzrechnung : Immer dnn, wenn zwei Meßgrößen zueinnder proportionl bzw. indirekt proportionl (d.h. die eine proportionl zum ehrwert der nderen) sind. Beispiel. : Eine vorgegebene Proteinlösung ht eine onzentrtion von mg. Es sollen 5 µl einer Proteinlösung mit einer onzent- ml rtion von,3 mg erstellt werden. Wie viele µl der vorliegenden ml Proteinlösung werden benötigt? Lösung (Direkter Dreistz) : Bei konstnter onzentrtion sind die Msse der Substnz und ds Volumen der Lösung zueinnder proportionl.. Schritt : Berechne die in der neuen Lösung gelöste Proteinmsse y: Direkter Dreistz ml = µ l µ l 5 µ l enthlten,3 mg,3 enthält mg,3 5 enthlten y = mg =,5 mg. Schritt : Berechne ds benötigte Volumen x der gegebenen Lösung:

2 3 Direkter Dreistz mg in mg in,5 mg in ml ml,5 x = ml =,75 ml = 7,5µ l Antwort : 7,5 µl der vorgegebenen Lösung müssen mit 49,5 µl des Lösungsmittels vermischt werden. Beispiel.3 : µl eines 7 M Hrnstoffes wird mit einer Pufferlösung uf 5 µl verdünnt. Mn bestimme die onzentrtion des Hrnstoffes in der verdünnten Lösung. Molrität : M = mol l (molr); mol = Atommsse der Substnz in Grmm mol enthält 6 3 Teilchen (Avogdro Zhl). Lösung (Indirekter Dreistz) : Bei konstnter Msse der gelösten Substnz sind die onzentrtion und ds Volumen der Lösung zueinnder indirekt proportionl. Indirekter Dreistz In µ l gelöster Hrnstoff ist In µ l gelöster Hrnstoff ist In 5µ l gelöster Hrnstoff ist Antwort : Die verdünnte Hrnstofflösung ist,4 M. 7 M 7 M 7 x = M 5 =,4 M

3 4 Alterntive Lösung von Beispiel. : x = benötigtes Volumen der gegebenen Proteinlösung in µl Nch dem Verdünnen liegt dieselbe Msse n Proteinen vor wie zuvor. x D x µl = ml und 5 µl =,5 ml, erhält mn x =,5 3,3 443 nchher vorher ( ), x =,5 :,,5 x = = 7,5 (µl), ( ) ist eine (linere) Gleichung!.4 Bestimmungsgleichungen mit einer Unbeknnten : Mnipultionen : ) R = L, L = R ) L + c = R + c, b) L c = R c c) L c = R c (flls c ), d) L / c = R / c (flls c ) e) = L R (flls L = R ) f) f sei eine n der Stelle L (= R) definierte Funktion. L = R f(l) = f(r) g) Zu lösen sei folgende Gleichung: ( ) x = b, wobei b (!) Es gibt genu ein c mit c = b. Wir setzen b = c, d.h. ( b ) = b. Außerdem ist ( b ) = b. ( ) ht lso die beiden Lösungen x, = ± b.

4 5 Beispiel.5 : Ds Hrdy Weinberg Gesetz Wir betrchten eine sehr große Popultion von diploiden Individuen mit Bezug uf einen einzigen Genort. Ds Gen liege in zwei Allelen A und vor. Genotypen : AA, A, Die nächste Genertion werde durch zufällige Prung gebildet: Vereinigung der Gmeten zufällig, Zhl der Nchkommen unbhängig vom Genotyp der Eltern. Dnn: Die reltiven Anteile x und y (= x) der A bzw. Allele bleiben konstnt durch lle Genertionen. Die reltiven Anteile r, s und t der Genotypen AA, A und bleiben konstnt b der ersten Tochtergenertion und errechnen sich zu r = x, s = xy, t = y. (r + s + t = (x + y) = ). Aufgbe : Die Popultion sei im Hrdy Weinberg Gleichgewicht. s = ¼. Wie groß ist x?

5 6 Lösung : ¼ = s = xy = x( x) = (x x ), d.h. ( ) (x x ) = ¼ : Zu lösen ist lso die qudrtische Gleichung ( ) : x x = ( ) 8 x x = x x + 8 = Wir hben ( ) lso uf die spezielle Gestlt : gebrcht. x + px + q = (p =,q = 8 ) p p p q Formel : x, = ± q. x, = ± = ( ± 4 8 x =,8536 und x =,464. ), d.h. Ob nun x = x oder x läßt sich nur entscheiden, wenn weitere Informtion vorhnden ist. Beobchtet mn zum Beispiel mehr Homozygote AA ls Homozygote, dnn ist x = x und dmit y = x. Beispiel.6 : Die onzentrtion einer giftigen Substnz wird im örper eines Tieres exponentiell bgebut: c(t) = c e α t, α >.

6 7 c : Anfngskonzentrtion T : Hlbwertszeit ( ) c(t) = c e α T = c e α T = ½ ln(e α T ) = ln(½), d.h. αt = ln ln T =. α Stöchiometrie, Linere Gleichungssysteme, Gußsches Elimintionsverfhren : Beispiel. : (us der Stöchiometrie) Rektionsgleichung der lkoholischen Gärung : Glukose Ethnol ohlendioxid ( ) x C 6 H O 6 y C H 5 OH + z CO Der Vergleich der Anzhlen der Atome der einzelnen beteiligten chemischen Elemente uf beiden Seiten von ( ) ergibt Folgendes:

7 8 Lineres Gleichungssystem : C : 6 x = y + z () H : x = 6 y () O : 6 x = y + z (3) Lösen durch geschicktes Umformen und Einsetzen: () y = x ( ) 6 x = 4 x + z x = z (3 ) 6 x = x + z x = z Für x knn lso eine beliebige (ntürliche) Zhl gewählt werden: x =, y =, z =, I N = {,, 3,... } Es gibt deshlb unendlich viele Lösungen von ( ). Ds ist nicht verwunderlich, denn mit x, y, z sind uch n x, n y, n z, n I N, Lösungen von ( ). Die kleinste Lösung : x =, y =, z =, d.h. =, führt zu folgender stöchiometrischen Gleichung : C 6 H O 6 C H 5 OH + CO Aufgbe: Wie groß ist die ttsächliche Ausbeute n Ethnol in % (bezogen uf die ngewendete Glukose), wenn us 5g Glukose 3g Ethnol erhlten wird? Lösung : Mit Hilfe der Atommssen us dem Periodensystem errechnet mn: mol C 6 H O 6 (= 6,g +,g + 6 6g = 8,8g) liefert theoretisch mol C H 5 OH (= 46,8g = 9,6g)

8 9 5g dher 5 9,6 g = 55,74g. 8,8 55,74g Ethnol entsprächen eine Ausbeute von %. Ttsächlich wurden nur 3g Ethnol erhlten, eine Ausbeute von 89,94%. 3 55,74 = Ds obige linere Gleichungssystem 6 x x x 3 = () x 6 x + x 3 = () 6 x x x 3 = (3) wollen wir etws nders lösen. Es ist gleichwertig zu A = x x - x 3 = A x = b heißt oeffizienten Mtrix x = b = x x x 3 heißt Lösungsvektor heißt onstntenvektor des Gleichungssystems A x = b.

9 Allgemein: (LG) M m M m M n x x n M M x mn n = b b M b m A x = b Grundlegende Idee : Die Lösungsmenge (die uch leer sein knn) ändert sich nicht, wenn () eine Gleichung mit einer onstnten c multipliziert wird. (b) zu einer Gleichung ein Vielfches einer nderen Gleichung ddiert wird. (c) die beteiligten Gleichungen vertuscht werden. Weitere vereinfchende Schreibweise von (LG) : Erweiterte oeffizienten Mtrix : (A, b) = () : Multipliktion einer Zeile mit c. M m M m M n n M mn (b) : Addition eines Vielfchen einer Zeile zu einer nderen Zeile. (c) : Vertuschung der Zeilen der Mtrix (A, b). b b M b m Als nächstes betrchten wir einen Spezilfll, für den mn die Lösungen unmittelbr berechnen knn.

10 Definition.: Eine Mtrix A ht eine Zeilenstufenform (mit r Stufen), wenn sie folgende Gestlt ht: A = M M r m r j j j 3 j r- j r- j r wobei die ( ) chen lle von verschieden sind. Genuer : A ht eine Zeilenstufenform mit r Stufen, wenn: () ij = für lle i > r, und für lle i r gibt es ein j mit ij. () Setzt mn j i : = min{ j ij }, i r, dnn ist j < j < j 3 <... < j r. Die ( ) chen werden ls Pivots der Zeilenstufenmtrix bezeichnet. Ds sind lso die Mtrixelemente j,j,,rj, die lle von r verschieden sind. Beispiel.3 : m = 4, n = 6. (A, b) = 3 Hier ist r = 3; j =, j = 3, j 3 = 5. j j j 3

11 Ht die oeffizientenmtrix A eine Zeilenstufenform, so lssen sich die Lösungen von A x = b leicht berechnen. Lösungsmethode.4: ) Ist b i für ein i > r, so ht ds Gleichungssystem keine Lösung, d die i-te Gleichung x + x x n = b i ( ) nicht lösbr ist. Beispiel.5 : (A, b) = b) Es seien nun b i = für lle r + i m., Lösungsmenge: I L(A b) =. Die Lösungen findet mn, indem mn die ersten r Gleichungen in umgekehrter Reihenfolge nch den x, i = r, r-, r-,...,, uflöst. j i Ist j { j, j, j 3,..., j r }, dnn drf mn für x j jede beliebige reelle Zhl einsetzen. Demonstrieren wir dies n Beispiel.3 : { j, j, j 3 } = {, 3, 5 } ; b 4 =., 4, 6 { j, j, j 3 }, d.h. wir wählen x =, x 4 = b, x 6 = c;, b, c I R (Menge der reellen Zhlen) beliebig. x 6 = c; x 5 + x 6 = x 5 + c = x 5 = ½ c ; x 4 = b; x 3 + x 4 + x 6 = x 3 + b + c = x 3 = b c; x + x 4 + 3x 6 = x + b + 3c = x = b 3c; x = ; I L(A b) = { (, b 3c, b c, b, ½ c, c), b, c I R }.

12 3 Ws ist zu tun, wenn A keine Zeilenstufenform ht? Stz.6 : Jede oeffizientenmtrix A knn mit Hilfe obiger Zeilenopertionen (), (b) und (c) in eine Mtrix A ~ mit Zeilenstufenform verwndelt werden. Führt mn n b dieselben Zeilenopertionen wie n A durch (und erhält so b ~ ), dnn gilt I L(A b) = I L(A ~ ~ b ), und unser Gleichungssystem knn wie oben gelöst werden. Demonstrieren wir dies n Beispiel. : j j Pivots : und ; b 3 = ; wir wählen x 3 = c, c I R beliebig. x 3 = c; x + x 3 = x + c = x = c; 6x x x 3 = 6x c c = x = c/; Setzen wir = c/ dnn erhlten wir die uns bereits beknnte Lösungsmenge: I L(A b) = { (,, ) I R }.