Facharbeit. Darstellung und Vergleich: Gaußsches Eliminationsverfahren Cramersche Regel. unter besonderer Beachtung der Benutzbarkeit und Grenzen

Transkript

1 Gustv-Heinemnn-Gesmtschule, Alsdorf Fchrbeit Drstellung und Vergleich: Gußsches Elimintionsverfhren Crmersche Regel unter besonderer Bechtung der Benutzbrkeit und Grenzen des GTR Von: Crsten Filz Leistungskurs Mthemtik bei Herrn Großmnn Schuljhr 7/8 Abgbedtum. Februr 8

2 Drstellung und Vergleich: Gußsches Elimintionsverfhren Crmersche Regel unter besonderer Bechtung der Benutzbrkeit und Grenzen des GTR. Motivtion zum Them.... Historisches Gußsches Elimintionsverfhren Dreiecksgestlt eines Gleichungssystems Digonlengestlt eines Gleichungssystems Anzhl der Lösungen Eine eindeutige Lösung Viele Lösungen Keine Lösung Crmerscher Regel Linere Gleichnungssysteme mit zwei Unbeknten Linere Gleichungssysteme mit drei Unbeknnten Linere Gleichungssysteme mit mehr ls drei Unbeknten Drstellung zur Bedienung des GTR EQUA-Modus Mtrizen-Modus Lösung mittels Gußsches Elimintionsverfhren Lösung mittels Crmerscher Regel Eigenes Fzit Anhng Literturverzeichnis Erklärung zur Fchrbeit...

3 Drstellung und Vergleich: Gußsches Elimintionsverfhren Crmersche Regel unter besonderer Bechtung der Benutzbrkeit und Grenzen des GTR. Motivtion zum Them Meine Fchrbeit schreibe ich in dem Fch Mthemtik, d mich die Mthemtik fsziniert. Ds Lösen von lineren Gleichungssystemen gehört zu den elementren Verfhren der Mthemtik, dher sind sie für mich von besonderem Interesse. Ds Gußsche Elimintionsverfhren und die Crmersche Regel sind Stndrdverfhren zum Lösen von lineren Gleichungssystemen, die jeder beherrschen sollte, der sich mit der höheren Mthemtik beschäftigt. Dher soll diese Fchrbeit die wesentlichen Aspekte dieser beiden Verfhren nhnd von einfchen Anwendungsbeispielen verständlich erläutern. In den meisten Mthemtikbüchern werden solche Verfhren wie für Fchleute üblich beschrieben, und sind dher oft für Anfänger schwer verständlich. Heute wird im Unterricht häufig mit leistungsfähigen Tschenrechnern wie dem CASIO GTR gerbeitet. Dher wird die Anwendung der oben gennnten Verfhren unter Verwendung des CASIO GTR im Anschluss n die grundsätzlichen Erläuterungen ebenflls nhnd einfcher Beispiele erklärt. Von meiner Fchrbeit, erwrte ich, dss sie den Anfängern hilft ds Gußsche Elimintionsverfhren und die Crmersche Regel schnell zu verstehen, und dss sie für den Unterricht späterer Jhrgänge verwendet werden knn.

4 . Historisches Crl Friedrich Guß (777-85) Crl F. Guß wird oft ls der größte Mthemtiker ller Zeiten bezeichnet, d er viele Gesetze der Mthemtik erfnd und bewies, wie z.b. ds ein 7-Eck mit einem Zirkel und einem Linel konstruierbr ist die Guß`sche Whrscheinlichkeit Verteilung in der Stochstik Methode der kleinsten Fehlerqudrte Ds Gußsche Elimintionsverfhren oder wie es uch häufig bezeichnet wird Guß`scher Algorithmus zum lösen linerer Gleichungssysteme. Crl Friedrich wr ds einzige Kind der Eheleute Gerhrd Dietrich und Dorothe Guß, geb. Benze. Die Mutter, eine nhezu nlphbetische, jedoch in hohem Grde intelligente Tochter eines rmen Steinmetzen, rbeitete zunächst ls Dienstmädchen, bevor sie die zweite Fru von Gerhrd Dietrich Guß wurde. Dieser htte viele Berufe, er wr unter nderem Gärtner, Schlchter, Murer, Kufmnnsssistent und Schtzmeister einer kleinen Versicherungsgesellschft. Anekdoten besgen, dss bereits der dreijährige Crl Friedrich seinen Vter bei der Lohnbrechnung korrigierte. Später sgte er von sich selbst, er hbe ds Rechnen vor dem Sprechen gelernt. Sein Leben lng behielt er die Gbe, selbst komplizierteste Rechnungen im Kopf durchzuführen. Im Alter von neun Jhren km Guß in die Volksschule. Dort stellte sein Lehrer Büttner seinen Schülern ls Beschäftigung die Aufgbe, die Zhlen von bis zu summieren. Guß htte sie llerdings nch kürzester Zeit gelöst, indem er 5 Pre mit der Summe bildete ( +, + 99,..., 5 + 5) und 55 ls Ergebnis erhielt. Die drus resultierende Formel wird gelegentlich uch ls der kleine Guß bezeichnet. // Gbriel Crmer (74 75) Die Crmer sche Regel wurde 75 von Gbriel Crmer im Anhng seines Buches Introduction l nlyse de lignes courbes lgebriques veröffentlicht. Er gb drin explizit die Formeln für linere Gleichungssysteme mit bis zu drei Gleichungen n und beschrieb, wie mn die Lösungsformeln für Gleichungssysteme mit mehr Gleichungen erstellen knn. D die Determinnte noch nicht eingeführt wr, verwendete er Brüche mit je einem Polynom im Zähler und Nenner //. 4

5 . Gußsches Elimintionsverfhren.. Dreiecksgestlt eines Gleichungssystems Die Dreiecksgestlt des Gleichungssystems bedeutet, dss nch der ersten Zeile die Anzhl der Vriblen von oben nch unten von links ngefngen jeweils um eine bnimmt. In der letzten Zeile bleibt dnn nur noch die Lösung für die letzte Vrible übrig. Ds Gleichungssystem knn dnn durch Rückwärtseinsetzen gelöst werden. Es muss lso pro Zeile von oben nch unten und von links nch rechts immer eine Vrible mehr eliminiert werden. Dies mcht mn durch geschicktes Dzuddieren bzw. Subtrhieren der ersten Zeile zu llen unter ihr liegenden, so dss die Koeffizienten der ersten Splte (Vrible x im Beispiel) werden. Anschließend wird ds Verfhren von der. Zeile n entsprechend wiederholt. Beispiel: Zeile : x + y + z = Zeile : x + y + z = Zeile : x + y + z =. Umformung: subtrhiere Zeile von Zeile Zeile : x + y + z = Zeile : - y - z = < = > -x + y - y + z - z = - Zeile : x + y + z =. Umformung: subtrhiere Zeile ml von Zeile Zeile : x + y + z = Zeile : - y - z = Zeile : - y - 8 z = -6 x -x + y -6y + z - 9z = - 6. Umformung: subtrhiere Zeile ml zu Zeile Zeile : - y +y - 8 z + 6z = -6 5

6 Dies ist die Dreiecksform: x + y + z = -y - z = - z = -6 Lösung des Gleichungssystems durch Rückwärtseinsetzen: z = y=-6 x=5 Im Folgenden benutze ich für ds Schreiben von lineren Gleichungssystemen die Mtrix- Vektorschreibweise bzw. die vereinfchte Mtrizenschreibweise, welche folgendermßen funktioniert: ( ( ) ( ) ( ) x ) ( y = z oder ) Stellt ds Gleichungssystem x + y + z = x + y + z = x + y + z = dr. In der ersten Splte stehen die Fktoren der Vrible x, in der zweiten die der Vrible y, in der dritten die der Vrible z und in der vierten die rechte Seite des Gleichungssystem. Die linke Mtrix nennt mn uch Koeffizientenmtrix. Ds oben beschriebene Verfhren funktioniert nur, wenn ds Digonlelement der ktuell berbeiteten Splte nicht Null ist. Ds heißt, z.b. in Zeile drf ds Element in Splte nicht Null sein. In so einem Fll knn durch Zeilenvertuschung ein Nichtnulleintrg uf der Digonle erzeugt werden. Mit Hilfe dieser beiden Arten von Umformungen ist es möglich, jedes linere Gleichungssystem uf Stufenform zu bringen. 6

7 .. Digonlengestlt eines Gleichungssystems Mit dem nch Crl Friedrich Guß und Wilhelm Jordn bennnten Verfhren lässt sich die Lösung eines lineren Gleichungssystems direkt berechnen. Es ist eine Erweiterung des Gußschen Elimintionsverfhrens, bei dem nicht wie in der Dreiecksform nur die Koeffizienten unterhlb der Digonle zu Null gemcht werden sondern uch die Koeffizienten oberhlb der Digonle. Mn erhält dnn die so gennnte Digonlengestlt in der für jede Zeile die Lösung für die entsprechende Vrible direkt bgelesen werden knn. Beispiel Es ist ds folgende linere Gleichungssystem und die erweiterte Koeffizientenmtrix des Gleichungssystems gegeben: x +y + z = x + y + z = ( ) x + y + z = Es werden nun folgende Zeilentrnsformtionen vorgenommen: Zu Zeile wird ddiert: - * Zeile. Zu Zeile wird ddiert: - * Zeile. ( 8 ) 6 Zu Zeile wird ddiert:- * Zeile. ( ) 6 Zu Zeile wird ddiert:,5 * Zeile. Zu Zeile wird ddiert: - * Zeile. ( )

8 Zu Zeile wird ddiert: - * Zeile. Zeile wird durch dividiert ( ) 5 6 Diese Mtrix stellt direkt die Lösung des Gleichungssystems dr. x = 5 y = 6 z =.. Anzhl der Lösungen Es gibt homogene und inhomogene linere Gleichungssysteme. Hier ein llgemeines Beispiel für ein lineres Gleichungssystem mit Unbeknnten: ( ) ( ) ( ) x x x = b b b Bei einem homogenen lineren Gleichungssystem sind lle b i =. Bei einem inhomogenen lineren Gleichungssystem ist mindestens ein b i. Homogene linere Gleichungssysteme können entweder die trivile Lösung oder mehrere Lösungen hben: Trivile Lösung: Die trivile Lösung ist der Nullvektor; ds bedeutet, dss mn lle Gleichungen nur erfüllen knn, wenn mn lle Vriblen uf Null setzt. Dieser Fll tritt dnn ein, wenn mn ds homogene linere Gleichungssystem so uf Zeilenstufenform bringen knn, dss in jeder Zeile von oben nch unten eine Null hinzukommt und so genu so viele Zeilen wie Splten in der Mtrix entstehen. Beispiel für ein Gleichungssystem mit einer Mtrix in Zeilenstufenform, die besgt, dss es nur die trivile Lösung gibt: 8

9 // Aus der letzten Zeile folgt bei diesem Gleichungssystem x =. Dnn folgt us der zweiten Zeile x = und schließlich us der ersten x =. Deshlb gibt es nur den Nullvektor ls Lösung. Mit einem homogenen lineren Gleichungssystem knn mn testen, ob Zeilen oder Splten liner bhängig oder unbhängig voneinnder sind. Ht ds erzeugte homogene linere Gleichungssystem nur die trivile Lösung, so sind die Zeilen liner unbhängig. Besteht linere Abhängigkeit, d.h. z.b. gibt es Zeilen, die ein Vielfches einer nderen Zeile sind, ht ds System mehr Vriblen ls voneinnder unbhängige Gleichungen und ist dmit unbestimmt. In diesem Fll gibt es unendlich viele Lösungen. Inhomogene Gleichungssysteme können eine eindeutige, viele Lösungen oder keine Lösung hben.... Eine eindeutige Lösung Ein inhomogenes lineres Gleichungssystem ht, dnn eine eindeutige Lösung, wenn es sich uf Dreiecksform bringen lässt, die Anzhl der Zeilen konstnt bleibt und jedes Digonlenelement von Null verschieden ist. In diesem Fll ist der Rng der Ursprungsmtrix gleich dem Rng der Dreiecksmtrix.... Rng einer Mtrix Der Rng einer Mtrix mit m Zeilen und n Splten Rng (A) m,n ist kleiner oder gleich dem Minimum (m,n), wobei m und n die mximle Anzhl liner unbhängiger Zeilen- bzw. Spltenvektoren sind. Eine Möglichkeit heruszufinden, ob ein inhomogenes Gleichungssystem eine eindeutige Lösung ht, ist, wenn ds dzugehörige homogene Gleichungssystem, ds ddurch erzeugt wird, indem lle b i uf Null gesetzt werden, nur die trivile Lösung ht. 9

10 Ein einfches Verfhren die Anzhl der Lösungen eines lineren Gleichungssystems zu bestimmen ist ds Errechnen der Determinnte A.... Bildung von Determinnten Die Determinnte A oder det A wird gebildet: Für eine nur us einem Koeffizienten bestehende -Mtrix A ist Ist A eine -Mtrix, dnn ist Für eine -Mtrix A gilt die Formel /4/ Will mn diese Determinnte von Hnd berechnen, so stellt die Regel von Srrus dfür ein einfches Schem zur Verfügung. In der lineren Algebr ist die Regel von Srrus (oder srrussche Regel) ein Schem, mit dem die Determinnte einer x -Mtrix leicht von Hnd berechnet werden knn. Sie ist bennnt nch dem frnzösischen Mthemtiker Pierre Frederic Srrus. Es hndelt sich um einen Spezilfll der Leibniz-Formel. Für die x -Mtrix

11 besteht die Determinnte us 6 Summnden von je Fktoren, die leicht mit dem folgenden Schem ermittelt werden können. Dbei schreibt mn die ersten beiden Splten der Mtrix rechts neben die Mtrix und bildet Produkte von je Zhlen, die durch die schrägen Linien verbunden sind. Dnn werden die nch unten verlufenden Produkte ddiert und dvon die nch oben verlufenden Produkte subtrhiert. Mn erhält uf diese Weise die Determinnte von A: det(a) = ei + bfg + cdh gec hf idb. /5/ Determinnten 4. Ordnung können durch ds Einführen von Unterdeterminnten bestimmt werden: = A A A + A 4 4 Die Einführung der Unterdeterminnten führt dnn uf:

12 Auf die so entstehenden dreireihigen Determinnten knn dnn die Regel von Srrus ngewendet werden. Ein lineres Gleichungssystem ist nur dnn eindeutig lösbr, wenn die Determinnte der Koeffizientenmtrix ungleich Null ist.... Viele Lösungen Ein inhomogenes lineres Gleichungssystem ht unendlich viele Lösungen, wenn ein Digonlenelement der Koeffizientenmtrix Null ist und uch b i gleich Null ist. In diesem Fll ist der Rng der Koeffizientenmtrix kleiner ls m die Anzhl der Zeilen.... Keine Lösung Ein inhomogenes lineres Gleichungssystem ht keine Lösungen, wenn ein Digonlenelement der Koeffizientenmtrix Null ist und b i ungleich Null ist. Eine solche Gleichung heißt entrtet //. Entrtete Gleichungen sind nicht erfüllbr und somit ist ds gesmte Gleichungssystem nicht erfüllbr, ht lso keine Lösung. 4. Crmerscher Regel Die Crmer sche Regel oder Determinntenmethode ist eine mthemtische Formel für die Lösung eines lineren Gleichungssystems. Für die Berechnung einer Lösung ist der Rechenufwnd jedoch bei größeren Gleichungssystemen reltiv hoch, d ds Berechnen der Determinnten ufwändig ist. Die Crmer sche Regel geht uf Gbriel Crmer zurück, der sie im Jhr 75 veröffentlichte. Ausgngspunkt für die Crmer sche Regel ist ein immer lineres Gleichungssystem mit genu so vielen Gleichungen wie Unbeknnten. Mn spricht hierbei von einem qudrtischen lineren Gleichungssystem. Dieses System muss zusätzlich eindeutig lösbr sein, ws sich m einfchsten

13 überprüfen lässt, indem mn die Determinnte der Koeffizientenmtrix berechnet /6/. Verfhren Die Crmersche Regel lutet: xi = Ai A A ist dbei die Determinnte der Koeffizientenmtrix Ai ist die Determinnte der modifizierten Koeffizientenmtrix in der die i-te Splte durch den Vektor b i usgetuscht wurde Ds bedeutet, dss die Lösung der Vrible x i eines lineren Gleichungssystems bestimmt werden knn, indem mn den Quotient dieser beiden Determinnten bildet /6/. Ist die Determinnte der Koeffizientenmtrix A ungleich Null ist ds linere Gleichungssystem eindeutig lösbr. Sind die Determinnte der Koeffizientenmtrix A und lle Determinnten Ai der modifizierten Koeffizientenmtrizen gleich Null, ht ds linere Gleichungssystem unendlich viel Lösungen. Sind die Determinnte der Koeffizientenmtrix A und nicht lle Determinnten Ai der modifizierten Koeffizientenmtrizen gleich null, ht ds linere Gleichungssystem keine Lösung /7/.

14 4.4. Linere Gleichungssysteme mit zwei Unbeknten Ds folgende linere Gleichungssystem mit Unbeknnten x + y = 6 6 x 4y = lässt sich mit der Crmerschen Regel folgendermßen lösen: A = 4 A = 4 = 5 A = A = 6*( 4) ( 8) = A = 6 8 A = ( 8) 6 = 8 Drus folgt x = / (-5) = -46 ; x = (-8)/(-5) = Linere Gleichungssysteme mit drei Unbeknnten Ds folgende linere Gleichungssystem mit Unbeknnten ( ) läßt sich mit Hilfe der Crmerschen Regel folgendermßen lösen Anwendung der Regel von Srrus zur Bestimmung der Determinnte A: A = = Anwendung der Regel von Srrus zur Bestimmung der Determinnte A : 4

15 A = = Drus ergibt sicht det A / det A = x = / = 5 Anwendung der Regel von Srrus zur Bestimmung der Determinnte A : A = = Drus ergibt sicht det A / det A = x = - / = -6 Anwendung der Regel von Srrus zur Bestimmung der Determinnte A : A = = 6 Drus ergibt sicht det A / det A = x = 6 / = 4.6. Linere Gleichungssysteme mit mehr ls drei Unbeknten Linere Gleichungssysteme mit mehr ls drei Unbeknnten lssen sich zwr grundsätzlich mit der Crmerschen Regel lösen, jedoch wird ds Verfhren mit zunehmender Anzhl der Unbeknnten sehr ufwändig. Um mit der Crmer schen Regel ein lineres Gleichungssystem mit n Unbeknnten zu lösen, müssen n + Determinnten berechnet werden. Die Anzhl der uszuführenden rithmetischen Opertionen hängt dmit llein vom Algorithmus zur Berechnung der Determinnten b. Nimmt mn die von Crmer verwendeten Polynome der Leibniz-Formel, so muss mn für jede Determinnte Multipliktionen und n Additionen durchführen. Schon bei einem System us vier Gleichungen sind 6 Multipliktionen, vier Divisionen und 5 Additionen notwendig. Im Vergleich zu nderen Verfhren sind dies sehr viele Opertionen. Auch unter 5

16 Verwendung effektiver Algorithmen zur Determinntenberechnung ist der Rechenufwnd für die Lösung eines lineren Gleichungssystems mit der Crmer schen Regel wesentlich höher ls beispielsweise beim Gußschen Elimintionsverfhren. /6/ Aus diesem Grund werden linere Gleichungssysteme mit 4 und mehr Unbeknnten normlerweise nicht mit der Crmerschen Regel gelöst. 5. Drstellung zur Bedienung des GTR 5.. EQUA-Modus Der Csio GTR cfx-985gc plus knn mit Hilfe des EQUA Modus linere Gleichungssysteme von zwei bis sechs Unbeknnten lösen. Zur Bedienung: Um ein lineres Gleichungssystem im EQUA Modus zu lösen muss mn in den EQUA Modus gehen und dnn [F] (SIML) drücken. Dnch muss die Anzhl der Unbeknnten des zu lösenden Gleichungssystems eingegeben werden. Ds Gleichungssystem dieses Beispiels lutet: 4x + y z = x + 6y + z = 5x + 4y + z = 7 Also ist die Anzhl der Unbeknnten. 6

17 Dnn wird ds Gleichungssystem eingegeben. Nch Drücken der exe-tste wird der Lösungsvektor ngezeigt. GTR Screenshots /8/ 5.. Mtrizen-Modus Im Mtrizen-Modus knn mn Linere Gleichungssysteme mit bis zu unbeknnten Lösen. Zur Bedienung: Um ein lineres Gleichungssystem im MAT-Modus zu lösen, muss mn in den MAT-Modus gehen und die Anzhl der Zeilen und Splten eingeben: dnn muss mn nur noch die Mtrix wie im EQUA-modus eingeben. 7

18 5... Lösung mittels Gußsches Elimintionsverfhren Jetzt müssen mit dem GTR die gleichen Opertionen durchgeführt werden wie in.. Beispielhft wird im Folgenden gezeigt, wie diese Opertionen mit GTR durchgeführt werden: Zu Zeile wird ddiert: - * Zeile Drücke: F: R-OP F: XRw+ k ist der Sklrmultipliktor mit der Zeile multipliziert werden soll. In diesem Fll ist er -. M ist die Zeile die mit dem Sklrmultipliktor multipliziert werden soll. In diesem Fll Zeile. N ist die Zeile zu der ds Ergebnis der Multipliktion ddiert werden soll. In diesem Fll Zeile. Dmit ist die erste Zeilentrnsformtion gemäß. uf dem GTR usgeführt. Alle weiteren Trnsformtionen müssen entsprechend. uf dem GTR usgeführt werden, um ds Gleichungssystem zu lösen. Der letzte Schritt: Division der Zeile durch wird folgendermßen durchgeführt: F: ROP F: XRw 8

19 k ist der Sklrmultipliktor mit dem Zeile multipliziert werden soll. In diesem Fll ist er gleich,5. m ist die Zeile mit der er multipliziert werden soll. Dnn erhält mn ds Ergebnis wie in. us dem die Lösung des Gleichungssystemes direkt bgelesen werden knn Lösung mittels Crmerscher Regel Um Determinnten zu berechnen muss mn folgende Schritte im GTR durchführen: Als Beispiel wird die Koeffizientenmtrix us 4.5 verwendet. Anschließend Menü Tste drücken und in den Run Modus gehen. OPT F Mt F Det F Mt Alph A 9

20 Exe Mn erhält die Lösung. In gleicher Weise können nun die Schritte in 4.5 zur Berechnung der modifizierten Koeffizientenmtrizen A i durchgeführt werden. Bei größeren Mtrizen können für die Erstellung der modifizierten Koeffizientenmtrizen die Splten Opertionen des GTR genutzt werden, welche uf Seite 4 im Hndbuch beschrieben sind. 6. Eigenes Fzit Ich hlte ds Gußsche Elimintionsverfhren für die universelle Lösungsmethode von lineren Gleichungssystemen. Es ist insbesondere für größere Gleichungssysteme nzuwenden. Für kleinere Gleichungssyteme x ist die Crmersche Regel ufgrund seiner einfchen Systemtik insbesondere mit der Regel von Srrus leichter nzuwenden. Mit dem GTR ist in jedem Fll für Gleichungssysteme mit bis zu 6 Unbeknnten der EQUA Modus die beste Lösung. Sowohl ds Gußsche Elimintionsverfhren ls uch die Crmersche Regel sind uf dem GTR etws umständlich, wobei ich ds Gußsche Elimintionsverfhren vorziehe. Speziell für größere Mtrizen b 4 x 4 wird es wegen des kleinen Displys grundsätzlich etws unübersichtlich.