Klausur Wirtschaftsmathematik VO

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1 Klusur Wirtschftsmthemtik VO 04. Juli 2015 Bitte leserlich in Druckbuchstben usfüllen! NACHNAME: VONAME: MATIKELNUMME: ELAUBT: nur die Formelsmmlung des Instituts! VEBOTEN: Tschenrechner und Hndys m Arbeitspltz! Aufgbe mx. Punkte erreichte Punkte Summe 60 Note:

2 1. ) (9 Punkte) Lösen Sie die folgende Ungleichung in : 2q ( 3 2 )r log 8 (1) r=0 6 2x 3 Ø 4 b) (3 Punkte) Eine Flsche kostet mit Korken Ä 1,10. Die Flsche ist um einen Euro teurer ls der Korken. Wie viel kostet die Flsche, wie viel der Korken? Ausführung Beispiel 1:

3 Ausführung Beispiel 1: ) [1, 3 2 [fi] 9 2, 5] b) Flsche: Ä 1,05; Korken Ä 0,05.

4 2. In einer Fbrik werden 3 Güter A, B und C produziert, die us den zwei Teilen T 1 und T 2 bestehen. Die erste Tbelle (links) gibt n, wie viele Teile von T 1 und T 2 benötigt werden, um 1 EH des jeweiligen Gutes herzustellen. Die zweite Tbelle (rechts), wie viele Stunden (h) die Mschinen M 1 und M 2 n den einzelnen Teilen rbeiten: A B C T T T 1 T 2 M M Lösen Sie die folgenden Teilufgben in Mtrizenschreibweise! ) (4 Punkte) Berechnen Sie den Bedrf n Stunden für die Mschinen M 1 und M 2, die zur Herstellung je einer EH von A, B und C nötig sind. b) (3 Punkte) Genügt eine Kpzität von 500 Stunden je Mschine, wenn mn 20 Stück von A, 10 Stück von B und 10 Stück von C fertigen möchte? Begründen Sie durch echnung! c) (3 Punkte) Berechnen Sie den Bedrf n Buteilen T 1 und T 2 der benötigt wird, um dieselben Stückzhlen wie unter b) herzustellen! d) (2 Punkte) Durch eine neue Technologie wird der Stundenstz der Mschine M 1 für beide Buteile hlbiert. Wie ändert sich ddurch der Bedrf n Stunden für die Mschinen M 1 und M 2, die zur Herstellung einer EH von B nötig sind? Ausführung Beispiel 2:

5 Ausführung Beispiel 2: ) b) c d b A c d.h. 500 h sind usreichend. A B c) c d) c d b A B = c A d 110 b = 70 B = c d b 2 d b 1500 = 430 somit: B 9 14 mit sich, der Bedrf für die Mschine M 2 bleibt gleich. M 1 : 500 Æ 500 M 2 : 430 Æ 500 T 1 : =110 T 2 : =70 d b. Der Bedrf n Stunden für die Mschine M 1 hlbiert

6 3. Eine Produktionsnlge erzeugt im Jhr t = 1 einen Cshflow von CF 1 = 10 Geldeinheiten. In llen folgenden Jhren wächst der Cshflow um den konstnten Fktor g. Der Kpitlwert der Produktionsnlge ist dnn bei einem Klkultionszinsstz von i gegeben durch: K = 10 1+i + 10 g 10 g2 + (1 + i) 2 (1 + i) ) (3 Punkte) Berechnen Sie den Kpitlwert K für g = 2 und i = 0, wenn die Produktionsnlge eine Nutzungsduer von N = 7 Jhren ht. b) (3 Punkte) Berechnen Sie den Kpitlwert K für g = 5 4 und i = 3 4, wenn die Produktionsnlge unendliche Nutzungsduer ht. c) (2 Punkte) Nehmen Sie n, die Nutzungsduer ist unendlich. Für welche g Ø 0 und i Ø 0 ist dnn der Kpitlwert K endlich (ds heißt, die Summe konvergiert)? Begründen Sie! d) (4 Punkte) Nehmen Sie n, die Nutzungsduer ist unendlich, i =0, 5 und der Cshflow der Produktionsnlge ht im Jhr t = 1 den Wert -10, im Jhr t = 2 den Wert +10, im Jhr t = 3 den Wert -10 usw. K = Œÿ t=1 ( 1) t 10 (1 + i) t Zeigen Sie, dss in diesem Fll der Kpitlwert K endlich ist. Ausführung Beispiel 3:

7 Ausführung Beispiel 3: ) K =10 q 6 t=0 2 t = =1270 b) K = 10 q 1 2 Œt=0 g t 1+i 1+i = 40 7 =20 c) 0 Æ g<1+i d) Leibnizkriterium: Nullfolge Œq t= ( 1) t 10 ist eine lternierende eihe, 1,5 t t = - ( 1)t ,5 eine monoton fllende t

8 4. ) Gegeben ist die Funktion f :]0;Œ [ æ : f (x) =x ln (x) i. (5 Punkte) Bestimmen Sie ds Tylor-Polynom zweiten Grdes um den Entwicklungspunkt x 0 =1. ii. (1 Punkt) Berechnen Sie nun mit Hilfe des in () ermittelten Polynoms einen Näherungswert für f (3). b) (6 Punkte) Für welches œ ht ds uneigentliche Integrl genu den Wert 1? Ausführung Beispiel 4: ˆŒ 0 e x 2 dx

9 Ausführung Beispiel 4: ) b) 1 2 i. P 2 (x) = 1 2 x2 1 2 ii. P 2 (3) = =4

10 5. ) (7 Punkte) Gegeben ist die Funktion f(x, y) =x 2 y + bxy+2xy 2 + c in Abhängigkeit von 1den Prmetern, b, c œ. Wie sind, b und c zu wählen, dmit f(x, y) n der Stelle , 1 ein lokles Extremum mit dem Funktionswert 1 9 ufweist? Stellen Sie die zur Bestimmung der Prmeter nötigen Gleichungen uf und lösen Sie dnn ds entstehende Gleichungssystem. b) (3 Punkte) Setzen Sie im Folgenden in jedem Fll für =1,b = 2,c = Bestimmen Sie nun die Hesse-Mtrix der Funktion f. c) (2 Punkte) Untersuchen Sie, ob es sich bei dem Funktionswert us ) um ein Mximum oder ein Minimum hndelt? Ausführung Beispiel 5:

11 Ausführung Beispiel 5: ) f(x, y) =x 2 y + bxy+2xy 2 + c f( 2 3, 1 3 )= b c = 1 9 f x (x, y) =2xy + by +2y 2 =0 f x ( 2 3, 1 3 )= b 1 3 = 2 9 f y (x, y) =x 2 + bx +4xy =0 f y ( 2 3, 1 3 )= b 2 3 = 8 9 Aus den 3 Gleichungen mit den 3 Unbeknnten erhält mn nch Umformungen: =1,b= 2,c= b) f xx =2y; f yy =4x; f xy = f yx =2x 2+4y H(x, y) = A 2y 2x 2+4y 2x 2+4y 4x B H( 2 3, 1 3 )= A B det (H)( 2 3, 1 3 ) > 0 und f xx( 2 3, 1 3 ) > 0. EsliegteinMinimumvor.