Einführung in die Numerische Mathematik Vordiplomsklausur,
|
|
- Anton Stein
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Institut für Angewndte Anlysis und Numerische Simultion Prof Dr C Eck, Dr M Schulz, Dipl- Mth J Giesselmnn Universität Stuttgrt Sommersemester 9 Einführung in die Numerische Mthemtik Vordiplomsklusur, 1199 Aufgbe 1: Es sei A = ( ) Berechnen Sie die zugeordnete Mtrixnorm und die Konditionszhl von A bezüglich der Vektornorm (x 1, x ) T := x 1 + x b) Es sei B R invertierbr; dnn deniert ) x B := Bx eine Vektornorm uf R Zeigen Sie, dss die dieser Vektornorm zugeordnete Mtrixnorm gegeben ist durch A B = BAB 1 Zu ) Wir müssen den betrgsmäÿig gröÿten Eigenwert von AA T ( ) 1 AA T = 1 1 Zu b) mit chrkteristischem Polynom 3+ 5 =! λ 3λ + 1 λ 1/ = 3 ± 5, dmit ist A = Es ist ( ) 1 1 A 1 = A 1 (A 1 ) T = 1 mit chrkteristischem Polynom und somit Ax A B = sup x x ( 1 1 1! = λ 3λ + 1 λ 1/ = 3 ± 5 cond (A) = A A 1 = BAx = sup x Bx bestimmen: ) BAB 1 x = sup = BAB 1 x x 1
2 Aufgbe : Gegeben sind A = , b = 1 ) Berechnen Sie die LUZerlegung von A b) Bestimmen Sie x R 4, so dss Ax = b c) Beweisen oder widerlegen Sie folgende Aussge: Ist B R symmetrisch und positiv semidenit, dnn gibt es l 11, l, l 1 R, so dss ( ) ( ) l11 l11 l B = 1 l 1 l l Zu ) A = Zu b) Finde y R 4, so dss Ly = b Bestimme nun x R 4, so dss Rx = y y 1 = y 1 + y = 1 y = 3 y + y 3 = y 3 = 4 y 1 4y + y 3 + y 4 = y 4 = x 4 = x 4 = 1 x 3 + 5x 4 = 4 x 3 = 1 x 3x 4 = 3 x = x 1 + x + x 3 + x 4 = x 1 = 1 Zu c) Es muss gelten: l11 = 11, l 1 l 11 = 1, = l1 + l Ds A positiv semidenit ist, gilt 11, und det(a) = 11 1 Es folgt l 11 = 11 und im Fll 11 > weiter l 1 = 1 11
3 Im Fll 11 = folgt 1 =, deshlb ist l 1 = möglich Weiter gilt l = l 1 Für 11 = und dmit l 1 = folgt l = Für 11 folgt l1 = 1 11 = 1 11 ( 11 1) und dmit gibt es l = 1 ( 11 1) R 11 } {{ } Dmit existiert immer eine Zerlegung der ngegebenen Form Aufgbe 3: Es sei X = (x,, x N ) für N N, N, x < x 1 < ọts < x N und S := {s S 3 (X) : s (x ) = = s (x N )} der Rum der ntürlichen kubischen Splines ) Begründen Sie kurz, wrum es zu jedem j {,, N} genu einen Spline s j S gibt, der s j (x k ) = x j k für k =,, N erfüllt b) Zeigen Sie, dss {s j : j =,, N} eine Bsis von S ist c) Für welche j {,, N} ist s j ein Polynom? Zu ) Aus der Vorlesung ist beknnt, dss ein ntürlicher Spline zum Dtenstz durch je einen vorgeschriebenen Wert für jedes x X eindeutig bestimmt ist X Zu b) D dims 3 (X) = N ist, reicht es zu zeigen, dss die s j Angenommen es ist N j s j (x) = x [x, x N ] j= dnn ist N p(x) := j x j j= ein Polynom vom Grd N und es ist für k =,, N liner unbhängig sind p(x k ) = N N j x j k = j s j (x k ) = j= j= Somit ht ds Polynom p mindestens N + 1 Nullstellen ist lso ds Nullpoynom lso ist j = für j =,, N und die s j sind liner unbhängig 3
4 Zu c) Ds Interpoltionspolynom zu den von s j interpolierten Dten ist eindeutig durch p j (x) = x j gegeben Es stimmt genu dnn mit s j überein, flls p j (x ) = p j (x N ) = ist Es gilt p j (x ) = j(j 1)x j und p j (x N ) = j(j 1)x j N D x oder x N von verschieden ist, sind genu dnn diese beiden Terme, flls j = oder j = 1 Also sind nur s und s 1 Polynome Aufgbe 4: ) Bestimmen Sie die interpoltorische Qudrturformel zur Berechnung von f(x) dx für die vorgegebenen Stützstellen x = 1, x 3 1 = 1, x = 1 b) Bis zu welchem Polynomgrd ist die gewonnene Qudrturformel exkt? c) Welche Fehlerbschätzung ergibt sich für die entsprechende zusmmengesetzte Qudrturformel, bei der ds Integrtionsintervll [, 1] in die Teilintervlle [y j 1, y j ], j = 1,, n, mit y j = jh, h = 1 zerlegt wird? n 4
5 Zu ) Die Qudrturformel berechnet sich us Q(f) := ω i f(x i ) mit ω i = i= j=,j i x x j x i x j dx Mit den Stützstellen x = 1 3, x 1 = 1, x = 1 erhält mn die Gewichte ω = ω 1 = ω = (x 1 )(x 1) ( 1 1)( 1 1)dx = (x 1 )(x 1) 3 ( 1 1)( 1 = 1 1)dx 3 (x 1 3 )(x 1 ) (1 1 3 )(1 1 ) dx = 3 Somit ergibt sich die Qudrturformel (x 3 x + 1 )dx = 3 4 Q(f) = 3 4 f(1 3 ) f(1) (x 4 3 x + 1 )dx = 3 (x 5 6 x )dx = 1 4 Zu b) Nch der Vorlesung ist eine Qudrturformel Q uf [, b] für Polynome vom Grd k exkt, genu dnn wenn p(x) = 1 : p(x) = x : p(x) = x : p(x) = x 3 : Q(p) = b p(x)dx für lle p P k 1 dx = 1! = Q(1) = = 1 x dx = 1 x dx = 1 3 x 3 dx = 1 4! = Q(x) = = 1! = Q(x ) = = 1 3! = Q(x ) = = 5 18, dh ds Polynom vom Grd 3 wird nicht mehr exkt integriert Die Qudrturformel ist somit für lle Polynome bis einschlieÿlich dem Grd exkt 5
6 Zu c) Die zusmmengesetzte Qudrturformel ht die Form Q(f) = n Q j (f), j=1 wobei Q j (f) die Qudrturformel uf dem Teilintervll [y j 1, y j ] ist Nch Teil b) ist Q j (f) exkt uf P Nch der Vorlesung lutet die Fehlerbschätzung: Q(f) n y j f(x)dx Q j (f) f(x)dx C (1 )h 3 f j=1 mit einer Konstnten C! = 1 y j 1 Aufgbe 5: ) Bestimmen Sie die Funktion Φ : R + R + mit R + = (, + ) so, dss x n+1 = Φ(x n ) für n =, 1,, die NewtonItertion zum nichtlineren Gleichungssystem x k = mit k > 1 und > drstellt b) Zeigen Sie, dss Φ : [ k, + ) R die Bedingungen des Bnchschen Fixpunktstzes erfüllt c) Zeigen Sie, dss ds NewtonVerfhren us ) für jeden Strtwert x > konvergiert Zu ) Φ(x) = x xk k x k 1 = ( 1 1 ) x + k k x k 1 6
7 Zu b) Es gilt: Φ (x) = 1 1 (k 1) D Φ monoton steigend ist und k k x k sowie gilt, folgt Φ (x) 1 1 k Weiter gilt Φ( k ) = Φ ( k ) = 1 1 k (k 1) k lim x Φ (x) = 1 1 k = < 1, dmit ist Φ uf [ k, + ) eine Kontrktion ( 1 1 ) k k + k (k 1)/k = k, und d Φ monoton steigend ist (so) folgt Φ ([ k, + )) [ k, + ), uÿerdem ist [ k, + ) bgeschlossen Dmit sind die Bedingungen des Bnchschen Fixpunktstzes erfüllt Zu c) Für x k folgt die Konvergenz des Newtonverfhrens us b) und dem Bnchschen Fixpunktstz Für x k gilt x 1 = Φ(x ) k, denn Φ ist uf (, + ) monoton steigend und Φ ( k ) =, dmit ht Φ ein Minimum in k Die Konvergenz folgt nun us dem Bnchschen Fixpunktstz und b), wobei mn ls Strtwert x 1 nimmt 7
UNIVERSITÄT KARLSRUHE Institut für Analysis HDoz. Dr. P. C. Kunstmann Dipl.-Math. M. Uhl. Sommersemester 2009
UNIVERSIÄ KARLSRUHE Institut für Anlysis HDoz. Dr. P. C. Kunstmnn Dipl.-Mth. M. Uhl Sommersemester 9 Höhere Mthemti II für die Fchrichtungen Eletroingenieurwesen, Physi und Geodäsie inlusive Komplexe Anlysis
Mehrb f(x)p(x) dx = f(ξ) 2e 2 , Hess f (2, 0) =
Es seien U R n offen und ψ : U R n stetig differenzierbr. Weiter sei f : U R zweiml stetig differenzierbr. Kennzeichnen Sie whre Aussgen mit W und flsche Aussgen mit F. F Flls dψ(x) ein Isomorphismus für
MehrLineare DGL zweiter Ordnung
Universität Duisburg-Essen Essen, 03.06.01 Fkultät für Mthemtik S. Buer C. Hubcsek C. Thiel Linere DGL zweiter Ordnung Betrchten wir ds AWP { x + x + bx = 0 mit, b, t 0, x 0, v 0 R. Der Anstz xt 0 = x
MehrNumerische Integration durch Extrapolation
Numerische Integrtion durch Extrpoltion Pblo Thiel Romberg-Verfhren Idee: Im Gegenstz zur numerischen Integrtion mit Hilfe der einfchen bzw. zusmmengesetzten Trpez-, Simpson-, 3/8- oder zum Beispiel der
MehrAufgaben zur Vorlesung Analysis II Prof. Dr. Holger Dette SS 2012 Lösungen zu Blatt 6
Aufgben zur Vorlesung Anlysis II Prof. Dr. Holger Dette SS 0 Lösungen zu Bltt 6 Aufgbe. Die Funktion f : [, ) R sei in jedem endlichen Teilintervll von [, ) Riemnnintegrierbr. Für n N sei I n := f() d.
MehrGebrochenrationale Funktionen (Einführung)
Gebrochenrtionle Funktionen (Einführung) Ac Eine gebrochenrtionle Funktion R ist von der Form R(x) P(x) und Q(x) gnzrtionle Funktionen n-ten Grdes sind. P(x) Q(x), wobei Im Allgemeinen ht eine gebrochenrtionle
MehrTaylorreihen - Uneigentlische Integrale
Anlysis II für M, LG und Ph, WS 2006/07, Übung 2, Lösungsskizze Gruppenübung Tylorreihen - Uneigentlische Integrle G 5 Berechnen Sie die Tylorreihe mit der Entwicklungsmitte 0 von f (x) = log(x + ), f
MehrÜbungen zur Analysis 2
Mthemtisches Institut der Universität München Prof. Dr. Frnz Merkl Sommersemester 2013 Bltt 2 26.4.2013 Übungen zur Anlysis 2 2.1 Vernschulichung der Cuchy-Schwrz-Ungleichung. Gegeben seien die Vektoren
MehrAbiturprüfung Mathematik 2013 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien Analysis, Aufgabe 1
www.mthe-ufgben.com Abiturprüfung Mthemtik 013 (Bden-Württemberg) Berufliche Gymnsien Anlysis, Aufgbe 1 1.1 Die Funktion f ist gegeben durch π f( x) = + sin x ; x. Ds Schubild von f ist K. 1.1.1 (8 Punkte)
Mehr9 Das Riemannsche Integral
1 9 Ds Riemnnsche Integrl 9.1 Definition und Beispiele Sei I = [, ] R mit
Mehr2 Lineare Operatoren. T(αx + βy) = αtx + βty x,y X, α, β K. (b) Ist T linear, so heißt
2 Linere Opertoren Im Folgenden seien X,Y, Z stets normierte Räumen über dem selben Körper K = C oder K = R. 2.1. Definition. () Eine Abbildung T : X Y heißt liner, flls T(αx + βy) = αtx + βty x,y X, α,
MehrKapitel 10. Integration. Josef Leydold Mathematik für VW WS 2015/16 10 Integration 1 / 35
Kpitel 0 Integrtion Josef Leydold Mthemtik für VW WS 205/6 0 Integrtion / 35 Flächeninhlt Berechnen Sie die Inhlte der ngegebenen Flächen! f (x) = Fläche: A = f (x) = +x 2 Approximtion durch Treppenfunktion
Mehr2.5 Messbare Mengen und Funktionen
1 2.5 Messbre Mengen und Funktionen Definition Eine beschränkte Menge M R n heißt messbr, flls die chrkteristische Funktion χ M integrierbr ist. Die Zhl vol n (M) := χ M dµ n nennt mn ds Volumen von M.
MehrKapitel 13. Taylorentwicklung Motivation
Kpitel 13 Tylorentwicklung 13.1 Motivtion Sei D R offen. Sie erinnern sich: Eine in D stetig differenzierbre Funktion f : D R wird durch die linere Funktion g(x) = f() + f ()(x ) in einer Umgebung von
MehrBeispiel-Abiturprüfung
Mthemtik BeispielAbiturprüfung Prüfungsteile A und B Bewertungsschlüssel und Lösungshinweise (nicht für den Prüfling bestimmt) Die Bewertung der erbrchten Prüfungsleistungen ht sich für jede Aufgbe nch
MehrMusterlösung der Präsenzaufgaben zu Mathematik I für ET/IT und ITS
Musterlösung der Präsenzufgben zu Mthemtik I für ET/IT und ITS WS / Bltt 6. Bestimmen Sie zu vorgegebenem Volumen V > die Dose (Zylinder mit der kleinsten Oberfläche und ds Gls (Zylinder ohne Deckel mit
MehrUngleichungen. Jan Pöschko. 28. Mai Einführung
Ungleichungen Jn Pöschko 8. Mi 009 Inhltsverzeichnis Einführung. Ws sind Ungleichungen?................................. Äquivlenzumformungen..................................3 Rechnen mit Ungleichungen...............................
MehrQuadratische Funktionen
Qudrtische Funktionen Die Scheitelpunktform ist eine spezielle Drstellungsform von qudrtischen Funktionen, nhnd der viele geometrische Eigenschften des Funktionsgrphen bgelesen werden können. Abbildung
Mehr11. DER HAUPTSATZ DER DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG
91 Dieses Skript ist ein Auszug mit Lücken us Einführung in die mthemtische Behndlung der Nturwissenschften I von Hns Heiner Storrer, Birkhäuser Skripten. Als StudentIn sollten Sie ds Buch uch kufen und
MehrEinführung in die Integralrechnung
Einführung in die Integrlrechnung Vorbereitung für ds Probestudium n der LMU München 3. bis 7. September von W. Frks und O. Forster Integrle ls Flächeninhlte. Motivtion Flächeninhlte von Rechtecken sind
Mehr4 Die rationalen Zahlen
4 Die rtionlen Zhlen Der Ring der gnzen Zhlen ht den Mngel, dß nicht jede Gleichung = X, 0 innerhl Z lösr ist. (Z.B. ist 1 = 2 X unlösr in Z). Zu seiner Beseitigung erweitert mn den Zhlereich zum Körper
MehrIntegralrechnung. www.mathe-total.de. Aufgabe 1
Integrlrechnung Aufgbe Bestimme die Fläche zwischen der Kurve der Funktion f() = und -Achse über dem Intervll I = [; 3] näherungsweise. Bestimme die Obersumme und Teile ds Intervll I in drei gleich große
MehrFalls die Werte von X als Ergebnisse eines Zufallsvorgangs resultieren, wird X zu einer stetigen Zufallsvariable.
Sttistik I für Sttistiker, Mthemtiker und Informtiker Lösungen zu Bltt 11 Gerhrd Tutz, Jn Ulbricht, Jn Gertheiss WS 7/8 Theorie: Stetige Zufllsvriblen Begriff Stetigkeit: Eine Vrible oder ein Merkml X
MehrMathematik. Ingo Blechschmidt. 22. Januar 2007
Mthemtik Ingo Blechschmidt 22. Jnur 2007 Inhltsverzeichnis I Mthemtik 2 1 Anlysis 2 1.1 Stetigkeit und Differenzierbrkeit........... 2 1.1.1 Stetigkeit..................... 2 1.1.2 Differenzierbrkeit................
MehrRepetitionsaufgaben Exponential-und Logarithmusfunktion
Repetitionsufgben Eponentil-und Logrithmusfunktion Inhltsverzeichnis A) Vorbemerkungen B) Lernziele C) Eponentilfunktionen mit Beispielen 2 D) Aufgben Ep.fkt. mit Musterlösungen 6 E) Logrithmusfunktionen
MehrTECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mthemtik PROF. DR.DR. JÜRGEN RICHTER-GEBERT, VANESSA KRUMMECK, MICHAEL PRÄHOFER Aufge 69. Quizz Integrle. Es sei Höhere Mthemtik für Informtiker II (Sommersemester
Mehr1 Kurvendiskussion /40
009 Herbst, (Mthemtik) Aufgbenvorschlg B Kurvendiskussion /0 Gegeben ist eine Funktion f mit der Funktionsgleichung: f ( ) 0 6 = ; mit.. Untersuchen Sie ds Verhlten der Funktionswerte von f im Unendlichen.
MehrFernUniversität Gesamthochschule in Hagen
FernUniversität Gesmthochschule in Hgen FACHBEREICH MATHEMATIK LEHRGEBIET KOMPLEXE ANALYSIS Prof. Dr. Andrei Dum Proseminr 9 - Anlysis Numerische Integrtion Ulrich Telle Mtrikel-Nr. 474 Köln, den 7. Dezember
MehrWirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA)
Wirtschftsmthemtik für Interntionl Mngement (BA) und Betriebswirtschft (BA) Wintersemester 2013/14 Stefn Etschberger Hochschule Augsburg Mthemtik: Gliederung 1 Aussgenlogik 2 Linere Algebr 3 Linere
Mehr8 Integralrechnung. 8.1 Das Riemann-Integral
8 Integrlrechnung Der Integrlbegriff ist wie der Ableitungsbegriff motiviert durch die physiklische Beschreibung von Bewegungsbläufen (Geschwindigkeit, Beschleunigung). Er ist u.. uch von Bedeutung bei
Mehr3. Ganzrationale Funktionen
3. Gnzrtionle Funktionen ) Definitionen und Beispiele Definition: Eine gnzrtionle Funktion n-ten Grdes ht ls Definitionsterm ein Polynom n-ten Grdes, d.h. y = f() = n n n-1 n-1 1 0. n 0, i ( i = 1, n)
Mehr9 Riemann-Integral für Funktionen einer Variablen
9 Riemnn-Integrl für Funktionen einer Vriblen Integrl = (orientierte) Fläche zwischen Funktion f : r, bs Ñ R und der x-achse «ř n px n x n 1 qf pξ n q mit Zwischenpunkten ξ n P rx n 1, x n s x n 1 x n
MehrTECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mthemtik PROF. DR.DR. JÜRGEN RICHTER-GEBERT, VANESSA KRUMMECK, MICHAEL PRÄHOFER Höhere Mthemtik für Informtiker I (Wintersemester 00/00) Aufgbenbltt (. Oktober 00)
MehrTeilfachprüfung Mathematik Studiengang: Wirtschaft Neue Diplomprüfungsordnung (NPO)
Fchhochschule Düsseldorf SS 2007 Teilfchprüfung Mthemtik Studiengng: Wirtschft Neue Diplomprüfungsordnung (NPO) Prüfungsdtum: 29..2007 Prüfer: Prof. Dr. Horst Peters / Dipl. Volkswirt Lothr Schmeink Prüfungsform:
MehrVorlesung Mathematik 1 für Ingenieure (Sommersemester 2016)
1 Vorlesung Mthemtik 1 für Ingenieure (Sommersemester 2016) Kpitel 10: Integrlrechnung einer Veränderlichen Prof. Miles Simon Nch Folienvorlge von Prof. Dr. Volker Kibel Otto-von-Guericke Universität Mgdeburg.
Mehr10.2 Kurven und Bogenlänge
10.2 Kurven und Bogenlänge Definition: Sei c = (c 1,..., c n ) : [, b] R n eine stetige Funktion. Dnn wird c ls Kurve im R n bezeichnet; c() heißt Anfngspunkt, c(b) heißt Endpunkt von c. c heißt geschlossene
MehrDifferenzial- und Integralrechnung III
Differenzil- und Integrlrechnung III Riner Huser April 2012 1 Einleitung 1.1 Polynome und Potenzfunktionen Die Polynome oder Polynomfunktionen lssen sich durch die endliche Anzhl von n+1 Prmetern i R in
MehrMC-Serie 12 - Integrationstechniken
Anlysis D-BAUG Dr. Meike Akveld HS 15 MC-Serie 1 - Integrtionstechniken 1. Die Formel f(x) dx = xf(x) xf (x) dx i) ist im Allgemeinen flsch. ii) folgt us der Sustitutionsregel. iii) folgt us dem Huptstz
MehrIterative Verfahren, Splittingmethoden
Iterative Verfahren, Splittingmethoden Theodor Müller 19. April 2005 Sei ein lineares Gleichungssystem der Form Ax = b b C n, A C n n ( ) gegeben. Es sind direkte Verfahren bekannt, die ein solches Gleichungssystem
MehrAnalysis I Probeklausur 2
WS /2 Mriescu/ Ert Alysis I Probeklusur 2. Aufgbe Die Folge (x ) N sei rekursiv defiiert durch x =, x + = 2+x. () Beweise, dss die Folge (x ) N streg mooto wchsed ist. (b) Beweise, dss (x ) N durch 2 ch
MehrFunktionenfolgen. Kapitel 6
Kpitel 6 Funktionenfolgen Bemerkung 6.1 Motivtion. Dieser Abschnitt betrchtet die Konvergenz von Folgen von uf einem gemeinsmen Intervll definierten Funktionen. Dies ist eine wichtige Grundlge, um eine
MehrThema 13 Integrale, die von einem Parameter abhängen, Integrale von Funktionen auf Teilmengen von R n
Them 13 Integrle, die von einem Prmeter bhängen, Integrle von Funktionen uf Teilmengen von R n Wir erinnern drn, dß eine Funktion h : [, b] R eine Treppenfunktion ist, flls es eine Unterteilung x < x 1
MehrLogarithmen zu speziellen und häufig gebrauchten Basen haben eigene Namen: Der Logarithmus zur Basis 10 heißt dekadischer oder Zehnerlogarithmus:
0 Dr Andres M Seifert Sternstunden in Mthe, Physik und Technik wwwsternstunden-odenwldde Logrithmen Die Gleichung vom Typ b wird mit Hilfe des Logrithmus gelöst Der Logrithmus von zur Bsis b ist die Zhl,
Mehr- 1 - VB Inhaltsverzeichnis
- - VB Inhltsverzeichnis Inhltsverzeichnis... Die Inverse einer Mtrix.... Definition der Einheitsmtrix.... Bedingung für die inverse Mtrix.... Berechnung der Inversen Mtrix..... Ds Verfhren nch Guß mit
Mehrmathphys-online Abschlussprüfung Berufliche Oberschule 2010 Mathematik 12 Nichttechnik - A II - Lösung
mthphys-online Abschlussprüfung Berufliche Oberschule Mthemtik Nichttechnik - A II - Lösung Teilufgbe. Der Grph G f einer gnzrtionlen Funktion f dritten Grdes besitzt den Extrempunkt E( / ), 7 schneidet
MehrNumerische Mathematik 1 Skript zur Vorlesung
Numerische Mthemtik 1 Skript zur Vorlesung Prof. Dr. Erich Novk Fssung vom Oktober 2011 Hinweise bitte n erich.novk@uni-jen.de. Der korrekte Nme des Moduls ist jetzt: Einführung in die Numerische Mthemtik
MehrAnKa Hyp. , tan α= Weil die Ankathete des einen Winkels der Gegenkathete des anderen entspricht, gilt auch: sin α = cos β und sinβ = cosα.
Trigonometrie Wenn mn die Trigonometrischen Funktionen Sinus, Kosinus und Tngens berechnen will, ist es wichtig, uf welchen Winkel sie sich beziehen. Die Kthete, die direkt m Winkel nliegt, heißt Ankthete
Mehr1 Folgen von Funktionen
Folgen von Funktionen Wir etrchten Folgen von reell-wertigen Funktionen f n U R mit Definitionsereicht U R und interessieren uns für ntürliche Konvergenzegriffe. Genuer setzen wir uns mit folgenden Frgen
MehrF A = 2F, F B = F, F C = 2F. Dabei verläuft F A entlang der vorderen Flächendiagonalen, F B und F C verlaufen entlang der Kanten.
Wintersemester / ZÜ. Aufgbe. z C Die Eckpunkte A, B, C eines Würfels (Kntenlänge ) sind die Anfngspunkte der Vektoren F A, F B, F C mit folgenden Beträgen: F C F A F, F B F, F C F. A x F A O B F B y Dbei
Mehr1. Übungsblatt zur Analysis II
Fchereich Mthemtik Prof Dr Steffe Roch Nd Sissouo WS 9/ 69 Üugsltt zur Alysis II Gruppeüug Aufge G Bestimme Sie für jede der folgede Fuktioe f : [, ] R ds utere ud oere Itegrl ud etscheide Sie, o die Fuktio
Mehrf f(x ɛξ) f(x) 0, d.h. f (x)ξ = 0 für alle ξ B 1 (0). Also f (x) = 0. In Koordinaten bedeutet dies gerade, dass in Extremstellen gilt: f(x) = 0.
Mehrdimensionale Dierenzialrechnung 9 Optimierung 9 Optimierung Definition Seien U R n oen, f : U R, x U x heiÿt lokales Maximum, falls eine Umgebung V U von x existiert mit y V : fx fy x heiÿt lokales
MehrMathematik Bruchrechnung Grundwissen und Übungen
Mthemtik Bruchrechnung Grundwissen und Übungen von Stefn Gärtner (Gr) Stefn Gärtner -00 Gr Mthemtik Bruchrechnung Seite Inhlt Inhltsverzeichnis Seite Grundwissen Ws ist ein Bruch? Rtionle Zhlen Q Erweitern
MehrNumerische Mathematik I
Numerische Mthemtik I Dr. Wolfgng Metzler Universität Kssel unter Mitwirkung von Dipl.-Mth. Mrtin Steigemnn Sommersemester 2005 ii c 2005 Dr. Wolfgng Metzler, Fchbereich Mthemtik und Informtik der Universität
Mehr6. Integration 6.1 Das Riemann-Integral
6. Integrtion 6. Ds Riemnn-Integrl 6. Integrtion 6. Ds Riemnn-Integrl Mthemtik für Chemiker 6. Integrtion 6. Ds Riemnn-Integrl Flächenberechnung: Problemstellung und Lösungsidee Sei f : [, b] [0, ) eine
MehrTheoretische Informatik und Logik Übungsblatt 2 (2013S) Lösung
Theoretische Informtik und Logik Üungsltt 2 (2013S) en Aufge 2.1 Geen Sie jeweils eine kontextfreie Grmmtik n, welche die folgenden Sprchen erzeugt, sowie einen Aleitungsum für ein von Ihnen gewähltes
MehrAnalysis II. Universität Stuttgart, SS 06 M. Griesemer
Anlysis II Universität Stuttgrt, SS 06 M. Griesemer Inhltsverzeichnis 9 Ds Riemnnsche Integrl 3 9.1 Definition und Beispiele........................... 3 9.2 Elementre Eigenschften..........................
Mehr2.5 Algebra. 1 Faktorisieren Terme faktorisieren (-1) ausklammern Terme mit Klammern faktorisieren... 3
2.5 Algebr Inhltsverzeichnis Fktorisieren 2. Terme fktorisieren...................................... 2.2 (-) usklmmern....................................... 2.3 Terme mit Klmmern fktorisieren..............................
MehrAlgorithmen zur Datenanalyse in C++
Algorithmen zur Dtennlyse in C++ Hrtmut Stdie 4.05.202 Algorithmen zur Dtennlyse in C++ Hrtmut Stdie / 5 Einführung Algorithmen zur Dtennlyse in C++ Hrtmut Stdie 2/ 5 Übersicht Einführung Informtionen
MehrKlausur zur Vordiplom-Prüfung
Technische Universität Hamburg-Harburg SS 25 Arbeitsbereich Mathematik Dr. Jens-Peter M. Zemke Klausur zur Vordiplom-Prüfung Numerische Verfahren 22. Juli 25 Sie haben 9 Minuten Zeit zum Bearbeiten der
MehrDie Keplersche Fassregel
Die Keplersche Fssregel K. Gerer Bei vielen Aufgen, z.b. ei der Lösung von Differentilgleichungen, tucht die Schwierigkeit uf, dss Integrtionen nicht durchgeführt werden können. So können z.b. die folgenden
Mehr2 Berechnung von Flächeninhalten unter Kurvenstücken
Übungsmteril 1 Berechnung von Flächeninhlten unter Kurvenstücken.1 Annäherung durch Rechtecke Um die Fläche zu berechnen, die zwischen dem Funktionsgrphen einer Funktion und der -Achse eingeschlossen wird,
MehrBrückenkurs Lineare Gleichungssysteme und Vektoren
Brückenkurs Linere Gleichungssysteme und Vektoren Dr Alessndro Cobbe 30 September 06 Linere Gleichungssyteme Ws ist eine linere Gleichung? Es ist eine lgebrische Gleichung, in der lle Vriblen nur mit dem
MehrHauptprüfung Abiturprüfung 2014 (ohne CAS) Baden-Württemberg
Bden-Württemberg: Abitur 014 Whlteil A www.mthe-ufgben.com Huptprüfung Abiturprüfung 014 (ohne CAS) Bden-Württemberg Whlteil Anlysis Hilfsmittel: GTR und Formelsmmlung llgemeinbildende Gymnsien Alexnder
Mehrf(x) := lim f n (x) (a) Wann ist die Grenzfunktion f stetig? Reicht dazu die Stetigkeit aller Funktionen f n?
Kpitel 9 Gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolgen 9.1 Gleichmäßige Konvergenz 9.2 Eigenschften der Grenzfunktion 9.3 Gleichmäßige Konvergenz von Funktionenreihen 9.4 Anwendung uf Potenzreihen 9.5 Tylor
MehrVorkurs Mathematik DIFFERENTIATION
Vorkurs Mthemtik 6 DIFFERENTIATION Beispiel (Ableitung von sin( )). Es seien f() = sin g() = h() =f(g()) = sin. (f () =cos) (g () =) Also ist die Ableitung von h: h () =f (g())g () =cos = cos. Mn nennt
MehrMathematik schriftlich
WS KV Chur Abschlussprüfungen 00 für die Berufsmtur kufmännische Richtung Mthemtik schriftlich LÖSUNGEN Kndidtennummer Nme Vornme Dtum der Prüfung Bewertung mögliche erteilte Punkte Punkte. Aufgbe 0. Aufgbe
MehrMultiplikative Inverse
Multipliktive Inverse Ein Streifzug durch ds Bruchrechnen in Restklssen von Yimin Ge, Jänner 2006 Viele Leute hben Probleme dbei, Brüche und Restklssen unter einen Hut zu bringen. Dieser kurze Aufstz soll
MehrAbitur - Leistungskurs Mathematik. Sachsen-Anhalt 1999
Abitur - Leistungskurs Mthemtik Schsen-Anhlt 999 Gebiet L - Anlysis Augbe.. y, D, R,. Die Funktionenschr sei gegeben durch Die Grphen der Funktionen der Schr werden mit G bezeichnet. ) Ermitteln Sieden
MehrDas Rechnen mit Logarithmen
Ds Rechnen mit Logrithmen Etw in der 0. Klssenstufe kommt mn in Kontkt mit Logrithmen. Für die, die noch nicht so weit sind oder die, die schon zu weit dvon entfernt sind, hier noch einml ein kleiner Einblick:
MehrMonte-Carlo-Integration
Monte-Crlo-Integrtion von Dietmr Herrmnn, Anzing Kurzfssung: An Hnd eines einfchen Beispiels wird gezeigt, dß jedes Integrl ls Erwrtungswert einer reellen Zufllsgröße ufgefßt werden knn. een einer symptotischen
MehrA.25 Stetigkeit und Differenzierbarkeit ( )
A.5 Stetigkeit / Differenzierbrkeit A.5 Stetigkeit und Differenzierbrkeit ( ) Eine Funktion ist wenn die Kurve nicht unterbrochen wird, lso wenn mn sie zeichnen knn, ohne den Stift vom Bltt bzusetzen.
MehrApsel/Wende Probeabitur LK Mathematik 2004/2005 Seite 2
Apsel/Wende Probebitur LK Mthemtik 004/005 Seite Hinweise für Schüler Aufgbenuswhl Von den vorliegenden Aufgben sind die Pflichtufgben P und P zu lösen. Von den Whlufgben W3 bis W6 sind Aufgben uszuwählen
Mehrvon f im Punkt P ( 2 4) x x x Hilfsmittelfreier Teil. Beispielaufgabe 1 zur Analysis Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung
Hilfsmittelfreier Teil. Beispielufgbe zur Anlysis Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung f ( x ) = x + x x. Die zeigt den Grphen der Funktion f. () Berechnen ie lle Nullstellen der Funktion f. ()
MehrGrundlagen der Integralrechnung
Grundlgen der Integrlrechnung W. Kippels 0. April 2014 Inhltsverzeichnis 1 Ds unbestimmte Integrl 2 2 Ds bestimmte Integrl 4 Beispielufgben 7.1 Beispielufgbe 1............................... 7.2 Beispielufgbe
MehrKapitel IV Euklidische Vektorräume. γ b
Kpitel IV Euklidische Vektorräume 1 Elementrgeometrie in der Eene Sei E die Zeicheneene In der Schule lernt mn: (11) Stz des Pythgors: Sei E ein Dreieck mit den Seiten, und c, und sei γ der c gegenüerliegende
MehrÜbungen zur Vorlesung Physikalische Chemie I Lösungsvorschlag zu Blatt 3
Übungen zur Vorlesung Physiklische Chemie I Lösungsvorschlg zu Bltt 3 Prof. Dr. Norbert Hmpp 1. Aufgbe ) Die gegebene Verteilung besteht nur us diskreten Werten! Die durchgezogene Linie würde nur bei einer
MehrMusterlösungen (ohne Gewähr) Aufgabe 1 ( 7 Punkte) Geben Sie die Koordinaten des Flächenschwerpunktes des dargestellten Querschnitts an!
Seite 1/15 Aufgbe 1 ( 7 Punkte) Geben Sie die Koordinten des lächenschwerpunktes des drgestellten Querschnitts n! 2 Gegeben:. 4 ΣA i = y 2 x Σx i A i = x s = Σy i A i = y s = ΣA i = 8 2 Σx i A i = 13 3
MehrEinführung in die Analysis. Prof. Dr. René Grothmann
Einführung in die Anlysis Prof. Dr. René Grothmnn 2011 2 Vorwort Es hndelt sich bei diesem Skript nur um eine Zusmmenfssung der Vorlesung. Beweise und Beispiele wurden uf ein Minimum reduziert. Auch eine
MehrKurvenintegrale. 17. Juli 2006 (Korrigierte 2. Version) 1 Kurvenintegrale 1. Art (d.h. f ist Zahl, kein Vektor)
Kurvenintegrle Christin Mosch, Theoretische Chemie, Universität Ulm, christin.mosch@uni-ulm.de 7. Juli 26 (Korrigierte 2. Version Kurvenintegrle. Art (d.h. f ist Zhl, kein Vektor Bei Kurvenintegrlen. Art
MehrMathe Warm-Up, Teil 1 1 2
Mthe Wrm-Up, Teil 1 1 2 HEUTE: 1. Elementre Rechenopertionen: Brüche, Potenzen, Logrithmus, Wurzeln 2. Summen- und Produktzeichen 3. Gleichungen/Ungleichungen 1 orientiert sich n den Kpiteln 3,4,6,8 des
MehrHöhere Mathematik für Elektrotechniker II
Vorlesungsmnuskript zu Höhere Mthemtik für Elektrotechniker II Werner Blser Institut für Angewndte Anlysis Sommersemester 2009 Inhltsverzeichnis 1 Integrlrechnung 4 11 Riemnn-Summen und Riemnn-Integrl
MehrMathematik für Biologen
Vorbskript zur Vorlesung Mthemtik für Biologen Wintersemester 05/ 6 Prof. Dr. Helmut Mier Dr. Hns- Peter Reck Institut für Zhlentheorie und Whrscheinlichkeitstheorie Universität Ulm Inhltsverzeichnis Grundlgen
MehrLUDWIG-MAXIMILIANS-UNIVERSITÄT MÜNCHEN. 7. Übung/Lösung Mathematik für Studierende der Biologie 25.11.2015
LUDWIG-MAXIMILIANS-UNIVERSITÄT MÜNCHEN FAKULTÄT FÜR BIOLOGIE Prof. Anres Herz, Dr. Stefn Häusler emil: heusler@biologie.uni-muenchen.e Deprtment Biologie II Telefon: 089-280-74800 Großhernerstr. 2 Fx:
Mehr2 Trigonometrische Formeln
Mthemtische Probleme, SS 013 Donnerstg.5 $Id: trig.tex,v 1.3 013/05/03 10:50:31 hk Exp hk $ Trigonometrische Formeln.1 Die Additionstheoreme In der letzten Sitzung htten wir geometrische Herleitungen der
MehrBsp 6.1: Slutsky Zerlegung für Kreuzpreiseffekte
Bsp 6.1: Slutsky Zerlegung für Kreuzpreiseffekte Wie wirkt sich eine reiserhöhung für Gut uf die konsumierte Menge n us: Bzw.: d (,, ) h (,, V ) 2 V 0,5 0,5 Für die Unkompensierte Nchfrgefunktion gilt:
MehrEffiziente Algorithmen und Komplexitätstheorie
Effiziente Algorithmen und Komplexitätstheorie Vorlesung Ingo Wegener Vertretung Thoms Jnsen 10042006 1 Ws letzten Donnerstg geschh Linere Optimierung Wiederholung der Grundbegriffe und Aussgen M konvex
MehrVorbereitung auf die Mathematik Schularbeit
Vorbereitung uf die Mthemtik Schulrbeit 7. März 0 Alles Gute ll deinen Bemühungen, KL, KV Viel Erfolg! . Schulrbeit: MATHEMATIK KL.: M3b/I. - S. Mi, 7.03.0 ) Zeichne ds Prllelogrmm us den Bestimmungsstücken
MehrKapitel 4 Differentialrechnung in mehreren Variablen. 4.1 Topologie des R n und Stetigkeit von Funktionen
Kpitel 4 Differentilrechnung in mehreren Vriblen 4.1 Topologie des R n und Stetigkeit von Funktionen Gegenstnd dieses Kpitels sind Funktionen in mehreren Vriblen. Wir können die Definitionsbereiche solcher
MehrElemente der Analysis II: Zusammenfassung der wichtigsten Definitionen und Ergebnisse
Elemente der Anlysis II: Zusmmenfssung der wichtigsten Definitionen und Ergebnisse J. Wengenroth Dies ist die einzige zugelssene Formelsmmlung, die bei der Klusur benutzt werden drf. Es dürfen Unterstreichungen
MehrVorlesung. Einführung in die mathematische Sprache und naive Mengenlehre
Vorlesung Einführung in die mthemtische Sprche und nive Mengenlehre 1 Allgemeines RUD26 Erwin-Schrödinger-Zentrum (ESZ) RUD25 Johnn-von-Neumnn-Hus Fchschft Menge ller Studenten eines Institutes Fchschftsrt
MehrQuadratische Gleichungen und Funktionen
Qudrtische Gleichungen und Funktionen Bei einer udrtischen Gleichung kommt die Unbeknnte Vrible mindestens einml in der.potenz vor, ber in keiner höheren Potenz. b c udrtischer Anteil linerer Anteil konstnter
MehrKomplexe Kurvenintegrale
Komplexe Kurvenintegrle nlog zu Kurvenintegrlen: Sei : [, b] D R n ein stükweiser C Weg, f : D R und F : D R n gegeben. Dnn htten wir in Anlysis II/III die beiden Kurvenintegrle. und 2. Art f (x)ds = b
MehrInhalt Kapitel I: Nichtlineare Gleichungssysteme
Inhalt Kapitel I: Nichtlineare Gleichungssysteme I Nichtlineare Gleichungssysteme I. Nullstellenbestimmung von Funktionen einer Veränderlichen I.2 I.3 Newton-Verfahren Kapitel I (UebersichtKapI) 3 Bisektionsverfahren
Mehr1.6 Bruchterme. 1 Einführung und Repetition 2. 2 Multiplikation und Division von Bruchtermen 3. 3 Die Addition von zwei Bruchtermen-Methode I 3
.6 Bruchterme Inhltsverzeichnis Einführung und Repetition 2 2 Multipliktion und Division von Bruchtermen 3 3 Die Addition von zwei Bruchtermen-Methode I 3 4 Doppelbrüche 5 5 Die Addition von zwei Bruchtermen
MehrVersuchsplanung. Grundlagen. Extrapolieren unzulässig! Beobachtungsbereich!
Versuchsplnung 22 CRGRAPH www.crgrph.de Grundlgen Die Aufgbe ist es Versuche so zu kombinieren, dss die Zusmmenhänge einer Funktion oder eines Prozesses bestmöglich durch eine spätere Auswertung wiedergegeben
MehrWie muss x gewählt werden, so dass K 1 anschließend einen geraden Stoß mit K 3 ausführt?
ZÜ 2.1 Aufgbe 2.1 Drei Kugeln K 1, K 2 und K 3 Mssen, m 2 und m 3 befinden sich in einer Rille und berühren sich nicht. Die erste Kugel gleitet mit der Geschwindigkeit v1 und stößt vollkommen elstisch
MehrBrückenkurs MATHEMATIK
Brückenkurs MATHEMATIK Professor Dr. rer. nt. Bernd Bumnn Professor Dr. rer. nt. Ulrich Stein Hochschule für Angewndte Wissenschften Hmburg 5. März 008 VO R B E M E R K U N G E N Liebe Studentin, lieber
MehrReader. für den Einsatz in der Wiederholungsphase im Mathematikunterricht der Jahrgangsstufe 11
Reder für den Einstz in der Wiederholungsphse im Mthemtikunterricht der Jhrgngsstufe Anhng zur schriftlichen Husrbeit zur Zweiten Sttsprüfung für ds Lehrmt n öffentlichen Schulen von Andres Rschke Vorwort
MehrAbiturprüfung 2007. Mathematik, Leistungskurs 0,02
M LK HT Seite von Nme: Abiturprüfung 007 Mthemti, Leistungsurs Aufgbenstellung: Gegeben ist die Funtion f mit Ein Teil des Grphen von f ist für 0,0 t ft () = t e, t IR. 0 t 5 m Ende der Aufgbe uf Seite
MehrMathematik Brückenkurs
Rumpfskript zur Vorlesung Mthemtik-Brückenkurs /86 Mthemtik Brückenkurs im Fchbereich Informtik & Elektrotechnik Rumpfskript V7 Rumpfskript zur Vorlesung Mthemtik-Brückenkurs /86 Inhltsverzeichnis Mengen...
Mehr