Kapitel 4 Differentialrechnung in mehreren Variablen. 4.1 Topologie des R n und Stetigkeit von Funktionen

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1 Kpitel 4 Differentilrechnung in mehreren Vriblen 4.1 Topologie des R n und Stetigkeit von Funktionen Gegenstnd dieses Kpitels sind Funktionen in mehreren Vriblen. Wir können die Definitionsbereiche solcher Funktionen ls Teilmengen eines mehrdimensionlen Rumes uffssen. Deshlb schuen wir uns zunächst den zugrundeliegenden Rum R n (für ein n N) genuer n, und definieren solche Begriffe wie Nchbrschft und Konvergenz von Folgen. Identifiziert mn Punkte im n-dimensionlen Rum mit ihren Ortsvektoren, liefert die Norm uf R n einen Abstndsbegriff, eine sogennnte Metrik. Mn definiert nämlich ls Abstnd zwischen u,v R n : dist(u,v) := u v = (u 1 v 1 ) (u n v n ) 2. Die offene Kugel vom Rdius r um u R n ist definiert ls K r (u) := {v R n v u < r}. Im Fll n = 1 ist eine solche Kugel nichts nderes ls ein offenes Intervll. Im Fll n > 1 gibt es usserdem viele weitere interessnte Umgebungen von Punkten, weil die Vielflt n möglichen Figuren im mehrdimensionlen ntürlich wesentlich grösser ist. Deshlb führt mn folgenden Begriff ein: 4.1 Definition Eine Teilmenge U R n heisst offen, flls zu jedem Punkt u U ein ǫ > 0 existiert, so dss K ǫ (u) U. Eine Teilmenge A R n heisst bgeschlossen, wenn ds Komplement der Menge U := R n \A in R n offen ist. Zum Beispiel ist jede offene Kugel selbst offen, ber uch jede beliebige Vereinigung von offenen Kugeln. Allgemeiner sind endliche Durchschnitte und beliebige Vereinigungen offener Mengen wieder offen. Die leere Menge und der gnze Rum R n sind sowohl offen ls uch bgeschlossen. Abgeschlossen sind zum Beispiel uch endliche Punktmengen. Beliebige Durchschnitte und endliche Vereinigungen bgeschlossener Mengen sind wieder bgeschlossen. Im eindimensionlen Fll sind offene Teilmengen nichts nderes ls disjunkte Vereinigungen offener Intervlle. Im zweidimensionlen Fll ber gibt es wesentlich mehr offene Teilmengen ls nur die disjunkten Vereinigungen von offenen Kreisscheiben, wie zum Beispiel ds Innere von einfch geschlossenen Kurven. 4.2 Definition Sei jetzt M eine beliebige Teilmenge des R n. Ein Punkt p R n wird ls Rndpunkt von M bezeichnet, wenn jede Kugel K r (p) um p (r > 0 beliebig) sowohl M ls uch ds Komplement R n \ M schneidet. Die Gesmtheit ller

2 66 Kpitel 4. Differentilrechnung in mehreren Vriblen Rndpunkte bilden den Rnd der Teilmenge M und dieser Rnd wird mit M bezeichnet. Aus der Definition ergibt sich sofort, dss der Rnd von M und der Rnd des Komplementes von M miteinnder übereinstimmen. Weiter definiert mn den Abschluss von M ls M := M M. Der Abschluss von M ist die kleinste bgeschlossene Teilmenge von R n, die M enthält. Zum Beispiel ist der Rnd der offenen Kugel K r (u) um u R n gerde die Kugeloberfläche K r (u) = {v R n v u = r}. Der Abschluss der offenen Kugel ist die sogennnte bgeschlossene Kugel K r (u) = {v R n v u r}. Der Rnd der Kugel und llgemeiner jeder Rnd M einer Teilmenge M ist bgeschlossen, denn es hndelt sich um den Durchschnitt von zwei bgeschlossenen Mengen M = M (R n \M). 4.3 Bemerkung Eine Teilmenge A R n ist genu dnn bgeschlossen, wenn sie lle ihre Rndpunkte enthält. Eine Teilmenge U R n ist genu dnn offen, wenn sie keinen ihrer Rndpunkte enthält. Und hier der letzte wichtige topologische Grundbegriff: 4.4 Definition Eine bgeschlossene Teilmenge A R n heisst kompkt, wenn sie zusätzlich beschränkt ist, ds heisst, wenn es eine Schrnke S R gibt mit v S für lle v A. Zum Beispiel sind bgeschlossene Kugeln kompkt. Im eindimensionlen Fll sind dies gerde die bgeschlossenen Intervlle. 4.5 Definition Mn sgt, eine Folge von Punkten (u k ) k N in R n konvergiert gegen den Grenzwert u R n genu dnn, wenn die Abstände der Punkte u k zu u gegen Null konvergieren, ds heisst lim u k u = 0. k Wie bei Zhlenfolgen, verwendet mn in diesem Fll uch die Schreibweise Mn knn folgendes zeigen: lim u k = u. k 4.6 Bemerkung Eine Folge von Punkten (x k,y k ) k N in R 2 konvergiert genu dnn gegen den Grenzwert u = (x,y) R 2, wenn lim k x k = x und lim k y k = y ist.

3 4.1. Topologie des R n und Stetigkeit von Funktionen 67 Zum Beispiel konvergiert die Folge der Punkte u k = (cos ϕ,sin ϕ ) (für ϕ [0,2π] k k fest) uf dem Einheitskreis in R 2 gegen den Punkt u = (1,0). Und die Folge der Punkte v k = (1 1)v (für v k Rn fest) konvergiert gegen v. 4.7 Stz Eine Teilmenge A R n ist genu dnn bgeschlossen, wenn für jede konvergente Folge (u k ) k N, die us Punkten u k A besteht, gilt: lim k u k A. Beweis. Nehmen wir zunächst n, A sei bgeschlossen. Ds heisst, ds Komplement U := R n \Aistoffen.Nehmenwirnunweiter n,esgebeeinekonvergente Punktfolge (u k ) k in A mit Grenzwert u in U. Weil U offen ist, existiert ein ǫ > 0 mit K ǫ (u) U. Drus folgt ber u k u ǫ für lle k im Widerspruch zu lim k u k = u. Sei jetzt umgekehrt die Folgeneigenschft erfüllt und nehmen wir n, A sei nicht bgeschlossen. Ds heisst, ds Komplement U von A sei nicht offen. Dnn gibt es einen Punkt u U mit der Eigenschft, dss jede noch so kleine Kreisscheibe K ǫ (u) die Menge A schneidet. Wir wählen jetzt zu jedem Index k N einen Punkt u k A K1(u)us.Dnngilt u k u < 1 fürllek.alsokonvergiertdiepunktfolge k k (u k ) k gegen u. Nch der Annhme folgt u A, ein Widerspruch. q.e.d. Kommen wir nun zum Begriff der stetigen Funktion. Wir betrchten hier nur Funktionen, deren Definitionsbereich entweder offen oder Abschluss einer offenen Menge ist. 4.8 Definition Sei U R n eine offene oder bgeschlossene Teilmenge. Eine Funktion f:u R m heisst stetig n der Stelle u U, wenn für jede Folge (u n ) us Punkten in U mit lim n u n = u gilt lim f(u n) = f(u). n Wir nennen f stetig, wenn f n jeder Stelle des Definitionsbereichs stetig ist. Ds bedeutet, dss der Funktionswert n der Stelle f(u) bereits durch ds Verhlten der Funktion in der Nähe von u bestimmt ist. Die folgende Chrkterisierung von Stetigkeit lässt sich so verstehen, dss kleine Änderungen der Vriblen u nur zu kleinen Änderungen des Bildes f(u) führen. 4.9 Stz Eine Funktion f:u R m uf einer offenen Teilmenge U R n ist genu dnn stetig in u U, wenn zu jedem ǫ > 0 ein δ > 0 existiert mit K δ (u) U und f(v) f(u) < ǫ für lle v K δ (u). Beweis. Angenommen f sei in u stetig. D U offen ist, enthält U eine gnze Kreisscheibe K r (u) um u. Nehmen wir jetzt n, die ǫ-δ-eigenschft sei nicht erfüllt. Ds bedeutet, es gibt ein ǫ > 0 derrt, dss zu jedem 0 < δ r ein v U existiert mit v u < δ und f(v) f(u) > ǫ. Wir können lso zu jeder ntürlichen Zhl k ein v k U wählen mit v k u < 1 k und f(v k) f(u) > ǫ. Für die so konstruierte Folge in U gilt lim k v k = u, ber die Folge (f(v k )) konvergiert nicht gegen f(u), im Widerspruch zur Stetigkeit.

4 68 Kpitel 4. Differentilrechnung in mehreren Vriblen Sei jetzt umgekehrt die ǫ-δ-eigenschft erfüllt. Sei weiter (v k ) k N eine Folge in U mit lim k v k = u U. Wir zeigen nun, dss lim k f(v k ) = f(u). Dzu wählen wir zu vorgegebenem ǫ > 0 ein δ > 0 mit K δ (u) U und f(v) f(u) < ǫ für lle v K δ (u). D lim k v k = u, gibt es ein N N mit v k u < δ für lle k N. Also ist f(v k ) f(u) < ǫ für lle k N. q.e.d Beispiel Seif:R 3 Rdefiniert durchf(x,y,z) = x+by+cz, wobei,b,c R fest gewählte Zhlen seien. Diese Abbildung f ist stetig. Um dies zu zeigen, setzen wir d := mx{, b, c }. Dnn gilt für u,v R 3 nch den Betrgsrechenregeln: f(u) f(v) = (u 1 v 1 )+b(u 2 v 2 )+c(u 3 v 3 ) d( u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 ) 3d (u 1 v 1 ) 2 +(u 2 v 2 ) 2 +(u 3 v 3 ) 2 = 3d u v. Aus dieser Abschätzung folgt sofort die Stetigkeit. Entsprechend knn mn llgemeiner zeigen, dss jede linere Abbildung f:r n R stetig ist Bemerkung Eine Punktfolge in R n konvergiert genu dnn, wenn jede der Zhlenfolgen, die sich durch Projektion uf eine der Koordintenchsen ergeben, konvergieren. Genuer gilt für eine Folge (u k ) k im R n, wobei u k = (x 1k,...,x nk ): lim u k = u = (x 1,...x n ) lim x jk = x j für lle j = 1,...,n. k k Drus ergibt sich sofort: eine Funktion f:u R n R m, u (f 1 (u),...,f m (u)) ist genu dnn stetig n der Stelle u U, wenn sämtliche Komponentenfunktionen f j :U R n der Stelle u stetig sind Folgerung Jede linere Abbildung L:R n R m ist stetig. Für reellwertige Funktionen mehrerer Vribler gelten entsprechende Rechenregeln für Stetigkeit wie im eindimensionlen Fll, ds heisst Summen und Differenzen, sowie Produkte und Zusmmensetzungen stetiger Funktionen sind wieder stetig. Ist f:u R n R m, so versteht mn unter dem Grphen von f die folgende Teilmenge des R n R m = R n+m : Grph(f) := {(u,f(u)) u U} R n R m Beispiele Ist f:r 2 R liner, definiert durch f(x,y) = x + by (,b R konstnt), so ist der zugehörige Grph eine Ebene in R 3. Denn 1 0 Grph(f) = {(x,y,x+by) x,y R} = {x 0 +y 1 x,y R}. b Ist f die oben betrchtete Längenfunktion, so ist der Grph ein uf die Spitze gestellter, nch oben offener Kegel. Der Grph der Funktion f:r 2 R, definiert durch f(x,y) = 1 (x 2 1) 2 y 2 ist ein Gebirge im R 3 mit zwei Berggipfeln.

5 4.1. Topologie des R n und Stetigkeit von Funktionen 69 Mn knn den Verluf einer Funktion f:u R n R uch im Ausgngsrum R n grphisch drstellen, indem mn dort die Niveumengen einzeichnet. Unter der Niveumenge zur Zhl c R versteht mn die Menge N c := {v U f(v) = c}. Ist f stetig, so sind lle Niveumengen von f bgeschlossene Teilmengen des R n. Für n = 2 sind die Niveumengen in der Regel Linien, die sogennnten Höhenlinien. Aber je nch Whl von c können die Niveumengen ntürlich uch leer sein, oder nur us einem Punkt bestehen. Für stetige Funktionen uf kompkten Teilmengen gelten Sätze, die die Aussgen über stetige Funktionen uf bgeschlossenen Intervllen verllgemeinern Stz Sei K R n eine nichtleere kompkte Teilmenge und sei f:k R m stetig. Dnn ist ds Bild von f, die Teilmenge f(k) := {f(v) v K} R m wieder kompkt. Ist m = 1, so nimmt f uf K Mximum und Minimum n, ds heisst, es gibt Punkte p,q K mit f(p) f(v) f(q) für lle v K.

6 70 Kpitel 4. Differentilrechnung in mehreren Vriblen 4.2 Wege und Weglänge Unter einem Weg oder einer prmetrisierten Kurve in R m versteht mn eine stetige Abbildung γ:i R m von einem offenen oder bgeschlossenen Intervll I R nch R m. Es hndelt sich lso um eine Funktion von einer Vriblen, deren Bild sich im R m befindet. Wenn wir die Vrible ls die Zeit interpretieren, so können wir uns vorstellen, dss γ(t) jeweils den Ort eines Mssenpunktes zur Zeit t ngibt. Der Weg γ beschreibt dnn lso die Bewegung eines Mssenpunktes im Rum. Ds Bild von γ, nämlich die Teilmenge {γ(t) t I} R m, ist gerde die Bhnkurve, die der Mssenpunkt im Lufe der Zeit zurücklegt. In Anlogie zum eindimensionlen Fll definiert mn Differenzierbrkeit hier folgendermssen: 4.15 Definition Mnbezeichnet γ:i R m lsdifferenzierbr nderstellet 0 I, flls der folgende Grenzwert existiert: γ (t 0 ) = lim t t0 γ(t) γ(t 0 ) t t 0. Mn nennt γ differenzierbr, wenn γ n jeder Stelle differenzierbr ist. Und schliesslich heisst γ stetig differenzierbr, wenn γ stetig ist Bemerkung Wir können γ (t 0 ) ls Geschwindigkeitsvektor von γ zum Zeitpunkt t 0 uffssen. Denn der Differenzenquotient γ(t) γ(t 0) t t 0 gibt jeweils eine Seknte des Weges n, und der Grenzwert für t t 0 beschreibt einen Tngentilvektor n die Bhn. Aus Bemerkung 2.11 des letzten Kpitels folgt usserdem sofort, dss γ genu dnn n der Stelle t 0 differenzierbr ist, wenn dies für lle Komponenten von γ gilt. Ist genuer γ(t) = (γ 1 (t),...,γ m (t)), so gilt γ (t) = (γ 1 (t),...,γ m (t)) Beispiel Sei r > 0 vorgegeben. Der Weg γ(t) = (rcost,rsint) für t [0,2π] ht ls Bild eine Kreislinie von Rdius r. Er ist differenzierbr und γ (t) = ( rsint,rcost) für t [0,2π]. Der Betrg der Geschwindigkeit ist für den gesmten Weg konstnt, denn γ (t) = r 2 sin 2 (t)+r 2 cos 2 (t) = r, ber die Richtung der Bewegung ändert sich ntürlich. Der Geschwindigkeitsvektor ist jeweils tngent n die Kreislinie Beispiel Sindp q zweipunkteinr m,sokönnenwirdieverbindungsstrecke von p nch q durch folgenden Weg prmetrisieren: γ(t) := (1 t)p+tq für t [0,1].

7 4.2. Wege und Weglänge 71 Hier ist γ (t) = q p für lle t. Die Geschwindigkeit ist lso über die gesmte Wegstrecke konstnt Definition Ist γ:[,b] R m einml stetig differenzierbr, so knn mn die Länge der entsprechenden Kurve folgendermssen definieren: L(γ) := γ(t) dt. Wir können diese Definition uch uf Wege mit endlich vielen Knickstellen usdehnen. Dmit ist genuer folgendes gemeint: Sei = t 0 < t 1 <... < t n = b eine Teilung des Intervlls [,b], und seien γ k :[t k 1,t k ] R n stetig differenzierbr (für k = 1,...,n). Ist jetzt γ:[,b] R n stetig und gilt γ(t) = γ k (t) für lle t k 1 t t k, dnn nennen wir γ stückweise stetig differenzierbr. In diesem Fll setzen wir n L(γ) := L(γ k ). Die Menge ller stückweise stetig differenzierbren Kurven bezeichnen wir mit k=1 C 1 s([,b],r n ). Dzu gehören zum Beispiel die stückweise gerdlinigen Kurven, die sogennnten Polygonzüge. Diese Definition der Weglänge psst uch zur nschulichen Vorstellung, wie die folgenden Eigenschften zeigen: 1. Die Kurve γ:[0,1] R n, t (1 t)p+tq, prmetrisiert die Strecke zwischen p und q, und wir erhlten L(γ) = 1 wie es der Anschuung entspricht. 0 γ(t) dt = p q, 2. Seien p = p 0,p 1,...,p n = q Punkte in R n und sei γ:[0,n] R n definiert durch γ(t) = (k t)p k 1 + (t (k 1))p k für k 1 t k, k = 1,...,n. Dnn prmetrisiert γ den Polygonzug durch p,p 1,...,p n 1,q, und wir erhlten wie gewünscht: n n L(γ) = L(γ k ) = p k p k 1. k=1 3. Ist (γ m ) eine Folge von Polygonzügen, die gutrtig gegen γ Cs([,b],R 1 n ) konvergiert, dnn gilt: L(γ) = lim γ m(t) dt = lim m m k=1 γ m (t) dt = lim m L(γ m). (Mn muss hier vorussetzen, dss sowohl die Folge der Wege, ls uch die Folge der Ableitungen jeweils gleichmässig gegen γ bzw. γ konvergieren.)

8 72 Kpitel 4. Differentilrechnung in mehreren Vriblen 4. Ist der Weg so prmetrisiert, dss mn stets mit (im Betrg) konstnter Geschwindigkeit v unterwegs ist, ds heisst γ(t) = v für lle t, dnn ist L(γ) = γ(t) dt = v(b ). Weil in dieser Sitution pro Zeiteinheit die Strecke v zurückgelegt wird, gibt v(b ) ttsächlich die Gesmtlänge des Weges n. 5. Die Weglänge ist unbhängig von der Whl der Prmetrisierung. Genuer: Ist γ Cs 1([,b],Rn ) und ist ϕ:[r,s] [,b] bijektiv, stetig differenzierbr und gilt ϕ (x) > 0 für lle x [r,s], so gilt wegen der Substitutionsregel: L(γ ϕ) = s r d (γ ϕ(x)) dx = dx s γ(t) dt = L(γ). r γ(ϕ(x)) ϕ (x)dx = Hier noch ein kurzer Kommentr zu den Vorussetzungen. Ist γ stetig differenzierbr, so ist γ ebenflls stetig, der Betrg von γ ist deshlb uf [, b] beschränkt, etw durch M. Drus folgt L(γ) M dt = M(b ) <. Die Weglänge ist in diesem Fll lso immer ein endlicher Wert. Würde mn die Vorussetzung bschwächen, wäre ds nicht mehr grntiert. Es gibt Wege, die zwr differenzierbr sind, deren Ableitung ber nicht überll stetig x ist, und deren Weglänge unendlich ist. Genuer gilt dnn lim x b γ(t) dt = (siehe Beispiel in den Übungen). Noch schlimmer sieht es bei nur stetigen Kurven us. Peno ht eine Kurve γ:[0,1] R 2 konstruiert, deren Bild sogr ein gnzes Qudrt in der Ebene komplett usfüllt. Ds Bild von γ ist lso nicht eindimensionl, sondern zweidimensionl!

π 2 r 2 r 2 sin 2 (t)r cos(t) dt π 2 cos2 (t) cos(t) dt = r 2 π dt = cos(x) sin(x) u v = cos(x) sin(x) + = cos(x) sin(x) + x

π 2 r 2 r 2 sin 2 (t)r cos(t) dt π 2 cos2 (t) cos(t) dt = r 2 π dt = cos(x) sin(x) u v = cos(x) sin(x) + = cos(x) sin(x) + x Wir substituieren x x(t) r sin(t), t [ π, π ]. Dnn ist x (t) r cos(t), lso r x dx π π r π r r sin (t)r cos(t) dt π cos (t) cos(t) dt r π π cos (t) dt Wir integrieren cos mittels prtieller Integrtion: Sei

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