6.4 Die Cauchysche Integralformel

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1 Die Cuchysche Integrlformel Abb 6 Integrtionswege im Fresnelintegrl r ir 2 r 6.4 Die Cuchysche Integrlformel Aus dem Cuchyschen Integrlst folgt eine fundmentle Formel für die Drstellung einer holomorphen Funktion. 8 Cuchysche Integrlformel Sei f : C,! C holomorph. Ist die bgeschlossene Kreisscheibe D r () im Definitionsbereich von f enthlten, so gilt f () i w dw für jeden Punkt 2 D r (). Bemerkungen. Die bgeschlossene Kreisscheibe D r () muss im Definitionsbereich von f enthlten sein, dmit f uf deren Rnd stetig und ds Kurvenintegrl definiert ist. b. Für uf dem Rnd von D r () ist ds Integrl nicht definiert. c. Für ußerhlb von D r () verschwindet ds Integrl ufgrund des Cuchyschen Integrlstes. Die Identität gilt hier somit nicht mehr. «Abb 7 Whl des Weges

2 4 6 Funktionentheorie Ist 2 D r (), so ist D () D r () für lle kleinen >. Wir behupten, dss w dw w dw. Denn verbinden wir die beiden Kreiskurven wie in Abbildung 7 ngedeutet durch eine Strecke, die wir einml in positiver und einml in negtiver Richtung durchlufen, so erhlten wir eine geschlossene Kurve um ein einfch usmmenhängendes Gebiet, uf dem w, /(w ) stetig differenierbr ist. Die Voreichen sind dbei so gewählt, dss dieses Gebiet immer uf derselben Seite von liegt. Aufgrund des Cuchyschen Integrlstes gilt dnn w dw Die beiden -Integrle nnulieren sich, und es bleibt w dw w dw wie behuptet. w dw. Nun ist mit Lemm 3 w dw f () w dw w i f () '(w) dw mit der uf D r () ÿ {} stetigen Funktion '(w) ( f ())/(w ). f () dw Diese Funktion ist für w! durch f () stetig fortsetbr und dher uf gn D r () gleichmäßig beschränkt. Also gilt '(w) dw L(@D ) k'k D () O(). Beim Grenübergng! verschwindet dieses Integrl, und wir erhlten w dw dw i f () w wie behuptet.

3 Die Cuchysche Integrlformel Bemerkungen Die Cuchysche Integrlformel ist us folgenden Gründen bemerkenswert.. Die Funktionswerte von f im Innern einer Kreisscheibe hängen nur von den Werten von f uf deren Rnd b. b. Auf dem Rnd einer solchen Kreisscheibe muss f nur stetig sein, dmit ds Cuchyintegrl erklärt ist. c. Die Funktion f hängt vom Punkt llein durch den sogennnten Cuchykern (w ) b und nicht von f. Dher übertrgen sich Regulritätseigenschften dieses Kerns uf die durch ihn definierte Funktion.. Deshlb definiert jede stetige Funktion ' :! C durch f () Õ '(w) i w dw, 2 D r () eine uf D r () holomorphe Funktion f «Alles Weitere in diesem Abschnitt ist eine Konsequen der Cuchyschen Integrlformel. Als Erstes erwähnen wir die 9 Mittelwerteigenschft Sei f : C,! C holomorph. Dnn gilt f () f ( r e it ) dt, flls die Kreisscheibe D r () im Definitionsbereich von f enthlten ist. Ds Cuchyintegrl r () mit w(t) r e it ergibt j f () i w dw r () f ( r e it ) r e it d(r e it ) f ( r e it ) dt. Außerdem hben wir einen Beweis für den 2 Fundmentlst der Algebr Jedes nicht-konstnte Polynom besitt eine komplexe Nullstelle. Sei p ein solches Polynom. Besitt p keine Nullstelle, so ist q /p eine uf gn C erklärte, holomorphe Funktion. Für diese gilt

4 42 6 Funktionentheorie Abb 8 ur Potenreihendrstellung r r D r () q() r () q() d q(r e it ) dt dt p(r e it ) für lle r >. Ds lette Integrl konvergiert für r!ber gegen, ein Widerspruch u q() /p() î. Potenreihen Wir können nun uch eigen, dss jede holomorphe Funktion unendlich oft differenierbr ist und lokl durch eine Potenreihe drgestellt wird. 2 Potenreihendrstellung Sei C ein Gebiet und f :! C holomorph. Dnn besitt f um jeden Punkt seines Definitionsbereiches eine Potenreihendrstellung f () P n n ( ) n mit den Koeffiienten n dw, i () n n, mit beliebigen r> so klein, dss D r (). Diese Reihe konvergiert uf der größtmöglichen, gn in enthltenen offenen Kreisscheibe um. Sei r Õ ) Õ sup {r : D r () }. Für <r <r ist lso D r (), und für 2 D r () und w 2 ist r q<. Dher existiert für jedes solche die geometrische Reihe w X n, n

5 Die Cuchysche Integrlformel und diese konvergiert gleichmäßig uf dem Rnd von D r (). In der Cuchyschen Integrlformel können wir dher Integrtion und Summtion vertuschen und erhlten i f () w dw X w n X ( ) n n n dw dw. () n Ds ist genu die im St behuptete Entwicklung, und sie konvergiert gleichmäßig uf D r (). D dies für lle <r <r gilt, konvergiert die Reihe uch uf D r (), wenn uch im Allgemeinen nicht gleichmäßig. Dmit ist der St bewiesen. Anlytiität Lokl sind lso holomorphe Funktionen nichts nderes ls Funktionen, die durch komplexe Potenreihen beschrieben werden. Solche Funktionen nennt mn nlytisch. Definition Eine Funktion f : C,! C heißt nlytisch, wenn um jeden Punkt im Definitionsbereich von f eine Kreisscheibe existiert, uf der f durch eine konvergente Potenreihe drgestellt wird. D wir bereits gesehen hben, dss umgekehrt Potenreihen in ihrem Konvergenkreis holomorphe Funktionen definieren, gelngen wir u folgendem 22 Anlytiitätsst Für eine Funktion f : C,! C sind äquivlent: (i) (ii) f ist holomorph. f ist unendlich oft differenierbr. (iii) f ist nlytisch. (iii))(ii) Dies ist der Potenreihenst 4. (ii))(i) Dies ist offensichtlich. (i))(iii) Dies ist der St über die Potenreihenentwicklung 2. Bemerkung Mn knn uch noch eigen, dss holomorph äquivlent u komplex differenierbr ist. Aus der Existen der komplexen Ableitung folgt lso bereits ihre Stetigkeit. Und eine stetige Funktion f : C,! C ist komplex differenierbr, wenn f ()