2 Der Cauchysche Integralsatz

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1 themtik für Physiker IV, SS 2013 ontg 6.5 $Id: cuchy.tex,v /05/07 14:26:31 hk Exp hk $ 2 Der Cuchysche Integrlstz 2.3 Die Cuchysche Integrlformel In der letzten Sitzung htten wir eine erste Form der Cuchyschen Integrlformel bewiesen, gegeben wren eine uf einer offenen enge U C definierte holomorphe Funktion f : U C und ein einfches Flächenstück A U. Für jeden Punkt z A glt dnn f(z) = 1 f(ζ) 2πi A ζ z dζ und insbesondere wr die Funktion f im Inneren von A durch die Werte von f uf dem Rnd von A bereits vollständig festgelegt. Auch einige der ersten Folgerungen us der Integrlformel htten wir bereits festgehlten, die Funktion f ist nicht nur einml stetig differenzierbr, sondern läßt sich unendlich oft differenzieren, und die Cuchysche Integrlformel erweitert sich zu einer Integrlformel für die höheren Ableitungen von f, konkret hben wir f (n) (z) = n! 2πi A f(ζ) dζ (ζ z) n+1 für jedes n N und lle z A. Wird der Integrnd in der Cuchyschen Integrlformel in eine geometrische Reihe entwickelt, so ergb sich der Entwicklungsstz, d.h.für jedes z 0 A läßt sich f durch eine Potenzreihe mit Entwicklungspunkt z 0 schreiben, nämlich f(z) = ( 1 2πi A f(ζ) dζ (ζ z 0 ) n+1 ) (z z 0 ) n, und zwr für lle z im größten Kreis mit ittelpunkt z 0 der noch in A enthlten ist. D wir ds einfche Flächenstück A frei in U wählen können, läßt sich der Entwicklungsstz uch in Termen von Tylorreihen umformulieren. Lemm 2.20 (Tylorreihen holomorpher Funktionen) Seien U C eine offene enge, f : U C eine holomorphe Funktion und z 0 U. Bezeichne r dnn den Rdius des größten offenen Kreises mit ittelpunkt z 0 der noch in U enthlten ist, lso r := sup{s > 0 B s (z 0 ) U}. Dnn ht die Tylorreihe von f zum Entwicklungspunkt z 0 einen Konvergenzrdius r r und für lle z B r (z 0 ) gilt f (n) (z 0 ) f(z) = (z z 0 ) n. n! 8-1

2 themtik für Physiker IV, SS 2013 ontg 6.5 Beweis: Sei z C mit z z 0 < r gegeben. Dnn existiert ein s > 0 mit B s (z 0 ) U und z z 0 < s, lso ist A := B s (z 0 ) U ein einfches Flächenstück mit z A U. Nch dem Entwicklungsstz Korollr 18 gibt es eine Potenzreihe g(w) = n(w z 0 ) n mit einem Konvergenzrdius r s die f(w) = g(w) für lle w B s (z 0 ) erfüllt. Insbesondere ist f (n) (z 0 ) = n! n für jedes n N, d.h. g ist die Tylorreihe von f zum Entwicklungspunkt z 0 und insbesondere ist dmit f(z) = n (z z 0 ) n = f (n) (z 0 ) (z z 0 ) n. n! D die Tylorreihe uf gnz B r (z 0 ) konvergiert muss sie insbesondere mindestens den Konvergenzrdius r hben. Bechte insbesondere ds es in der holomorphen Sitution nicht nötig ist irgendwelche Restglieder bzuschätzen, die Konvergenz der Tylorreihe besteht utomtisch solnge wir in einem Kreis um den Entwicklungspunkt sind in dem die Funktion holomorph ist. Auch die Bestimmung des Konvergenzrdius stellt kein Problem dr, die Reihe konvergiert solnge die drgestellte Funktion holomorph ist. Der wirkliche Konvergenzrdius könnte llerdings noch größer sein, dies pssiert beispielsweise wenn sich die Funktion zu einer holomorphen Funktion uf einer noch größeren offenen enge erweitern läßt. Hierzu werden wir uch gleich ein Beispiel sehen. Günstige ethoden zur wirklichen Berechnung von Tylorreihen hben wir schon in II. 1.3 und II. 1.4 gesehen, dher werden wir uns jetzt uf einige einfche Beispiele beschränken, in Aufgbe (17) finden sich dnn noch einige weitere solche Rechnungen. Neu in diesem Semester ist die ethode zur Bestimmung des Konvergenzrdius der Tylorreihe, im zweiten Semester mussten wir uns noch mit, in der Regel schlechten, unteren Abschätzungen begnügen. Wir strten mit dem Huptzweig des komplexen Logrithmus in einem llgemeinen Entwicklungspunkt z 0 C. Für lle z C ist die Ableitung des Logrithmus nch 1.Stz 6 gegeben ls d dz ln z = 1 z = z 1, und für lle n 1 ergeben sich die höheren Ableitungen somit wieder für lle z C ls d n (n 1)! ln z = ( 1)n 1. dzn z n Die Tylorreihe zu einem beliebigen Entwicklungspunkt z 0 C wird lso zu ln z = ln z 0 + ( 1) n 1 (z z 0 ) n. Ws ist nun der Konvergenzrdius dieser Potenzreihe, und wo stellt sie den Huptzweig des Logrithmus dr? Die Antwort hängt dbei von z 0 b, und wir schuen uns ds 8-2 nz n 0

3 themtik für Physiker IV, SS 2013 ontg 6.5 zunächst für z 0 = 1 n. Dnn ist B 1 (1) C lso ist der Konvergenzrdius mindestens 1, und wegen lim x 0 ln x = knn er uch nicht echt größer sein, lso ist beziehungsweise ln z = ( 1) n 1 (z 1) n für z 1 < 1, n ln(1 + z) = ( 1) n 1 z n für z < 1. n Letztere Reihe ist dbei die im Reellen schon us II. 1.3 beknnte Reihendrstellung des Logrithmus. Schuen wir uns einen etws weniger vertruten Fll n, nämlich den Entwicklungspunkt z 0 = i. Für reelle t > 0 ist ln(it) = ln t+iπ/2 und dies ist für t 0 divergent, lso muss die Tylorreihe wieder den Konvergenzrdius Eins hben. Für lle n N sind i 2n = ( 1) n und i 2n+1 = ( 1) n i, lso wird ln z = ln(i) + ( 1) n+1 i 2n + 1 (z i)2n+1 + = für z i < 1 beziehungsweise ln(i + z) = ( 1) n 1 (z i) 2n + i 2n ( 1) n 1 z 2n + i 2n ( 1) n 1 (z i) 2n 2n [ π 2 + [ π 2 + ] ( 1) n 2n 1 z2n 1 ] ( 1) n (z i)2n 1 2n 1 für z < 1. Setzen wir hier speziell ein reelles t R mit t < 1 ein, so steht hier die Zerlegung von ln(i + t) in Rel- und Imginärteil und wegen ln(i + t) = ln ( π ) 1 + t 2 + i 2 rctn t = 1 ( π ) 2 ln(1 + t2 ) + i 2 rctn t erhlten wir rctn t = ( 1) n+1 2n 1 t2n 1 = ( 1) n 2n + 1 t2n+1 für t < 1. Ttsächlich gilt diese Formel sogr für lle z C mit z < 1, denn der Arcustngens ist in B 1 (0) holomorph und wird dort somit durch seine Tylorreihe drgestellt. Die Arcustngensreihe knn mn ntürlich uch direkter erhlten, zum Beispiel so wie in II. 1.4 vorgeführt. Schuen wir uns schließlich den Entwicklungspunkt z 0 = i 1 n. Hier wird die Lge deutlich komplizierter. Der größte in C enthltene Kreis mit ittelpunkt z 0 ist B 1 (z 0 ) unsere Potenzreihe ht hier lso den Konvergenzrdius mindestens 1 und konvergiert gegen den Logrithmus. Diesml ist der Konvergenzrdius ber echt größer 8-3

4 themtik für Physiker IV, SS 2013 ontg 6.5 ls Eins. Schon bei der Definition des Logrithmus htten wir ngemerkt ds die Whl des Streifens uf dem die Exponentilfunktion umgekehrt wird letztlich willkürlich ist. Die Exponentilfunktion ist uch eingeschränkt uf V := R ( (3/4)π, (5/4)π) biholomorph mit dem Bild W := C\(R 0 (1 + i)) und wir erhlten einen nderen Zweig des Logrithmus ls ln := (exp V ) 1 : W C. Ist S der Sektor S := {re iφ r 0, π φ 54 π }, so ist ln (C\S) = ln (C\S). Der Konvergenzrdius unserer Potenzreihe ist lso der Abstnd von z 0 zum Nullpunkt, d.h. 2, und uf dem Kreis B 2 (z 0) konvergiert die Potenzreihe gegen ln. Hier konvergiert die Tylorreihe des Logrithmus lso uf einem Kreis der nicht in der geschlitzten Ebene C enthlten ist, und für die z in diesem Kreis unterhlb der reellen Achse ist der Grenzwert uch nicht mehr der Huptwert des Logrithmus sondern der Wert lnz. Dieses Phänomen tritt bei holomorphen Funktionen deren Definitionsbereich nicht gnz C bis uf isolierte Punkte ist recht häufig uf. Ttsächlich muss mn sich nstrengen Beispiele zu konstruieren, in denen dies nicht pssiert, ein solches wird in Aufgbe (20) behndelt. Wir schuen uns noch zwei weitere Tylorreihen n, die wir zwr schon in II. 1.4 hergeleitet htten, ber nun können wir ihren genuen Konvergenzrdius bestimmen. Wir beginnen mit z e z 1 = z n B n n! wobei B n für n N die sogennnte n-te Bernoulli-Zhl ist. Explizit konnten wir diese ls B 0 = 1 und B n = ( 1) p n! (k 1 + 1)!... (k p + 1)! 1 p n,k 1,...,k p 1 k 1 + +k p=n für n 1 schreiben. Im zweiten Semester konnten wir den Konvergenzrdius r dieser Potenzreihe nicht endgültig bestimmen, wir htten nur eine schlechte Abschätzung nch unten, zum Beispiel r 5/4. Wir behupten ds ttsächlich r = 2π ist. Bechte zunächst ds die Funktion z/(e z 1) in (C\2πiZ) {0} holomorph ist, lso ist der Konvergenzrdius mindestens 2π und in diesem Kreis stellt die Potenzreihe die Funktion dr. Wegen lim z z 2πi e z 1 = knn der Konvergenzrdius uch nicht größer sein, es ist lso r = 2π und somit z e z 1 = z n B n n! 8-4 für z < 2π.

5 themtik für Physiker IV, SS 2013 ontg 6.5 Die Bernoulli-Zhlen tuchten dnn uch in der Tylorreihe des Tngens uf, diese ist tn z = ( 1) n 1 22n (2 2n 1)B 2n (2n)! z 2n 1 für z < π 2. In der Tt, die Tylorkoeffizienten htten wir bereits in II. 1.4 berechnet und der Konvergenzrdius π/2 ergibt sich d der Tngens zum einen in B π/2 (0) holomorph ist und zum nderen lim t π/2 tn t = erfüllt. Nch diesen Beispielen kommen wir wieder zur Theorie zurück, und bruchen eine kleine Definition. Definition 2.8 (Diskrete engen) Sei E ein normierter Rum. Eine Teilmenge D E heißt diskret wenn es für jedes x D ein ɛ > 0 mit D B ɛ (x) = {x} gibt. Wir zeigen nun ds eine stetige Funktion nicht nur in isolierten Punkten nicht komplex differenzierbr sein knn, Phänomene wie der reelle Betrg der nur in einem einzigen Punkt nicht differenzierbr ist können in der komplexen Sitution nicht uftreten. Lemm 2.21: Seien U C eine offene enge und D C eine diskrete enge die in U bgeschlossen ist, d.h. D U und U\D ist wieder eine offene enge. Ist dnn f : U C eine stetige Funktion die in U\D holomorph ist, so ist f bereits uf gnz U holomorph. Beweis: Sei z D und wähle ein ɛ > 0 mit B ɛ (z) U und D B ɛ (z) = {z}. D der Kreis B ɛ (z) insbesondere bezüglich z sternförmig ist und f B ɛ (z)\{z} holomorph ist, ht f nch Lemm 9 uf B ɛ (z) eine Stmmfunktion, d.h. es gibt eine holomorphe Funktion g : B ɛ (z) C mit g = f B ɛ (z). Nch Korollr 19 ist g unendlich oft komplex differenzierbr, und dmit ist uch f B ɛ (z) = g holomorph. Dmit ist f uch in einer Umgebung jedes Punktes us D holomorph, d.h. die Funktion f : U C ist insgesmt holomorph. Bisher hben wir die Cuchysche Integrlformel Stz 17 nur für die Rndkurven einfcher Flächenstücke bewiesen. Genu wie den Cuchyschen Integrlstz läßt sich uch die Integrlformel uf llgemeinen, geschlossene stückweise C 1 -Kurven in einfch zusmmenhängenden Gebieten usdehnen, es tritt hierbei ber eine kleine zusätzliche Kompliktion uf. Die Rndkurve eines einfchen Flächenstücks umläuft dieses einml im Gegenuhrzeigersinn, und entsprechend gilt die Integrlformel uch im einfch zusmmenhängenden Fll nur wenn wir den betrchteten Punkt einml im Gegenuhrzeigersinn umlufen. Wollen wir mehrfche Umläufe oder Umläufe im Uhrzeigersinn zulssen, so muss noch mit der entsprechenden Umlufzhl multipliziert werden. Der entstehende Stz ist dnn die folgende Version der Integrlformel. Stz 2.22 (Cuchysche Integrlformel für einfch zusmmenhängende Gebiete) Seien U C ein einfch zusmmenhängendes Gebiet und f : U C eine holomorphe Funktion. Weiter seien z U und eine nicht durch z lufende, geschlossene, 8-5

6 themtik für Physiker IV, SS 2013 ontg 6.5 stückweise C 1 -Kurve in U. Dnn gilt ω z () f(z) = 1 2πi f(ζ) ζ z dζ. Beweis: Wir betrchten den Differenzenquotienten { f(w) f(z), w z, w z g : U C; w f (z), w = z. Wegen f(w) f(z) lim = f (z) w z w z ist die Funktion g stetig, und in U\{z} ist sie sogr holomorph. Nch Lemm 21 ist g : U C sogr uf gnz U holomorph. Dmit können wir den Cuchyschen Integrlstz Stz 14 für einfch zusmmenhängende Gebiete uf g nwenden und erhlten 0 = g(ζ) dζ = f(ζ) f(z) ζ z dζ = f(ζ) dζ f(z) ζ z Dies ergibt dnn die llgemeine Cuchysche Integrlformel. = dζ ζ z f(ζ) ζ z dζ 2πiω z() f(z). 2.4 Der Stz von orer und Konvergenzsätze Nchdem wir uns bisher mit Eigenschften holomorpher Funktionen beschäftigt hben, wird es jetzt um die Konstruktion von holomorphen Funktionen gehen. Unsere bisherigen Beispiele sind die verschiedenen in 1.2 und 1.4 behndelten Grundfunktionen und lles ws mn us ihnen durch rithmetische Opertionen und Hintereinnderusführungen gewinnen knn. Dieses Repertoire werden wir jetzt noch einml wesentlich erweitern indem wir uns überlegen wie mn holomorphe Funktionen durch verschiedene Arten von Grenzprozessen gewinnen knn. Wir werden sehen ds sich Holomorphie besser uf Grenzwerte überträgt ls wir dies us der reellen Sitution gewöhnt sind. Zunächst einml wollen wir ein Holomorphiekriterium bereitstellen, den sogennnten Stz von orer. Implizit ist dieser bereits in den bisherigen Ergebnissen dieses Kpitels enthlten, wir wollen ihn hier ber einml explizit herusstellen. Stz 2.23 (Stz von orer) Seien U C ein Gebiet und f : U C eine stetige Funktion. Dnn sind die folgenden Aussgen äquivlent: 8-6

7 themtik für Physiker IV, SS 2013 ontg 6.5 () Die Funktion f ist holomorph. (b) Für jedes Dreieck U gilt f(ζ) dζ = 0. (c) Für jedes z U existieren eine offene Umgebung V von z in U und eine Stmmfunktion von f V uf V. Beweis: ()= (b). Dies ist ein Spezilfll des Cuchyschen Integrlstzes Stz 6. (b)= (c). Sei z U. Dnn existiert ein r > 0 mit B r (z) U und nch Lemm 8.(b) existiert eine Stmmfunktion von f B r (z) in B r (z). (c)= (). Sei z U und wähle eine offene Umgebung V von z in U so, dss eine Stmmfunktion g von f V existiert. Nch Korollr 19 ist dmit uch f V = g holomorph. Dmit ist f holomorph. In der Litertur wird es nicht gnz einheitlich gehndhbt ws ls der Stz von orer bezeichnet wird, sie finden unter diesem Nmen sowohl die Äquivlenz von () und (b) ls uch diejenige von () und (c). Dher hben wir hier uch gleich beide öglichkeiten ngegeben. Wie gesgt wollen wir ds Verhlten holomorpher Funktionen unter Grenzprozessen untersuchen und wir beginnen mit dem Studium von Folgen holomorpher Funktionen. Die in der Funktionentheorie m häufigsten verwendete Form der Konvergenz von Funktionenfolgen ist die lokl gleichmäßige Konvergenz nlog zur reellen Definition in II Trditionell wird eine äquivlente Beschreibung dieses Konvergenztyps bevorzugt, nämlich die gleichmäßige Konvergenz uf kompkten engen, und dieser geben wir erst einml einen Nmen. Definition 2.9 (Kompkte Konvergenz von Funktionenfolgen) Sei U C offen. Eine Funktionenfolge (f n ) n N von Funktionen f n : U C für jedes n N heißt kompkt konvergent gegen eine Funktion f : U C wenn die Folge (f n C) n N für jede kompkte Teilmenge C U uf C gleichmäßig gegen f C konvergiert. Kompkte Konvergenz ist ttsächlich äquivlent zur lokl gleichmäßigen Konvergenz, d.h. genu dnn ist die Funktionenfolge (f n ) n N kompkt konvergent gegen f wenn es für jedes z U eine offene Umgebung V von z in U gibt so, dss die Folge (f n V ) n N uf V gleichmäßig gegen f V konvergiert. Dies wollen wir uns jetzt einml kurz klrmchen. Dss kompkte Konvergenz die lokl gleichmäßige Konvergenz impliziert ist dbei klr d jedes z U eine kompkte Umgebung in U besitzt. Nehme jetzt umgekehrt lokl gleichmäßige Konvergenz n und sei C U kompkt. Sei ɛ > 0. Für jedes z C gibt es dnn eine offene Umgebung V z von z in U und ein n z N mit f n (w) f(w) < ɛ für lle w V z und lle n N mit n n z. D C kompkt ist, existieren nch II. 8.Stz 2 endlich viele Punkte z 1,..., z r C mit C r i=1 V z i. Setze n 0 := mx{n z1,..., n zr } N. Für jedes n N mit n n 0 und jedes w C wähle dnn 1 i r mit w V zi und erhlte wegen n n 0 n zi uch f n (w) f(w) < ɛ. Dmit konvergiert die Folge (f n C) n N uf C gleichmäßig gegen f C. 8-7

8 themtik für Physiker IV, SS 2013 ontg 6.5 Der Grenzwert einer gleichmäßig konvergenten Folge reell differenzierbrer Funktionen muss nicht mehr differenzierbr sein, wie wir schon in II. 4.3 gesehen hben, beispielsweise ist überhupt jede stetige Funktion uf einem kompkten Intervll nch dem Weierstrssschen Approximtionsstz II. 4.Stz 1 der gleichmäßige Grenzwert einer Folge von Polynomen. Für holomorphe Funktionen können solche Effekte nicht uftreten, Holomorphie verhält sich unter Grenzwerten besser ls die reelle Differenzierbrkeit. Dies ht letztlich einen simplen Grund, mn knn lle relevnten Begriffe in Termen von Integrlen schreiben, Holomorphie bedeutet nch dem Stz von orer ds gewisse Kurvenintegrle verschwinden und Funktionswerte sowie Ableitungen beliebiger Ordnung ergeben sich über die Cuchysche Integrlformel ebenflls ls Kurvenintegrle. D sich Integrle unter Grenzprozessen weitgehend gutrtig verhlten, überträgt sich dies uf holomorphe Funktionen. Dss sich Kurvenintegrle gut mit kompkter Konvergenz vertrgen läßt sich leicht einsehen. Angenommen wir hben eine offene enge U C und eine Folge (f n ) n N stetiger Funktionen f n : U C für jedes n N. Die Folge (f n ) n N konvergiere kompkt gegen eine Funktion f : U C. Dnn ist f lokl ein gleichmäßiger Grenzwert einer Folge stetiger Funktionen, lso nch II. 4.Stz 5.(b) selbst stetig. Ist C U eine kompkte enge, so schreiben wir g C := sup{ g(z) : z C} für jede stetige Funktion g : U C und hben dnn lim f n f C = 0. Ist nun eine stückweise C 1 -Kurve in U, so ist ds Bild B := Bild() U kompkt und für lle n N gilt nch Lemm 3.(e) f n (ζ) dζ d.h. wir hben uch f(ζ) dζ = (f n (ζ) f(ζ)) dζ sup f n (z) f(z) l() = l() f n f B, z B f(ζ) dζ = lim f n (ζ) dζ. Dmit ist es jetzt leicht den Stz über die kompkte Konvergenz von Folgen holomorpher Funktionen zu beweisen. Stz 2.24 (Weierstrssscher Konvergenzstz für holomorphe Funktionen) Sei U C offen und für jedes n N sei f n : U C eine holomorphe Funktion. Die Folge (f n ) n N konvergiere kompkt gegen eine Funktion f : U C. Dnn ist uch f holomorph und für jedes k N konvergiert die Folge (f n (k) ) n N kompkt gegen f (n). Ist z 0 U und bezeichnet f n (z) = nk (z z 0 ) k k=0 8-8

9 themtik für Physiker IV, SS 2013 ontg 6.5 für jedes n N die Tylorreihe von f n zum Entwicklungspunkt z 0, so ist f(z) = ( ) lim nk (z z 0 ) k k=0 die Tylorreihe von f zum Entwicklungspunkt z 0. Beweis: Wie schon oben bemerkt ist die Funktion f : U C zumindest stetig. Ist U ein Dreieck, so liefert der Cuchysche Integrlstz Stz 6 zunächst f n(ζ) dζ = 0 für jedes n N, lso ist uch f(ζ) dζ = lim f n (ζ) dζ = 0. Nch dem Stz von orer Stz 23 ist f holomorph. Sei jetzt k N. Wir zeigen, dss dnn uch die Folge (f n (k) ) n N in U kompkt gegen f (k) konvergiert. Hierzu ist es m bequemsten die Beschreibung der kompkten Konvergenz ls lokl gleichmäßige Konvergenz zu verwenden. Sei lso z U gegeben und wähle 0 < r < s mit B s (z) U. Der Kreisrnd S := {w C : w z = r} U ist kompkt und B := B r/2 (z) ist eine kompkte Umgebung von z in U. Für lle w B und lle ζ S hben wir dnn ζ w ζ z w z r/2, lso ist für jedes n N uch f n (ζ) (ζ w) f(ζ) k+1 (ζ w) k+1 = f ( ) k+1 n(ζ) f(ζ) 2 f ζ w k+1 n f S. r it Korollr 19 und Lemm 3.(e) folgt für jedes w B und lle n N f n (k) (w) f (k) k! f n (ζ) k! f(ζ) (w) = dζ 2πi κ z,r (ζ w) k+1 2πi κ z,r (ζ w) d.h. für jedes n N hben wir f (k) n f (k) B 2k+1 k! r k f n f S. k+1 dζ 2k+1 k! r k f n f S, Dmit konvergiert die Folge (f n (k) ) n N uf B gleichmäßig gegen f (k). Die Aussge über die Tylorreihen ist eine unmittelbre Folgerung. D Reihen die Folgen ihrer Prtilsummen sind können wir den vorigen Stz uf Reihen nwenden und die Formel für die Tylorkoeffizienten wird zum sogennnten Doppelreihenstz. Korollr 2.25 (Weierstrssscher Doppelreihenstz) Seien z 0 C, r > 0 und für jedes k N sei f k (z) = kn(z z 0 ) n eine Potenzreihe 8-9

10 themtik für Physiker IV, SS 2013 ontg 6.5 mit einem Konvergenzrdius r(f k ) r. Die Reihe k=0 f k sei uf B r (z 0 ) kompkt konvergent mit der Grenzfunktion f : B r (z 0 ) C. Dnn konvergiert die Reihe n := k=0 für jedes n N und es gilt f(z) = n(z z 0 ) n für lle z B r (z 0 ). Insbesondere ht diese Potenzreihe wieder einen Konvergenzrdius r(f) r. Beweis: Für jedes k N ist die Funktion kn s k : B r (z 0 ) C; z k f j (z) j=0 holomorph und die Tylorreihe von s k zum Entwicklungspunkt z 0 ist ( k ) s k (z) = jn (z z 0 ) n. j=0 D die Funktionenfolge (s k ) k N uf B r (z 0 ) kompkt gegen f konvergiert, existiert n = k=0 kn = lim k nch Stz 24 für jedes n N und n(z z 0 ) n ist die Tylorreihe der holomorphen Funktion f zum Entwicklungspunkt z 0. Nch Lemm 20 ht diese Potenzreihe mindestens den Konvergenzrdius r und es gilt uch f(z) = n(z z 0 ) n für lle z B r (z 0 ). k j=0 jn Beispiele zu diesen Sätzen werden wir in den Aufgben betrchten. Nchdem wir mit den vorigen beiden Aussgen die Konvergenz von Folgen und Reihen holomorpher Funktionen behndelt hben, wollen wir uch noch einen Stz über holomorphe prmetrisierte Integrle ngeben. Im letzten Semester htten wir zur Differenzierbrkeit von prmetrisierten Integrlen nch dem Prmeter den III. 6.Stz 3, beziehungsweise ds zugehörige III. 6.Korollr 4 für höhere Ableitungen, bewiesen. Für holomorphe Funktionen können wir jetzt leicht einen entsprechenden Stz beweisen. Stz 2.26 (Holomorphie prmetrisierter Integrle) Seien n N mit n 1, U C offen und R n eine kompkte Jordn-meßbre enge. Weiter sei f : U C eine stetige Funktion die in der zweiten Vriblen holomorph ist, d.h. für jedes x ist die Funktion f x : U C; z f(x, z) holomorph. Dnn gelten die folgenden Aussgen. 8-10

11 themtik für Physiker IV, SS 2013 ontg 6.5 () Die Funktion ist holomorph. F : U C; z f(x, z) dx (b) Ist eine stückweise C 1 -Kurve in U, so ist die Funktion f : C; x f(x, ζ) dζ stetig und es gilt F (ζ) dζ = (c) Für jedes k N ist die Funktion f (x) dx = f(x, ζ) dζ dx. f (k) : U C; (x, z) dk f(x, z) dzk stetig und es gilt für jedes z U. F (k) (z) = f (k) (x, z) dx (d) Ist z 0 U und bezeichnet f(x, z) = k=0 k(x) (z z 0 ) k für jedes x die Tylorreihe von f x zum Entwicklungspunkt z 0, so ist F (z) = ( k=0 ) k (x) dx (z z 0 ) k die Tylorreihe von F zum Entwicklungspunkt z 0. Beweis: Dies folgt mit den Sätzen über prmetrisierte Integrle. Durch Anwendung von III. 6.Korollr 2 uf Rel- und Imginärteil von f ergibt sich, dss die Funktion F : U C zumindest stetig ist. (b) Sei zunächst : [, b] U eine stetig differenzierbre Kurve in U. Dnn ist die Funktion h : [, b] ; (t, x) f(x, (t)) (t) stetig, lso ist nch III. 6.Korollr 2 ngewndt uf Rel- und Imginärteil von h uch die Funktion H : C; x 8-11 b h(t, x) dt

12 themtik für Physiker IV, SS 2013 ontg 6.5 wieder stetig und nch dem Stz vo Fubini III. 4.Stz 19, wieder ngewndt uf Relund Imginärteil, ist H(x) dx = Für jedes x ist [,b] f (x) = h(t, x) d(t, x) = = b d.h. f = H ist stetig und es gilt F (ζ) dζ = ( f(x, ζ) dζ = b b h(t, x) dx dt ) f(x, (t)) dx (t) dt = b b f(x, (t)) (t) dt = H(x), F ((t)) (t) dt = f (x) dx. F ((t)) (t) dt. Dmit ist Aussge (b) für stetig differenzierbre Kurven bewiesen. Ist jetzt eine stückweise C 1 -Kurve in U, so existieren zusmmensetzbre, stetig differenzierbre Kurven 1,..., r in U mit = r. it der schon bewiesenen Teilussge folgt ds die Funktion r f = : C stetig ist mit F (ζ) dζ = r j=1 j=1 j F (ζ) dζ = f j r j=1 f j (x) dx = f (x) dx, und wir hben (b) uch im llgemeinen Fll eingesehen. () Sei U ein Dreieck. Für jedes x gilt dnn nch dem Cuchyschen Integrlstz Stz 6 ngewndt uf die holomorphe Funktion f x die Gleichung f(x, ζ) dζ = 0. it (b) folgt hierus F (ζ) dζ = f(x, ζ) dζ dx = 0. Nch dem Stz von orer Stz 23 ist F dmit holomorph. (c) Seien z U und k N gegeben. Wähle 0 < r < s mit B s (z) U. Dnn hben wir die stetige und in der zweiten Vrible holomorphe Funktion h : (U\{z}) C; (x, w) 8-12 f(x, w) (w z) k+1

13 themtik für Physiker IV, SS 2013 ontg 6.5 uf die wir die bereits bewiesenen Teilussgen () und (b) nwenden können. Es ergibt sich, dss die Funktion f(x, w) F (w) H : U\{z} z C; w h(x, w) dx = dx = (w z) k+1 (w z) k+1 holomorph ist und die Funktion f(x, ζ) h κz,r : C; x dζ κ z,r (ζ z) k+1 stetig ist mit h κz,r (x) dx = H(ζ) dζ = κ z,r κ z,r F (ζ) dζ. (ζ z) k+1 Nch der Cuchyschen Integrlformel für Ableitungen Korollr 19 gelten F (k) (z) = k! F (ζ) dζ 2πi (ζ z) k+1 und κ z,r f (k) (x, z) = k! f(x, ζ) k! dζ = 2πi κ z,r (ζ z) n+1 2πi h κ z,r (x) für lle x, lso insgesmt F (k) (z) = k! F (ζ) k! dζ = 2πi (ζ z) k+1 2πi κ z,r h κz,r (x) dx = f (k) (x, z) dx. Dmit hben wir (c) bewiesen. (d) Klr nch (c) d k (x) = f (k) (x, z 0 )/k! für lle k N und jedes x gilt. Oftmls ist der Stz in dieser Form nicht usreichend d viele wichtige Funktionen mit uneigentlichen Integrlen definiert werden. Um unseren Stz uch uf diesen Fll nzuwenden, benötigen wir noch eine zusätzliche jorntenbedingung gnz nlog zur Verträglich uneigentlicher Riemnn-Integrle mit der lokl gleichmäßigen Konvergenz in II. 4.Stz 9. Wir formulieren den Stz hier für rechtsseitig uneigentliche Integrle, entsprechend gilt er dnn uch für linksseitig oder beidseitig uneigentliche Integrtion. Korollr 2.27 (Holomorphie prmetrisierter uneigentlicher Integrle) Seien R, b R mit < b, U C offen und f : [, b) U C eine stetige Funktion die in der zweiten Vriblen holomorph ist. Für jedes z U existiere eine offene Umgebung V von z in U und eine bsolut Riemnn-integrierbre Funktion g : [, b) R mit f(t, w) g(t) für lle t [, b), w V. Dnn gelten: 8-13

14 themtik für Physiker IV, SS 2013 ontg 6.5 () Die Funktion ist holomorph. F : U C; z b f(t, z) dt (b) Ist eine stückweise C 1 -Kurve in U, so ist die Funktion f : [, b) C; t f(t, ζ) dζ stetig und bsolut Riemnn-integrierbr mit F (ζ) dζ = (c) Für jedes k N ist die Funktion stetig und es gilt b f (t) dt = b f(t, ζ) dζ dt. f (k) : [, b) U C; (x, z) dk f(x, z) dzk F (k) (z) = b f (k) (t, z) dt für jedes z U, wobei dieses Integrl bsolut Riemnn-integrierbr ist. (d) Ist z 0 U und bezeichnet f(t, z) = k=0 k(t) (z z 0 ) k für jedes t [, b) die Tylorreihe von f t zum Entwicklungspunkt z 0, so ist F (z) = ( b k=0 ) k (t) dt (z z 0 ) k die Tylorreihe von F zum Entwicklungspunkt z 0. Beweis: Nch dem jorntenkriterium für uneigentliche Riemnn-Integrle II. 3.Stz 6 existiert für jedes z U ds uneigentliche Riemnn-Integrl F (z) := b f(t, z) dt. Wähle eine streng monoton steigende Folge (b n ) n N in (, b) mit (b n ) n N b. Für jedes n N ist die Funktion F n : U C; z 8-14 bn f(t, z) dt

15 themtik für Physiker IV, SS 2013 ontg 6.5 nch Stz 26 holomorph. Wir behupten jetzt, dss die Funktionenfolge (F n ) n N uf U kompkt gegen F konvergiert. Es ist m bequemsten dies ls lokl gleichmäßige Konvergenz nchzuweisen, sei lso ein Punkt z U gegeben. Nch unserer Annhme existieren dnn eine offene Umgebung V von z in U und eine bsolut Riemnnintegrierbre Funktion g : [, b) R mit f(t, w) g(t) für lle t [, b), w V. Wir zeigen, dss (F n V ) n N gleichmäßig gegen F V konvergiert. Sei lso ein ɛ > 0 gegeben. Wegen b lim g(t) dt = 0 b n existiert ein n 0 N mit b b n g(t) dt < ɛ für lle n n 0. Seien nun n N mit n n 0 und w V gegeben. Dnn folgt mit Lemm 1.(e) n b b F (w) F n (w) = f(t, w) dt f(t, w) dt g(t) dt < ɛ, b n b n b n und wir hben die gleichmäßige Konvergenz bewiesen. Also konvergiert die Funktionenfolge (F n ) n N uf U kompkt gegen F und nch Stz 24 ist uch die Funktion F : U C holomorph, d.h. Aussge () gilt. Nun kommen wir zu Aussge (b), es sei lso eine stückweise C 1 -Kurve in U gegeben. Für jedes < t < b ist die Einschränkung f [, t] dnn nch Stz 26.(b) stetig und es gilt t t f (s) ds = f(s, ζ) ds dζ. Dmit ist die Funktion f : [, b) C zumindest stetig. Weiter ist ds Bild C := Bild() von kompkt, und wir behupten ds es eine bsolut Riemnn-integrierbre Funktion g : [, b) R mit f(t, z) g(t) für lle t [, b), z C gibt. Für jedes z C U gibt es nämlich zunächst eine offene Umgebung V z von z in U und eine bsolut Riemnn-integrierbre Funktion g z : [, b) R mit f(t, w) g z (t) für lle t [, b), w V z. D C kompkt ist, gibt es nch II. 8.Stz 2 endlich viele Punkte z 1,..., z r C mit C r j=1 V z j. Wir erhlten die bsolut Riemnn-integrierbre Funktion g := r j=1 g z j : [, b) R und für lle t [, b) und jedes z C existiert ein 1 j r mit z V zj und somit uch f(t, z) g zj (t) g(t). Dmit ist diese Hilfsbehuptung bewiesen. Für jedes t [, b) folgt mit Lemm 3.(e) uch f (t) = f(t, ζ) dζ sup f(t, ζ) l() l() g(t), ζ C und nch dem jorntenkriterium für uneigentliche Riemnn-Integrle II. 3.Stz 6 ist f bsolut Riemnn-integrierbr. Außerdem gilt b bn f (t) dt = lim f (t) dt = lim F n (ζ) dζ = F (ζ) dζ d die Folge (F n ) n N kompkt gegen F konvergiert. 8-15

16 themtik für Physiker IV, SS 2013 ontg 6.5 Somit ist uch Teil (b) eingesehen und wir kommen zu (c). Sei k N. Für jedes n N ist die Funktion f (k) [, b n ] U nch Stz 26.(c) stetig und für jedes z U gilt bn F n (k) (z) = f (k) (t, z) dt. Dmit ist insbesondere f (k) : [, b) U C stetig. Sei z U und wähle ein r > 0 mit B r (z) U. Ist C ds Bild der Kurve κ z,r, so hben wir bereits eingesehen, dss es eine bsolut Riemnn-integrierbre Funktion g : [, b) R mit f(t, w) g(t) für lle t [, b), w C gibt, und mit der Cuchyschen Integrlformel für höhere Ableitungen Korollr 19 und Lemm 3.(e) folgt uch f (k) (t, z) = k! 2π f(t, ζ) κ z,r (ζ z) k+1 dζ k! r g(t) k für lle t [, b], d.h. f (k) (, z) ist wieder nch dem jorntenkriterium bsolut Riemnn-integrierbr. it Stz 24 folgt b bn f (k) (t, z) dt = lim f (k) (t, z) dt = lim F n (k) (z) = F (k) (z). Dmit hben wir uch (c) eingesehen und (d) ist eine direkte Folgerung us (c). Als ein Beispiel für die Anwendung dieses Stz wollen wir die in II. 4.2 behndelte Γ- Funktion uf komplexe Argumente usdehnen, die eigentliche Arbeit ist dbei Aufgbe (18). Hierzu bezeichne H := {z C Re z > 0} C die rechte Hlbebene und definiere Γ : H C; z 0 t z 1 e t dt, ls die sogennnte komplexe Γ-Funktion. Wie in der gennnten Aufgbe gezeigt wird ist diese Funktion holomorph und erfüllt weiterhin die Funktionlgleichung Γ(z + 1) = zγ(z) für lle z H. Für reelle Argumente stimmt sie mit der reellen Γ-Funktion überein. 8-16