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1 $Id: kurven.tex,v /12/21 16:29:27 hk Ex hk $ 7 Kurvenintegrle 7.2 Sklre Kurvenintegrle In der letzten Sitzung hben wir die Theorie der Kurvenintegrle begonnen und uns erst einml mit Kurven im R n, ihren Prmetrisierungen und ihrer Länge beschäftigt. Nun wollen wir über diese Kurven integrieren. Dbei treten zwei verschiedene Fälle uf, je nchdem ws für eine Art Objekt wir längs der Kurve integrieren wollen. Bei den Kurvenintegrlen erster Art wird eine reellwertige Funktion integriert und bei den Kurvenintegrlen zweiter Art wird eine vektorwertige Funktion die in den R n bbildet integriert. In beiden Fällen ist ds Ergebnis eine Zhl. Dieser Abschnitt hndelt von den Kurvenintegrlen erster Art. Wie gesgt wird bei diesen eine reellwertige Funktion längs einer Kurve integriert, dher sricht mn uch vom sklren Kurvenintegrl, und der Integrnd wird entsrechend oft uch ein Sklrfeld gennnt. Ds ist nur ein Synonym für reellwertige Funktion und kein neuer Begriff. Angenommen wir hben eine uf einer offenen Menge U R n definierte stetige Funktion f : U R. Weiter sei eine stückweise C 1 -Kurve Kurve : [, b] U gegeben. Wir wollen sgen ws ds Integrl von f längs dieser Kurve ist und beginnen mit einer kleinen heuristischen Vorüberlegung. Diese wird uns zeigen wie wir ds sklre Kurvenintegrl zu definieren hben. Wir betrchten erst einml den einfchsten Fll ds unsere Kurve die Verbindungsstrecke zweier Punkte und q ist und ds Sklrenfeld gleich einer Konstnten c ist. Auf jedem Punkt zwischen und q hben wir dnn den Wert c, und wenn wir diese Konstnte längs dieser Verbindungsstrecke integrieren sollte insgesmt ls Integrl c Länge der Verbindungsstrecke = c q sein. Geometrisch ist dies die Fläche des Rechtecks mit Höhe c über der Strecke von nch q. Dbei denken wir uns ds Rechteck im Fll c < ls unterhlb der xy-ebene gelegen und zählen es wie beim Riemnn-Integrl negtiv. Zur Bestimmung des sklren Kurvenintegrls im llgemeinen Fll stellen wir wieder unsere übliche Näherungsüberlegung n. Wir denken uns eine usreichend feine Zerlegung α = (t,..., t r ) des Intervlls [, b] gegeben. Ds Kurvenstück von t = bis t = t i nähern wir dnn durch die Verbindungsstrecke von ( ) nch (t i ) n, und diese Strecke wird durch den Vektor (t i ) ( ) ls Richtungsvektor beschrieben. D ds zu integrierende Sklrenfeld f ls stetig ngenommen wird können wir Werte f(q) für Punkte q nhe bei ( ) durch den Wert f(( )) nnähern. Ist die Zerlegung α usreichend fein, so liegt ds Teilstück der Kurve von t = bis t = t i gnz in 18-1

2 einer beliebig kleinen Kugel um ( ), wir können f lso uf diesem Teilstück durch die Konstnte f(( )) ersetzen. Wenden wir den bereits behndelten Sezilfll n, so ergibt sich die Näherung f(t) dt f(( )) (t i ) ( ). [,t i ] Die hierbeit uftretende Norm hben wir schon bei der Behndlung der Länge einer Kurve ls (t i ) ( ) ( ) (t i ) ngenähert, wir erhlten lso f(t) dt f(( )) ( ) (t i ). [,t i ] Summieren wir ll diese Teilergebnisse uf, so ergibt sich ls Näherung des gesmten Kurvenintegrls die Summe f(t) dt f(( )) ( ) (t i ), und dies ist eine Riemnnsumme des Integrls b f((t)) (t) dt. Lssen wir die Zerlegung immer feiner werden, so soll im Grenzwert ds Kurvenintegrl erster Art heruskommen, dieses wird lso gleich dem gewöhnlichen eindimensionlen Integrl der Hilfsfunktion g : [, b] R; t f((t)) (t) sein. Dementsrechend werden wir ds sklre Kurvenintegrl durch ds gewöhnliche Integrl f(t) dt = b f((t)) (t) dt 2 definieren, wobei [, b der Definitionsbereich der Kurve ist. Wie bereits bemerkt sricht mn hier uch von einem 1.5 Kurvenintegrl erster Art. Am nschulichsten wird dies wenn wir uns eine Fläche 1 über der Kurve denken, deren Höhe über dem Punkt = (t) der Kurve gerde gleich f() ist. Dbei sollen negtive Werte.5 von f() für unterhlb der Kurve liegende Flächenstücke stehen und ositive Werte für Flächenstücke oberhlb der Kurve. Unser gesuchtes Integrl, lso ds Kurvenin- 1 tegrl erster Art, stellen wir uns dnn ls die Fläche dieses vertikl über der Kurve 18-2

3 liegenden Flächenstücks vor. Dbei werden Vorzeichen wie beim eindimensionlen Integrl behndelt, d.h. oberhlb der Kurve liegende Flächteile werden ositiv gezählt und unterhlb der Kurve liegende Teile werden negtiv gewertet. In diesem Bild ist ds sklre Kurvenintegrl die Fläche eines Zuns mit der Kurve ls Grundlinie. Definition 7.6: Seien n N mit n 1, U R n offen, f : U R eine stetige Funktion und : [, b] U eine stückweise C 1 -Kurve in U. Ds sklre Kurvenintegrl von f längs ist dnn definiert ls f(t) dt := b f((t)) (t) dt. Wie bei der Definition der Länge können wir dbei für (t) n den endlich vielen Stellen t in denen nicht differenzierbr ist einen willkürlichen Wert einsetzen. Ds Integrl ist uch wohldefiniert, d.h. die Hilfsfunktion g ist Riemnn-integrierbr. Um dies einzusehen, knn mn sich eine C 1 -Zerlegung (t,..., t r ) von wählen und ht für jedes 1 i r ds stetig differenzierbre Teilstück i := [, t i ] von. D die Funktion f ls stetig vorusgesetzt ist, ist für jedes 1 i r uch die Funktion g i : [, t i ] R; t f( i (t)) i(t) stetig, lso nch II. 2.Stz 8 uch Riemnn-integrierbr. Nch II. 2.Lemm 4.(,c) ist dmit uch die Funktion g Riemnn-integrierbr, wie behutet. Dbei besgt II. 2.Lemm 4.(c) uch f(t) dt = b g(t) dt = ti f( i (t)) i(t) dt = i f(t) dt, für theoretische Überlegungen knn mn sich lso in der Regel uf die Behndlung stetig differenzierbrer Kurven beschränken. Bechte ds ds t in f(t) bei der Schreibweise f(t) dt für einen Punkt uf der Kurve, lso für ein Element des R n, steht. Oftmls läßt mn t und dt uch einfch weg und schreibt f := f(t) dt für ds sklre Kurvenintegrl. Ist die Kurve nch Bogenlänge rmetrisiert, so wird ds sklre Kurvenintegrl einfch zu f(s) ds = b f((s)) ds, wobei bei Prmetrisierung nch Bogenlänge trditionell meist der Buchstbe s für den Prmeter verwendet wird. Wir wollen uns zwei kleine Beisiele nschuen. Sei : [, 2πn] R; t (cos t, sin t, t) mit n N die Schrubenlinie mit n N Umdrehungen. 18-3

4 Als Sklrfeld betrchten wir f(x, y, z) := x 2 + y 2 + z 2. Dnn hben wir sin t (t) = cos t = (t) = sin 2 t + cos 2 t + 1 = 2, 1 und lso ist f ds = 2πn f((t)) = cos 2 t + sin 2 t + t 2 = t 2 + 1, (t 2 + 1) 2 dt = ( 2 t + t3 3 2πn ) = 2 2π n(3 + 4π 2 n 2 ). 3 Als ein zweites Beisiel betrchten wir die Kurve [ :, π ] R 2 ; t (3 cos 3 t, 3 sin 3 t) und f(x, y) := 1 + y 2 3. Dnn erhlten wir (t) = 9 2 cos 4 sin 2 t sin 4 t cos 2 = 9 sin 2 t cos 2 t = 9 sin t cos t d wegen t π/2 stets sin t und cos t ist. Ds Kurvenintegrl ergibt sich ls ( π/2 ) π/2 f ds = 9(1 + 1 sin 3 1 t) sin t cos t dt = 9 2 sin2 t + 2 sin 5 t = 225. Mit dem sklren Kurvenintegrl wollen wir uns jetzt nicht näher beschäftigen, zum Abschluß gehen wir nur noch die Grundeigenschften dieses Integrltys durch. Diese ergeben sich lle ziemlich direkt durch Einsetzen der Definition und Anwenden der entsrechenden Eigenschft des eindimensionlen Riemnnintegrls. Lemm 7.3 (Grundeigenschften des sklren Kurvenintegrls) Seien n N mit n 1, U R n offen,, b R mit < b, : [, b] U eine stückweise C 1 -Kurve und f : U R eine stetige Funktion. () Ist g : U R eine weitere stetige Funktion, so gilt (f(t) + g(t)) dt = f(t) dt + (b) Für jede Konstnte c R gilt cf(t) dt = c 18-4 f(t) dt. g(t) dt.

5 (c) Sei eine weitere stückweise C 1 -Kurve in U deren Strtunkt gleich dem Endunkt von ist. Dnn gilt f(t) dt = f(t) dt + f(t) dt. + (d) Es ist f(t) dt = f(t) dt. (e) Ist eine Umrmetrisierung von, so gilt uch f(t) dt = f(t) dt. (f) Es gilt f(t) dt su f((t)) l(). t b Beweis: Wähle eine C 1 -Zerlegung (t,..., t r ) von [, b] und für jedes 1 i r bezeichne i die stetig differenzierbre Kurve i := [, t i ]. () Nch II. 2.Lemm 5.() gilt b (f(t) + g(t)) dt = (f((t)) + g((t))) (t) dt = b f((t)) (t) dt + b g((t)) (t) dt = f(t) dt + g(t) dt. (b) Anlog mit II. 2.Lemm 5.(b). (c) Sei : [c, d] U eine stückweise C 1 -Kurve in U mit (c) = (b) und wähle eine C 1 -Zerlegung (s,..., s m ) von. Für 1 i m schreibe i := [s i 1, s i ]. Dnn ist η := + : [, b + d c] U die stückweise C 1 -Kurve definiert durch { (t), t b, η(t) = (t + c b), b t b + d c für lle t [, b + d c] und wir htten uns bereits früher überlegt ds (t,..., t r, b + s 1 c,..., b + s m c) eine C 1 -Zerlegung von η ist. Für jedes 1 i r ist dbei η i := η [, t i ] = i und für jedes r + 1 i r + m ist η i := η [b + s i 1 c, b + s i c] gegeben durch η i (t) = i (t + c b) für lle t [b + s i 1 c, b + s i c]. Für jedes 1 i m hben wir dmit nch der Substitutionsregel II. 2.Stz 13 b+si c si f(t) dt = f(η i (t)) η i(t) dt = f(η i (b + t c)) η i(b + t c) dt η r+i b+s i 1 c s i 1 si = f( i (t)) i(t) dt = f(t) dt. s i 1 i 18-5

6 Insgesmt ergibt sich dmit f(t) dt = f(t) dt + η η i = m f(t) dt η r+i m f(t) dt + f(t) dt = i i f(t) dt + f(t) dt. (d) Wir wissen bereits ds ( + b t r,..., + b t ) eine C 1 -Zerlegung von := ist und für jedes 1 i r ist i := [ + b t r i+1, + b t r i ] gegeben durch i (t) = r i+1 ( + b t) für lle t [ + b t r i+1, + b t r i ]. Für 1 i r ergibt die Substitutionsregel II. 2.Stz 13 dmit +b tr i tr i+1 f(t) dt = f( i (t)) i(t) dt = f((t)) (t) dt = f(t) dt, i +b t r i+1 t r i r i+1 und insgesmt hben wir f(t) dt = i f(t) dt = f(t) dt = i f(t) dt. (e) Zunächst nehmen wir n, dss und : [c, d] U beide stetig differenzierbr sind, und ds es eine stetige, bijektive, uf (, b) stetig differenzierbre Funktion ϕ : [, b] [c, d] mit = ϕ und ϕ (t) > für lle t (, b) gibt. Für lle t (, b) dnn f((t)) (t) = f((ϕ(t))) (ϕ(t)) ϕ (t), lso ist nch der Substitutionsregel für Umrmetrisierungen Lemm 1 uch b d f(t) dt = f((t)) (t) dt = f((t)) (t) dt = f(t) dt. Nun kommen wir zum llgemeinen Fll. Wir können = r nnehmen, wobei i für jedes 1 i r eine stetig differenzierbre Umrmetrisierung von i ist. Mit dem schon erledigten Fll hben wir dmit i f(t) dt = i f(t) dt für lle 1 i r, und somit ist uch f(t) dt = f(t) dt = f(t) dt = f(t) dt. i i (f) Wir schreiben M := su{ f((t)) : t [, b]}, und für jedes t [, b] gilt dnn f((t)) (t) M (t). Mit II. 2.Lemm 5.(b,c,d) folgt dnn b f(t) dt = b f((t)) (t) dt f((t)) (t) dt c M b (t) dt = Ml(). 18-6

7 7.3 Vektorielle Kurvenintegrle Wir kommen jetzt zu den sogennnten Kurvenintegrlen zweiter Art, bei diesen wird ein Vektorfeld längs einer Kurve integriert. Alterntiv bezeichnet mn derrtige Integrle uch ls vektorielle Kurvenintegrle oder uch ls Linienintegrle. Definition 7.7: Seien n N mit n 1 und U R n eine offene Menge. Ein Vektorfeld uf U ist eine Funktion X : U R n. Ds Wort Vektorfeld ist in diesem Rhmen lso eher ein Synonym ls eine echte Definition. Die mit einem Vektorfeld verbundene Anschuung ist llerdings eine ndere ls bei einer Funktion. Für jedes U denken wir uns den Vektor X := X() ls einen n den Punkt ngehefteten Vektor. Weiter verwenden wir für ein Vektorfeld X = (φ 1,..., φ n ) oft die Schreibweise n X = φ i = φ φ n. x i x 1 x n Beisielsweise ist lso F (x, y, z) = yz sin(x) x + z dsselbe wie F = yz x + sin x y + (x + z) z, wir schreiben lso / x i für den i-ten knonischen Bsisvektor. Der Sinn dieser Nottion wird erst etws säter in diesem Kitel bei der Behndlung von Koordintentrnsformtionen deutlich werden. 2 2 y 1 y x x Streckung F = x x + y y 2 Drehung F = y x x y Bei einem Linienintegrl wird ein solches Vektorfeld F längs einer Kurve integriert, und ds Ergebnis ist eine Zhl. Ds Urbeisiel für ein Kurvenintegrl ist der Begriff der Arbeit, in etws verkürzter Form ist die Arbeit W ls Krft ml Weg definiert. Dmit ist ds folgende gemeint. 18-7

8 Zunächst denken wir uns einen Msseunkt der sich gerdlinig uf einer durch den Vektor r R 3 gegebenen Strecke bewegt. Länge dieser Strecke wirke die konstnte Krft F R 3. Die von der Krft F geleistete Arbeit W ist dnn ds Produkt us Strecke und rllel zur Strecke wirkender Krft P, der zu r senkrechte Anteil von F liefert keinen Beitrg zur Arbeit. Mit Hilfe des Sklrrodukts können wir dieses Produkt, wie in I beschrieben, ls W = F r schreiben. Im llgemeinen Fll bewegt sich unser Msseunkt längs einer Kurve : [, b] R 3 und die wirkende Krft ist nicht mehr konstnt sondern zu jedem Zeitunkt t [, b] ls F (t) R 3 gegeben. Dnn führen wir wieder einml unsere Stndrdnäherung durch. Ist (t,..., t r ) eine usreichend feine Zerlegung des Intervlls [, b], so können wir für jedes 1 i r die Krft F (t) für t [, t i ] näherungsweise ls F ( ) nnehmen, und weiter ist (t i ) ( ) (t i ), lso P (t) (t) F(t) W F ( ) ( ) (t i ) = F ( ) ( ) (t i ), und hier steht uf der rechten Seite wieder eine Riemnnsumme. Der Grenzübergng nch immer feiner werdenden Zerlegungen ergibt dnn W = b F (t) (t) dt. In der für uns interessnten Sitution hängt die Krft F (t) nur vom Punkt (t) b, lso F (t) = G((t)), wobei ds Vektorfeld G jedem Punkt des R 3 eine in diesem Punkt wirkende Krft G zuordnet. Die Arbeit wird zu W = b G((t)) (t) dt, und dieses Integrl verwenden wir nun ls die Definition des Kurvenintegrls. Definition 7.8: Seien n N mit n 1 und eine offene Menge U R n gegeben. Weiter seien : [, b] U eine stückweise C 1 -Kurve in U und F : U R n ein stetiges Vektorfeld uf U. Dnn heißt die Zhl b F (t) dt := F ((t)) (t) dt ds Kurvenintegrl von F längs der Kurve. Für die höchstens endlich vielen Stellen t [, b] in denen nicht differenzierbr ist, wird dbei (t) = interretiert. Bechte ds diese Definition uch sinnvoll ist, ist 18-8

9 nämlich (t,..., t r ) eine C 1 -Zerlegung von, so ist i := [, t i ] für jedes 1 i r stetig differenzierbr, und dmit ist uch die Funktion stetig. Dmit wird F i i : [, t i ] R; t F ( i (t)) i(t) F = ti F ( i (t)) i(t) dt ein Riemnn-Integrl. Ds t in F (t) ist wie bei sklren Kurvenintegrl ein Punkt uf der Kurve, und mn ht uch wieder die lterntive Schreibweise F := F (t) dt ohne t. Es gibt noch eine weitere häufig verwendete Schreibweise für vektorielle Kurvenintegrle. Wenn wir die Komonenten der Kurve ls x 1,..., x n schreiben, lso (t) = (x 1 (t),..., x n (t), so wird F ((t)) (t) = F 1 ((t))x 1(t) + + F n ((t))x n(t). Schreiben wir diesen Ausdruck dnn symbolisch ls so wird F ((t)) (t) = F 1 (x 1,..., x n ) dx 1 dt + + F n(x 1,..., x n ) dx n dt, F ((t)) (t) dt = F 1 (x 1,..., x n ) dx F n (x 1,..., x n ) dx n, und dies führt zu der Schreibweise F 1 (x 1,..., x n ) dx F n (x 1,..., x n ) dx n := F (t) dt für ds Linienintegrl. Wir wollen uns zwei kleine Beisiele in Dimension n = 2 nschuen. Im ersten Beisiel betrchten wir ds konstnte Vektorfeld F := g y für eine Konstnte g >. Wir können uns F etw ls ds Schwerefeld der Erde in der Nähe der Erdoberfläche vorstellen, wobei y die Höhe ist und wir der Einfchheit hlber nur eine wgerechte Koordinte x betrchten. Die Konstnte g ist dnn die Erdbeschleunigung. Sei : [, b] R 2 eine stückweise C 1 -Kurve mit Strtunkt und Endunkt q, und bezeichne i : [, t i ] R 2 für 1 i r wieder die stetig differenzierbren Kurvenstücke mit = r. Für 1 i r, t [, t i ] hben wir F ( i (t)) ( i ) (t) = g( i 2) (t), 18-9

10 lso wird ti F ( i (t)) ( i ) (t) dt = g und insgesmt ist dmit ti ( i 2) (t) dt = g( 2 (t i ) 2 ( )), g dy = F (t) dt = g(q 2 2 ). Hier hängt ds Kurvenintegrl lso nur von den beiden Endunkten der Kurve b. Erinnern wir uns n die Diskussion der Arbeit zu Beginn dieses Abschnitts, so ist dieses Ergebnis uch nicht überrschend, die geleistete Arbeit hängt nur von der zurückgelegten Höhendifferenz b, und ist gleich dem Produkt dieser mit der Erdbeschleunigung. Ds Minuszeichen entsteht d wir die vom Schwerefeld geleistete Arbeit betrchten. Als ein zweites Beisiel betrchten wir diesml ds uf U = R 2 \{} definierte Vektorfeld F := x x 2 + y 2 y y x 2 + y 2 und ls Kurve nehmen wir einen Kreis κ,r mit einem Rdius r >. Es sind für jedes t [, 2π] ( sin t κ,r(t) = r cos t und somit hben wir ), F (κ,r (t)) = 1 ( sin t r cos t κ,r F (t) dt = 2π. x, ), lso ist F (κ,r (t)) κ,r(t) = 1 Wie beim sklren Kurvenintegrl ergeben sich durch Einsetzen der Definition und Anwendung der entsrechenden Eigenschften des eindimensionlen Riemnnintegrls sofort uch die Grundeigenschften des Linienintegrls. Lemm 7.4 (Grundeigenschften des Kurvenintegrls) Seien n N mit n 1, U R n eine offene Menge, F : U R n ein stetiges Vektorfeld uf U und : [, b] U, : [c, d] U zwei stückweise C 1 -Kurven in U. () Sind und zusmmensetzbr, so gilt F (t) dt = + (b) Es ist F (t) dt = F (t) dt. F + (c) Ist eine Umrmetrisierung von, so gilt F (t) dt = F (t) dt F.

11 (d) Es gilt die Dreiecksungleichung F (t) dt su F (x) l() x ([,b]) Beweis: Sei (t,..., t r ) eine C 1 -Zerlegung von und setze i := [, t i ] für 1 i r. () Ist (t,..., t r ) eine C1 -Zerlegung von und setzen wir i := [t i 1, t i] für 1 i r, und setzen wir weiter t r+i := b + t i c für i r, so ist (t,..., t r+r ) eine C 1 - Zerlegung von + und es gilt ( + ) [, t i ] = i für 1 i r. Ist weiter 1 i r und r+i := ( + ) [t r+i 1, t r+i ], so ist r+i (t) = i (t + c b) und r+i(t) = i(t + c b) für lle t [t r+i 1, t r+i ], lso ist nch der Substitutionsregel II. 2.Stz 13 uch tr+i t r+i 1 F ( r+i (t)) r+i(t) dt = Insgesmt ist dmit + r+r F = = ti tr+i F ( i (t)) i(t) dt ti r F ( i (t)) i(t) dt + t r+i 1 F ( i (t + c b)) i(t + c b) dt t i t i 1 = t i t i 1 F ( i (t)) i(t) dt = F ( i (t)) i(t) dt. F + (b) Setzen wir t i := + b t r i für i r, so ist (t,..., t r) eine C 1 -Zerlegung von. Für 1 i r sei weiter i := [t i 1, t i], lso i (t) = r+1 i( + b t) und ( i ) (t) = r+1 i( + b t) für t [t i 1, t i] und dies ergibt mit einer erneuten Anwendung der Substitutionsregel II. 2.Stz 13 F. t i t i 1 t F ( i i (t)) ( i ) (t) dt = = tr i Dmit ist insgesmt F = t i 1 t r+1 i F ( r+1 i (t)) r+1 i(t) dt = t i t i 1 F ( i (t)) ( i ) (t) dt = F ( r+1 i ( + b t) r+1 i( + b t) dt tr+1 i = t (r+1 i) 1 F ( r+1 i (t)) r+1 i(t) dt. tr+1 i F ( r+1 i (t)) r+1 i(t) dt t (r+1 i) 1 ti F ( i (t)) i(t) dt = F

12 (c) Zunächst seien und beide stetig differenzierbr und sei ϕ : [, b] [c, d] eine Umrmetrisierung von nch, lso eine stetige, bijektive uf (, b) stetig differenzierbre Funktion mit = ϕ und ϕ (t) > für lle t (, b). Für jedes t (, b) gilt dnn F ((t)) (t) = F ((ϕ(t))) (ϕ(t)) ϕ (t), lso ist nch der Substitutionsregel für Umrmetrisierungen Lemm 1 uch F = b F ((t)) (t) dt = d c F ((t)) (t) dt = Im llgemeinen Fll gibt es stetig differenzierbre Kurven 1,..., r und 1,..., r in U mit = r und = r so, dss i für jedes 1 i r eine Umrmetrisierung von i ist. Mit () und der bereits bewiesenen Aussge folgt F = i F = F = i (d) Setze M := su{ F (x) : x ([, b])}. Ist 1 i r, so gilt für jedes t [, t i ] nch der Cuchy-Schwrtz Ungleichung II. 6.Stz 1 stets F ( i (t)) i(t) F ( i (t)) i(t) M i(t), lso ist nch II. 2.Lemm 5.(b,c,d) uch ti ti F ( i (t)) i(t) dt F ( i (t)) i(t) dt M F. ti F. i(t) dt = Ml( i ). Insgesmt ist dmit F = F ( i (t)) i(t) dt ti F ( i (t)) i(t) dt M l( i ) = Ml(). ti 7.4 Konservtive Vektorfelder und Potentile Im letzten Abschnitt htten wir gesehen ds ds Vektorfeld F = g / y uf dem R 2 für jede stückweise C 1 -Kurve mit Strtunkt R 2 und Endunkt q R 2 die Gleichung F = g(q 2 2 ) 18-12

13 erfüllt, und insbesondere hängen diese Kurvenintegrle nur von Strt- und Endunkt der Kurve b. Dies ist keinesflls bei jedem Vektorfeld der Fll, nehmen wir beisielsweise ds Vektorfeld F := y x wieder uf dem R 2 und betrchten die beiden Punkte := (1, ) und q := ( 1, ) im R 2, so sind := τ q und := κ,1 [, π] zwei stetig differenzierbre Kurven im R 2 mit Strtunkt und Endunkt q mit und F = 1 F (1 2t, ) q dt = π F = sin 2 t dt = π 2 F. Hier lufen wir lso uf zwei verschiedenen Wegen von nch q und erhlten dbei zwei unterschiedliche Kurvenintegrle. Vektorfelder wie F = g / y bei denen dies nicht vorkommt sind eine besonders wichtige Klsse von Vektorfeldern die wir in diesem Abschnitt untersuchen wollen. Wir geben jetzt denjenigen Vektorfeldern deren Kurvenintegrle nur von Strt- und Endunkt der Kurve bhängen, einen eigenen Nmen. Definition 7.9 (Konservtive Vektorfelder) Seien n N mit n 1 und U R n offen und zusmmenhängend. Ein stetiges Vektorfeld F uf U heißt konservtiv, wenn für lle stückweisen C 1 -Kurven, in U mit = und + = + stets uch F = F ist. Ist F ein konservtives Vektorfeld uf U und sind, q U, so gibt es nch II. 8.Lemm 1.(b) eine stückweise C 1 -Kurve in U mit = und + = q und wir können definieren q F := F. Dieses Integrl erfüllt die üblichen formlen Regeln, sind, q, r U so wählen wir stückweise C 1 -Kurven, in U mit =, + = = q und + = r, und hben dnn uch die stückweise C 1 -Kurve + in U mit Strtunkt und Endunkt r, lso ist r q r F = F = F + F = F + F + nch Lemm 4.(). Weiter ist eine stückweise C 1 -Kurve in U mit Strtunkt q und Endunkt, lso ist nch Lemm 4.(b) q F = F = F = F. q q

14 Schließlich ist uch noch F = F =. τ Unser obiges Beisiel F = g / y können wir dnn uch ls q F = g(q 2 2 ) für lle, q R 2 schreiben. Ist F ein konservtives Vektorfeld uf U R n und eine geschlossene, stückweise C 1 -Kurve in U, etw mit := = +, so ist F = F =, Kurvenintegrle eines konservtiven Vektorfelds längs geschlossener Kurven sind lso immer Null. Umgekehrt imliziert diese Bedingung bereits ds F konservtiv ist. Sind dnn nämlich, q U und, zwei stückweise C 1 -Kurven in U mit = = und + = + = q, so ist + eine geschlossene Kurve in U und mit unserer Annhme und Lemm 4.(,b) folgt = F = F + F = F F, lso F = F. + Kommen wir noch einml zum Beisiel des konservtiven Vektorfelds F = g / y uf dem R 2 zurück. Führen wir ds sogennnte Potentil ϕ : R 2 R; (x, y) gy ein, so hben wir für lle, q R 2 die Gleichung q F = g(q 2 2 ) = ϕ(q) ϕ(). An diesem Beisiel sehen wir uch wrum wir von einem Potentil srechen, bis uf ds Vorzeichen hndelt es sich gerde um die otentielle Energie. Um uch ds Vorzeichen richtig zu kriegen, finden sie in der Litertur oftmls uch eine lterntive Definition von Potentil in der ds Vorzeichen umgekehrt wird. Dieses Beisiel führt uns jetzt weiter zur llgemeinen Definition eines Potentils. Definition 7.1 (Potentile von Vektorfeldern) Seien n N mit n 1, U R n offen und zusmmenhängend und F ein stetiges Vektorfeld uf U. Eine Funktion ϕ : U R heißt ein Potentil von F wenn F = ϕ( + ) ϕ( ) für jede stückweise C 1 -Kurve in U gilt. Wir sgen ds ds Vektorfeld F ein Potentil ht wenn es ein Potentil ϕ von F gibt

15 Es reicht die Bedingung in der Definition eines Potentils für jede stetig differenzierbre Kurve in U zu fordern. Ist dnn nämlich eine beliebige stückweise C 1 -Kurve in U, so können wir = r mit stetig differenzierbren Kurven 1,..., r in U schreiben, und erhlten mit Lemm 4.() uch F = F = (ϕ( i+ ) ϕ( i )) = ϕ( + ) ϕ( ). i Wir zeigen jetzt ds ein stetiges Vektorfeld genu dnn konservtiv ist wenn es ein Potentil ht, und dies ist weiter genu dnn der Fll wenn F der Grdient einer stetig differenzierbren Funktion ist. Stz 7.5 (Chrkterisierung der konservtiven Vektorfelder) Seien n N mit n 1 und U R n offen und zusmmenhängend. () Seien F ein stetiges Vektorfeld uf U und ϕ ein Potentil von F. Dnn ist F konservtiv und für lle, q U gilt q F = ϕ(q) ϕ(). Weiter ist ϕ stetig differenzierbr mit F = grd ϕ. (b) Ist ϕ : U R eine stetig differenzierbre Funktion, so ist F := grd ϕ ein konservtives Vektorfeld mit Potentil ϕ. (c) Sind F ein stetiges Vektorfeld uf U und ϕ, ψ zwei Potentile von F, so existiert genu ein c R mit ψ(x) = ϕ(x) + c für lle x U. (d) Sei F ein stetiges Vektorfeld uf U. Dnn sind die folgenden Aussgen äquivlent: 1. Ds Vektorfeld F ist konservtiv. 2. Ds Vektorfeld F ht ein Potentil. 3. Es gibt eine stetig differenzierbre Funktion ϕ : U R mit F = grd ϕ. Beweis: () Dss F konservtiv mit q F = ϕ(q) ϕ() für lle, q U ist, ist klr. Sei nun U gegeben. Sei 1 i n. Wähle ein ɛ > mit B ɛ () U und betrchte die Funktion h : ( ɛ, ɛ) R; t ϕ( + te i ). Für jedes t R mit t < ɛ gilt dnn nch der Substitutionsregel II. 2.Stz 13 h(t) h() = ϕ( + te i ) ϕ() = F = τ,+tei lso ist h(t) = h() + = t F ( + ste i ) te i ds tf i ( + ste i ) ds = F i ( + se i ) ds. t F i ( + se i ) ds,

16 D F i stetig ist, ist h nch dem Hutstz der Differentil und Integrlrechnung II. 2.Stz 9 differenzierbr mit ϕ x i () = h () = F i (). Dmit ist ϕ uf U rtiell nch der i-ten Vriblen differenzierbr mit ϕ/ x i = F i. D F stetig ist, ist ϕ dmit uf U stetig rtiell differenzierbr, und somit nch II. 8.Lemm 15 uch stetig differenzierbr. Schließlich ist für lle U uch ( ) ϕ grd ϕ() = () = (F i ()) 1 i n = F (), x i 1 i n d.h. grd ϕ = F. (b) Sei : [, b] U eine stetig differenzierbre Kurve und setze := = (), q := + = (b). Für jedes t [, b] gilt (ϕ ) (t) = ϕ ((t)) (t) = grd ϕ((t)) (t) und dmit folgt weiter b F = grd ϕ((t)) (t) dt = ϕ((b)) ϕ(()) = ϕ(q) ϕ(). Dies zeigt ds ϕ ein Potentil von F ist, und nch () ist F uch konservtiv. (c) Die Eindeutigkeit von c ist klr. Um die Existenz einzusehen, wähle ein U und setze c := ψ() ϕ() R. Nch () ist F konservtiv und für jedes q U gilt ψ(q) = ψ() + q (d) (1)= (2). Wähle ein U und definiere Sind dnn q, r U, so hben wir r q F = q F + d.h. ϕ ist ein Potentil von F. (2)= (3). Klr nch (). (3)= (1). Klr nch (b). F = ψ() + ϕ(q) ϕ() = ϕ(q) + c. ϕ : U R; q r F = r F q q F. F = ϕ(r) ϕ(q), Die konservtiven Vektorfelder sind lso genu die Vektorfelder die ein Potentil besitzen und uch genu diejenigen Vektorfelder die ls Grdientenfeld einer stetig differenzierbren Funktion uftreten, lso die sogennnten Grdientenfelder. Als ein einfches 18-16

17 Korollr dieser Ttsche können wir jetzt eine gut zu überrüfende, notwendige Bedingung für die Existenz eines Potentils herleiten, ds sogennnte Potentilkriterium. Korollr 7.6 (Potentilkriterium) Seien n N mit n 1 und = U R n offen und zusmmenhängend. Weiter sei F ein stetig differenzierbres Vektorfeld uf U und F besitze ein Potentil. Dnn gilt F j x i = F i x j für lle 1 i < j n. Beweis: Nch Stz 5.() existiert eine stetig differenzierbre Funktion ϕ : U R mit F = grd ϕ. D F ls stetig differenzierbr vorusgesetzt ist, ist ϕ sogr zweiml stetig differenzierbr, und somit folgt für lle 1 i < j n nch dem Lemm von Schwrz II. 9.Lemm 2 uch F j x i = 2 ϕ x i x j = 2 ϕ x j x i = F i x j. Dmit hben wir die Gültigkeit des Potentilkriteriums nchgewiesen. In Dimension n = 2 ist ds Potentilkriterium für ein Vektorfeld eine einzige Bedingung Potentilkriterium für F = f x + g y : f y = g x und in Dimension n = 3 hben wir drei Bedingungen Potentilkriterium für F = f x + g y + h z : f y = g x, f z = h x, g z = h y. Wir schuen uns einml die bisher behndelten Beisiele von Vektorfeldern drufhin n ob sie ds Potentilkriterium erfüllen. 1. Ds Vektorfeld F = g / y, lso F 1 (x, y) =, F 2 (x, y) = g erfüllt ds Potentilkriterium d lle rtiellen Ableitungen der Komonenten von F gleich Null sind. Ttsächlich wissen wir uch schon ds F konservtiv ist. 2. Vom Vektorfeld F = y / x htten wir bereits gesehen ds es nicht konservtiv ist. Es sind ( ) y F (x, y) =, F 1 (x, y) = y, F 2 (x, y) = lso F 1 y = 1, F 2 x =, ds Potentilkriterium ist hier lso nicht erfüllt

18 3. Als letztes Beisiel schuen wir uns ds Vektorfeld F := x x 2 + y 2 y y x 2 + y 2 uf U = R 2 \{} n. Wir wissen bereits ds dieses kein Potentil besitzt d zum Beisiel κ,1 F = 2π ist. Zum Überrüfen des Potentilkriteriums rechnen wir ( y ) = x2 y 2 y x 2 + y 2 (x 2 + y 2 ) und x 2 x x 2 + y = y2 x 2 2 (x 2 + y 2 ), 2 ds Potentilkriterium ist hier lso erfüllt obwohl ds Vektorfeld kein Potentil besitzt. Ds letzte Beisiel zeigt, dss ds Potentilkriterium eine notwendige, ber keinesflls eine hinreichende, Bedingung für die Existenz eines Potentils ist. Auf dieses Problem werden wir m Ende dieses Abschnitts noch einml kurz eingehen. x 18-18