Mathematische Probleme, SS 2018 Donnerstag 7.6. $Id: dreieck.tex,v /06/07 14:52:59 hk Exp $

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1 $Id: dreieck.tex,v /06/07 14:52:59 hk Exp $ 2 Dreiecke 2.2 Ähnliche Dreiecke Wir htten zwei Dreiecke kongruent gennnt wenn sie sich durch eine ewegung der Ebene ineinnder überführen lssen und htten uns überlegt ds dies genu dnn der Fll ist wenn in ihnen entsprechende Seiten gleich lng sind. Wir wollen diesen egriff nun noch etws bschwächen und sogennnte ähnliche Dreiecke einführen. Definition 2.1 (Ähnliche Dreiecke) Mn nennt zwei Dreiecke, ähnlich zueinnder wenn in ihnen entsprechende Winkel kongruent sind, wenn lso in den Stndrdbezeichnungen α = α, β = β und γ = γ gelten. Mit den Kongruenzsätzen des vorigen bschnitts ist es uch leicht einige Ähnlichkeitskriterien für Dreiecke nzugeben. Stz 2.7 (hrkterisierungen ähnlicher Dreiecke) Seien, zwei Dreiecke deren Seiten und Winkel gemäß der Stndrdbezeichnungen ls, b, c, α, β, γ beziehungsweise, b, c, α, β, γ bennnt sind. Dnn sind die folgenden ussgen äquivlent: () Die Dreiecke und sind ähnlich. (b) Entsprechende Seiten hben dieselben Verhältnisse, lso b = b, c = c, b c = b c. (c) Ein Pr entsprechender Winkel und ds Verhältniss der ngrenzenden Seiten sind gleich. (d) Ds Verhältniss zweier entsprechender Seiten und die der jeweiligen größeren Seite gegenüberliegenden Winkel sind gleich. (e) Zwei Pre entsprechender Winkel sind gleich. eweis: () (e). Klr nch Stz 4. ()= (b). Nch dem Sinusstz Stz 5 gilt b = sin α sin β sin α = = sin β b 14-1

2 und die Gleichheit der nderen Verhältnisse ergibt sich nlog. (b)= (). Nch Stz 1 gilt ( ) b 2 + c 2 2 α = rccos 2bc ( ( 1 b = rccos 2 c + c b b )) c ( ( 1 b = rccos 2 c + c b b c )) = α, und nlog ergeben sich uch β = β und γ = γ. ()= (c). Klr d die Impliktion von () nch (b) bereits gezeigt ist. (c)= (b). Sei etw b/c = b /c und α = α, die nderen beiden Fälle ergeben sich dnn durch Umbezeichnungen. Nch Stz 3 gilt ( c b = c b b cos α = ( c 1 + b 2 c b cos α = b, und nlog folgt uch /c = /c. ()= (d). Klr d die Impliktion von () nch (b) bereits gezeigt ist. (d)= (c). echte ds durch ds Verhältnis zweier Seiten festgelegt ist welches die größere der beiden ist, dher entsprechen sich uch die der größeren Seite gegenüberliegenden Winkel in beiden Dreiecken. is uf Umbezeichnungen können wir b/c = b /c und β = β nnehmen. Mit Stz 2 folgt (b (b c = cos β + c sin 2 β = cos β + und wir hben die Sitution von (c) hergestellt. c sin 2 β = c, ls ein eispiel wollen wir einml ds sogennnte Mittendreieck diskutieren. S m 14-2

3 Gegeben sei ein Dreick = mit Seiten, b, c und Winkeln α, β, γ. Dnn bilden wir den Mittelpunkt der Strecke, den Mittelpunkt der Strecke und schließlich den Mittelpunkt der Strecke, es gelten lso = = 2, = = b 2 und = = c 2. Mit diesen drei Mittelpunkten bilden wir dnn ds sogennnte Mittendreieck und wir wollen einsehen ds dieses zu ähnlich ist und hlb so große Seitenlängen ht. Lemm 2.8 (Lemm über ds Mittendreieck) Sei = ein Dreieck mit Mittendreieck =. Dnn sind die vier Dreiecke,, und lle zueinnder kongruent und lle ähnlich zu mit hlb so großen Seitenlängen. Weiter sind prllel zu, prllel zu und prllel zu. eweis: ezeichne die Seiten und Winkel in gemäß der Stndrdbezeichnungen. Im Dreieck ist der Winkel bei gleich β und ds Verhältniss der beiden nliegenden Seiten ist 1 = 2 1 c = c, 2 lso sind und nch Stz 7 ähnlich. Wieder nch Stz 7 ist dmit uch 1 2 c = = b c, lso = 1 2 b, ds Dreieck ht lso hlb so große Seitenlängen wie. nlog schließen wir für und, und insbesondere sind diese drei Dreiecke zueinnder kongruent. Dmit ht ds Mittendreieck = die Seitenlängen = = 1 2, b = = 1 2 b und c = = 1 2 c, ist lso ebenflls zu ähnlich mit hlbierten Seitenlängen und zu den nderen drei Dreiecken kongruent. Die ussgen über die Prllelität sind eine unmittelbre Folgerung, d ähnlich zu ist stimmen die Winkel dieser Dreiecke bei beziehungsweise überein, die Gerde scheidet und lso im selben Winkel und somit sind und nch dem Stufenwinkelstz 1.Stz 28.() prllel. Die beiden nderen Prllelitätsussgen ergeben sich nlog. 2.3 Einige spezielle Punkte im Dreieck Mit den speziellen Punkten in einem Dreieck sind Punkte gemeint die in irgendeiner knonischen Weise geometrisch us dem Dreieck herus konstruiert werden können, 14-3

4 lso beispielsweise der Schnittpunkt der Seitenhlbierenden oder der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten. Wir behndeln hier huptsächlich die vier wichtigsten von diesen, und dies sind die jeweiligen Schnittpunkte der Seitenhlbierenden, der Winkelhlbierenden, der Mittelsenkrechten und der Höhen. Dies hängen eng mit dem Innkreis und dem Umkreis eines Dreiecks zusmmen. Den Stz über den Schnittpunkt der Seitenhlbierenden hben wir dbei bereits in 1 ls ein eispiel zum Stz von ev bewiesen, wir wollen ihn jetzt nur noch einml in der inzwischen eingeführten Sprche formulieren. Stz 2.9 (Der Schnittpunkt der Seitenhlbierenden) Sei ein Dreieck mit Mittendreieck. Dnn schneiden die drei Seitenhlbierenden, und sich in einem Punkt S m und dieser zerlegt diese Strecken jeweils im Verhältnis 2 : 1, d.h. es gelten 2 S m = S m, 2 S m = S m und 2 S m = S m. eweis: Dss die drei Seitenhlbierenden kopunktl hben wir bereits in 1.3 gesehen. Dort hben wir uch (S m ) = 2 gezeigt und nch 1.Lemm 26 liegt S m zwischen und und es gilt S m / S m = (S m ) = 2 lso S m = 2 S m. Die nderen beiden ehuptungen ergeben sich nlog. Mn nennt den Schnittpunkt S m der Seitenhlbierenden eines Dreiecks uch den Schwerpunkt von. In 1.3 htten wir uch gesehen ds sich der Schwerpunkt in bryzentrischen Koordinten ls S m = = schreiben läßt. ls nächsten der speziellen Punkte behndeln wir nun den Schnittpunkt der Winkelhlbierenden, und hierzu sollten wir uns erst einml überlegen welche edeutung die Winkelhlbierende überhupt ht. Wie sich herusstellt ist der egriff der Winkelhlbierenden in gewissen Sinne dul zum egriff der Mittelsenkrechten, es werden zwei Gerden betrchtet und nch der Menge ller Punkte gefrgt die von beiden Gerden denselben bstnd hben. Diese Menge wird die Vereinigung zweier senkrecht ufeinnder stehender Gerden sein, diese Gerden sind dbei gerde die beiden durch die usgngsgerden gegebenen Winkelhlbierenden. Es ist einfcher sich zunächst uf einen der vier von den beiden Gerden gebildeten Sektoren zu beschränken, die Punkte innerhlb dieses Sektors die von beiden Gerden denselben bstnd hben bilden dnn einen Strhl der den Sektor hlbiert, lso eine Winkelhlbierende des zugehörigen Winkels ist. Wir formulieren diese ussge ls ein kleines Lemm, ds ufgrund der hierbei uftretenden Figur gerne ls ds Drchenlemm bezeichnet wird. In der Formulierung 14-4

5 dieses Lemms sgen wir dbei ds zwei Strecken ufeinnder senkrecht sind wenn die sie enthltenden Gerden dies sind. Lemm 2.10 (estimmung der Winkelhlbierenden) Seien u, v zwei Strhlen mit demselben Strtpunkt, u\{} und v\{}. ezeichne S := S(u, v)\(u v) ds Innere ds Sektors zwischen u und v und sei P S so, dss P senkrecht uf ist und P senkrecht uf ist. Schließlich sei α := (). Dnn sind die folgenden ussgen äquivlent: () Es ist d(p, ) = d(p, ). (b) Es ist P = P. (c) Es ist =. (d) Die Dreiecke P und P sind kongruent. (e) Die Strecke P ist die Winkelhlbierende von α. α P eweis: () (b). Wegen P und P sind d(p, ) = P und d(p, ) = P (die Schreibweise ist hier etws ungenu, gemeint ist der bstnd zur jeweiligen Gerden und nicht zur Strecke), lso sind () und (b) äquivlent. (b) (c). Wenden wir den Stz des Pythgors 1.Korollr 23 in den beiden rechtwinkligen Dreiecken P und P n, so ergibt sich 2 + P 2 = P 2 = 2 + P 2, und dmit ist genu dnn = wenn P = P gilt. 14-5

6 ()= (d). D die Impliktionen von () nch (b) und (c) bereits gezeigt sind, hben wir = und P = P, d.h. die beiden Dreiecke P und P sind nch 1.Stz 36.(b) kongruent. (d)= (b). Klr nch 1.Stz 36.(). (d) (e). Die Dreiecke P und P stimmen in der Seite P überein und hben bei beziehungsweise gleiche, nämlich rechte, Winkel. Nch dem Kongruenzstz SWW Stz 6 sind die beiden Dreiecke dmit genu dnn kongruent wenn ihre Winkel in übereinstimmen, wenn lso P den Winkel α hlbiert. w 2 β α g w 1 h Gleicher bstnd zu zwei Gerden Winkelhlbierende im Dreieck echte ds sich ds Drchenlemm uf Punkte P innerhlb des Winkels α bezieht. Hben wir zwei verschiedene Gerden g, h die sich in einem Punkt schneiden, so setzt sich die Menge M := {P R 2 d(p, g) = d(p, h)} ller Punkte die von g und h denselben bstnd hben us zwei Gerden zusmmen die senkrecht ufeinnder sind. Um dies zu sehen, unterteilen wir die Ebene in einen von g, h gebildeten Winkel α zusmmen mit seinem Gegenwinkel und den nderen von g, h gebildeten Winkel β zusmmen mit seinem Gegenwinkel. Der Teil von M innerhlb von α ist nch dem Drchenlemm die Winkelhlbierende w 1 von α und diese ist uch gleich der Winkelhlbierenden des Gegenwinkels und der Teil innerhlb von β und dem Gegenwinkel von β ist die Winkelhlbierende w 2 von β. Der Winkel zwischen w 1 und w 2 ist α/2 + β/2 = (α + β)/2 = π/2, die beiden stehen lso senkrecht ufeinnder. Dmit hben wir M = w 1 w 2, wie behuptet. ei zwei beliebigen Gerden gibt es keine Möglichkeit zwischen w 1 und w 2 zu unterscheiden, hben wir dgegen ein Dreieck = so betrchten wir in jedem Eckpunkt den ds Dreieck enthltenden Winkel und nennen seine Winkelhlbierende die Winkelhlbierende von durch die entsprechende Ecke. Die uf der Winkelhlbierenden von durch eine Ecke senkrecht stehende ndere Winkelhlbierende nennt mn dnn die äußere Winkelhlbierende von durch den betrchteten Eckpunkt. Schneiden wir diese prweise, so erhlten wir wie oben bgebildet ein neues Dreieck, mit dem wir uns in den Übungsufgben beschäftigen werden. Nch diesen Vorbereitungen können wir die Existenz des Schnittpunkts der Winkelhlbierenden in einem Dreieck sehr bequem einsehen. 14-6

7 Stz 2.11 (Der Schnittpunkt der Winkelhlbierenden) Sei = ein Dreieck. Dnn schneiden sich die drei Winkelhlbierenden von in einem Punkt S w und dieser ist der eindeutige Punkt in der von llen drei Seiten des Dreiecks denselben bstnd ht. eweis: Die beiden Winkelhlbierenden durch und schneiden sich in einem Punkt S w und nch dem Drchenlemm Lemm 10 ngewndt uf diese beiden Winkelhlbierenden gelten d(s w, ) = d(s w, ) und d(s w, ) = d(s w, ), lso ist d(s w, ) = d(s w, ) = d(s w, ) und wieder nch dem Drchenlemm liegt S w uch uf der Winkelhlbierenden durch. D der Schnittpunkt S w der Winkelhlbierenden von llen drei Seiten des Dreiecks denselben bstnd r := d(s w, ) = d(s w, ) = d(s w, ) ht, berührt der Kreis mit Mittelpunkt S w und Rdius r lle drei Seiten tngentil. Mn nennt diesen Kreis dnn den Inkreis des Dreiecks und r heißt entsprechend der Inkreisrdius von. Neben dem Inkreis gibt es noch drei weitere Kreise die lle, ls Gerden ufgefsste, Seiten des Dreiecks berühren, diese hben die schon oben erwähnten Schnittpunkte je zweier äußerer Winkelhlbierenden des Dreiecks ls ihre Mittelpunkte. Mit diesen sogennnten nkreisen von werden wir uns in den Übungen beschäftigen. r S w 14-7