Geometrie. Spür auch du dem Zauber nach, dem Asam, Bela und Calvin erlegen sind, indem Du die Fellzeichnung der Kobolde nachzeichnest.

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1 Geometrie 1. Vor lnger Zeit lebten einml drei Kobolde mit Nmen sm, el und lvin in den Wäldern um den Feuerbch. Die Höhlen der drei Kobolde wren durch gerde Wege miteinnder verbunden. Eines Tges fnden die Kobolde die verschlüsselte otschft eines Druiden, die sie zu einer verhexten Feuerstelle m Feuerbch führen sollte. Sie wren sich über den genuen Verluf des Flusses nicht einig, deshlb nhmen sie ein Fell dher, ds ihnen ls Krte dienen sollte. uf diesem Fell wollten sie die Wege nch der otschft des Druiden einzeichnen. Sofort mchten sich die drei Kobolde n die rbeit die otschft zu entschlüsseln. Ein jeder gehe von seiner Höhle senkrecht uf den gegenüberliegenden Weg. Der gemeinsme Treffpunkt m Fluss werde durch Hölzer mit einem H gekennzeichnet. Nun gehe jeder Kobold von H zu seiner Höhle zurück und mrkiere dbei die Hälfte des Weges ebenflls mit einem Stöckchen. Weiter finde jeder die Senkrechte uf die Mitte des Weges, der zu seinem Nchbr führt. uch hier werde der gemeinsme Treffpunkt, wieder m Fluss, durch Hölzer mrkiert, diesml durch ein M. Sucht die Mitte von M und H. Dort findet Ihr die verhexte Feuerstelle. Sofort mchten sm, el und lvin sich uf und wren schließlich überglücklich, die verschlüsselte otschft des Druiden enträtselt zu hben, denn von dieser Feuerstellt m Fluss ging whrhftig ein Zuber us. Spür uch du dem Zuber nch, dem sm, el und lvin erlegen sind, indem Du die Fellzeichnung der Kobolde nchzeichnest. Litertur: PM 4/43, Jg Lösung: Die Feuerstelle ist Mittelpunkt des Feuerbchschen Neunpunktekreises und liegt zusmmen mit M und H uf der Eulerschen Gerden. 2. () erechne die Winkel, die der Sekundenzeiger, der große Zeiger (Minutenzeiger) bzw. der kleine Zeiger (Stundenzeiger) einer Uhr in einer Minute bzw. in einer Sekunde überstreichen. Stelle die Ergebnisse in einer Tbelle zusmmen. Wenn ein Ergebnis ruchteile eines Grdes enthält, ist es uch in der Grd-Minuten- Sekunden-Schreibweise nzugeben. (b) uf einer Zeigeruhr ist es t 1 = 21:08:00. Zu welcher Zeit t 2 bildet der Sekundenzeiger mit dem großen Zeiger zum ersten Ml nch t 1 einen 70 -Winkel? Wähle ls Vrible die Zhl x der Sekunden nch t 1. (c) Wenn du die Teilufgbe (b) nicht lösen konntest, verwende t 2 = 21 : 08 : 25. erechne lle nötigen Winkel und zeichne die drei Uhrzeiger zur Zeit t 2 so genu wie möglich. Wähle für ds Ziffernbltt einen Kreis mit dem Rdius 4 cm und beschrifte deine Zeichnung mit den berechneten Winkeln. 1

2 Lösung: () 1min 1s Sekundenzeiger großer Zeiger 6 0,1 = 6 (b) x 6 }{{} kleiner Zeiger 0,5 = 30 ( (8 6 +x 0,1 ) = 70 }{{} x 5,9 = 118 x = 118 5,9 = 20 = t 2 = 21 : 08 : 20 ) = 0,5 = 30 γ (c) = 20 6 = 120 = ,1 = 50 γ = 8 0, ,5 = () erechne die Winkel, die der große Zeiger (Minutenzeiger) bzw. der kleine Zeiger (Stundenzeiger) einer Uhr in einer Minute bzw. in einer Sekunde überstreichen. Stelle die Ergebnisse in einer Tbelle zusmmen. Wenn ein Ergebnis ruchteile eines Grdes enthält, ist es uch in der Grd-Minuten-Sekunden- Schreibweise nzugeben. (b) Zu welcher Zeit t 0 zwischen 13:00 und 14:00 bilden der große und der kleine Zeiger einer Uhr einen gestreckten Winkel? Zeichne eine Überlegungsfigur und wähle ls Vrible die Zhl x der Minuten nch 13:00. Welchen Winkel schließt der kleine Zeiger zu dieser Zeit t 0 mit der Null-Uhr-Linie ein? Lösung: () 1h 1min 1s großer Zeiger ,1 = 6 kleier Zeiger 30 0,5 = 30 0,5 = 30 (b) x 6 }{{} (30 +x 0,5 ) = 180 }{{} x 5,5 = 210 x = 210 5,5 = = 38 2 = 38,18 = min = s = s = 10,90s t 0 = 13 : 38 : 10,90 = ,5 = ( 49 1 ) 11 = 49,09 4. Zeichne die Zeigerstellungen zu den gefundenen Zeiten: 2

3 () Zu welcher Zeit zwischen 06:00 und 07:00 stehen die beiden Zeiger einer Uhr genu übereinnder? (b) Zu welcher Zeit zwischen 21:00 und 22:00 bilden die beiden Zeiger einer Uhr einen gestreckten Winkel? (c) Zu welchen Zeiten zwischen 14:00 und 15:00 schließen die beiden Zeiger einer Uhr einen 50 -Winkel ein? (d) Zu welchen Zeiten zwischen 08:00 und 09:00 schließen die beiden Zeiger einer Uhr einen 20 -Winkel ein? Lösung: t bezeichnet im Folgenden die Zhl der Minuten nch der vollen Stunde. () 180 +t 0,5 = t 6, t = 180 = 32,72 = 6h32min43,63s 5,5 (b) 270 +t 0,5 t 6 = 180, t = 90 = 16,36 = 21h16min21,81s 5,5 (c) 60 +t 0,5 t 6 = 50, t = 10 = 1,81 = 2h1min49,09s 5,5 t 6 60 t 0,5 = 50, t = 110 = 20 = 2h20min 5,5 (d) 240 +t 0,5 t 6 = 20, t = 220 = 40 = 8h40min 5,5 t t 0,5 = 20, t = 260 = 47,27 = 8h47min16,36s 5,5 5. Ds Flugzeug F wird von zwei Rdrsttionen F und us ngepeilt. D- bei werden die Winkel = 131 und = 25 gemesen. Die Entfernung der beiden Sttionen ist = 12,5km. Ds Flugzeug bewegt sich in gleich bleibender Höhe mit der Geschwindigkeit v = 1700 km. h () Konstruiere die Lge des Flugzeugs in einem Koordintensystem(Einheit 1 cm), in dem die Rdrsttionen durch (5 0) und (10 0) gegeben sind. Welcher Mßstb wird verwendet? (b) In welcher Höhe h fliegt die Mschine? (c) Wie lnge duert es, bis sich F genu senkrecht über der Sttion befindet? Lösung: () Mßstb 1:250000, d.h. 1cm =2,5km (b) h = F = 3,9cm =9,8km (c) = 3,4cm =8,5km = t = 8,5km 1700 km h = 0,005h = 18s 3

4 6. Ein Seemnn sucht nch nebenstehender Krte den Schtz des berüchtigten Pirten dlbert Kper uf der Totenkopfinsel, doch zu S G D seinem Leidwesen ist vom Glgen keine Spur mehr zu Schtz finden. In seiner Verzweiflung nimmt er einfch den Ort n dem er gerde steht, ls Punkt n und sucht nch den ngben der Krte den Punkt S, n dem der Schtz vergrben ist. Nchdem er zwei Stunden gegrben ht, hört mn ein Freudengeheul - er ht den Schtz gefunden. So, jetzt bist du der Seemnn, die Heftseite ist die Totenkopfinsel un die äume wchsen n den Orten (5 5) und (9 8). Nimm drei verschiedene Orte für die Lge des Glgens n und konstruiere jeweils den Punkt S. Viel Glück bei der Schtzsuche! Lösung: Für jeden beliebigen Ort G erhält mn den gleichen Punkt S(8,5 4,5). S liegt uf der Mittelsenkrechten von [] und ht von den bstnd Die bbildung zeigt einen Winkelspiegel, bei dem zwei Spiegel senkrecht zueinnder ngeordnet sind. Ein Lichtstrhl e fällt unter dem Winkel = 30 uf den Spiegel 1 und wird ncheinnder n den beiden Spiegeln reflektiert. () Konstruiere den weiteren Verluf des Lichtstrhls. (b) eweise durch eine usführliche Rechnung und unter ngbe der jeweils verwendeten Winkelsätze, dss der us dem Winkelspiegel uslufende Strhl zum einfllenden Strhl e prllel ist. 4

5 Spiegel 1 Spiegel 2 e Lösung: () ε Spiegel 1 γ σ δ Spiegel 2 e (b) = = 30 (Reflexion) γ = = 60 (Winkelsumme im Dreieck) δ = γ = 60 (Reflexion) ε = = 120 (gestreckter Winkel) σ = = 60 (gestreckter Winkel) ε+σ = = 180 = e (Nchbrwinkel) 8. Vom Dreieck ist beknnt: = b = 8cm Der Mittelpunkt M der Seite [] ht von den bstnd d = 3cm 5

6 () Erstelle eine Überlegungsfigur! Erkläre und begründe die wesentlichen Schritte zur Konstruktion des Dreiecks. (b) Konstruiere ds Dreieck. (c) Untersuche die Lösbrkeit der ufgbe in bhängigkeit von d. Lösung: () Im gleichschenkligen Dreieck ist die Seitenhlbierende der sis zugleich Höhe uf die sis. M liegt lso uf dem Thleskreis über [] und uf der Prllelen zu im bstnd d. liegt uf M und uf k(;r = ) b d M (b) 1 2 M1 M2 (c) 0 < d < 4cm : 2 Lösungen d = 4cm : 1 Lösung d > 4cm : keine Lösung 9. In folgender bbildung gilt = = D = D =, g h, <) M =<) DM = 90 und = 70. ν γ µ ε τ ρ D h M δ σ 6 λ E g

7 () erechne in nchvollziehbrer Weise (mit egründungen) die Winkel τ und λ. (b) Wrum gilt M = MD? Lösung: () = = = = 70 (siswinkel) D gleichseitig = δ = ρ = ε+µ = 60 gestreckter Winkel = σ = 180 δ = 50 ußenwinkel = λ = 90 σ = 40 Z-Winkel = ε+µ+τ = = τ = 60 = 10 (b) M = M δ = ρ <) M =<) DM = 90 = M = DM(wws) = M = MD 7