x usw., wie oben unter 1.) behauptet.]

Transkript

1 [Anmerkung zur Berechnung im Beispiel: Ersetzen wir die Zhlen der AzM durch die Koeffizienten, 2, 2 und 22, so lässt sich die Rechnung sowohl für ) ls uch b) gnz nlog durchführen, und es ergibt sich z. B x usw., wie oben unter.) behuptet.] 2 4.) Knn die/der Unterrichtende uf Vorkenntnisse us dem Bereich Linere Optimierung (s. u.) zurückgreifen, drängt es sich uf, optimle gemischte Strtegien mit der Umwndlung des Spielproblems in eines der LO zu finden. Dzu ein weiteres unterrichtserprobtes Beispiel : Ein Anleger will zwei Aktiensorten kufen, on denen er weiß, dss bei normlem Konjunkturerluf Sorte 6% Gewinn bringt, Sorte 2 nur %. Dgegen bringt Sorte in einer Krise nur %, Sorte 2 ber 8%. [Im Unterricht wird neben der AzM s. u. zu errbeiten sein, dss der Gewinn hier Diidende heißt, der Spieler A(nleger) gegen die Konjunktur spielt und Strtegienmischung hier konkret den Kuf eines gemischten Aktienpketes bedeutet]. Norml Krise Die AzM für A ist σ (Kuf on Sorte ) 6 σ 2(Kuf on Sorte 2) 8 Ds Bestreben on A ist, sein Kpitl in Anteilen p und p 2 so nzulegen, dss 6p + p 2 und p + 8p 2. Dbei ist = < < ß = 6 (und noch nicht beknnt!!). Diidieren wir die Ungleichungen durch und führen x /2 = () 6x + x 2 (2) x 0 x + 8x 2 x 2 0 p / 2 ein, so ergeben sich und es liegt nhe, uch die Anteilsgleichung p + p 2 = umzuformulieren: () x + x 2 =. D ber möglichst groß sein soll, ist es ds Ziel, dss möglichst klein ist, und wir hben mit Z = Z(x,x 2) = Z Min eine klssische Optimierungsufgbe formuliert.- [Bitte lösen und ds numerische Ergebnis m Beispiel interpretieren! (Es müssten p /2= 7 2 / 2 47 und = herus kommen.] 2 Offensichtlich ist es möglich, für ein llgemeines nicht streng determiniertes Zweipersonen(nullsummen)spiel nlog orzugehen und ds Problem in eines der lineren Optimierung (LO) um zu wndeln und zu lösen: Es sei lso wieder eine llgemeine AzM orgelegt.

2 Spieler B Strtegien on B on A τ τ 2 τ n σ α α 2 α n Spieler A σ 2 α 2 α 22 Spielt A eine gemischte Strtegie (p,,p m) [lso σ µ mit der Häufigkeit p µ, µ =,,m, und p + +p m = ], so knn σ m α m α m2 α mn er mindestens den Gewinn pro Prtie erwrten mit = min { } m p. Es gilt lso für lle (=,,n): p... m pm [Jede der Summen entspricht dem Erwrtungsp + + p m = wert, wenn B seine -te Strtegie rein spielt!] p p,,p m 0 Diision durch (s. Anm. ) ergibt mit x µ := () x... x ( =,,n) m m (2) x,, x m 0 () x + + x m =. () ist die Bestimmungsgleichung der Zielfunktion Z, deren Minimum * nun mit den Methoden der LO (s. Kp. 6) gefunden werden knn ebenso wie die optimle gemischte Strtegie (p *,,p m*). Dbei ist p µ* := x µ*. *, wenn x µ* die Koordinten des Lösungseckpunktes (bzw. der Rndpunkte des Plnungsgebietes bei mehreren Lösungen) bedeutet.- Anmerkungen:. Sind nicht lle > 0, so erschieben wir durch Addition on min{µ, } + und trnsformieren nch der Berechnung on * zurück. 2. Dmit ist der Huptstz der Spieltheorie für solche Spiele uf den der LO zurückgeführt.. Die Umformung des Problems für Spieler B führt uf ein Mximumproblem und entspricht dem dulen Problem in der LO. Abschließend lösen wir ein reines Zhlenbeispiel (Anwendungsbeispiele gl. Anhng): Gegeben sei die nebenstehende Auszhlungsmtrix. B Zeige, dss ds Spiel keinen Sttelpunkt ht, dss τ τ 2 τ die optimle gemischte Strtegie für Spieler A (¾;¼) A σ beträgt und er pro Spiel mindestens 2,7 gewinnt! σ

3 Aufgbensmmlung Aufgbe ) Nch einer meriknischen Drstellung wurde eine Seeluftschlcht im 2. Weltkrieg durch folgende strtegische Überlegungen gekennzeichnet: Die Amerikner wussten durch Spionge, dss ein jpnischer Geleitzug die on ihnen besetzte Insel Neu-Britnnien pssieren würde. Die Fhrt würde drei Tge duern und um die Südspitze bei gutem Wetter oder um die Nordspitze bei Regen führen. Nch Ansicht des Kommndnten konnte er die Jpner bei Postierung seiner Schiffe im Norden zwei Tge lng bombrdieren, und zwr routenunbhängig. Bei Postierung im Süden stünde eine Bombrdierungszeit on einem bzw. drei Tgen zur Verfügung, je nchdem welche Route der Geleitzug wählen würde. Ws wird wohl geschehen sein? [Ttsächlich hben beide Prteien sich für die Nordroute entschieden (Sttelpunkt der AzM, Zhlen sind Bombrdierungstge), und zwr durch strtegisches Denken; die Spieltheorie wr ls Hilfsmittel zu diesem Zeitpunkt j noch nicht beknnt. Eine weiterreichende Wetterorhersge gb es i. Ü. dmls noch nicht.] Aufgbe 2) Zwei Konzerne wollen in einer der drei Städte I, II bzw. III ein Wrenhus errichten. Umfrgen hben ergeben, dss ds Wrenhus, ds näher n einer Stdt liegt, 90% des Umstzes deren Einwohner erhält, ds entferntere 0%; bei gleicher Entfernung erhält jedes 0%. Mit einem Umstz on täglich pro Einwohner für lle drei Städte knn gerechnet werden. Lge der Städte und Einwohnerzhl sind wie folgt (Skizze nicht mßstäblich): I 2km III I : 0T. Einwohner km 9km II: 20T. Einwohner III : 40T. Einwohner II Welche Strtegien stehen den Konzernen zur Verfügung? Welcher Umstz ergibt sich dbei? Wo werden die Kufhäuser entstehen?

4 Vrinte: Vierte Stdt mit 0T. Einwohnern zusätzlich, Lge: d(a;b) = d(b;c) = 0km, d(a;d) = d(c;d) = 20km; übrige Entfernungen sind berechenbr bzw. einer Skizze entnehmbr! Aufgbe ) Ein PKW-Hersteller erwendet beim Motorenbu Dichtungen, die pro Stück kosten. Stellt sich bei der Endkontrolle herus, dss eine defekte Dichtung eingebut wurde, kostet ihn die Umrüstung 0. Der Dichtungsfbriknt bietet für einen Preis on 6 eine Grntie n. Betriebsintern könnte ber uch ein billiger Test oder ein teurer orgenommen werden, der in 80 bzw. 00% der Fälle eine fehlerhfte Dichtung orher erkennt. ) Ergänzen Sie die nchstehende AzM ufgrund obiger Angben. Liegt ein Sttelpunkt or? b) Wie lutet die erschobene Mtrix ohne negtie Zhlen? c) Berechnen Sie die optimle Strtegie für den PKW-Hersteller und interpretieren Sie ds Ergebnis! Dichtung heil Dichtung defekt kein Test PKW-Hersteller billiger Test -2 - sicherer Test -8-2 Grntie Aufgbe 4) Anton ht uf einem Fußbllpltz einen Imbissstnd übernommen; er bietet Eis und Brtwurst n. Von seinem Vorgänger weiß er, dss bei schlechtem Wetter 00 Würste umgesetzt werden, bei gutem dgegen nur 00, ber 000 Portionen Eis. Anton zhlt für eine Wurst im Einkuf (inkl. Zubereitungskosten), er erkuft sie für 2 ; die Portion Eis kostet ihn 0,40 und wird für erkuft. Anton muss drei Tge or einem Spiel Wurst und Eis bestellen; ws er dnn nicht erkuft ist ein Totlerlust. Knn er einen sicheren Gewinn erzielen, der höher liegt ls 00? Vrinte: AzM Verkäufer Sonne Wolken Regen (Einstz 00, Eis Buchlden in Aus- Wurst flugsgegend.) Gurken Aufgbe ) Ein Inestmentfond will Geld in zwei gleich notierten Aktiensorten nlegen. Die Diidende hängt on einem Sttsertrg b, der noch nicht unterzeichnet ist: Bei Abschluss zhlt F. 8%, sonst nur 6%; F. ist exportbhängig. F. 2 muss bei Vertrgsbschluss Billigimporte fürchten und zhlt dnn nur 4%, bei Nichtunterzeichnung 0%. Ändern Sie die on Ihnen ufgestellte AzM unbhängig on Ihrer Herkunft durch Änderung einer Zhl so b, dss ein streng determiniertes Spiel orliegt! Vrinte dzu ohne konkreten Hintergrund mit Lösung:. Mtrix Mtrix

5 Anhng: Weitere erprobte Aufgben zur Wirtschftsmthemtik, Mkro- und Mikroökonomik GE. ) Für eine linere Nchfrgefunktion n ist der Höchstpreis 0 und die ME Sättigungsmenge ME. Bestimme die Funktionsgleichung on n! b) Die Grphen linerer Nchfrge- und Angebotsfunktionen erlufen durch A(00 0) und B(0 40) bzw. C(90 8) und D(0 8). <nch [2], S. 49, Nr. 29>.. Bestimme die Funktionsterme der Nchfrge- und der Angebotsfunktion. 2. Berechne den Gleichgewichtspreis. GE. Wie hoch ist der Nchfrgeüberschuss bei einem Stückpreis on 40 bzw. 20? ME 2. Für eine bestimmte Wre sei die Angebotsfunktion geg. durch (x) = 2x. ) Begründen Sie, wrum eine Angebotsfunktion orliegt. b) Für den gleichen Artikel sei die Nchfrge durch n(x) = 2x beschrieben. Für welchen Bereich stellt dies eine Nchfrgefunktion dr? c) Bestimmen Sie ds Mrktgleichgewicht und den Erlös für diesen Artikel! d) Die Angebotsfunktion möge sich durch Mßnhmen der Produzenten zu 2 2 (x) = x geändert hben. Untersuchen Sie, ob Mrktgleichgewicht bzw. Erlös sich geändert hben. e) Ds Finnzministerium prüft, ob für den betrchteten Artikel bei Erhebung einer festen Steuerrte uf 2 ein nennenswertes Steuerufkommen R erzielt werden knn. Berechnen Sie dessen Mximum und untersuchen Sie die Auswirkungen uf der Anbieterseite dbei!. Die Nchfrge für einen bestimmten Artikel sei durch n(x) = 0-2x beschrieben. ) Für welchen Wert x e erreicht der Erlös bei diesem Artikel ein Mximum, und wie groß ist er dnn? b) Für diesen Artikel beschreibe (x) = 0,2x² + die Angebotsfunktion. Berechnen Sie den Mrktgleichgewichtspunkt und den dzu gehörenden Erlös! c) Zeigen Sie durch Berechnung des Elstizitätskoeffizienten, dss beim in b) berechneten Mrktgleichgewicht kein Mximum des Erlöses orliegt! 4. Für eine bestimmte Wre sei die innerbetriebliche Stückkostenfunktion s ermittelt worden zu s( x) x² x x ) Geben Sie die Gesmtkosten K, die riblen Kosten und die riblen Durchschnittskosten für diese Wre n. Wnn sind die riblen Durchschnittskosten miniml? c) Wo schneiden sich der Grph on s und der der Grenzkosten llgemein, und wo im Beispiel? d) Überprüfen Sie, ob lle Forderungen n eine Gesmtkostenfunktion im Beispiel erfüllt sind! Die Nchfrge nch dem betrchteten Artikel sei nun durch n( x) 0 x gegeben. e) Geben Sie die Gewinnfunktion G n und berechnen Sie, ob für x = ME bzw. x 2 = 4ME Gewinne zu erzielen sind. Ws folgt us Ihrem Ergebnis für die Gewinnschwellen? f) Zeigen Sie, dss für x e = ME ein mximler Gewinn zu erzielen ist, und geben Sie n. g) Berechnen Sie den Grenzerlös für x e. Stellen Sie nhnd Ihres Ergebnisses eine Vermutung über die Nchfrgeelstizität bei x e uf und rechnen Sie nch!