Rotationskörper mit Integralrechnung
|
|
- Lena Schmitz
- vor 7 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Rottionskörper mit Integrlrechnung W. Kippels 24. Februr 27 Inhltsverzeichnis Grundlgen 2. Herleitung der Berechnungsformel Beispiele Beispiel Beispiel Übungsufgben 7 2. Aufgbe Aufgbe Aufgbe Aufgbe Aufgbe Aufgbe Aufgbe Lösungen 3. Aufgbe Aufgbe Aufgbe Aufgbe Aufgbe Aufgbe Aufgbe
2 Grundlgen Eine von vielen) Anwendungen der Integrlrechnung sind Rottionskörper. Drunter versteht mn Körper, die durch Rottion eines Funktionsgrphen um die Abszisse -Achse) entstehen. Mn könnte sie uf der Drehmschine herstellen, indem der Drehmeißel den Funktionsgrphen entlng fährt. Nebenstehend ist ein Beispiel dzu drgestellt. Die Oberknte stellt eine beliebige Funktion f) dr. Durch Rottion um die -Achse beschreibt dieser Funktionsgrph die Oberfläche des Drehkörpers. Links und rechts ist der Drehkörper durch einen senkrechten Schnitt begrenzt.. Herleitung der Berechnungsformel Nebenstehend ist der Rottionskörper in der Seitennsicht drgestellt. Die Oberknte stellt die Funktion f) dr. Spiegelbildlich entsteht dzu durch die Rottion die untere Begrenzungslinie, die mn durch f) beschreiben könnte. = f) b Nun stellt mn sich vor, dss der Rottionskörper durch eine Anzhl zlinderförmiger Scheiben ngenähert wird. Eine solche Scheibe ist in der Skizze stellvertretend für lle gelb eingezeichnet. Ihr Volumen ist ds Produkt us ihrer Höhe hier und ihrer kreisförmigen Grundfläche. Dbei ist der Rdius der -Wert, der zum betrchteten -Wert gehört, n der die Scheibe betrchtet wird. Demnch knn die Kreisfläche so bestimmt werden: 2 A r 2 2 f)) f 2 ) Ds Volumen der Scheibe ist dnn: V = A h f 2 ) 2
3 Ds Volumen des Drehkörpers knn mn sich nun zusmmengesetzt vorstellen us gnz vielen solcher Scheiben. Ds Gesmtvolumen ist dnn die Summe ller Scheibenvolumen: V = b V ) = = b π f 2 ) = Mcht mn nun den Grenzwertübergng mit, dmit ds Ergebnis genuer wird, dnn erhält mn ein Integrl. V = lim b π f 2 ) = = b π f 2 ) d Wenn mn nun noch ds π us dem Integrl herusnimmt, erhält mn zusmmengefsst die Formel für einen Rottionskörper in den Grenzen von bis b: V b f 2 ) d.2 Beispiele.2. Beispiel Eine Prbel mit der Funktionsgleichung f) = wird im Bereich zwischen den Nullstellen um die - Achse rotiert, wie nebenstehend drgestellt. Bestimmen Sie ds Volumen ds dbei entstehenden Rottionskörpers! Lösung: Zunächst müssen die Integrtionsgrenzen bestimmt werden. Ds sind die Nullstellen der gegebenen Funktion f). Dzu wird die Funktion gleich Null gesetzt. f = = ) = /2 = ± 4 4 /2 = 5 2 ± 3 2 = 2 = 4 3
4 Dmit sind die Integrtionsgrenzen beknnt, ds Volumenintegrl knn ufgestellt werden. V f 2 ) d ) 2 d d d [ ] [ ] ,8 4,7) 8, V 25,447 [ ]) Ergebnis: Ds Volumen beträgt ungefähr 25,447 Volumeneinheiten. 4
5 .2.2 Beispiel 2 Ein zlinderförmiges Drehteil mit einer Länge von 6 mm und einem Durchmesser von 2 mm ht in der Mitte einen prbelförmigen Wulst, wie nebenstehend drgestellt. Der Wulst ist mm breit und ht einen Außendurchmesser von 35 mm. Ø35 Ø2 Ds Drehteil soll us Drehsthl S235JR mit der Dichte ρ = 7,85 g gefertigt werden. Welche Msse ht ds cm 3 Drehteil? 6 Lösung: Für die Lösung muss mn zunächst ein pssendes Koordintensstem in ds Drehteil legen. Dbei muss die Abszisse in die Rottionschse gelegt werden. Wo die Ordinte hingelegt wird, ist zweitrngig, es ist ber zweckmäßig, sie in diesem Beispiel genu in die Mitte zu legen. Der Rottionskörper knn nun in drei Teile zerlegt werden, ds blu mrkierte Mittelteil mit der prbelförmigen Begrenzungslinie und die beiden gelb mrkierten zlindrischen Rndstücke. Diese Rndstücke können zu einem einzigen Zlinder mit 5 mm Länge und 2 mm Durchmesser zusmmengelegt und seprt uf klssische Weise berechnet werden. Für ds Mittelteil kommt die Integrlformel für Rottionskörper zum Einstz. Innerhlb der Rechnung wird in Millimetern gerechnet, die Einheit ber us Vereinfchungsgründen weggelssen. Nun ist us den gegebenen Abmessungen die Funktionsgleichung für die obere Prbel zu bestimmen. Wegen der smmetrischen Lge zur Ordinte lutet die llgemeine Form nicht: f) = 2 + b + c sondern: f) = 2 + c. D hierbei der Prmeter c den -Achsenbschnitt drstellt, knn dieser Wert ls hlber Durchmesser des Wulstes übernommen werden: c = 35 2 = 7,5 Dmit lutet die Funktionsgleichung: f) = 2 + 7,5 Es muss nur noch der Prmeter bestimmt werden. Dzu knn mn beispielsweise den rechten oberen Rndpunkt des Mittelteiles verwenden: P 5; ). Wir setzen diese Koordinten in die Funktionsgleichung für und ein: 5
6 f P ) = P ,5 = 7,5 25 = 7,5 : 25 =,3 Hiermit lutet die Funkktionsgleichung: f) =, ,5 Jetzt knn mit dieser Funktionsgleichung ds Volumen des Mittelteils bestimmt werden. V W ulst f 2 ) d, ,5 ) 2 d,9 4, ,25 d [,8 5 3, ,25 ] 5 5, , ,25 5 ),8 5) 5 3,5 5) ,25 5) )) ) 5 5) V W ulst = 2 3π Ds Gesmtvolumen der beiden gelb mrkierten) Zlinder wird berechnet: V Zl r 2 h 2 5 V Zl = 5 π Ds Volumen des gesmten Drehteils ist dnn die Summe beider Teilvolumen. Ds Volumen beträgt: V mm 3 V = V Zl + V W ulst = 5 π + 2 3π V = 7 3π V Jetzt knn die gesuchte Msse bereechnet werden. Zusmmengefsst: m 8,29 g m = ρ V 7,85 g mm3 cm3 m 8,29 g 6
7 2 Übungsufgben 2. Aufgbe Berechnen Sie ds Volumen des Rottionskörpers, der sich ergibt, wenn der Funktionsgrph der Funktion f) = um die Abszisse -Achse) rotiert. Die linke und rechte Begrenzung des Körpers ergibt sich durch die Nullstellen der gegebenen Funktion f). 2.2 Aufgbe 2 Berechnen Sie ds Volumen des Elipsoides, der sich ergibt, wenn der Funktionsgrph der Funktion f) = um die Abszisse -Achse) rotiert. Die linke und rechte Begrenzung des Körpers ergibt sich durch die Nullstellen der gegebenen Funktion f). 2.3 Aufgbe 3 Eine Blechschüssel mit einem prbelförmigen Querschnitt ht einen Durchmesser von 4 cm. Die zugehörige Funktionsgleichung in der Einheit Dezimeter lutet: f) =,25 2 Wieviele Liter Wsser können drin eingefüllt werden? 7
8 2.4 Aufgbe 4 Berechnen Sie ds Volumen des Rottionskörpers, der sich ergibt, wenn der Funktionsgrph der Funktion f) = um die Abszisse -Achse) rotiert. Die linke und rechte Begrenzung des Körpers ergibt sich durch die Nullstellen der gegebenen Funktion f). 2.5 Aufgbe 5 Berechnen Sie ds Volumen des Rottionskörpers, der sich ergibt, wenn der Funktionsgrph der Funktion f) = um die Abszisse -Achse) rotiert. Die linke und rechte Begrenzung des Körpers ergibt sich durch die Nullstellen der gegebenen Funktion f). 2.6 Aufgbe 6 Eine Riemenscheibe soll für den Flchriemen-Antrieb eines mechnischen Hmmers im Schmiedemuseum ngefertigt werden. Die Riemenscheibe ht eine Dicke von mm. Der Außendurchmesser beträgt 8 mm. In der Mitte ht sie eine Bohrung mit einem Durchmesser von mm. Hier wird sie uf die Antriebswelle des Hmmers ufgesetzt. Die Riemenscheibe soll us Gusseisen mit einer Dichte von ρ = 7,2 g gefertigt cm 3 werden. Beknntlich muss eine Riemenscheibe für Flchriemen m Außendurchmesser eine bllige Kontur ufweisen, dmit der Riemen nicht bspringt. Der Durchmesser m Rnd dieser Kontur beträgt 75 mm. Die Kontur wird durch folgende Funktion beschrieben: f) = 4 + b Diese Funktion gilt für den Fll, dss ds Koordintensstem mit der Abszisse -Achse) uf die Rottionschse und die Ordinte -Achse) mittig in die Riemenscheibe gelegt wird. Die Einheit ist dbei Millimeter. Welche Msse ht die Riemenscheibe? Ø Ø75 Ø8 8
9 2.7 Aufgbe 7 Für den Anschluss einer Goubeu- Leitung wird ein Trichter mit einer eponentiellen Innenform benötigt. Dieser Trichter mit einer Länge von 4 mm soll us Messing hergestellt werden. Die Außenkontur des Trichters ist ein Prmidenstumpf mit 6 mm Durchmesser m linken und 3 mm Durchmesser m rechten Rnd. Die verwendete Messinglegierung CuZn5 ht eine Dichte von ρ = 8,86 g cm 3. Ø Ø6 4 Ø3 Der Trichter beginnt links mit einem Innendurchmesser von mm und endet rechts mit gleichem Innen- und Außendurchmesser. Legt mn ds Koordintensstem mit der Abszisse uf die Rottionschse und die Ordinte uf die linke Rndfläche, dnn ht die Funktionsgleichung für die Innenkontur diese Form: f) = e b Bestimmen Sie die Msse des fertigen Goubeu-Eponentiltrichters! 9
10 3 Lösungen 3. Aufgbe Zunächst müssen die Nullstellen der Funktion bestimmt werden, f ) = = ) = /2 = 3 ± 9 5 /2 = 3 ± 2 = 2 = 5 Hiermit sind die Integrtionsgrenzen beknnt, ds Volumenintegrl knn ufgestellt werden. b V f 2 ) d ) 2 d d d [ [ ] ) V 7,233 ] 5 [ ]) Ds Volumen beträgt: V 7,233 VE
11 3.2 Aufgbe 2 Zunächst müssen die Nullstellen bestimmt werden. Diese stellen die Integrtionsgrenzen dr. f ) = = ) = 4) = /2 = 4 ± 6 7 /2 = 4 ± 3 = 2 = 7 Hiermit knn ds Volumen über die Integrlformel bestimmt werden. V b f 2 ) d d 7 [ d ] 7 4 [ ] V 28, )) 2 [ ]) Ds Volumen beträgt: V 28,274 VE
12 3.3 Aufgbe 3 Die prbelförmige Schüssel ht für die Anwendung der Integrlformel nicht die richtige Lge. In der ngegebenen Form erfolgt die Rottion um die Ordinte -Achse). Die Integrlformel verlngt jedoch eine Rottion um die Abszisse -Achse). Eine Spiegelung n der 45 -Achse im ersten Qudrnten muss durchgeführt werden. Dies geschieht durch Bilden der Umkehrfunktion f ). Mit der Umkehrfunktion erhlten wir den nebenstehend drgestellten Verluf des Funktionsgrphen. f,25 2 = 4 2 = 4 = ± 4 f ) = 4 Beim Ziehen der Wurzel kommt die positive und die negtive Wurzel in Betrcht. D eine Funktion ber rechtseindeutig sein muss ein eindeutiges Ergebnis liefern muss), entfällt für die Umkehrfunktion ds Minuszeichen. Die Integrtionsgrenzen werden benötigt. Die untere mit = ist beknnt, die obere knn mit Hilfe des Schüsseldurchmessers bestimmt werden. Bei einem Schüsseldurchmesser von d = 4 cm = 4 dm beträgt der Schüsselrdius 2 dm. Dies ist der Funktionswert n der oberen Integrtionsgrenze b. f b) = 2 4 b = 2 ) 2 4 b = 4 : 4 b = Hiermit knn nun ds Volumenintergl ufgestellt werden. 2
13 V b f )) 2 d 4 ) 2 d 4 d [2 2] [2 ] 2 [ 2 2]) 2 ) V 6,283 Ds Volumen beträgt: V 6,283 l 3
14 3.4 Aufgbe 4 Zunächst werden die Nullstellen bestimmt. f ) = = D es sich um ein Polnom dritten Grdes hndelt, ist eine nltische Lösung nicht möglich. Durch plnvolles Rten erhält mn z. B. diese Lösung: = Dmit ist eine Polnomdivision 2 möglich. Es wird dividiert durch ) ) 2 ) ) ) : ) = Übrig bleibt ein Polnom 2. Grdes. Dessen Nullstellen können mit Hilfe der p-q-formel bestimmt werden = 2/3 = 4 ± /3 = 4 ± 2 = 4 Dmit knn ds Volumen mit Hilfe der Integrlformel bestimmt werden. Näheres dzu z. B. hier: 2 Näheres dzu z. B. hier: 4
15 b V 4 4 f 2 ) d ) 2 d d [ ] [ ] [ ] ) ) = π 35 V Ds Volumen beträgt: V VE 5
16 3.5 Aufgbe 5 Zunächst werden die Nullstellen bestimmt. f ) = = ) = Ein Lehrstz sgt: Ein Produkt ist Null, wenn einer der Fktoren Null ist. Aus dem ersten Fktor ergibt sich sofort: = Zur Bestimmung der weiteren Nullstellen muss nur noch der zweite Fktor untersucht werden = 2/3 = 4 ± /3 = 4 ± 2 = 4 Mit diesen beiden Werten stehen die Integrtionsgrenzen fest. Dmit knn ds Volumen mit Hilfe der Integrlformel bestimmt werden. V b 4 4 f 2 ) d ) d d [ [ ] 5 45 = 3 72 π 35 V 37,222 ] 4 ) Ds Volumen beträgt: V 37,222 VE 6
17 3.6 Aufgbe 6 Zunächst muss die Funktion für die Kontur der Riemen-Luffläche bestimmt werden. Die llgemeine Form der Funktion lutet: f) = 4 + b Beknnt sind zwei Punkte der Funktion: in der Mitte und m Rnd. ) f) = b = 4 b = 4 2) f5) = b = 375 Aus Gleichung ) hben wir sofort b = 4 erhlten. Ds knn in Gleichung 2) eingesetzt werden b = = = 25 : 6 25 = 25 Dmit lutet die Funktionsgleichung: f) = Als nächstes berechne ich ds Volumen der Rolle V R ohne die Bohrung mit Hilfe der Integrlformel. 7
18 b V R f 2 ) d ) d d [ ] [ ] [ )9 2 ] ) ) ) [ ] [ ] ) = π 9 V R Ds Volumen der Bohrung V B knn m einfchsten klssisch ls Zlindervolumen berechnet werden. V B = π 4 d2 h = π 4 2 V B Die Differenz ist ds Volumen V ges der fertigen Rolle. V ges = V R V B = Ds Volumen der Rolle beträgt: V ges mm 3 = 4 82,546 cm 3 Jetzt muss nur noch die Msse bestimmt werden. m = ρ V = 7,2 g cm 4 82,546 3 cm g = 6,75 kg Die Msse Riemenscheibe beträgt: m 6,75 kg 8
19 3.7 Aufgbe 7 Ich rechne in der Einheit Millimeter. Aus Vereinfchungsgründen lsse ich während der Rechnung diese Einheit weg. Zunächst müssen die Prmeter und b in der Funktionsgleichung bestimmt werden. Dzu können die Punkte uf dem Funktionsgrphen m linken und m rechten Rnd verwendet werden: P ; 5) und P 2 4; 5). Die Koordinten werden für und in die Funktionsgleichung eingesetzt. ) f) = 5 e b = 5 2) f4) = 5 e b 4 = 5 Aus Gleichung ) knn sofort bestimmt werden: e b = 5 e = 5 = 5 = 5 Ds Ergebnis wird in 2) eingesetzt, um b zu berechnen. 5 e b 4 = 5 : 5 e b 4 = 3 ln... b 4 = ln 3 : 4 ln 3 b = 4 b,85 Dmit lutet die Funktionsgleichung: f) = 5 e,85 Ab hier gibt es mindestens) zwei verschiedene Methoden, wie mn weitermchen knn, um zu einer Lösung zu gelngen.. Mn berechnet ds Volumen des mssiven) Kegelstumpfes uf klssische Weise und ds Volumen des Hohlrumes mit der Integrlformel und subtrhiert die Ergebnisse voneinnder. 2. Mn bestimmt die Funktionsgleichung der Lineren Funktion, die den Körper ußen ls Rottionskörper begrenzt. Dnn bestimmt mn sowohl ds Volumen des mssiven) Kegelstumpfes ls uch ds Volumen des Hohlrumes mit der Integrlformel und subtrhiert die Ergebnisse voneinnder. 9
20 Lösungsvrinte : Ds Volumen des Kegelstumpfes wird berechnet: V KS h 3 R2 + R r + r 2 ) ) 3 = 3 72 π V KS Ds Hohlrumvolumen des Trichters wird mit der Integrlformel bestimmt. V T richter b 4 4 = 25π f)) 2 d 5 e,8 5 ) 2 d 25 e,7 d 4 e,7 d ] 4 [ e,7 = 25π,7 47π [e,7] [e,7] 4 [e,7 4 = 4 68 ] [ e,7 ]) ) V T richter 4 52 Hiermit wird nun ds Gesmtvolumen des fertigen Eponentiltrichters bestimmt. V ges = V KS V T richter = V ges = Ds Gesmtvolumen beträgt: V ges = cm 3 2
21 Hiermit knn die Msse berechnet werden. m = ρ V ges = 8,86 Die Gesmtmsse beträgt: m = 66,76 kg g cm cm g Lösungsvrinte 2: Für diese Vrinte muss zunächst die Linere Funktion für die Außenseite des Kegelstumpfes bestimmt werden. g) = m + b Der Prmeter b ist ls Ordintenbschnitt mit b = 3 beknnt. Nur noch die Steigung m muss berechnet werden. m = = 2 2 = =,3 Die Funktionsgleichung lutet dmit: g) =,3 + 3 Hiermit knn ds Kegelstumpfvolumen mit der Integrlformel berechnet werden: V KS b 4 4 g)) 2 d,3 + 3) 2 d, d [, ] 4 ) [, ] [, ] 3 72 V KS Der restliche Lösungsweg ist mit dem ersten identisch. 2
2. Flächenberechnungen
Anlysis Integrlrechnung. Flächenberechnungen.. Die Flächenfunktion ) Flächenfunktionen ufzeichnen Skizziere zur gegebenen Funktion diejenige Funktion, welche die Fläche unterhlb der Funktionskurve misst.
MehrGrundlagen der Integralrechnung
Grundlgen der Integrlrechnung W. Kippels 0. April 2014 Inhltsverzeichnis 1 Ds unbestimmte Integrl 2 2 Ds bestimmte Integrl 4 Beispielufgben 7.1 Beispielufgbe 1............................... 7.2 Beispielufgbe
Mehr4.6 Integralrechnung III. Inhaltsverzeichnis
4.6 Integrlrechnung III Inhltsverzeichnis 1 Integrlrechnung 10.03.2010 Theorie und Übungen 2 1 Exponentilfunktionen Aus der Differentilrechnung wissen wir, dss gilt: f(x)=e x f (x)=e x Stz 1 Für die ntürliche
Mehr2 Berechnung von Flächeninhalten unter Kurvenstücken
Übungsmteril 1 Berechnung von Flächeninhlten unter Kurvenstücken.1 Annäherung durch Rechtecke Um die Fläche zu berechnen, die zwischen dem Funktionsgrphen einer Funktion und der -Achse eingeschlossen wird,
MehrVolumen von Rotationskörpern
Volumen von Rottionskörpern Beispiele: [ Es stellt sich die Frge: Wie entstehen solche Rottionskörper bzw wie lssen sich solche Rottionskörper er zeugen? Rotiert eine Fläche z.b. um die x-achse, so entsteht
MehrQuadratische Funktionen
Qudrtische Funktionen Die Scheitelpunktform ist eine spezielle Drstellungsform von qudrtischen Funktionen, nhnd der viele geometrische Eigenschften des Funktionsgrphen bgelesen werden können. Abbildung
MehrDifferenzial- und Integralrechnung III
Differenzil- und Integrlrechnung III Riner Huser April 2012 1 Einleitung 1.1 Polynome und Potenzfunktionen Die Polynome oder Polynomfunktionen lssen sich durch die endliche Anzhl von n+1 Prmetern i R in
MehrMATHEMATIK 3 FÜR EI - ÜBUNGSBLATT 2 Wintersemester 2011/2012
Prof. Dr. O. Junge, A. Bittrcher Zentrum Mthemtik - M3 Technische Universität München MATHEMATIK 3 FÜR EI - ÜBUNGSBLATT Wintersemester / Tutorübungsufgben (3..-4..) Aufgbe T Seien R und α positiv. Die
MehrRotationsvolumen Ausstellungshalle
Rottionsvolumen Ausstellungshlle In einem Entwurf für eine Ausstellungshlle soll ds Profil der Querschnittsfläche (siehe Zeichnung) im Intervll [, 1] durch die Funktion f() = 7 beschrieben werden. Im Bereich
MehrRepetitionsaufgaben Exponential-und Logarithmusfunktion
Repetitionsufgben Eponentil-und Logrithmusfunktion Inhltsverzeichnis A) Vorbemerkungen B) Lernziele C) Eponentilfunktionen mit Beispielen 2 D) Aufgben Ep.fkt. mit Musterlösungen 6 E) Logrithmusfunktionen
MehrGebrochenrationale Funktionen (Einführung)
Gebrochenrtionle Funktionen (Einführung) Ac Eine gebrochenrtionle Funktion R ist von der Form R(x) P(x) und Q(x) gnzrtionle Funktionen n-ten Grdes sind. P(x) Q(x), wobei Im Allgemeinen ht eine gebrochenrtionle
Mehr2.4 Elementare Substitution
.4 Elementre Substitution 7.4 Elementre Substitution Im Übungsteil finden Sie folgende Aufgben zum Trining der in diesem Abschnitt behndelten Themen: Linere Substitution (LSub): Aufgbe 4.5 (S.4) und Aufgbe
MehrAbitur - Leistungskurs Mathematik. Sachsen-Anhalt 1999
Abitur - Leistungskurs Mthemtik Schsen-Anhlt 999 Gebiet L - Anlysis Augbe.. y, D, R,. Die Funktionenschr sei gegeben durch Die Grphen der Funktionen der Schr werden mit G bezeichnet. ) Ermitteln Sieden
MehrKOMPETENZHEFT ZUM INTEGRIEREN, II. Erkläre elementar, insbesondere ohne den Hauptsatz zu verwenden, weshalb das Ergebnis die quadratische Funktion
KOMPETENZHEFT ZUM INTEGRIEREN, II. Aufgbenstellungen Aufgbe.. Wir untersuchen den Flächeninhlt unter der lineren Funktion f(t) = t + im Intervll [; x]. Kurz: F (x) = x f(t) dt Erkläre elementr, insbesondere
MehrIntegralrechnung 29. f(x) dx = F (x) + C
Integrlrechnung 9 5 Integrlrechnung 5. Ds unbestimmte Integrl Wird eine Funktion f bgeleitet, so erhält mn die Ableitungsfunktion f. Nun knn mn sich frgen, ob es einen Weg zurück gibt, d.h. ob mn us der
MehrAnforderungsniveau Prüfungsteil Sachgebiet digitales Hilfsmittel erhöht B Analysis CAS
Gemeinsme Abiturufgbenpools der Länder Aufgbensmmlung Aufgbe für ds Fch Mthemtik Kurzbeschreibung Anforderungsniveu Prüfungsteil Schgebiet digitles Hilfsmittel erhöht B Anlysis CAS 1 Aufgbe 1 Gegeben ist
Mehrπ 2 r 2 r 2 sin 2 (t)r cos(t) dt π 2 cos2 (t) cos(t) dt = r 2 π dt = cos(x) sin(x) u v = cos(x) sin(x) + = cos(x) sin(x) + x
Wir substituieren x x(t) r sin(t), t [ π, π ]. Dnn ist x (t) r cos(t), lso r x dx π π r π r r sin (t)r cos(t) dt π cos (t) cos(t) dt r π π cos (t) dt Wir integrieren cos mittels prtieller Integrtion: Sei
MehrMathematik 1 für Bauwesen 14. Übungsblatt
Mthemtik für Buwesen Übungsbltt Fchbereich Mthemtik Wintersemester 0/0 Dr Ivn Izmestiev 8/900 Dr Vince Bárány, M Sc Juli Plehnert Gruppenübung Aufgbe G () Berechnen Sie ds Volumen des Rottionskörpers,
Mehr4.5 Integralrechnung II. Inhaltsverzeichnis
4.5 Integrlrechnung II Inhltsverzeichnis 1 Integrlrechnung 22.02.2010 Theorie und Übungen 2 Wir hben im ersten Skript beobchtet, dss ein Zusmmenhng besteht zwischen der Formel für die Fläche A 0b und der
Mehrf : G R ϕ n 1 (x 1,...,x n 1 ) Das ist zwar die allgemeine Form, aber es ist nützlich sie sich für den R 2 und R 3 explizit anzuschauen.
Trnsformtionsstz von Sebstin üller Integrtion über Normlgebiete Allgemein knn mn im R n ein Normlgebiet wie folgt definieren: G : { R n 1 b, ϕ 1 ( 1 ) ψ 1 ( 1 ), ϕ ( 1, ) 3 ψ ( 1, ),... ϕ n 1 ( 1,...,
MehrAbiturprüfung Mathematik 2013 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien Analysis, Aufgabe 1
www.mthe-ufgben.com Abiturprüfung Mthemtik 013 (Bden-Württemberg) Berufliche Gymnsien Anlysis, Aufgbe 1 1.1 Die Funktion f ist gegeben durch π f( x) = + sin x ; x. Ds Schubild von f ist K. 1.1.1 (8 Punkte)
MehrLösungen Matur
Wirtschftliches Mturitätsprofil Seite 1 von 7 Mturitätsprüfung 007 Lösungen Mtur 006-007 1. (5 P.) Lut Wikipedi betrug die Weltbevölkerung m 1.1.1987 fünf Millirden Menschen, m 1.1.000 wren es 6 Millirden.
MehrZum Satz von Taylor. Klaus-R. Loeffler. 2 Der Satz von Taylor 2
Zum Stz von Tylor Klus-R. Loeffler Inhltsverzeichnis 1 Der verllgemeinerte Stz von Rolle 1 2 Der Stz von Tylor 2 3 Folgerungen, Anwendungen und Gegenbeispiele 4 3.1 Jede gnzrtionle Funktion ist ihr eigenes
MehrSatz 6.5 (Mittelwertsatz der Integralrechnung) Sei f : [a, b] R stetig. Dann gibt es ein ξ [a, b], so dass. b a. f dx = (b a)f(ξ) f dx (b a)m.
Stz 6.5 (Mittelwertstz der Integrlrechnung) Sei f : [, b] R stetig. Dnn gibt es ein ξ [, b], so dss 9:08.06.2015 gilt. f dx = (b )f(ξ) Lemm 6.6 Sei f : [, b] R stetig und m f(x) M für lle x [, b]. Dnn
MehrEin Kluger denkt so viel, dass er keine Zeit zum Reden hat. Ein Dummer redet so viel, dass er keine Zeit zum Denken hat. (Anonym)
Ein Kluger dent so viel, dss er eine Zeit zum Reden ht. Ein Dummer redet so viel, dss er eine Zeit zum Denen ht. (Anonym) 6 Gnzrtionle Funtionen 6 Gnzrtionle Funtionen Wir wollen nun uch Funtionen betrchten,
MehrLösungsblatt zur Testklausur Festkörperphysik WS2010/11
Lösungsbltt zur Testklusur Festkörperphysik WS/ Aufgbe : ) Wie groß sind die Energien der drei niedrigsten Zustände in einem zweidimensionlen und einem dreidimensionlen Kstenpotentil? (Kntenlängen jeweils
MehrBeispiele: cos(x) dx = sin(x) + c (1) e t dt = e t + c (2)
. Stmmfunktion Definition Stmmfunktion: Gegeen sei eine Funktion f(). Gesucht ist eine Funktion F (), so dss d = f(). Die Funktion F() heisst Stmmfunktion. Schreiweise: F () = f()d. Mn spricht uch vom
MehrMathematik Bruchrechnung Grundwissen und Übungen
Mthemtik Bruchrechnung Grundwissen und Übungen von Stefn Gärtner (Gr) Stefn Gärtner -00 Gr Mthemtik Bruchrechnung Seite Inhlt Inhltsverzeichnis Seite Grundwissen Ws ist ein Bruch? Rtionle Zhlen Q Erweitern
MehrDas Rechnen mit Logarithmen
Ds Rechnen mit Logrithmen Etw in der 0. Klssenstufe kommt mn in Kontkt mit Logrithmen. Für die, die noch nicht so weit sind oder die, die schon zu weit dvon entfernt sind, hier noch einml ein kleiner Einblick:
Mehr14. INTEGRATION VON VEKTORFUNKTIONEN
120 Dieses Skript ist ein Auszug mit Lücken us Einführung in die mthemtische Behndlung der Nturwissenschften I von Hns Heiner Storrer, Birkhäuser Skripten. Als StudentIn sollten Sie ds Buch uch kufen und
Mehr1. Stegreifaufgabe aus der Physik Lösungshinweise
. Stegreifufgbe us der Physik Lösungshinweise Gruppe A Aufgbe Ds.Newtonsche Gesetz lässt sich zum Beispiel so formulieren: Wirkt uf einen Körper keine Krft (oder ist die Summe ller Kräfte null) so bleibt
Mehr9.6 Parameterabhängige Integrale
Kpitel 9: Integrtion 9.6 Prmeterbhängige Integrle Beispiel: Die Gmm-Funktion Γ(x) := f(x, t)dt = e t t x 1 dt. Zunächst: Prmeterbhängige eigentliche Integrle. Sei f : I [, b] R, I R, so dss f für festes
MehrÜbungen mit dem Applet Grundfunktionen und ihre Integrale
Grundfunktionen und ihre Integrle 1 Übungen mit dem Applet Grundfunktionen und ihre Integrle 1 Ziele des Applets... 2 2 Begriffe und ihre Drstellung mit dem Applet... 2 b 2.1 Bestimmtes Integrl I (b) =
Mehr7. Mathematik Olympiade 2. Stufe (Kreisolympiade) Klasse 9 Saison 1967/1968 Aufgaben und Lösungen
7. Mthemtik Olympide. Stufe (Kreisolympide) Klsse 9 Sison 1967/1968 Aufgben und Lösungen 1 OJM 7. Mthemtik-Olympide. Stufe (Kreisolympide) Klsse 9 Aufgben Hinweis: Der Lösungsweg mit Begründungen und Nebenrechnungen
MehrLernkarten. Analysis. 11 Seiten
Lernkrten Anlysis Seiten Zum Ausdrucken muss mn jeweils eine Vorderseite drucken, dnn ds Bltt wenden, nochmls einlegen und die Rückseite drucken. Am esten druckt mn die Krten uf festem Ppier oder uf Visitenkrten-
MehrMathematik schriftlich
WS KV Chur Abschlussprüfungen 00 für die Berufsmtur kufmännische Richtung Mthemtik schriftlich LÖSUNGEN Kndidtennummer Nme Vornme Dtum der Prüfung Bewertung mögliche erteilte Punkte Punkte. Aufgbe 0. Aufgbe
Mehr11. DER HAUPTSATZ DER DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG
91 Dieses Skript ist ein Auszug mit Lücken us Einführung in die mthemtische Behndlung der Nturwissenschften I von Hns Heiner Storrer, Birkhäuser Skripten. Als StudentIn sollten Sie ds Buch uch kufen und
MehrAnwendungen der Integralrechnung
Anwendungen der Integrlrechnung 8. Flächeninhlt und Flächenschwerpunkt............... 4 8. Kurvenlänge............................. 7 8. Rottionskörper........................... 9 8.3 Whrscheinlichkeitsverteilungen
MehrNotizen zur Vorlesung Analysis 3
Notizen zur Vorlesung Anlysis 3 Henrik chumcher TUHH, 26. Jnur 207 2 Integrtion über Oberflächen 2. Oberflächenintegrl einer Funktion Definition 2.37 (Metrische Fundmentlform) ei R 2 ein reguläres Gebiet
MehrFlächenberechnung. Aufgabe 1:
Flächenerechnung Aufge : Berechnen Sie den Flächeninhlt zwischen dem Funktionsgrphen und der -Achse in den Grenzen von is von: ) f() = ) f() = - Skizzieren Sie die Funktionsgrphen und schrffieren Sie die
MehrHöhere Mathematik für Ingenieure , Uhr
Studiengng: Mtrikelnummer: 3 5 6 Z Punkte Note Prüfungsklusur zum Modul Höhere Mthemtik für Ingenieure 0. 7. 05, 8.00 -.00 Uhr Zugelssene Hilfsmittel: A-Blätter eigene, hndschriftliche Ausrbeitungen ber
MehrTag der Mathematik 2016
Gruppenwettbewerb Einzelwettbewerb Mthemtische Hürden Aufgben mit en Aufgbe G mit Der römische Brunnen Aufsteigt der Strhl und fllend gießt Er voll der Mrmorschle Rund, Die, sich verschleiernd, überfließt
MehrAufgabe 3.1. Aufgabe 3.2 Man berechne den Schwerpunkt der nebenstehenden Platte aus homogenem Material mit Hilfe der Ergebnisse aus Aufgabe
Institut für ngewndte und Eperimentelle Mechnik Technische Mechnik I ZÜ 3.1 ufgbe 3.1 Bestimmen Sie mit Hilfe der entsprechenden Guldin schen Regel die Höhe der Schwerpunkte von homogenen Blechstücken,
MehrDas Bogenintegral einer gestauchten Normalparabel
Ds Bogenintegrl einer gestuchten Normlprbel Jn Günther und Luks Vrnhorst Im Mthemtikleistungskurs der Jhrgngsstufe sind wir uf folgende Aufgbe gestoÿen: Bestimmen Sie eine Stmmfunktion von f(x) + x mit
MehrAbschlussprüfung an der Fachoberschule im Schuljahr 2011/2012
Sentsverwltung für Bildung, Wissenschft und Forschung Fch Nme, Vornme Klsse Abschlussprüfung n der Fchoberschule im Schuljhr / Mthemtik (A) Prüfungstg.. Prüfungszeit Zugelssene Hilfsmittel Allgemeine Arbeitshinweise
MehrCrashkurs - Integration
Crshkurs - Integrtion emerkung. Wir setzen hier elementre Kenntnisse des Differenzierens sowie der Produktregel, Quotientenregel und Kettenregel vorus (diese werden später in der VO noch usführlich erklärt).
MehrDOWNLOAD. Vertretungsstunden Mathematik Klasse: Körperberechnungen. Vertretungsstunden Mathematik 9./10. Klasse. Marco Bettner/Erik Dinges
DOWNLOAD Mrco Bettner/Erik Dinges Vertretungsstunden Mthemtik 32 10. Klsse: Mrco Bettner/Erik Dinges Bergedorfer Unterrichtsideen Downloduszug us dem Originltitel: Vertretungsstunden Mthemtik 9./10. Klsse
MehrAnalysis mit dem Voyage 1
Anlysis mit dem Voyge 1 1. Kurvendiskussion Gegeben ist die Funktionschr Den Nenner erhält mn mit Hilfe der Funktion getdenom. Zeros liefert die Nullstellen des Nenners und dmit die Werte, die us dem Definitionsbereich
MehrMultiplikative Inverse
Multipliktive Inverse Ein Streifzug durch ds Bruchrechnen in Restklssen von Yimin Ge, Jänner 2006 Viele Leute hben Probleme dbei, Brüche und Restklssen unter einen Hut zu bringen. Dieser kurze Aufstz soll
MehrGRUNDLAGEN MATHEMATIK
Mthemtik und Nturwissenschften Fchrichtung Mthemtik, Institut für Numerische Mthemtik GRUNDLAGEN MATHEMATIK 5. Integrlrechnung Prof. Dr. Gunr Mtthies Wintersemester 2015/16 G. Mtthies Grundlgen Mthemtik
MehrUngleichungen. Jan Pöschko. 28. Mai Einführung
Ungleichungen Jn Pöschko 8. Mi 009 Inhltsverzeichnis Einführung. Ws sind Ungleichungen?................................. Äquivlenzumformungen..................................3 Rechnen mit Ungleichungen...............................
MehrMathematik: Mag Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 5 5. Semester ARBEITSBLATT 5 VEKTORRECHNUNG IM RAUM
Mthemtik: Mg Schmid Wolfgng Arbeitsbltt 5 5. Semester ARBEITSBLATT 5 VEKTORRECHNUNG IM RAUM Bisher hben wir die Lge von Punkten und Gerden lediglich in der Ebene betrchtet. Nun wollen wir die Lge dieser
MehrQuadratische Gleichungen und Funktionen
Qudrtische Gleichungen und Funktionen Bei einer udrtischen Gleichung kommt die Unbeknnte Vrible mindestens einml in der.potenz vor, ber in keiner höheren Potenz. b c udrtischer Anteil linerer Anteil konstnter
MehrBerufsmaturitätsprüfung 2012 Mathematik
GIBB Gewerblich-Industrielle Berufsschule Bern Berufsmturitätsschule Berufsmturitätsprüfung 2012 Mthemtik Zeit: Hilfsmittel: Hinweise: Punkte: 180 Minuten Formel- und Tbellensmmlung ohne gelöste Beispiele,
MehrVorkurs Mathematik DIFFERENTIATION
Vorkurs Mthemtik 6 DIFFERENTIATION Beispiel (Ableitung von sin( )). Es seien f() = sin g() = h() =f(g()) = sin. (f () =cos) (g () =) Also ist die Ableitung von h: h () =f (g())g () =cos = cos. Mn nennt
MehrDer Begriff der Stammfunktion
Lernunterlgen Integrlrehnung Der Begriff der Stmmfunktion Wir gehen von folgender Frgestellung us: welhe Funktion F x liefert ls Aleitung eine gegeene Funktion f x. Wir suhen lso eine Umkehrung der Aleitung
MehrSBP Mathe Grundkurs 2. Differentialquotient. Namen und Schreibweisen für Differentialquotienten. Ableitung von f(x) = c.
SBP Mthe Grundkurs 2 # 0 by Clifford Wolf # 0 Antwort Diese Lernkrten sind sorgfältig erstellt worden, erheben ber weder Anspruch uf Richtigkeit noch uf Vollständigkeit. Ds Lernen mit Lernkrten funktioniert
MehrIntegralrechnung. www.mathe-total.de. Aufgabe 1
Integrlrechnung Aufgbe Bestimme die Fläche zwischen der Kurve der Funktion f() = und -Achse über dem Intervll I = [; 3] näherungsweise. Bestimme die Obersumme und Teile ds Intervll I in drei gleich große
MehrBrückenkurs Lineare Gleichungssysteme und Vektoren
Brückenkurs Linere Gleichungssysteme und Vektoren Dr Alessndro Cobbe 30 September 06 Linere Gleichungssyteme Ws ist eine linere Gleichung? Es ist eine lgebrische Gleichung, in der lle Vriblen nur mit dem
MehrMC-Serie 12 - Integrationstechniken
Anlysis D-BAUG Dr. Meike Akveld HS 15 MC-Serie 1 - Integrtionstechniken 1. Die Formel f(x) dx = xf(x) xf (x) dx i) ist im Allgemeinen flsch. ii) folgt us der Sustitutionsregel. iii) folgt us dem Huptstz
Mehr2. Das Rechnen mit ganzen Zahlen (Rechnen in )
. Ds Rechnen mit gnzen Zhlen (Rechnen in ).1 Addition und Subtrktion 5 + = 7 Summnd Summnd Summe 5 - = 3 Minuend Subtrhend Differenz In Aussgen mit Vriblen lssen sich nur gleiche Vriblen ddieren bzw. subtrhieren.
MehrEinführung in die Integralrechnung
Einführung in die Integrlrechnung Vorbereitung für ds Probestudium n der LMU München 3. bis 7. September von W. Frks und O. Forster Integrle ls Flächeninhlte. Motivtion Flächeninhlte von Rechtecken sind
MehrGrundwissen Abitur Analysis
GYMNASIUM MIT SCHÜLERHEIM PEGNITZ mthem-technolog u sprchl Gmnsium WILHELM-VON-HUMBOLDT-STRASSE 7 9257 PEGNITZ FERNRUF 0924/48333 FAX 0924/2564 Grundwissen Abitur Anlsis Ws sind Potenzfunktion mit ntürlichen
MehrIntegrationsmethoden
Universität Perborn Dezember 8 Institut für Mthemtik C. Kiser Integrtionsmethoen Prtielle Integrtion (Prouktintegrtion) Unbestimmte Integrtion er Prouktregel (u v) () = u ()v() + u()v () liefert (u v)()
MehrRollender Zylinder in Zylinder
Übungen zu Theoretische Physik I - echnik im Sommersemester 013 Bltt 10 vom 1.07.13 Abgbe: 08.07. Aufgbe 43 Rollender Zylinder in Zylinder Ein homogener Zylinder (Gesmtmsse, Rdius, Trägheitsmoment bzgl.
Mehr8 Integralrechnung. 8.1 Das Riemann-Integral
8 Integrlrechnung Der Integrlbegriff ist wie der Ableitungsbegriff motiviert durch die physiklische Beschreibung von Bewegungsbläufen (Geschwindigkeit, Beschleunigung). Er ist u.. uch von Bedeutung bei
MehrMusterlösung für die Nachklausur zur Analysis II
MATHEMATISCHES INSTITUT WiSe 213/14 DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN Musterlösung für die Nchklusur zur Anlysis II Aufgbe 1 Gilt folgende Aussge? Eine im Punkt x R 2 prtiell differenzierbre Funktion f : R 2 R ist
MehrExponential- und Logarithmusfunktion
Mthemtik I und II für Ingenieure (IAM) Version.3/..003.0.5 Eponentil- und Logrithmusfunktion Definition.0.0: Sei +, dnn ist die llgemeine Form einer Eponentilfunktion f: + gegeben durch die Funktionsgleichung
Mehr1.2 Der goldene Schnitt
Goldener Schnitt Psclsches Dreieck 8. Der goldene Schnitt Beim Begriff Goldener Schnitt denken viele Menschen n Kunst oder künstlerische Gestltung. Ds künstlerische Problem ist, wie ein Bild wohlproportioniert
MehrWie muss x gewählt werden, so dass K 1 anschließend einen geraden Stoß mit K 3 ausführt?
ZÜ 2.1 Aufgbe 2.1 Drei Kugeln K 1, K 2 und K 3 Mssen, m 2 und m 3 befinden sich in einer Rille und berühren sich nicht. Die erste Kugel gleitet mit der Geschwindigkeit v1 und stößt vollkommen elstisch
MehrEinführung in die Festkörperphysik I Prof. Peter Böni, E21
Einführung in die Festkörperphsik I Prof. Peter Böni, E21 Lösung zum 2. Übungsbltt (Besprechung: 0. - 1. Oktober 2006) P. Niklowitz, E21 Aufgbe 2.1: Zweidimensionle Wigner-Seitz-Zellen Vernschulichen Sie,
Mehr3. Mathematik-Schularbeit für die 5. Klasse Autor: Gottfried Gurtner
3. Mthemtik-Schulrbeit für die 5. Klsse Autor: Gottfried Gurtner Arbeitszeit: 75 Minuten Lernstoff: Mthemtische Grundkompetenzen: AG.1 Einfche Terme und Formeln ufstellen, umformen und im Kontext deuten
Mehr7.9A. Nullstellensuche nach Newton
7.9A. Nullstellensuche nch Newton Wir hben früher bemerkt, dß zur Auffindung von Nullstellen einer gegebenen Funktion oft nur Näherungsverfhren helfen. Eine lte, ber wirkungsvolle Methode ist ds Newton-Verfhren
MehrGrundwissen Mathematik 9
Grundwissen Mthemtik 9 Die binomischen Formeln ( + b) + b + b ( - b) - b + b ( + b) ( - b) - b Insbesondere benutzt mn die binomischen Formeln um Summen und Differenzen in Produkte umzuwndeln Die Qudrtwurzel
MehrAbschlussprüfung Mathematik
Abschlussprüfung 0 Mthemtik 5. Mi 0, Klssen F08 und F08b Nme: Klsse: Hinweise: Zur Lösung der Aufgben stehen drei volle Stunden zur Verfügung. Als Hilfsmittel sind ein nicht lgebrfähiger und nicht grphikfähiger
Mehrvon f im Punkt P ( 2 4) x x x Hilfsmittelfreier Teil. Beispielaufgabe 1 zur Analysis Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung
Hilfsmittelfreier Teil. Beispielufgbe zur Anlysis Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung f ( x ) = x + x x. Die zeigt den Grphen der Funktion f. () Berechnen ie lle Nullstellen der Funktion f. ()
MehrDer Kreissektor (Kreisausschnitt) Kreissektors mit dem Mittelpunktswinkel ϕ : Bogenlänge: b Sektor. Flächeinhalt:: ASektor
Grundwissen Mthemtik 0.Klsse 0 / Die Kugel Volumen der Kugel: Oberfläche der Kugel: V O Kugel Kugel 4 πr 4πr Der Kreissektor (Kreisusschnitt) Kreissektors mit dem Mittelpunktswinkel ϕ : ϕ Bogenlänge: b
MehrLösungen Quadratische Gleichungen. x = x x = Also probieren wir es 3 4 = 12. x + + = Lösen Sie die folgenden Gleichungen nach x auf:
Aufgbe : ) Lösen Sie die folgenden Gleichungen nch uf: = kein Problem einfch die Wurel iehen und ds ± nicht vergessen.. = = ±, b) + 5 = 0 Hier hben wir bei jedem Ausdruck ein, lso können wir usklmmern:
Mehr8.4 Integrationsmethoden
8.4 Integrtionsmethoden 33 8.4 Integrtionsmethoden Die Integrtion von Funktionen erweist sich in prktischen Fällen oftmls schwieriger ls die Differenzition. Während sich ds Differenzieren durch Anwendung
Mehr1.6 Bruchterme. 1 Einführung und Repetition 2. 2 Multiplikation und Division von Bruchtermen 3. 3 Die Addition von zwei Bruchtermen-Methode I 3
.6 Bruchterme Inhltsverzeichnis Einführung und Repetition 2 2 Multipliktion und Division von Bruchtermen 3 3 Die Addition von zwei Bruchtermen-Methode I 3 4 Doppelbrüche 5 5 Die Addition von zwei Bruchtermen
Mehrx usw., wie oben unter 1.) behauptet.]
[Anmerkung zur Berechnung im Beispiel: Ersetzen wir die Zhlen der AzM durch die Koeffizienten, 2, 2 und 22, so lässt sich die Rechnung sowohl für ) ls uch b) gnz nlog durchführen, und es ergibt sich z.
MehrMathematik PM Rechenarten
Rechenrten.1 Addition Ds Pluszeichen besgt, dss mn zur Zhl die Zhl b hinzuzählt oder ddiert. Aus diesem Grunde heisst diese Rechenrt uch Addition. + b = c Summnd plus Summnd gleich Summe Kommuttivgesetz
Mehr1 Kurvendiskussion /40
009 Herbst, (Mthemtik) Aufgbenvorschlg B Kurvendiskussion /0 Gegeben ist eine Funktion f mit der Funktionsgleichung: f ( ) 0 6 = ; mit.. Untersuchen Sie ds Verhlten der Funktionswerte von f im Unendlichen.
MehrAnalysis II (lehramtsbezogen): Rechnen mit Integralen
Anlysis II (lehrmtsbezogen): Rechnen mit Integrlen A. Ppke. November Substitution Wir wiederholen kurz die grundlegende Methode der Substitution und wenden sie im Beispiel n. Stz. (Integrtion durch Substitution).
MehrMathematik: Mag. Schmid Wolfgang & Lehrer/innenTeam ARBEITSBLATT 2-6 GEOMETRISCHE KÖRPER 1) DAS PRISMA
. Semester ARBEITSBLATT -6 GEOMETRISCHE KÖRPER 1) DAS PRISMA Definition: Prismen hben deckungsgleiche (kongruente), prllele und eckige Grund- und Deckflächen. Die Seitenknten sind lle gleich lng und zueinnder
MehrEs berechnet die Fläche zwischen Kurve und x-achse.
1. Welche Idee steckt hinter dem Integrl? 2. Welche geometrische Bedeutung ht ds Integrl? 3. Wie erechnet mn ein Integrl? Aufsummieren unendlich vieler infinitesiml kleiner Beiträge, die lle die Form eines
MehrPräsenz-Aufgaben = i. (a) i 15 = i 14 i = (i 2 ) 7 i = ( 1) 7 i = i i 15 = 0 + ( 1)i, i (i i) = i 1 = i i 15 = 0 + 1i,
Präsenz-Aufgben 1. 1. Schreiben Sie z in der Form z α + βi mit α,β R. Aus der Vorlesung ist beknnt: i i i 1, i 1 1 i i i i i 1 i. () i 15 i 1 i (i ) 7 i ( 1) 7 i i i 15 + ( 1)i, (b) i 15 1 i 15 () 1 i
MehrGrundwissen Mathematik 8
Grundwissen Mthemtik 8 Proportionle Zuordnung Gehört bei einer Zuordnung zweier Größen zu einem Vielfchen der einen Größe ds gleiche Vielfche der nderen Größe, so heißt sie proportionle Zuordnung. Die
MehrÜbungsbeispiele Differential- und Integralrechnung
Übungsbeispiele Differential- und Integralrechnung A) Gegeben ist die Funktion: y = 2x 3 9x 2 + 12x. a) Skizzieren Sie die Funktion im Intervall [ 0,5; 3] b) Diskutieren Sie die Funktion (Nullstellen,
Mehrc a+ bzw. f(x) dx. c a bzw. 1 =
3. Uneigentliche Integrle Die Funktion f sei uf dem rechts oenen Intervll x < b erklrt und uf jedem bgeschlossenen Teilintervll [, c], c < b, stuckweise stetig, b R { }. Dnn der Integrlbegri erweitert
MehrR. Brinkmann Seite Brüche, Terme und lineare Funktionen zur Vorbereitung einer Klassenarbeit. b)
R. Brinkmnn http://brinkmnn-du.de Seite 9.09.0 Lösungen Linere Funktionen VBKA I Brüche, Terme und linere Funktionen zur Vorbereitung einer Klssenrbeit E E ) + = 8 0 0 ) 5 5 = 6 b) 7 9 = 8 7 56 b) 5 :
MehrGrundwissen Mathematik 8. Klasse. Eigenschaften Besonderheiten - Beispiele
Themen Direkte Proportionlität Eigenschften Besonderheiten - Beispiele Zwei Größen und y heißen direkt proportionl, wenn gilt: Zum k-fchen Wert von gehört der k-fche Wert von y; Der Quotient q = y ht für
MehrKarlsruher Institut für Technologie (KIT) SS 2013 Institut für Analysis Prof. Dr. Tobias Lamm Dr. Patrick Breuning
Krlsruher Institut für Technologie KIT SS 3 Institut für Anlysis 943 Prof Dr Tobis Lmm Dr Ptrick Breuning Höhere Mthemtik II für die Fchrichtung Physik 3 Übungsbltt Aufgbe Sei K ein Kreis im R vom Rdius
MehrBRÜCKENKURS MATHEMATIK
Brückenkurs Linere Gleichungssysteme - Prof. r. M. Ludwig BRÜCKENKURS MATHEMATIK LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME Schwerpunkte: Modellbildung Lösungsmethoden Geometrische Interprettion Prof. r. hbil. M. Ludwig
MehrGrundwissen Klasse 10
Grundwissen Klsse 0 I. Funktionen. Potenzfunktionen und gnzrtionle Funktionen (Mthehelfer : S.56-57) - Grphen von Potenzfunktionen mit gnzzhligen Eponenten zeichnen - Grphen von gnzrtionlen Funktionen
Mehr5.5. Integralrechnung
.. Integrlrechnung... Berechnung von Integrlen mit der Streifenmethode Definition: Gegeen seien, R mit < und eine uf [; ] stetige Funktion f. Der orientierte Inhlt der Fläche, die durch die -Achse, ds
MehrGrundwissen Mathematik Klasse 9 Übungsaufgaben
Grundwissen Mthemtik Klsse 9 Übungsufgben Rechnen mit Wurzeln:. Rdiziere so weit wie möglich! 7 8 b c d) e) ( b ) f) b c ( ) g) b b. Berechne! ( 8 8 )( 7 ) 7 9 9. Mche den Nenner rtionl und vereinfche
MehrBINOMISCHE FORMELN FRANZ LEMMERMEYER
BINOMISCHE FORMELN FRANZ LEMMERMEYER Ds Distributivgesetz. Die binomischen Formeln sind im wesentlichen Vrinten des Distributivgesetzes. Dieses kennen wir schon; es besgt, dss () (b + = b + c und ( + b)c
Mehr- 1 - VB Inhaltsverzeichnis
- - VB Inhltsverzeichnis Inhltsverzeichnis... Die Inverse einer Mtrix.... Definition der Einheitsmtrix.... Bedingung für die inverse Mtrix.... Berechnung der Inversen Mtrix..... Ds Verfhren nch Guß mit
MehrIntegralrechnung. 1. Stammfunktionen
Integrlrechnung. Stmmfunktionen In der Differentilrechnung hen wir gelernt, durch Aleiten einer Funktion f eine neue Funktion f zu finden, die uns hilft, Eigenschften von f zu estimmen (z.b. Hoch- oder
Mehr