2. Flächenberechnungen

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Werner Förstner
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1 Anlysis Integrlrechnung. Flächenberechnungen.. Die Flächenfunktion ) Flächenfunktionen ufzeichnen Skizziere zur gegebenen Funktion diejenige Funktion, welche die Fläche unterhlb der Funktionskurve misst. Die Flächenfunktion gehört ins obere Koordintensystem. ) b) Wir stellen fest:... ) Geschwindigkeit und Wegstrecke Ds Digrmm zeigt die gefhrene Geschwindigkeit. Bestimme die zurückgelegte Wegstrecke.

2 Anlysis Integrlrechnung ) Historisches Nun wollen wir die Fläche unter einer Kurve konkret berechnen. Es sei lso eine Funktion y = f() gegeben. Um Sonderfälle uszuschliessen soll sie weder Sprung- noch Knickstellen ufweisen und im Intervll [,b] oberhlb der -Achse verlufen. Wir denken uns die Fläche nun in viele schmle Streifen der Breite zerschnitten. Die gesuchte Fläche können wir nun eingrenzen, indem wir Rechtecke zeichnen. Die Untersumme nähert sich lso dem gesuchten Wert der Fläche, wenn wir sehr klein mchen. Der Berechnungsfehler wird dnn beliebig klein. Anlog nähert sich die Obersumme dem gesuchten Wert, wenn wir sehr klein mchen. Die gezeichneten Rechtecke hben den Flächeninhlt f(). b Somit beträgt die gesuchte Fläche: = lim 0 = f() b Dfür schreiben wir f() d... 4) Beweis Nun beweisen wir, dss die Ableitung der Flächenfunktion genu die Funktionskurve ergibt. Gegeben sei lso eine Funktion y = f(). Die Flächenfunktion F() beschreibt die Fläche unter der Kurve. Somit gilt F'() = f(), d.h. die Flächenfunktion ist eine Stmmfunktion von f().

3 Anlysis Integrlrechnung 5) Konkrete Berechnung der Fläche unterhlb einer Kurve Wir hben gezeigt, dss die Flächenfunktion F() eine Stmmfunktion von f() ist. Wenn wir nun die rechte Grenze der Fläche ls Vrible benützen wollen, dnn müssen wir vorübergehend unter dem Integrl eine ndere Vrible, beispielsweise t, verwenden. Sonst hätte ds zwei Bedeutungen, nämlich Integrtionsvrible und obere Grenze. Die Fläche bis zur oberen Grenze wird lso beschrieben durch f(t) dt. Weil wir wissen, dss die Flächenfunktion eine Stmmfunktion von f ist, muss f(t) dt= F() + c sein. Dbei ist die Integrtionskonstnte c vorerst unbestimmt. Die Integrtionskonstnte können wir ber nun leicht bestimmen, indem wir = setzen. In diesem Fll muss nämlich die Fläche gleich Null sein, weil wir von bis integrieren. Somit folgt 0 = F() + c, lso c = F(). Also gilt f(t) dt= F() F(). Zuletzt können wir die obere Grenze bei b festlegen, die Vrible unter dem Integrl wieder umbenennen und erhlten f () d= F(b) F() b b b Wir schreiben: f () d= F() = F(b) F()... 6) Freiwillige Übung Zeichne die Flächenfunktion zu dieser Funktion y = f().

Anlysis Integrlrechnung.. Flächenberechnungen und bestimmte Integrle ) Nottion Berechnen der Fläche unterhlb der Kurve y =, begrenzt durch die -Achse und die Gerde =. Wir notieren 4 4 4 d = = 0 =.

4 Anlysis Integrlrechnung.. Flächenberechnungen und bestimmte Integrle ) Nottion Berechnen der Fläche unterhlb der Kurve y =, begrenzt durch die -Achse und die Gerde =. Wir notieren d = = 0 = ) Musterbeispiele Berechne die drgestellten Flächen unterhlb der Prbel y =. ) b) c) ) Technik des Integrierens Berechne die drgestellten Flächen. (Löse ohne Tschenrechner.) ) y = + b) y = e c) y = 4 4) Bestimmte Integrle Löse ohne Tschenrechner: ) 4 d = e 5 b) d = c) d= d) e d= e) sin( ) d= f) t d = 0 π 0 5) Grundufgbe Berechne die im I. Qudrnten unterhlb der Kurve y= f() liegende Fläche. ) y = f() = 6 b) y = f() = + + 6) Negtive Werte Berechne die zwischen der Prbel y = 40 und der -Achse eingeschlossene endliche Fläche. Welche Schlussfolgerung zieht mn us dem Resultt? t

5 Anlysis Integrlrechnung 7) Flächen zwischen zwei Kurven Berechne die zwischen den Kurven y = und y = + 6 eingeschlossene Fläche. 8) Mehr ls zwei Schnittpunkte Berechne die (endliche) Fläche, welche von den Kurven y = und y = + eingeschlossen wird. 9) Angewndte Flächenberechnung In welchem Verhältnis teilt die Funktion y = die im I. Qudrnten unter der Gerden y = 6 liegende Fläche? 0) Obere Grenze gesucht Betrchte ds im I. Qudrnten liegende Kurvenstück von y = f() =. Die im I. Qudrnten unterhlb der Kurve liegende Fläche wird links begrenzt durch die Gerde =. An welcher Stelle = t muss mn rechts bschneiden, wenn die Fläche Inhlt 0 hben soll? ) Prmeter Wie gross muss sein, dmit die zwischen der Kurve y = und der -Achse liegende Fläche Inhlt 0 ht? ) Fläche zwischen der Kurve und der Kurventngente Die Kurve y = und deren Kurventngente im Punkt ( ) schliessen eine Fläche ein. Berechne den Inhlt dieser Fläche. ) Fläche hlbieren Die Gerde y = m soll die im. Qudrnten unterhlb der Kurve y = liegende Fläche hlbieren. Wie gross ist m? 4) Freiwillige Übung ) Löse ohne Tschenrechner: ( + 4) d= 4 5 b) Ebenso: d= 5) Freiwillige Übung Gegeben ist die Funktion y = f() = Betrchte die im I. Qudrnten unterhlb der Funktionskurve y = f() liegende Fläche F. ) Die Fläche F wird durch die Gerde y = + in zwei Teilflächen F und F zerschnitten. In welchem Verhältnis stehen die beiden Teilflächen? Bestimme F : F (von links oben nch rechts unten gerechnet). b) Der Punkt B(...) liegt uf der Kurve y = f(). Die Gerde durch die Punkte A(0 v) und B(...) soll die Fläche F genu hlbieren. Berechne v. 5

6 Anlysis Integrlrechnung.. Angewndte Aufgben ) Funktionsgleichung bestimmen Gesucht ist eine Prbel (Polynomfunktion. Grdes) mit folgenden Eigenschften: Die Kurve geht durch den Ursprung und ht dort Steigung 6. Die Kurve schliesst mit der -Achse eine Fläche vom Inhlt ein. ) Festzelt Der Boden des drgestellten Festzelts (siehe die Skizze) ist ein Qudrt von 0 Metern Seitenlänge. Ds Zelt ist 6 Meter hoch. Weiter weiss mn, dss die Kurve zwischen der Frontwnd und dem gekrümmten Dch eine Prbel ist. Welches Volumen ht ds Zelt? ) Liegestuhl Welches Volumen ht der skizzierte Liegestuhl (siehe die Skizze oben rechts)? Die Streckenlängen betrgen AB = 50 cm, BC = CD = CP = 0 cm, DE = 90 cm. Die Kurve ist eine Polynomfunktion. Grdes und ht in P ihr lokles Minimum. 4) Etremlwertufgbe Für welchen Wert von > 0 wird die Fläche zwischen den Prbeln y = y = etreml? Hndelt es sich um ein Mimum oder ein Minimum? 5) Durchschnittswert Die skizzierte Funktion zeigt einen Temperturverluf während 4 Stunden. Berechne die durchschnittliche Tempertur. 4 f() = und 6) Freiwillige Übung Die Skizze gibt die Schdstoffkonzentrtion in der Luft wieder, welche über eine Zeit von 5 Stunden gemessen wurde. Wir nehmen n, die Funktionskurve hbe die Gleichung f() = Berechne die durchschnittliche Konzentrtion pro Stunde. 6

7 Anlysis Integrlrechnung.4. Weitere Anwendungen der Integrlrechnung ) Uneigentliche Integrle,. Art ) Berechne die im I. Qudrnten unterhlb der Kurve y = e - liegende Fläche. b) Die im I. Qudrnten unterhlb der Kurve y= liegende Fläche wird links begrenzt durch =. Wie gross wird diese Fläche? ) Uneigentliche Integrle,. Art Gegeben ist die Funktion y = f() = Berechne die in der Skizze rechts drgestellte Fläche, welche nch oben unbegrenzt ist. ) Volumen von Rottionskörpern Eine Fläche soll um die -Achse rotieren. Berechne ds Volumen des so entstehenden Körpers. Wir hlten fest:... 4) Volumenformeln Beweise mit Hilfe gut gewählter Funktionen die Volumenformeln für Kegel und Kugel. 5) Musterbeispiel Ds in der Skizze links drgestellte, mrkierte Viereck rotiert um die -Achse. Beschreibe den entstehenden Körper und berechne sein Volumen. 6) Rottionsprboloid Die rechts drgestellte "Glocke" ht ls Bodenfläche einen Kreis mit 6 cm Durchmesser, ist 5 cm hoch und entsteht, indem ein Prbelbogen um eine Achse rotiert. Berechne ds Volumen der Glocke. 7

8 Anlysis Integrlrechnung 7) Länge eines Kurvenbogens Gegeben sei eine Funktion y = f() Wir hlten fest:... 8) Übung ) f() = 4. Wie lng ist der im. Qudrnten liegende Kurvenbogen? b) y= f() =. Bestimme die Länge des Kurvenbogens zwischen = 0 und = 4. 9) Freiwillige Übung Gegeben ist y= f() = 4. ) Die im I. Qudrnten unterhlb der Kurve liegende Fläche rotiert um die -Achse. Berechne ds Volumen des so entstehenden Körpers. b) Wie lng ist der im I. Qudrnten liegende Kurvenbogen von y = f()? 8

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