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Maja Michel
vor 5 Jahren
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1 Pflichtteil Aufgben Aufgbe : ( VP) Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f mit sin() f() = Aufgbe : ( VP) Berechnen Sie ds Integrl ( ) 0 4 d Aufgbe : ( VP) Lösen Sie die Gleichung 4e + 6e = 4 Aufgbe 4: Gegeben sind die Funktion f und g mit f() = e und g() = e + ) Beschreiben Sie, wie ds Schubild von g us dem Schubild von f entsteht b) Zeigen Sie, dss sich die Schubilder von f und g im Punkt P(0/) berühren Aufgbe 5: (5 VP) Die Abbildung zeigt ds Schubild einer Funktion f F ist eine Stmmfunktion von f Begründen Sie, dss folgende Aussgen whr sind: () F ist im Bereich monoton wchsend () f ht im Bereich,5,5 drei Nullstellen () 0 f()d = (4) O(0/0) ist Hochpunkt des Schubilds von f Zuletzt ktulisiert: 0

2 Aufgbe 6: Lösen Sie ds linere Gleichungssystem: = = 7 + = Interpretieren Sie ds Gleichungssystem und seine Lösungsmenge geometrisch Aufgbe 7: ( VP) 8 Gegeben sind die Ebenen E: 4 = und die Gerde g: = 5 + t 4 7 ) Zeigen Sie, dss E und g prllel zueinnder sind b) Bestimmen Sie den Abstnd von E und g Aufgbe 8: ( VP) Gegeben sind eine Gerde g und ein Punkt A, der nicht uf g liegt Beschreiben Sie ein Verfhren, mit dem mn denjenigen Punkt B uf g bestimmt, der den kleinsten Abstnd von A ht Zuletzt ktulisiert: 0

3 Whlteil - Aufgben Anlysis I Aufgbe I Für jedes 0 ist eine Funktion f mit Ihr Schubild ist K f() = gegeben ) Bestimmen Sie die mimle Definitionsmenge von f Geben Sie die Asymptoten von K n Ds Schubild K besitzt genu zwei Wendepunkte Bestimmen Sie deren Koordinten Welcher Punkt P(u/v) von K mit 0 u ht vom Punkt A(/0) den kleinsten Abstnd? (7 VP) b) Zeigen Sie, dss K mit keinem nderen Schubild besitzt Bestimmen Sie den Punkt Wo liegen lle Punkte Q? Q, in dem K einen gemeinsmen Punkt K eine wgrechte Tngente besitzt (5 VP) c) Die Schubilder K und K schließen mit der y-achse und der Gerden = eine Fläche ein Bei Rottion dieser Fläche um die -Achse entsteht ein Drehkörper, der ls Düse benutzt wird (Längeneinheit cm) Berechnen Sie die Msse einer solchen Düse, die us Titn mit einer Dichte von g 4,5 cm besteht Diese Düse wurde us einem mssiven Kegel mit der Höhe cm und der -Achse ls Rottionschse usgefräst Welchen Rdius htte der Grundkreis dieses Kegels mindestens? (6 VP) Zuletzt ktulisiert: 900

4 Whlteil - Aufgben Anlysis I Aufgbe I Ein Stubecken wird zur Zeit der Schneeschmelze gefüllt D die Schneeschmelze temperturbhängig ist, knn die momentne Zuflussrte des Wssers durch die Funktion w mit π w(t) = 50 sin t+ 60 ; 0 t 4 m beschrieben werden (t in Stunden seit Beobchtungsbeginn, w(t) in h ) m ) In welchem Zeitrum ist die momentne Zuflussrte größer ls 00 h? Zu welchem Zeitpunkt nimmt die momentne Zuflussrte m stärksten b? b) Zu Beobchtungsbeginn enthält ds Stubecken 5000 m³ Wsser Wie viel Wsser enthält es nch 4 Stunden? Bestimmen Sie einen integrlfreien Funktionsterm für die zum Zeitpunkt t im Stubecken enthltene Wssermenge Nch welcher Zeit sind 6000 m³ Wsser im Becken? (5 VP) Aufgbe I Für jedes > 0 ist eine Funktion f gegeben durch f() = sin() + ; f ht ds Schubild K und die Periode p ) Bestimmen Sie die Koordinten des Hochpunktes H von K für 0 p Ermitteln Sie eine Gleichung der Kurve, uf der lle diese Hochpunkte H liegen b) Geben Sie in Abhängigkeit von die Koordinten des Wendepunkts W von K n, der den kleinsten positiven -Wert ht Die Tngente in W n K schließt mit den Koordintenchsen eine Fläche ein Zeigen Sie, dss der Inhlt dieser Fläche unbhängig von ist (5 VP) Zuletzt ktulisiert: 0

5 Whlteil - Aufgben Anlysis I Aufgbe I In einer großen Stdt breitet sich eine Viruserkrnkung us Die momentne Erkrnkungsrte wird modellhft beschrieben durch die Funktion f mit 0,t f(t) = 50 t e ; t 0 Dbei ist t die Zeit in Wochen seit Beobchtungsbeginn und f(t) die Anzhl der Neuerkrnkungen pro Woche ) Skizzieren Sie ds Schubild von f Wnn erkrnken die meisten Personen? Zeigen Sie, dss b diesem Zeitpunkt die momentne Erkrnkungsrte rückläufig ist Wnn nimmt sie m stärksten b? (6 VP) b) Alle Neuerkrnkungen werden sofort dem Gesundheitsmt gemeldet Bei Beobchtungsbeginn sind bereits 00 Personen gemeldet Wie viele Personen sind nch Wochen insgesmt gemeldet? 0,t Die Funktion F mit F(t) = 750 ( t + 0t + 50) e ist eine Stmmfunktion von f Geben Sie eine Funktion für die Gesmtzhl der gemeldeten Personen nch t Wochen n Wnn wird die Zhl von 0000 gemeldeten Personen erreicht? Weisen Sie nch, dss die Anzhl der Meldungen unter bleiben wird (6 VP) In einer benchbrten Stdt mit 0000 Einwohner ist bei Beobchtungsbeginn bereits die Hälfte der Einwohner n diesem Virus erkrnkt Es ist dvon uszugehen, dss im Lufe der Zeit lle Einwohner von der Krnkheit erfsst werden und dss dbei die momentne wöchentliche Erkrnkungsrte proportionl zur Anzhl der bisher noch nicht von der Krnkheit erfssten Einwohner ist c) Mn nimmt zur Modellierung zunächst den Proportionlitätsfktor 0, n Gebe Sie eine zugehörige Differenzilgleichung n Bestimmen sie eine Funktion, welche die Anzhl der von der Krnkheit erfssten Personen beschreibt Wie viele Personen werden demzufolge nch 4 Wochen von der Krnkheit erfsst sein? Ttsächlich sind es nch 4 Wochen bereits 000 Personen Pssen Sie die Funktion n die ttsächliche Sitution n (6 VP) Zuletzt ktulisiert: 0

6 Whlteil Aufgben Anlytische Geometrie II, Aufgbe II Eine prismenförmige Truhe ist durch ihre Eckpunkte A(6/4/0), B(6/8/0), C(-4/8/0), D(-4/4/0), P(6/4/4), Q(6/8/6), R(-4/8/6) und S(-4/4/4) gegeben Ds Viereck PQRS beschreibt den Deckel der Truhe ) Stellen Sie die Truhe in einem Koordinteensystem dr Berechnen Sie ds Volumen der Truhe Bestimmen Sie eine Koordintengleichung der Ebene, in welcher der Deckel der Truhe liegt (Teilergebnis: E Deckel : = 4) (5 VP) Gegeben ist eine Ebenenschr durch E : = 8 6; b) Zeigen Sie, dss die Ebene, in der der Deckel liegt, und die Ebene, in der die Rückwnd BCRQ liegt, zur Ebenenschr gehören Zeigen Sie, dss es eine Gerde gibt, die in llen Ebenen E der Schr liegt Berechnen Sie den Schnittwinkel ϕ von E 0 und E Welche ndere Ebene E schließt mit der Ebene E ebenflls den Winkel ϕ ein? (7 VP) c) Der Deckel der Truhe ist um die Knte QR drehbr Durch Drehung des Deckels um 90 wird die Truhe ge öffnet In welcher Ebene E liegt der Deckel dnn? Der Punkt P geht bei dieser Drehung in den Punkt P* über Bestimmen Sie die Koordinten von P* Zuletzt ktulisiert: 0

7 Whlteil Aufgben Anlytische Geometrie II, Aufgbe II Ein Gebäude ht ls Grundfläche ds Rechteck ABCD mit A(4/0/0), B(4/6/0), C(0/6/0) und D(0/0/0) und ls Dchfläche ds Viereck EFGH mit E(4/0/4), F(4/6/), G(0/6/5) und H(0/0/8) (Koordintenngben in Meter) ) Stellen Sie ds Gebäude in einem Koordintensystem dr Bestimmen Sie eine Koordintengleichung der Ebene, in der die Dchfläche EFGH liegt Welchen Neigungswinkel besitzt die Dchfläche? Zeigen Sie, dss die Dchfläche ein Prllelogrmm ist Berechnen Sie den Inhlt der Dchfläche (Zwischenergebnis: E Dch : + + = 6) (8 VP) b) Im Innern des Gebäudes soll eine Lmpe im Punkt L(d/d/d) ngebrcht werden Die Lmpe soll von der Bodenfläche und der Dchfläche des Gebäudes den gleichen Abstnd hben Bestimmen Sie d c) Eine Person mit,7 m Augenhöhe bewegt sich vom Punkt P(5//0) us in positiver - Richtung Wie weit muss sie mindestens gehen, dmit sie die Ecke H sehen knn? Zuletzt ktulisiert: 0

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