1. Mathematik Olympiade 1. Stufe (Schulolympiade) Klasse 12 Saison 1961/1962 Aufgaben und Lösungen

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Philipp Hertz
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1 1. Mthemtik Olympide 1. Stufe (Schulolympide) Klsse 12 Sison 1961/1962 Aufgben und Lösungen 1

2 OJM 1. Mthemtik-Olympide 1. Stufe (Schulolympide) Klsse 12 Aufgben Hinweis: Der Lösungsweg mit Begründungen und Nebenrechnungen soll deutlich erkennbr in logisch und grmmtiklisch einwndfreien Sätzen drgestellt werden. Zur Lösungsgewinnung herngezogene Aussgen sind zu beweisen. Nur wenn eine so zu verwendende Aussge us dem Schulunterricht oder us Arbeitsgemeinschften beknnt ist, genügt es ohne Beweisngbe, sie ls beknnten Schverhlt nzuführen. Aufgbe : Ist die Summe durch 45 teilbr? Die Antwort ist zu begründen! Aufgbe : Bei der Plnung unserer sozilistischen Volkswirtschft werden in zunehmendem Mße mthemtische Methoden ngewndt. Ds gilt gnz besonders für ds Trnsportwesen, bei dem es druf nkommt, mit möglichst geringen Kosten eine optimle Leistung zu erreichen. Mn nennt die ngewndte Methode, die erstmlig 1939 von Prof. L. W. Kntorowitsch in Leningrd vorgeschlgen wurde, die Methode der lineren Progrmmierung. Ds folgende Beispiel, ds sehr strk vereinfcht wurde, d in Wirklichkeit die Verhältnisse viel komplizierter sind, zeigt ds Prinzip der Methode: Zwei Ziegeleien produzieren 10 Millionen bzw. 15 Millionen Ziegel. Sie sollen zwei Bustellen versorgen, die einen Bedrf von 18 Millionen bzw. 7 Millionen Ziegel hben. Die Entfernungen betrgen: 1. Ziegelei zur 1. Bustelle 25 km, 1. Ziegelei zur 2. Bustelle 24 km, 2. Ziegelei zur 1. Bustelle 26 km, 2. Ziegelei zur 2. Bustelle 20 km. Zu welchen Bustellen müssen die von der 1. bzw. 2. Ziegelei produzierten Ziegel trnsportiert werden, dmit die Gesmttrnsportkosten möglichst gering sind? Dbei wird ngenommen, dß die Trnsportkosten der Entfernung proportionl sind. Aufgbe : Wieviel verschiedene dreistellige Zhlen lssen sich mit den Ziffern ) 1 und 2, b) 1, 2 und 3, c) 1, 2, 3 und 4 bilden, wobei die Ziffern uch mehrfch benutzt werden dürfen? Versuchen Sie, eine Gesetzmäßigkeit zu finden! d) Welche Lösung erhält mn für vierstellige Zhlen? e) Ws läßt sich für vierstellige Zhlen vermuten, wenn mn n Ziffern zur Verfügung ht? Versuchen Sie, diese Vermutung zu beweisen! 2

3 Aufgbe : Es ist ein Dreieck ABC us AC = b, AB = c und BMA = ω zu konstruieren, wobei M die Mitte der Strecke BC ist. Es sei ω < 90. Mn beweise, dß die Aufgbe dnn und nur dnn lösbr ist, wenn b tn ω 2 c < b ist. In welchem Flle tritt Gleichheit uf? Aufgbe : Zur Berechnung der Länge l eines Treibriemens wird in der Prxis die Näherungsformel benutzt. Dbei ist l = π D + d 2 d der Durchmesser der treibenden Scheibe, D der Durchmesser der getriebenen Scheibe und M 1 M 2 = der Abstnd der beiden Achsen (D d)2 4 Für die folgenden beiden Beispiele soll die Länge des Treibriemens genu und nch der Näherungsformel berechnet werden. Wie groß ist in den beiden Beispielen der reltive Fehler (in Prozent), der bei Anwendung der Näherungsformel entsteht? ) d = 140 mm, D = 220 mm, = 500 mm, b) d = 60 mm, D = 220 mm, = 200 mm. 3

4 OJM 1. Mthemtik-Olympide 1. Stufe (Schulolympide) Klsse 12 Lösungen Hinweis: Der Lösungsweg mit Begründungen und Nebenrechnungen soll deutlich erkennbr in logisch und grmmtiklisch einwndfreien Sätzen drgestellt werden. Zur Lösungsgewinnung herngezogene Aussgen sind zu beweisen. Nur wenn eine so zu verwendende Aussge us dem Schulunterricht oder us Arbeitsgemeinschften beknnt ist, genügt es ohne Beweisngbe, sie ls beknnten Schverhlt nzuführen. Lösung : D für 45 die Primzhlzerlegung 45 = gilt, ist zu zeigen, dss die Summe durch 3 2 und 5 teilbr ist. Die letzte Ziffer von 21 n ist für jedes ntürliche n gleich 1, und die letzte Ziffer von 39 2n+1 ist für jedes ntürliche n gleich 9. Dher ist die letzte Ziffer der Summe gleich 0 und die Summe dmit durch 5 teilbr. Wegen 21 = 3 7 und 39 = 3 13 ist sowohl ls uch durch 3 2 teilbr und dmit uch die Summe. Also ist durch 45 teilbr. Bemerkung: Wegen 21 1 (mod 20), 39 1 (mod 20) ist ( 1) 21 0 (mod 20), und wegen = 3 21 ( ) ist sogr durch teilbr. Aufgeschrieben von Burkhrd Thiele Quelle: (2) Lösung : Z 2 20 km. ( x 3) B 2 26 km. (18 x ) 24 km. (10 x) Die von der i. Ziegelei Z i zur j. Bustelle B j (i, j = 1, 2) zu trnsportierenden Mengen n Ziegeln seien z ij, insbesondere sei z 11 = x (lle Mengenngben in Millionen Stück). Dnn gilt gemäß Aufgbenstellung: z 12 = 10 x, z 21 = 18 x und z 22 = x 3. Dbei müssen lle z ij 0 sein; diese Bedingungen führen uf die Ungleichungen Z 1 25 km. x B 1 3 x 10. (1) Nun stellen wir die Kostenfunktion uf, die die Summe ller Produkte us Anzhl zu trnsportierender Ziegel ml jeweilige Entfernung ist: f(x) = 25 km x + 24 km (10 x) + 26 km (18 x) + 20 km (x 3) = 5 km x km Min. Dies ist eine linere Funktion mit negtivem Anstieg, die ihren Minimlwert wegen (1) folglich n der rechten Intervllgrenze x = 10 nnimmt. Drus ergibt sich: z 11 = 10, z 12 = 0, z 21 = 8 und z 22 = 7. Lösung : Wir hben es hier mit Vritionen mit Wiederholung zu tun, denn wir wollen k, nicht notwendig verschiedene Elemente us der Menge der ersten n ntürlichen Zhlen uswählen und in einer Reihe ufschreiben (lso 4

5 mit Bechtung der Reihenfolge). Dbei hben wir für jede der k Stellen in der Reihe n Möglichkeiten, demnch ist die gesuchte Anzhl V (n, k) gegeben durch Somit lssen sich V (n, k) = n n n n }{{} = nk. k-ml ) V (2, 3) = 2 3 = 8, b) V (3, 3) = 3 3 = 27, c) V (4, 3) = 4 3 = 64 verschiedene dreistellige Zhlen bilden. d) Für vierstellige Zhlen finden wir nlog 2 4 = 16, 3 4 = 81 bzw. 4 4 = 256 verschiedene Lösungen. e) Hben wir dgegen n Ziffern zur Verfügung, so lssen sich - n Zhlen mit vier gleichen Ziffern ngeben, - 4n(n 1) Zhlen mit drei gleichen Ziffern b ngeben (n Möglichkeiten, die Ziffer uszuwählen, n 1 Möglichkeiten die Ziffer b uszuwählen und 4 Plätze, n denen b stehen knn), - 3n(n 1) Zhlen der Form bb ngeben (n Möglichkeiten, die Ziffer uszuwählen, n 1 Möglichkeiten die Ziffer b uszuwählen und 3 Möglichkeiten für die Pltzwhl der beiden Pre bzw. bb), - 6n(n 1)(n 2) Zhlen der Form bc ngeben (n Möglichkeiten, die Ziffer uszuwählen, n 1 Möglichkeiten die Ziffer b uszuwählen, n 2 Möglichkeiten die Ziffer c uszuwählen und ( 4 2) = 6 Möglichkeiten für die Pltzwhl der Ziffern b und c bzw. der Ziffern und ), - schließlich n(n 1)(n 2)(n 3) Zhlen bcd mit vier verschiedenen Ziffern ngeben. Die Gesmtzhl ist lso n + 4n(n 1) + 3n(n 1) + 6n(n 1)(n 2) + n(n 1)(n 2)(n 3) = n 4. Lösung : I. Konstruktion: (Bild ) Ds Hilfsdreieck AM B knn us den gegebenen Stücken konstruiert werden, denn Punkt M liegt uf dem Kreis k 1, der über der Sehne AB = c derjenige geometrische Ort ller Punkte ist, für die BMA = ω gilt. Sei ferner LM N ds Seitenmittendreieck von ABC. Dnn ist ALM N nch den Strhlensätzen ein Prllelogrmm und somit AL = MN = b 2, d. h., ein zweiter geometrischer Ort für M ist der Kreis k 2 mit dem Rdius b 2 um N. ) C b) C L P ω M L ω M A N B A N B k 1 k 2 k 1 k 2 5

6 II. Beweis: Wegen ω < 90 muss b 2 > c 2, lso c < b gelten, d in den Dreiecken AMC und AMB dem größeren Winkel (hier CMA > BMA) uch die größere Seite gegenüberliegt. Die Aufgbe ist lso nur lösbr, wenn beide Kreise Punkte gemeinsm hben. Gewöhnlich sind dies zwei Lösungen, die uch zu zwei nichtkongruenten Dreiecken ABC führen. Berühren sich beide Kreise von innen, gibt es nur eine Lösung (Bild b). Hier wird ω vom Rdius MN hlbiert und wegen MN AC sowie MN AB ist tn ω = c/2 b/2 = c b und mithin c = b tn ω 2. In llen nderen Fällen knn mn in N eine Senkrechte uf AB errichten, die k 1 in P schneidet. Dnn gilt nch dem Peripheriewinkelstz ω = BMA = BP A und MN = b 2 < x P N = c 2 cot ω 2. Also ist hier b tn ω 2 < c und somit llgemein b tn ω 2 c < b. (1) Umgekehrt folgt us (1), dss k 1 und k 2 Schnittpunkte hben und die Aufgbe lösbr ist. Lösung : D A r P r R r α M 1 M 2 r R B C Wir berechnen zunächst die genue Länge des Treibriemens. Dzu seien A, B und C, D diejenigen Punkte, n denen sich der Riemen von der treibenden bzw. getriebenen Scheibe (Mittelpunkte M 1 bzw. M 2 und Rdien r bzw. R) löst. AD und BC sind dnn die gemeinsmen äußeren Tngenten beider Kreise, die wir z. B. ddurch finden, indem wir ein rechtwinkliges Dreieck us der Hypotenuse M 1 M 2, der Kthete P M 2 = R r und M 1 P M 2 = 90 konstruieren und die Kthete M 1 P um r prllel nch ußen verschieben. Bezeichnen wir noch den Winkel P M 1 M 2 α, dnn gilt sin α = R r, und die gerdlinigen Teile des Riemens hben die Länge AD = BC = cos α, die beiden Kreisbögen die Länge AB = (π 2α)r bzw. CD = (π + 2α)R (α im Bogenmß gemessen), insgesmt lso l = 2 cos α + (π 2α)r + (π + 2α)R = π(r + r) + 2(α sin α + cos α). (1) Für kleine Winkel α ergibt sich drus mit R r Aufgbenstellung ngegebene Näherungsformel = sin α α und cos α 1 α2 2 1 (R r)2 2 die in der l π(r + r) (R r)2. (2) Mit den gegebenen Werten für d = 2r, D = 2R sowie ergeben sich nun mit (1) und (2) folgende Winkel, Längen und reltiven Fehler: ) α = 4,59, l = 1 568,7 mm, l = 1 568,7 mm, l l l b) α = 23,58, l = 872,3 mm, l = 871,8 mm, l l l = 0,00 %, = 0,05 %. 6

7 Quellenverzeichnis (2) Engel, W./Pirl, U. Aufgben mit Lösungen us Olympiden Junger Mthemtiker der DDR, Bnd I. Verlg Volk und Wissen,

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