Arbeitsblatt Geometrie / Trigonometrie
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- Matthias Heintze
- vor 7 Jahren
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1 Fchhochschule Nordwestschweiz (FHNW) Hochschule für Technik Institut für Mthemtik und Nturwissenschften Arbeitsbltt Geometrie / Trigonometrie Dozent: - rückenkurs Mthemtik 2016 Modul: Mthemtik Dtum: 2016 Winkelbeziehugen 1. Aufgbe () estimmen Sie die Winkel α und β: (b) estimmen Sie im gegebenen Trpez den Winkel α in Abhängigkeit der Winkel δ und ɛ: 2. Aufgbe estimmen Sie in den nchfolgenden Figuren den Winkel β in Abhängigkeit des Winkels α.??
2 Strhlenstz und Pythgors 3. Aufgbe Gegeben sei ds llgemeine Dreieck AC mit den Seiten = 9cm, b = 5cm und c = 11cm. Weiter sei ds Dreieck A C, welches durch Prllelverschiebung der Seite c entsteht, so dss der Umfng U = 10cm beträgt. estimmen Sie die Seitenlängen des Dreiecks A C und ds Verhältnis der Flächeninhlte der beiden Dreiecke. C A' ' A 4. Aufgbe In der untenstehenden Skizze kennt mn ds Verhältnis der prllelen Abschnitte A CD = 2x 3x = 2 3 und die Strecken AD = 20cm und C = 15cm. estimmen Sie die Entfernung des Schnittpunkts S von den Punkten A,, C und D. 5. Aufgbe In einem rechtwinkligen Dreieck mit dem Hypotenusenbschnitt-Verhältnis p q = k, teilt die Höhe ds Dreieck in zwei weitere rechtwinklige Dreiecke. estimmen Sie ds Flächen-Verhältnis der beiden neuen Dreiecke zu dem ursprünglichen Dreieck: p c h q b Seite 2 / 10
3 6. Aufgbe estimmen Sie in den nchfolgenden Figuren die Grösse x in Abhängigkeit des Rdius R. R x x R 7. Aufgbe estimmen Sie in untenstehender Figur den Rdius x des kleinen Kreises in Abhängigkeit des Seitenlänge des Qudrtes. 8. Aufgbe estimmen Sie y in Abhängigkeit von r. y 3 2 r r 9. Aufgbe estimmen Sie in einem gleichschenkligen, rechtwinkligen Dreieck mit der Hypotenuse c = 10cm die Längen der Seitenhlbierenden und den Rdius des Inkreises. 10. Aufgbe estimmen Sie den Rdius des kleinen Kreises (x) in Abhängigkeit der Seitenlänge des Qudrtes (s). s s x Seite 3 / 10
4 11. Aufgbe estimmen Sie x in Abhängigkeit von R. x R 12. Aufgbe estimmen Sie in einem gleichschenkligen, rechtwinkligen Dreieck mit Kthetenlänge s, die Rdien des In- und des Umkreises. 13. Aufgbe estimmen Sie x in Abhängigkeit von r: x r Trigonometrie 14. Aufgbe Von einem rechtwinkligen Dreieck AC (Hypotenuse c), kennt mn die Kthete b = 12m und die Seitenhlbierende s c = 6.5m. estimmen Sie lle Seiten und Winkel dieses Dreiecks. 15. Aufgbe Von einem rechtwinkligen Dreieck AC, kennt mn die Kthete = 5cm und die Höhe h c = 3cm. estimmen Sie lle Seiten und Winkel dieses Dreiecks. 16. Aufgbe Einem Kreis mit Rdius R = 10cm ist ein Trpez ACD einbeschrieben. Vom Trpez kennt mn die prllelen Trpezseiten = A = 16cm und c = CD = 12cm. estimmen Sie den Flächeninhlt und die Längen der Digonlen. Seite 4 / 10
5 17. Aufgbe erechnen Sie in einem llgemeinen Dreieck AC us den gegebenen Grössen die fehlenden Seitenlängen und Winkel. C b s c h c A c () = 5m, c = 7m und α = 40. (b) = 7km, b = 4km und F = 10km 2. (c) s c = 6cm, h c = 5cm und β = 70. (d) = 6cm, c = 10cm und α = 25. (e) = 4m, β = 40 und s c = 6cm (Seitenhlbierende von c). (f) = 4m, b = 10m und h c = 3m. (g) α = 30, b = 5cm und s c = 3cm. 18. Aufgbe Eine Lst F = 5kN ist n der nchfolgenden Aufhängung ngebrcht (AC = 2m, C = 1m). estimmen Sie die Kräfte in den beiden Stäben (die Krft wirkt in Stbrichtung). A α C F 19. Aufgbe estimmen Sie die fehlenden Seiten und Winkel des Dreiecks AC mit = 11m, h b = 3m und α = 70. C D h b A α Seite 5 / 10
6 20. Aufgbe Zwei Schiffe A und liegen vor der Küste vor Anker. Wie weit sind die beiden Schiffe voneinnder entfernt? A C α β γ δ D Dten: = 50m α = 41.5 β = 16.3 γ = 75.2 δ = Aufgbe erechnen Sie von den beiden nchfolgenden Figuren die fehlenden Grössen: c b q c h p d e h f b () Rechtwinkliges Dreieck: Gegeben h = 12cm und q = 15cm. (b) Trpez: Gegeben = 20cm, c = 4cm, b = 12cm und h = 6cm. 22. Aufgbe estimmen Sie den eingezeichneten Winkel: Seite 6 / 10
7 23. Aufgbe Wieviele Kilometer beträgt die Länge des reitenkreises, uf dem erlin liegt (ϕ = 52 30, r E = 6370km). estimmen Sie zudem die Geschwindigkeit mit welcher sich erlin um die Erdchse dreht. M ϕ r E 24. Aufgbe Von einem Trpez kennt mn = 69.3m, c = 13.4m, h = 41.9m und β = erechnen Sie die restlichen Seiten und Winkel, die Digonlen und den Flächeninhlt. δ c γ d e f b α h β Trigonometrische Funktionen 25. Aufgbe Skizzieren Sie die Grphen der folgenden Funktionen: () (b) (c) (d) ( f 1 (x) = y = 2 sin 4x π ) 4 f 2 (x) = y = 1 cos (2x) 3 ( 1 f 3 (x) = y = 4 sin 2 x + 2π 3 ) f 4 (x) = y = sin (3x) + 2 cos (3x) Seite 7 / 10
8 (e) f 5 (x) = y = 1 (1 cos (2x)) 2 (f) ( f 6 (x) = y = sin (5x) + sin 5x + π ) ( + sin 5x + 2π 3 3 ) 26. Aufgbe enutzen Sie die Formel cos(α 2 α 1 ) = cos(α 1 ) cos(α 2 ) + sin(α 1 ) sin(α 2 ) um einen nlytischen Ausdruck für cos(15 ) zu finden. 27. Aufgbe enutzen Sie die Formel cos(α + β) = cos(α) cos(β) sin(α) sin(β) um die Doppelwinkelformel für den Cosinus herzuleiten: cos(2γ) =? 28. Aufgbe enutzen Sie die folgenden beiden Formeln cos (2α) = cos 2 (α) sin 2 (α) sin 2 (α) + sin 2 (α) = 1 um die Doppelwinkelformel für den Sinus herzuleiten: sin(2γ) =? 29. Aufgbe estimmen Sie die Überlgerung der folgenden hrmonischen Schwingungen: () (b) (c) 3 sin (x) + 4 cos (x) =? 5 sin (3x) 12 cos (3x) =? ( x ) ( x ) 2 sin + 2 cos =? Aufgbe Vereinfchen Sie: () (b) sin (α) tn (α) =? 1 sin (α) tn (α) =? cos (α) Seite 8 / 10
9 (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) 1 cos 2 (α) 1 =? sin (α) tn 2 (α) =? sin (α) 1 + cos (α) + cos (α) + 1 sin (α) 1 cos 2 (α) 1 sin 2 (α) =? =? sin (x) sin (x y) cos (x) cos (x y) =? cos 2 (x) sin 2 (y) cos (x + y) cos (x y) =? 1 tn 2 (x) tn 2 (x) sin2 (x) =? 31. Aufgbe () estimmen Sie lle Winkel α [0, 360 ], die die folgende Gleichung erfüllen: cos(2α) + sin(α) = 0 (b) estimmen Sie lle x [0, 2π], die die folgende Gleichung erfüllen: ( cos x π ) + cos (x) = 0 3 (c) estimmen Sie lle x [0, 2π], die die folgende Gleichung erfüllen: ( sin (2x) + cos x + π ) = 0 2 (d) estimmen Sie lle x [0, π], die die folgende Gleichung erfüllen: cos (2x) = 1 2 (e) estimmen Sie lle x [0, 2π], die die folgende Gleichung erfüllen: sin (x) + sin 2 (x) = 0 Seite 9 / 10
10 (f) estimmen Sie lle x [0, 2π], die die folgende Gleichung erfüllen: cos (x) + cos (2x) = 0 (g) estimme Sie lle x [0, 2π], die die folgende Gleichung erfüllen: sin (x) cos (2x) = 0 (h) estimme Sie lle reellen Zhlen x, die die folgende Gleichung erfüllen: cos (2x) = 1 2 (i) Lösen Sie die folgende Gleichung (geben Sie lle Lösungen im Intervll [0, 360 ] n): 2 sin (α) = 0 (j) Lösen Sie die folgende Gleichung (geben Sie lle Lösungen im Intervll [0, 360 ] n): sin 2 (α) cos 2 (α) = 1 (k) Lösen Sie die folgende Gleichung (geben Sie lle Lösungen im Intervll [0, 2π] n): sin (x) + cos (2x) = 0 (l) Welche Zhlen x [0, 2π] erfüllen die Gleichung: sin (x) + tn (x) = 0 (m) estimme Sie lle reellen Zhlen x, die die folgende Gleichung erfüllen: 2 sin (x) 3 cos (x) = 3 2 (n) estimme Sie lle reellen Zhlen x, die die folgende Gleichung erfüllen: 4 sin (3x) + 3 cos (3x) = 5 2 Seite 10 / 10
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Kugeldreieck 1. Berechnen Sie die Fläche des vom Äquator, vom Nullmeridian und dem Längenkreis durch den angegebenen Ort begrenzten Kugeldreiecks. Geben Sie den sphärischen Exzeß des Dreiecks im Grad-
9 Satzgruppe des Pythagoras und Kongruenzabbildungen
Stzgruppe des Pythgors Mthemtik. Klsse 9 Stzgruppe des Pythgors und Kongruenzbbildungen Stz 4 Stz von Pythgors In einem rechtwinkligen Dreieck mit Ktheten und b und Hypotenuse c gilt: + b c Aufgbe 59 Beweisen
Die Dreiecke ADM A und BCM C sind kongruent aufgrund
Westfälische Wilhelms-Universität Münster Mthemtisches Institut pl. Prof. Dr. Lutz Hille Dr. Krin Hlupczok Üungen zur Vorlesung Elementre Geometrie Sommersemester 010 Musterlösung zu ltt 4 vom 3. Mi 010
Berechnungen am Dreieck
1 Stern Berechnungen am Dreieck Ein fünfzackiger Stern, wie abgebildet, soll völlig symmetrisch sein (alle fünf Linien sind gleich lang und alle gleichartigen Innenwinkel gleich groß) Die Gesamtlänge der
Muss der Umfang (u) oder der Flächeninhalt (A) berechnet werden? Kreuze an! Der Umfang (u) ist die Länge des Weges um eine Fläche herum.
gnz klr: Mthemtik - Ds Ferienheft mit Erfolgsnzeiger 8 Rettungsring Berechnungen m Dreieck & Viereck Begriffe: Umfng und Flächeninhlt 1 Muss der Umfng (u) oder der Flächeninhlt (A) erechnet werden? Kreuze
π 2 r 2 r 2 sin 2 (t)r cos(t) dt π 2 cos2 (t) cos(t) dt = r 2 π dt = cos(x) sin(x) u v = cos(x) sin(x) + = cos(x) sin(x) + x
Wir substituieren x x(t) r sin(t), t [ π, π ]. Dnn ist x (t) r cos(t), lso r x dx π π r π r r sin (t)r cos(t) dt π cos (t) cos(t) dt r π π cos (t) dt Wir integrieren cos mittels prtieller Integrtion: Sei
7. Mathematik Olympiade 2. Stufe (Kreisolympiade) Klasse 9 Saison 1967/1968 Aufgaben und Lösungen
7. Mthemtik Olympide. Stufe (Kreisolympide) Klsse 9 Sison 1967/1968 Aufgben und Lösungen 1 OJM 7. Mthemtik-Olympide. Stufe (Kreisolympide) Klsse 9 Aufgben Hinweis: Der Lösungsweg mit Begründungen und Nebenrechnungen
Lösungen IV ) β = 54,8 ; γ = 70,4 106) a) 65 b) 65 (115?) d) 57,5
(Stark 7 S. 6ff) Lösungen IV. a) gleichschenklig 0) a) () α = β = 6,7 () β = 7,8 ; γ = 4,4 () α = 4 ; γ = (4) α = β = (80 γ)/ b) 79,6 und 0,8 oder 0, und 0, c) α = β = 64 ; γ = d) gleichschenklig; zwei
Lösung Arbeitsblatt Potenzen / Wurzeln / Logarithmen
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Fachschaft Mathematik am Gymnasium Donauwörth
Algebr 7: Zusmmenfssen gleichrtiger Terne: ) 5x 7x 3 3x + 5x +8 b) 3u 9v [(3u 8w) (u + 9v)] c) Distributivgesetz: ) -0,4c (,5 3 c 0, c 3 ) b) 7u 5 3u (u 3) 5 (u 4u + ) Ausmultiplizieren von Klmmern: )
2.8. Aufgaben zum Satz des Pythagoras
Aufgbe 1 Vervollständige die folgende Tbelle:.8. Aufgben zum Stz des Pythgors Kthete 6 1 4 1 13 17 15 Kthete b 8 1 7 8 11 Hypotenuse c 13 9 19 17 Aufgbe Berechne jeweils die Länge der dritten Seite: Aufgbe
1. die ganzen Zahlen, denn 7= 1. a ist diejenige nicht negative Zahl, die quadriert a ergibt: 16 = 4; 0 = = 36 = 25 = e) Grundwissen 9.
Grundwissen 9. Klasse Quadratwurzel a ist diejenige nicht negative Zahl, die quadriert a ergibt: ( a ) a Die Zahl a unter der Wurzel heißt Radikand. Es gibt keine Quadratwurzel aus einer negativen Zahl.
KOMPETENZHEFT ZUR TRIGONOMETRIE, I
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Schriftliche Abiturprüfung Grundkursfach Mathematik. - Nachtermin -
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Großdruck. ohne Beispiele. (a + b) = a + 2ab + b. (a - b) = a - 2ab + b. (a + b) (a - b) = a - b. Zeitspannen: erste binomische Formel:
16 7 8 9 4 5 6 1 2 3 1 2 13 14 15 5 6 1 2 3 4 b c A B 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 17 18 19 20 21 22 23 24 25 C 13 14 15 16 9 10 11 12 7 8 2 2 2 erste binomische Formel: ( + b) + 2b + b 2 2 2 zweite binomische
Ähnlichkeit Welche der drei Behauptungen stimmen?
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