I PLANIMETRIE. 1 Winkel. 2 Dreiecke. Lösungen zu Übungen 1. Lösungen zu Übungen 2. Lösungen zu Übungen 1

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1 I PLANIMETRIE Winkel Lösungen zu Üungen. ) 8 β α + γ ) ϕ 8 β. ) α 7 ) α 5 ; β c) α 5 d) α ; β. α. ε ) α 58 ; β ; γ 6 ) α ; γ 76 c) α 6 ; β d) α 6 6. ) β α ; β ) β α ; β 5 7. ) ε 8 α ) α + β ε 8. ) ε ) ε 8 γ c) ε ; prllel d) kein Schnittpunkt, nicht prllel Lösungen zu Üungen 9. ) γ α + α' ; ϕ α + α' ) Formel us ) gilt llgemein c) γ + δ 8. ) α 9 ) β 5 c) γ 5 d) δ. β 9 α. ) α. 857 ) β 6 Dreiecke Lösungen zu Üungen. ) Lösung ) unendlich c) Lösung d) Lösung e) Lösungen f) Lösung. Konstruktionen. Konstruktion. Konstruktion 5. ). cm ) 6.96 m 6. ) h 56 cm; h cm ) c. 5 m I Plnimetrie Lösungen

2 Lösungen zu Üungen 7. ) h. 78 m ) 8. h. m 9. ) x. 96m ). 6. 5cm. A cm r h x. rs 5. h. m 6. h. 6 cm 7.. cm 8. ) Hlkreis: Durchmesser teilen : 5 ) Hlkreis: Durchmesser teilen : Lösungen zu Üungen 9. h ; A.. ) c cm; cm ) c ;. ) A ) c) A ρ r A. ) A. 75 m ) A. 5 m c) A 9. 6 m d) A 8 cm. A ( + ) 5. ) A s ( ) ) U 8s( ) 6. A ( + ) 7. A c ( ) 8 8. x cm 9. s 5 cm 8. 9 cm. x. 7 cm; x. cm I Plnimetrie Lösungen

3 . 5 cm 8. 8 cm. A 5 cm. cm. ) d 8. 8 cm ) d 6 cm. ) r 8 ) d) 7 r 6 5. x ). r c) 6 h cm ) h ( d d ) 7. s ; k 8. k ) h. 6 dm ). A c 6 h. AB 5 ; AC ; BC (Pythgors) r Vierecke Lösungen zu Üungen. ) e f A h ) A c) A m h. ) A 6cm ) A 8. 8 m c) A. 5cm. ) A '. 658 m ) A 7. 5 cm c) A m.. 8 dm; 5. 6 dm 5. ) A. cm ) A cm cm 7. ) A 7 cm ) A 9. 58cm 8. ) A 57. mm ) A 6 cm 9. ) A 5 cm ) A 9. 8cm. x cm. ) 8 cm ) ( ). A. A 7 cm s A. x 5. ) x 6. cm ) x. 667 cm I Plnimetrie Lösungen

4 Lösungen zu Üungen 6. Der Peripheriewinkel ist hl so gross wie der Zentriwinkel üer der gleichen Sehne. 7. MAP MBP, rechtwinklig, Kthete r und Hypotenuse MP gemeinsm 8. Skizze 9. ) A 9' 688 mm ) A 9. cm. A 68 cm. α ; β 8. l. 97r. c r 9 cm. ) gleichschenkliges Tpez ) Rechteck 5. x cm 6. ) keines ) n > -eck 7. ) 6 ϕ ; α 8 ϕ ) n 8. n ( 8 β) 6 9. r 5 cm; ρ. cm; A cm. α 77. ; β ϕ ; α 8 ϕ n. ) α 7 ) β 75 ; γ 5 Kreis Lösungen zu Üungen. U A. ) c) A ; ( + ) U ) A A r ; r( + ). A. 97 cm ; U cm. ) A s ; s ( + ) 8 5. A ( ) 6. ) ; U ( + ) U d) A ( ) ; U ( 9 + ) U ) s A ( + 6 ) ; U s ( + 9) A ; U ) A s : A w : 7. A : A : A 9 : : 6 8. Q A KR D K 6 I Plnimetrie Lösungen

5 5 9. A s. x r( 5 ). A.r Lösungen zu Üungen. ) A. 9 cm ) α 7. 6 c) r 5. 6 cm. α s 5. ) A s ; U s c) s A + ; U d) A ; r( + ) 6. ) r ( + 6) c) R A ; U R U ) ) A s ; U s s s A ; U d) s ( ) A + ; U A ; U s + 7. ) A r ) 5 8. A r A. : : + A r s s. ) A A + ) Zentrische Streckung und Ähnlichkeit Lösungen zu Üungen. Es gilt: : AA' SB : BB' SA oder SA : SA' SA : ( SA + AA' ) oder.... ) f 6 cm ) e 6 cm c) ' 8 cm d) ' 8 cm. f. 5 cm; e 9 cm; A 5 cm. ( c ) x ; 5. x cm cd y ; ADE e z c U ; U s ( + ) I Plnimetrie Lösungen

6 6 6. x 5 m 7. ) 8. x m c ) 95 m d 9. m prllel zu. u. 9cm; v 7. 5 cm; x cm; y 9. cm. x 5. 8cm. CS : CD SM c CD :. AMS 6.67% ; ASC.% ; MBN 5% ; MNS 8.% ; SNC 6.67%. ) A 8. cm ) A 7 cm 5. h 7. cm Lösungen zu Üungen 6. Der Peripheriewinkel ist hl so gross wie der Zentriwinkel üer der Sehne BD. 7. h : q p : h 8. ) AEF ADC BEC BDF ) AED BEC ; AEB ABG 9. ) ACH ABG ) ACH ABG. Alle Winkel gleich.. AC : CD AE : EB. β α. A' 6 cm. ) 5. U ' 5 cm A : A' : ) 6. U cm; U ' cm 7. x. 8 cm 8. ) Flächennhme um 6%; Umfngnhme um % ) Flächennhme um p ( p) % 9. ) l. 595m;. m; m 5 g ) l. 5 m;. 5 9 m; m g V : V ' : ; Umfngnhme um p%. ) 7.7% ).%.. ) c) % A 9. A A 9 :. 5. s A s ) : p s + ( + c ) A A s I Plnimetrie Lösungen

7 7 6. ) A 9 cm ) A. 9 cm 7. ) 8. : A : A s s A s ) 6 A s 9. ) F : F : c ) F F. ) eim Kreismittelpunkt ) Streckungsfktor c) A A : :. r cm. ) ) A n Lösungen zu Üungen. Konstruktionen. Konstruktionen 5. Konstruktionen 6. ABC gleichschenklig; APC gleichschenklig; BAP gleichschenklig 7. x. 9 cm; x 8. 9 cm; x cm 8. AB : BE : ( 5 ) 9. ) 8 6 ACD DQC QPD ; gleichschenklig, Bsiswinkel ) AD : DC DC : DQ ; AD.68; DC ; DQ. 68 I Plnimetrie Lösungen

8 8 II Trigonometrie Lösungen

9 9 II TRIGONOMETRIE Berechnungen m rechtwinkligen Dreieck Lösungen zu Üungen. ). 576 ). 7 c).. ) 8. ) 7 c) ). 67 ). c) ). 9 cm; c 7. 7 cm; β 7. 5 ) m; m; α c). 6m; c 7. 9 ; α 5. 8 d). 686mm; c 66. 9mm; β. 7 e) cm;. 5 cm; β. 7 f). mm; c 9. mm; α ). 65 ). c) ) β ; c dm; 7. 9 dm ) α 7. 5 ; 5. 7 m; m c) α. 67; c 5. 9 cm;. 6 cm d) β. ; 9. dm; dm 7. ).875 ).9 c).6 8. ) β 5. 5 ; c m; 5. 8m ) β. 7; 5. 9mm; mm c) α ; c 6. 7 mm; mm d) β dm; c. 67 cm e) α 8 ; 6. 56m; m f) α 7 ; 55, 79 cm; c cm 9. ) ) + + c c c c c c) c d) c c + + c c. ) 5 ) + c) d) Lösungen zu Üungen. ) 6 ) c) ).. 7 ) β nicht definiert c) ) ) c) ) δ ) δ. 67 c) δ d) δ 5 e) δ. 996 f) δ II Trigonometrie Lösungen

10 5. ) α ; m; β 8. 7 ) α. ; β ; c. 8 dm c) c 8. cm; 7. 5 cm; α 7 d) α. 8 ; β ; 8. 7 e). 65 m;. 8 m; β. f) α 59. ; β. 997 ; 7. 8 g) α. 8 ; β 8. 9 ;. 6 cm h) nicht definiert i) c mm; mm; β. 6 j) α 66. ; c. 57 m; β. 868 mm m Lösungen zu Üungen 6. ) α 5. 7 ) α c) α 5 7. ) 7.6% ) 6.% c) 7.78% 8. ) α % ) α % c) α % 9. c 7. m. c α 7. 8 m. ) 6. cm;. 95 m ) cm;. 96 ϕ ϕ ϕ c) α ; e cos ; e sin. Winkel zwischen Seite und Digonle: α. 85 ; β Winkel zwischen den Digonlen: γ. ; ϕ γ ; h 7. 5 mm c 5. mm; A mm c 5. ϕ ;. 6 cm; A. 59 cm 6. A. 55 cm 7. α ) α ) β ) c) ϕ zw. 9.7 h r ) r tn α. ) x. 99 cm ) x. 5 cm c) x. 9 cm d) x α α 5. ; F 5N. F 569 N; F '5. N Re s. β 8. 5 ; l. 87 mm. x m R 5. ) α 8. 6 ) 6: Uhr zw. 7:6 Uhr 6. x. 6 m 7. x 9. 5 m 8. Distnz 9. 6 m; Höhe. 5 m m. y m. h.56 m;.5 m. v 7. km/h; 55. km cm cm m II Trigonometrie Lösungen

11 Berechnungen m schiefwinkligen Dreieck Lösungen zu Üungen. ) ). 986 c). 8 d). 75 e). 97 f). 97. ).87 ;59. 5 ) 9.97 ;9. 97 c) 5.8 ;. 58 d) 8.57 ;59. 7 e) 87.6 ;67. 6 f) 6.87 ;.. ) ) c) d). ) f < ) f c) f < d) f > 5. ) f > ) w c) w d) f 6. cos9 ; γ < 9 cosγ negtiv; 9 < γ 8 cos γ positiv 7. ) sin ϕ cosϕ ) sin ϕ cos ϕ c) + tn ϕ d) cos ϕ 8. α : 9. ) α 9 : undef. α 8 : - α 7 : - undef. ϕ cos ϕ + tn 6 s 6 r tn U tn( ) ) U n tn 6 n Lösungen zu Üungen. ) γ ; cm; c cm ) γ 8. ;. 9 cm;. cm c) β. 557 ; α. ;. 557 mm d) γ 7. 9 ; α 8. 6 ; c m oder γ ; α ; c m e) α 9. 7 ; γ ;. 8 km oder α ; γ 7. 7 ;. km f) α ; β 8. 6 ; 7. 5 dm; c. 76 dm. ) γ 8 α β ;. U. 8 cm. w 6. mm α sinα ; sinβ c sinγ ) α 8 β γ ; sinα sinβ ; sin α sin γ c sin α. ) tn( ) ) tn( 5) II Trigonometrie Lösungen

12 Lösungen zu Üungen 5. ) α 5. 9 ; β. ; γ 8. 5 ) α ; γ. ;. mm c) c. 55 m; α. 86 ; β. 8 d) γ ; α. 67 ; β ) α ; β 7. 9 ; 9. 78cm; c. 6 cm ) γ. 7 ; c m; β. 66 ; m c) α 6. 8 ; cm; β 7. 5 ; γ d) γ 6. 7 ; m; 8. 9 m; c. 77 m e) cm; c. 56 cm; α 5. 7 ; β. 7 f). 69 mm; α 7. 5 ;. 87 mm; γ 8. 7 ; c c 7. ) sin γ γ cos ; α sin ; β 8 α β c sinβ ) + c c cosβ ; α sin ; γ 8 α β 8. ). 68 m; β ) α 8. 9 ; β c) mm; α 9. ) c. 76 mm; d mm; γ ; δ ) α ; β 5. 8 ; γ ; δ. 66 c) 9. 6 m; d m; α 8 ; β cm; cm; c ) U 5. 7 dm; A 7. 6 dm ) U 8. 9 cm; A 5. 6 cm. α 8. 9 ; β. 586 ; γ zw... h. 87 m 5. V 9. m w 6. t. 7 min 7. h. 85 m 8. PQ 8. 7 m 9. S S m..898 km. x. 8. x cm. x ( tn α) cm mm II Trigonometrie Lösungen

13 Lösungen zu Üungen. A pq sin α 5. ) A pq cm ) / c) für α 9 : Dreiecke mit gleicher Fläche 6. ) A m ) A dm 7. γ. 5 ; γ ( es git immer Lösungen) 8. c. 75 dm;. 5 dm 9. ) A. 5 cm ) A 6. 8 cm c) A cm d) A. 56 cm e) s s rcsin sin rcsin r r s α A r 8 f) A sin α α 8 8sin. A 6. 5 cm. A cm. A m. A. 66 cm. A 9. 6 mm 5. A 6. 5 cm 6. A. 799 mm 7. A mm 8. s. 9 cm; ru cm; A cm 9. ) c) n A n 8 tn n A n 6 ρ n sin n 8 ) A n r n tn n II Trigonometrie Lösungen

14 Trignonometrische Funktionen und ihre Grphen Lösungen zu Üungen. Def.menge Wertemenge Periodenlänge Symm.chsen Symm.zentren sin x R y x + n x n, y cos x R y x n x + n, y x tn x R \ + n R keine x n, y. sin x cos x tn x Nullstellen Rel. Minim Rel. Mxim n + n + n + n + n n n x + n, y nicht def. x + n, y nicht def.. ) sin 5 sin ) cos cos c) tn 5 tn5 d) sin sin 6 e) cos5 cos 5 f) tn tn 6. ) x ) x c) x 5. ) cos x ) sin x c) sin x d) cos x 6. ) cos x ) c) d) e) f) cos x Lösungen zu Üungen 7. ) Grph ) Jeder y-wert wird verdreifcht. c) Jeder y-wert wird hliert. d) Spiegelung n der x-achse. 8. ) Grph, Periode ) Grph, Periode c) Grph, Periode d) Grph, y cos ( x) cos x 9. ) Grph ) Verschieung um nch rechts (positiv) c) Verschieung um nch links (negtiv). ) Grph ) Verschieung um + in y-achsenrichtung nch oen c) Verschieung um - in y-achsenrichtung nch unten. ) h) Grph II Trigonometrie Lösungen

15 5. ) sin x + y ) y sin( x). 5 c) y sin x + d) y sin x ) y cos x ) y cos x + 6 y + d) y cos x c) cos( x) x. ) y tn x + ) y tn 5 5. ) y sin x + + strecken mit Fktor in y-richtung; strecken mit Fktor in x-richtung; schieen um nch links; schieen um Einheit nch oen ) ( / ) P c) T 6 A e) N ( / ) d) f) H ( /) g) T ( / ) 6. ) 5 y cos x strecken mit Fktor in x-richtung; 5 schieen um nch rechts; schieen um nch unten ) ( /.7) P c) T 5 d) A e) N (.7/ ) f) H (./.5) g) T (.57/.5) Lösungen zu Üungen c 7. ) N n / ; Astnd: c ) Amplitude: wird verdoppelt; Lge neu: N n / ; Astnd: wird hliert c c) Amplitude: wird hliert; Lge neu: N n / ; Astnd: leit d) Amplitude: leit; Lge: leit; Astnd: wird verdoppelt e) > Streckung vertikl; < < Stuchung vertikl > Stuchung horizontl; < < Streckung horizontl 8. ) A. V; T s; t. s; f 5 Hz; ϕ. 68 ) U 6. 5 V 5 c) U 6. 5 V d) x. 697 s e) x. 9. I sin( t) P t sin t +. ( ) s II Trigonometrie Lösungen

16 6 Goniometrie Lösungen zu Üungen. ) cos α ) sin α c) d) sin α e) sin α f). ) cos α. 8; tn α. 6 ) sin α. 97 ; tn α. 9 5 c) sin α. 9; cos α. 59 Lösungen zu Üungen. sin ( α + β) AD sin α cosβ + cos α sin β SD. ) cos ( + 9 ) sin( ). 866 ) sin ( 5 6 ) sin( 9 ) 5. ) ; ; ; ; ; ) ) sinα cosβ ) sinα sinβ c) tnα tnβ d) tn α + tnβ ; ; ; ; ; Lösungen zu Üungen 7. ) tn α ) tn α c) d) 8. ) cos α sin α cos α cos α cos α c) sin α cos α 8sin α cos α 9. ) z.b. α : ) tn α tn tn α α d) 8sin α cos α ) z.b. α :. ). 96 ). 57 c). 88 d). 6. ) sin α cosβ cos γ + cosα sinβ cosγ + cosα cosβ sin γ sin α sinβ sin γ ) cos α cosβ sin α cosβ sin α cos α sin β II Trigonometrie Lösungen

17 7. ) + 6 c) + d) e) ) 6 6 f). ) cos α + sin α c) tn α + tn α. ) ) - 5. ) α sin cos α 6 ) ( sin α + cos α) + ( ) ( ) d) cos α sin α ) α cos + cos α c) α tn cos α + cos α Lösungen zu Üungen 6. ) L { 5 ; 5 ) L { 7 ; 5 c) L { 68. ; 8. d) L { 5 ; 7 e) { 67 ; 7 L f) undef 7. ) L { 5 ; 5 ) L { 5 ; 5 c) L { ; 9 ; 8 ; 7 ; 6 d) L { ; 8 ; 6 8. ) L {.5 ; ) L { 69.7 ; 9. 7 c) L { ; 7. d) L { 85.5 ; 9.5 ; 7.5 ; ) L { ; ) L { 66. ; c) L { 5. ; d) L { ; ) L { 6.87 ;. ) L { 5. ; 6.87 ;. ; c) L { ; 5 ; 8 ; 5 ; 6 d) L { ; 5. ) L { 5.6 ;.76 ; 5.6 ;. 76 ) L { 5. ; ;. ; c) L { 5 ; 5 ; 5 ; 5 d) L { 9. ) L { ; 6 ; 8 ; ; 6 ) L {.7 ; c) L { ; ;8 ; ; 6 d) L { 6.7 ; ) L { 6 ; ; ; ) L { 9; 7. ) x 5 ; L ; { L ) y x 7 9 ; ; ; L ; L {.5 c) L { ; L {.866 d) L {.9; 5. ; L {.5 x y 5. ) L { / ; / ; / ) L {.896 /.5;.6 /.5 x / y x x / y y y II Trigonometrie Lösungen

18 8 III Stereometrie Lösungen

19 9 III STEREOMETRIE Grundlgen Lösungen zu Üungen. ) Skizze ) z.b. AB // CD ; AG BH ; AB BA; ABC // EFG ; ABC BCD ; ABD CGF. ) schneiden sich ) sind windschief c) 8.9 d) ) 5 ).75 c).5 Prism und Zylinder Lösungen zu Üungen. ) V 9 ; S 77 ). cm V ; S c) V c ;. ) nein ) 568 cm c).87 kg. 5. ) 6. ) k V ) 9 n ) S k c) l k n 7.. m;.77 m; c. m 8. l 6.57 cm; 8.89 cm; h.87 cm S 8c d) 6 V ; S 9 c) n d) 7; 7 ; 9. ) Skizze ). %. 5.88%. 9.% kg. d.78 dm 5..8 cm A 6. ) 9 m ) 8.6 m Lösungen zu Üungen 7. V cm ; S 5.6 cm 8. V.6 cm ; S 87.8 cm s 7 ; h III Stereometrie Lösungen

20 . V 9 s ; S s ( + 9). s. ) Prism ). V s sin α 5. ) wird kleiner ) -7.95% 6. ) ( + V ) ; ( 9 + ) cm 8. ) Skizze ) 5.56 cm V c) S + S ) 9. ) 9.97 m ) m c).55 m 5 V ; S ( 6 + ) Lösungen zu Üungen. V r.. m. r. + 5%. 6.% 5. V 8.7 cm ; S 58. cm 6. V ( ) ; S ( ) cm cm 9.. cm. d 5.8 m; d i.6 m. ) V 6.9; S ) ( ) V r ; S r ( ) c) V 7c ( 9 ) ; S 9c ( 7 ) d) V d ( + ); S 6d ( + ) Spitze Körper Lösungen zu Üungen. ) 9.9 cm ) cm c) cm d) 86 cm. ) 6 S ) V cm ; S 7.8 cm V ; ( + ) c) V cm ; S cm. ) cm ) 6.88 cm c) cm d) 5.8 cm. ).88 dm ).699 dm III Stereometrie Lösungen

21 5. ) 6.5 cm ).96 c) ).85 cm ) 67.8 cm 7. s. cm; h.66 cm cm zw..78 cm V ) S ( + ) c) ( + ) 9. ) 6 k tot. ) Knten à 5 cm, Knten à 6.5 cm ).76 cm c) V (flch). S ( + ). V. ) Skizze ).86 cm c) 7.97 cm..668 cm 5..9 m 6. ( ) V + ; S ( ) 7. ) V ; S ) 6.7 cm 8. V ; S 6 Lösungen zu Üungen cm. r. ) 6.6 m ). m c) 8.87 m. S 9.8 cm ; V 68. cm. ) 6.5 mm ).7 mm..8 cm 5. h.8 cm; d.778 cm 6. m.5 cm; ϕ ; cm 7. ) h cm; d cm; m 6. cm ) 9.6 kg 8. 5 cm III Stereometrie Lösungen

22 Stumpfe Körper Lösungen zu Üungen. ) V 98.69; S 6.9 ). V 87 cm ; S 7. cm + V. ) 8.97 cm ).8 cm c) 57. cm d) 5 cm cm x.8 cm.68 ; 6. ) x.7 cm; A 9.7 cm ) x 6.66 cm; A 57.6 cm 7., m ; 8 V S ) 5 cm ) 6.9 cm c) cm..8 g/cm. ) cm ) 9.9 cm S.9 Lösungen zu Üungen. ) 8'97.8 cm ) '.9 cm c) cm cm 6. V.9 ; S 6.9 cm 7. ).87 g/cm ).5 g/cm 8. ) 7. cm ).59 cm 9. h cm; V 7 ml g zw g 5 Kugel und Kugelteile Lösungen zu Üungen.. ) km ) 6. t. 886 Stück. V 78. cm ; V.89 cm III Stereometrie Lösungen

23 cm 6. d h 7. r.7 cm; m 7.6 cm 8. d z. 86d ; M.565d %. ) cm ) :.67. ) S ) :.9 c) cm. ) cm ) 9.99 cm. c) cm V z r. cm; V 576 cm 5. r cm 7. ) m ) 8. kg 8. ).97 cm ).68 g/cm dm. ) :.698 ) :.9 Lösungen zu Üungen. ) ) 76.9 c) d.55d 75. G 8.9 cm ; M.6 cm d) ρ.5ρ 8. ) cm ) d( h + h ) cm 6..8 g dm 8..5 m 9. Tropen: 9.875%; gemässigte Zonen: 5.8%; Polrzonen: 8.9% g. ) + r ( ) ) d. ) V ).66 cm 6 ( + h h ) S d III Stereometrie Lösungen

24 IV Vektorgeometrie Lösungen

25 5 IV VEKTORGEOMETRIE Vektoregriff und Vektoropertionen Lösungen zu Üungen. ) AB DE ; BC EF ; CA FD ; AD BE CF ) AB BC CA DE EF FD ; AD BE CF. AB ED ; BC FE ; CD AF. ) c ; ϕ ) c. 5 ; ϕ, c) c. 7 ; ϕ Lösungen zu Üungen 5. ) c 6 ) ( c) c) + c AE + ; AG + ; EF ; DG ; FG + ; GE CM d 7. AD + ; CA ; ; M A ; M M 8. BC + c ; BD + d ; CD c + d 9. AE c + h ; AF + c + h ; BM + h ; MA c h d. CE + c ; AS + ; CM + c ; HS c ; c BM + + ; MS c. ) 5 c ) AF AE c) BD. Skizze BF. AM MC und BM MD. c + ; + c 5. m ( + c) 6. BS SM M BF Vektoren in Komponentenform Lösungen zu Üungen. A(;); B(-;); C(-;-). A(;;); B(;;-); C(;;). Skizze. Skizze 5. ) E(;;); F(;;); G(;;); H(;;) ) (;;); (;;); (;;); (;;); (;;); (;;); (;;); (;;); (;;.5); (;;.5); (;;.5); (;;.5) c) (;;); (;;); (;;.5); (;;.5); (;;.5); (;;.5) d) (;;.5) IV Vektorgeometrie Lösungen

26 6 Lösungen zu Üungen 6. Skizze 7. A (;9); B (;); C (-.5;-6) A (-;-); B (;); C (-.5;6). ) ) Lösungen zu Üungen. Skizze. A (;-;6) ) A (;-;-) ) A (-;;) c) A (-;-;) d) A (-;-;) 5. ) x 6 ; y ) x 5; y ; z c) x ; y ; z Lösungen zu Üungen 6. ) 6 5 c) 5 e) 7. ) 5 c) 8. ) 7 c) ) d). 5 f) d 8 ) 5 d) d 6 ; d.5 ).5 d) IV Vektorgeometrie Lösungen

27 7 IV Vektorgeometrie Lösungen 9. ) ) y. ; ; c ; 6 c ; c ; 6 c Lösungen zu Üungen 5. ) unhängig ) hängig c) unhängig d) hängig e) unhängig f) CD EF h.. ) j, sind Bsis ) nein, keine Bsis. ) j, sind Bsis ) nein ( / kolliner) c) j, sind Bsis d) nein (liner h.) 5. ) 6 x ) y und 6 y 6. ) ) c) d) ) d ) c d + 8. ) 5, x ; 75, y ) x ; y ; z 9. ) mehre Lösungen, z.b.: ; 5 ; 6 ; ) z.b.: ; 6 ;. ) d z c y x + + ht keine Lösung ) + Streckenlängen und Teilpunkte Lösungen zu Üungen. ) ) 5 c) 7 c d) 9 d. ) 5 OA ; OB ; OC ) 9 OA ; 9 OB ; OC

28 8. ) AB ) AB c) AB d) AB. ) ).55 c) d) z ± 6 6. y 6 7. ) c) ' ; '.7 ; c ' 5.77 ) ' ; '.7 ; c '.577 d) ' ; '.7 ; ' ; '.7 ; ) e ) e c) e c d) 9. S (8;8); S (;-); S (-;). AB DC ; BC AD. C(;;9); D(-;-6;5) e d c ' c ' ) P (;); P (;) ) P (-.;;); P (;-5.67;); P (;;5.5). P (;); P (7.;). P (;.87;); P (;6.88;) 5. AB BC CA AD BD CD Lösungen zu Üungen 6. + M ) T(,857;,) ) T(9.5;-) c) T(;;-) d) T(6;-;) 8. ) : ) : 9. ) S(-.;) ) S(-;,;). S ( A + B + C). C(;6). ) S(;) ) S(;-;) IV Vektorgeometrie Lösungen

29 9. M(;); r 5. M(;-;); r 9 5. ) : ) : Sklrprodukt Lösungen zu Üungen. ) 5 ) c) - d) 7 e) f) -. ) ) 5 c) 9.76 d) 9 e) 75.8 f) 9.8. ) 8 ) 6 c) 9.88 d) 9 e). f) ϕ ; ϕ 6. ) α. 5 ; β 5. 5 ; γ ) α. 9 ; β ; γ α 8. 9 ; β 9 ; γ. 6 ; δ zw ) n ) n ; n c) n ; n 8. AMB ; FMG ) 6 ) 9 c) 6 Lösungen zu Üungen. ) -6 ) 8 c) 8 d) -6. ) sklr; ) sklr; c) vektoriell; d) sklr; e) undefiniert f) sklr; 8. ) ) 6 c) n + n d). ( + ) ( + )( + ) 9 + IV Vektorgeometrie Lösungen

30 Lösungen zu Üungen w ) ( + )( ). ) w α β c) c ; c c cos α 5. ) + c ; ) h p ; q + h c) zusätzlich c p + q 6. AB DC ; BC AD ; AB BC ) ; ; ) -5 ). x 6; z ) ;. ( y. 5; z. 5); U ; A. 5; ( y. 75 ; z. 75 ); U ; A. 56. P (;;); P (;;-). ) -.5 ). + c Lösungen zu Üungen 5. ) ϕ x ; ϕ y. 96 ) ϕ x 7. 9 ; ϕ y. 57 ; ϕ c) ϕ x ; ϕ y 9 ; ϕ z 8. 5 d) ϕ x ; ϕ y ; ϕ z P (9.6;;); P (-7.6;;) 7. ϕ z ; 9. C (;-7); C (5;) z Lösungen zu Üungen 5. ) 5. 6 ; ) ;. ) 5;.87 ) -.79;..7 5 IV Vektorgeometrie Lösungen

31 . ) 5. 7 ) 6.. H c (;); F 5. C (-;7;-); C (-9;-;-6); F F AD ; AD Lösungen zu Üungen Fr.. 9. ) 5 Zeiteinheiten 5..5 ) K c. c Fr ) J ) N IV Vektorgeometrie Lösungen