Themen: Strahlensätze, Trigonometrie, trigonometrische Funktionen

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1 Mathematik Klasse 10c Vorbereitung Klassenarbeit Nr. 3 am Themen: Strahlensätze, Trigonometrie, trigonometrische Funktionen Checkliste Was ich alles können soll Ich erkennen die Strahlensatzfiguren (zwei parallele Geraden werden von zwei Halbgeraden mit gemeinsamem Anfangspunkt bzw. von zwei Geraden geschnitten). Ich kann den ersten Strahlensatz anwenden (auch in Sachsituationen). Ich kann den. Strahlensatz anwenden und achte dabei darauf, immer Abschnitte auf den Strahlen zu benutzen, die am Schnittpunkt / Streckzentrum liegen. Ich kann die Bruchgleichungen, die beim Aufstellen der Strahlensätze entstehen, lösen und damit unbekannte Strecken (auch in Sachzusammenhängen) berechnen. Ich kenne die Definitionen der trigonometrischen Funktionen Sinus, Kosinus und Tangens in rechtwinkligen Dreiecken mit Hilfe von Gegenkathete, Ankathete und Hypotenuse. Ich kann in rechtwinkligen Dreiecken, in denen Seiten gegeben sind, die spitzen Winkel und die dritte Seite berechnen. Ich kann in rechtwinkligen Dreiecken, in denen 1 Seiten und 1 spitzer Winkel gegeben sind, die beiden anderen Seiten berechnen. Ich erkenne rechtwinklige Dreiecke in bestimmten ebenen Figuren (gleichschenkliges Dreieck, Raute, Trapez ) und nutze diese zu Berechnungen. Ich erkenne rechtwinklige Dreiecke in Sachzusammenhängen und berechne gesuchte Größen mit Hilfe der trigonometrischen Funktionen. Ich kenne die Beziehungen sin(α) = cos(90 α), sin²(α) + cos²(α) = 1 und tan(α) = sin(α)/cos(α) und kann sie anwenden (z.b. um ohne TR weitere Werte zu ermitteln). Ich unterscheide zwischen Bogen- und Gradmaß und achte bei der Einstellung meines Taschenrechners darauf. Ich kann ziwschen Bogenmaß und Gradmaß umrechnen. Ich kenne die speziellen Werte von Sinus, Kosinus und Tangens für 0 ; 30 ; 45 ; 60 und 90 (bzw. 0, π/6, π/4, π/3 und π/ im Bogenmaß) auswendig. Ich kenne die Definition der trigonometrischen Funktionen am Einheitskreis. Ich kann am Einheitskreis ablesen, welches Vorzeichen sin(α), cos(α) und tan(α) haben und ihren Betrag zu einem Winkel im ersten Quadranten in Verbindung bringen (z.b. mit sin(180 α) = sin(α), cos(180 +α) = cso(α) usw. ). Damit kann ich Werte wie cos(135 ), tan(405 ), sin( 330 ) ohne Taschenrechner bestimmen. Ich kann die Graphen der Sinus- und der Kosinusfunktionen im Gradmaß und im Bogenmaß zeichnen. kann ich muss ich üben

2 Ich kann Eigenschaften dieser Funktionen formulieren (insbesondere Symmetrien und Monotonie). Ich kenne den Sinussatz und kann ihn in Worten und als Formeln formulieren, Ich kenne den Kosinussatz und kann alle damit verbunden Formeln auswendig aufstellen. Ich kann die Formeln des Kosinussatzes nach dem Kosinus freistellen. Ich erkenne in Sachsituationen, dass Sinus- oder Kosinussatz anwendbar sind, und kann damit Berechnungen durchführen. Ich kann Dreiecke, von denen WSW oder SWW vorgegeben sind, mit Hilfe des Sinussatzes vollständig berechnen. Ich kann Dreiecke, von denen SSW vorgegeben ist, mit Hilfe des Sinussatzes vollständig berechnen. Dabei achte ich darauf, ob der gegebene Winkel gegenüber der kürzeren gegebenen Seite liegt, und berechne in diesem Fall ggfs. beide Lösungen. Ich kann Dreiecke, von denen SWS vorgegeben ist, mit Hilfe des Kosinussatzes vollständig berechnen. Ich kann in Dreiecken, von denen alle drei Seitenlängen bekannt sind, mit Hilfe des Kosinussatzes die Innenwinkel berechnen. Es gibt wie immer einen hilfsmittelfreien teil und einen mit dem CAS-Rechner. In dem zweiten Teil dürft Ihr diesmal auch die Formelsammlung (das Cornelsen-Tafelwerk) benutzen! Zum Üben empfehle ich als erstes die von mir zusammengestellten Übungsaufgaben zur Klassenarbeit Nr. 3. Wenn ihr bestimmte Aufgabentypen weiter üben wollt, sucht euch diese aus dem Training dahinter heraus. Lösungen dieser Aufgaben veröffentliche ich wie immer auf meiner Website unter Übungen zur Trigonometrie im Buch (EdM 9); Bist du fit? auf Seite 7 (Lösungen auf Seite 80-8) Für weitere Übungen zu den Strahlensätzen verweise ich auf den Cornelsen Mathe-Trainer: Übungsaufgaben (mit Lösungen) zu beliebigen Dreiecken unter Verwendung von Sinussatz und Kosinussatz findet ihr unter sowie von die Aufgaben auf den Seiten 16 bis 18.

3 Mathematik Klasse 10c Übungsaufgaben zur Klassenarbeit Nr. 3 am Hilfsmittelfreier Teil 1 Aufgabe 1: a) Zeichne die Graphen der Sinusfunktion und der Kosinusfunktion im Bogenmaß im Intervall π x 3π (1 cm entspricht einer Einheit, π 3) b) Nenne alle Punkte in der Abbildung, die Symmetriezentren des Graphen der Kosinusfunktion sind. c) Gib alle Bereiche in π x 3π an, in denen die Sinusfunktion streng monoton fallend ist. Aufgabe : Gib exakt an: cos(0) = sin(45 ) = cos(60 ) = tan(30 ) = sin( 3 ) = cos(π) = tan( 4 ) = cos( ) = sin(150 ) = cos(5 ) = sin ( 90 ) = cos (930 ) = Aufgabe 3: Es ist sin(37 ) 0,60. a) Begründe, dass deshalb cos(37 ) 0,80 sein muss. b) Berechne mit Hilfe dieser beiden Werte auf zwei Nachkommastellen genaue Näherungswerte für i. tan(37 ) ii. sin(53 ) iii. cos(17 ) iv. tan( 53 ) Aufgabe 4: a) Formuliere den Sinussatz in Worten! b) Stelle eine Formel zur Berechnung von cos(δ) in dem dargestellten Dreieck DEF auf. D δ f e F d E

4 Teil mit CAS und Formelsammlung Aufgabe 1: a) Rechne die folgenden Winkelgrößen ins Bogenmaß um. Gib das Ergebnis in Vielfachen von π an, wenn dies sinnvoll ist. i. 40 ii. 67,1 iii. 7 iv. 609 b) Rechne die folgenden Winkel ins Gradmaß um. Runde sinnvoll! 3 11 i. ii. iii. 0,63 iv. 4,71 4 Aufgabe : a) Bestimme die Länge des Sees und die Breite des Flusses aus den angegebenen gemessenen Längen. b) Unter welchen Voraussetzungen ist dies nur möglich? 350 m 560 m 00 m 70 m 13 m 4 m Aufgabe 3: Ein Drachen steht in der Luft. Die m lange Leine ist gerade gespannt und zeigt unter 48 (zur Ebene) in die Höhe. Skizziere den Sachverhalt und berechne, wie hoch der Drachen steht. Aufgabe 4: Gegeben ist ein Dreieck ABC mit Hypotenuse c und a) α = 34 ; a = 5, cm b) β = 77 ; c = 1,5 dm c) a = 4,0 km ; c = 6,4 km Berechne jeweils die fehlenden Seiten und Winkel. Aufgabe 5: Eine Leiter der Länge 4,7 m wird an eine Wand gelehnt. Zwischen welchen Werten darf sich ihr Anstellwinkel gegenüber der Wand bewegen, wenn der Fußpunkt der Leiter mindestens 1m, aber nicht weiter als m von der Wand entfernt sein soll? (Runde auf 1 Nachkommastelle.)

5 Aufgabe 6: 3 1,50 m 6 m Aufgabe 7: Wie hoch ist der Turm links? Aufgabe 8: Tobias überquert schräg (aber auf geradem Weg) eine 8,50 m breite Straße und legt dabei 11,0 m zurück. a) Skizziere den Sachverhalt. b) Berechne den (spitzen) Winkel α, den der Straßenrand mit Tobias Weg bildet. Aufgabe 9: a) Berechne den Flächeninhalt eines Dreiecks ABC mit den Seiten b = 6,3 cm, c = 7,5 cm und dem Winkel α = 39. b) Berechne den Flächeninhalt einer Raute mit der Seitenlänge 6 cm, deren Seiten einen spitzen Winkel von 60 bilden. Aufgabe 10: Von einem Dreieck ABC sind drei Größen gegeben. Überprüfe, ob es ein solches Dreieck geben kann. Wenn ja, berechne die übrigen Seitenlängen und Innenwinkel. Wenn nein, begründe weshalb nicht. a) a = 14 mm, b =,3 cm, c = 0,8 dm. b) b = 5,8 cm, c = 8,5 cm, β = 76. c) a = 5,8 cm, c = 8,5 cm, γ = 76. d) a = 5,8 cm, b = 8,5 cm, γ = 76. Abbildungen zu Aufgabe 11:

6 Aufgabe 11: a) Berechne die Länge des Rundwanderweges von der Schutzhütte zum Aussichtsturm über die Brücke zurück zur Schutzhütte. b) Berechne, wie weit Y-Dorf und Z-Dorf in Luftlinie voneinander entfernt sind. Aufgabe 1: Die Länge einer Strecke PQ lässt sich nicht direkt messen. Auf ihrer Verlängerung wird daher ein Punkt A markiert und eine Standlinie AC abgesteckt. Ferner wird auf der Strecke AC ein Punkt B markiert. Von der Standlinie aus werden die Endpunkte der Strecke wie abgebildet angepeilt. Gemessen wurden: AB =17 m, BC =96 m, α = 73, β = 80 und γ = 5. Bestimme die Länge der Strecke PQ.

7 Mathematik Klasse 10 Training zur Trigonometrie..0 Teil A) Übungsfragen (z.b. zum Erstellen von Frage-/Antwortkärtchen) 1. Wie sind sin(α), cos(α) und tan(α) in einem rechtwinkligen Dreieck definiert?. Welche trigonometrische Funktion wird aus Ankathete und Hypotenuse gebildet? 3. Welche trigonometrische Funktion wird aus Ankathete und Gegenkathete gebildet? 4. Welche trigonometrische Funktion wird aus Hypotenuse und Gegenkathete gebildet? 5. Wie sind sin(α), cos(α) und tan(α) am Einheitskreis definiert? Erläutere an einer Skizze! 6. Wie lauten die Winkel zwischen 0 und 90, für die es spezielle Werte der trigonometrischen Funktionen gibt? Stelle eine Tabelle mit diesen Werten auf! 7. Wie werden sin(α), cos(α) und tan(α) für beliebige Winkel α definiert? 8. In welchen Quadranten gilt i. sin(α)>0 ii. sin(α)<0? 9. In welchen Quadranten gilt i. cos(α)>0 ii. cos(α)<0? 10. In welchen Quadranten gilt i. tan(α)>0 ii. tan(α)<0? 11. Welche Formel für sin und cos liefert der Satz des Pythagoras? 1. Welche Formel für tan(α) ergibt sich aus Anwendung des Strahlensatzes? 13. Wie kann man cos(α) ausrechnen, wenn sin(α) und der Quadrant bekannt ist? 14. Wie kann man sin(α) ausrechnen, wenn cos(α) und der Quadrant bekannt ist? 15. Wie kann man tan(α) ausrechnen, wenn sin(α) und cos(α) bekannt sind? 16. Wie kann man die trigonometrischen Funktionen in einem gleichschenkligen Dreieck anwenden? Teil B) Übungsaufgaben ohne Hilfsmittel 1.) Überprüfe, ob die folgenden Aussagen wahr sind. Begründe! a) Es existiert ein Winkel α des zweiten Quadranten, für den sin(α) = cos(α) ist. b) Es existiert ein Winkel β des ersten Quadranten, für den tan(β) = 100 ist. c) Für alle Winkel γ des dritten Quadranten haben sin(γ) und cos(γ) dasselbe Vorzeichen. d) Es gibt einen Winkel δ, für den sin(δ) = 0,9 und cos(δ) = 0,3 ist. e) Für alle Winkel φ des ersten Quadranten ist sin(φ) < tan(φ).) Fülle die Tabelle mit den Funktionswerten der trigonometrischen Funktionen aus: α sin(α) cos(α) tan(α) 3.) Bestimme alle Winkel α mit 0 α 360, so dass 3 a) sin( ) b) cos( ) c) tan( ) 3

8 4.) Berechne und vereinfache: 1 cos(45) a) sin (150 ) : cos(390 ) b) tan(60) 1 c) 3sin ²45 cos ²60 = d) sin ²30 cos ²60 sin ²30 cos ²30 cos ²45 = sin ²45 cos ²45 e) Zeige, dass sin 60 sin 30cos30 gilt. 4 5.) a) Für einen Winkel α des 1. Quadranten gilt sin( ). Gib die exakten Werte von cos() 5 und tan() an. 3 b) Für einen Winkel α mit ist sin( ). Berechne cos( ) and tan( ). 5 c) Für einen Winkel α mit ist cos( ). Bestimme sin( ) und tan( ). 5 d) Von einem Winkel α ist bekannt, dass cos( ) und sin( ). Gib den exakten Wert 3 3 von tan() an. 6.) Gegeben ist das Dreieck ABC with BCA 90. Das Dreieck BCD ist gleichseitig mit CD 4 Außerdem gilt and EDA 90 Berechne damit die Länge von AD. Teil C) Übungsaufgaben mit Taschenrechner und Formelsammlung (rechtwinklige Dreiecke)

9 9.) In einem Dreieck ABC ist die Höhe FC auf der Seite AB eingetragen. Bekannt sind die Längen AB = 5,8 cm und AF =,1 cm sowie der Winkel α = 5. a) Berechne die Länge der Höhe FC. b) Berechne die Größen des Winkels β und γ. c) Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks ABC. d) Berechne den Umfang des Dreiecks ABC. A α C γ F β B

10 15) (gemeint ist die Fahrtstrecke auf der Straße!) 16.) Die Abbildung zeigt einen Kegelstumpf. Man erhält ihn, indem man einen Kegel parallel zur Grundfläche abschneidet. a) Berechne. b) Berechne den Umfang des Trapezes ABCD. 17.) Die Cheops-Pyramide von Gizeh hat eine quadratische Grundfläche mit der Seitenlänge 3 m und ist 147 m. a) Stelle dir vor, du solltest eine Seitenkante zur Spitze hochklettern. Wie groß ist die Steigung (in %) und wie groß ist der Steigungswinkel? b) Noch schwieriger wird es, wenn du an der Mitte einer Grundseite und geradewegs zur Spitze hochklettern willst. Berechne auch in diesem Fall Steigung und Steigungswinkel! Viel Erfolg!

11 Mathematik Klasse 10c Übungsaufgaben zur Klassenarbeit Nr. 3 Lösungen Hilfsmittelfreier Teil 1 Aufgabe 1: a) Zeichne die Graphen der Sinusfunktion und der Kosinusfunktion im Bogenmaß im Intervall π x 3π (1 cm entspricht einer Einheit, π 3) ) Nenne alle Punkte in der Abbildung, die Symmetriezentren des Graphen der Kosinusfunktion sind. 3 5 ( 0 ), ( 0 ), ( 0 ), ( 0 ) c) Gib alle Bereiche in π x 3π an, in denen die Sinusfunktion streng monoton fallend ist. 3 Die Sinusfunktion fällt streng monoton in π x, in x und in 5 x 3π. b Aufgabe : Gib exakt an: cos(0) = 1 sin(45 ) = cos(60 ) = tan(30 ) = sin( ) = 3 cos(π) = 1 tan( ) = 1 cos( ) = sin(150 ) = cos(5 ) = sin ( 90 ) = 1 cos (930 ) = 3 = sin(30 ) = cos(45 ) = sin(90 ) = cos(10 ) = cos(30 ) Aufgabe 3: Es ist sin(37 ) 0,60. a) Begründe, dass deshalb cos(37 ) 0,80 sein muss. b) Berechne mit Hilfe dieser beiden Werte auf zwei Nachkommastellen genaue Näherungswerte für i. tan(37 ) ii. sin(53 ) iii. cos(17 ) iv. tan( 53 ) a) Es ist sin²(α) + cos²(α) = 1 und daher cos²(37 ) = 1 sin²(37 ) 1 0,60² = 1 0,36 = 0,64. Da wegen 0 < 37 < 90 (I. Quadrant!) sin(37 ) > 0 ist, ist daher sin(37 ) 0, 64 = 0,80. sin(37) 0, b) i. tan(37 ) = = 0,75. ii. sin(53 ) = cos (90 53 ) = cos(37 ) 0,80. cos(37) 0, iii. cos(17 ) = cos( ) = cos(53 ) = sin(90 53 ) = sin/(37 ) 0,60. sin( 53) sin(53) sin(53) 0,80 4 iv. tan( 53 ) = 1,33. cos( 53) cos(53) sin(37) 0,60 3 Aufgabe 4: a) In jedem beliebigen Dreieck ist der Quotient der Sinusse zweier Innenwinkel gleich dem Quotienten der Längen der jeweils gegenüber liegenden Seiten. D δ f e d F b) e cos( ) f d ef E

12 Lösungen zu Teil mit CAS und Formelsammlung Aufgabe 1: a) Rechne die folgenden Winkelgrößen ins Bogenmaß um. Gib das Ergebnis in Vielfachen von π an, wenn dies sinnvoll ist. 4 67,1 7 i. 40 = ii. 67,1 = 1,171 iii. 7 iv , b) Rechne die folgenden Winkel ins Gradmaß um. Runde sinnvoll! 3 i. 4 = 135 ii. 11 0,63 = 990 iii. 0,63 = 180 = 36, iv. 4,71 70 Aufgabe : a) Bestimme die Länge des Sees und die Breite des Flusses aus den angegebenen gemessenen Längen. b) Unter welchen Voraussetzungen ist dies nur möglich? x : Länge des Sees; Wenn die beiden Abschnitte g und h parallel sind, kann der 1. Strahlensatz x 560 m verwendet werden: x,8 350 m = 980 m ist der See lang. 350 m 00 m y : Breite des Flusses; Wenn die beiden 70m bzw. 10 m langen Abschnitte parallel sind (was wegen der beiden Orthogonalitätszeichen der Fall ist!), kann der. Strahlensatz ( verwendet y 4 m 13 m werden: y 4 m y 4 m y y 1 y y y 70 m y 4 m m 7 m 7,0968 m. Etwa 7 m ist der Fluss breit x 350 m y 560 m 00 m g h 70 m 13 m 4 m Aufgabe 3: Ein Drachen steht in der Luft. Die m lange Leine ist gerade gespannt und zeigt unter 48 (zur Ebene) in die Höhe. Skizziere den Sachverhalt und berechne, wie hoch der Drachen steht. h sin(48 ) = <==> h = m sin(48 ) = 16,349.. m. m Der Drachen steht etwa 16 m hoch. (Wenn er direkt am Boden befestigt ist.) 48. Aufgabe 4: Gegeben ist ein Dreieck ABC mit Hypotenuse c und Berechne jeweils die fehlenden Seiten und Winkel. a) α = 34 ; a = 5, cm a 5,cm c sin( ) sin(34) = 9,991 cm 9,3 cm. β = 90 α = 56. a 5,cm b tan( ) tan(34) = 7,7093 cm 7,7 cm. b) β = 77 ; c = 1,5 dm a = c cos(β) = 1,5 dm cos(77 ) = 0,81189 dm,8 1 cm α = 90 β = 13. a = c sin(β) = 1,5 dm sin(77 ) = 1,1796 dm 1, dm c) a = 4,0 km ; c = 6,4 km a 4 sin(α) = =0,65 ==> α = 38, c 6,4 β = 90 α = 51, a² + b² = c² <==> b = c a 6,4 4 km 4, km 5,0 km m h =?

13 Aufgabe 5: Eine Leiter der Länge 4,7 m wird an eine Wand gelehnt. Zwischen welchen Werten darf sich ihr Anstellwinkel gegenüber der Wand bewegen, wenn der Fußpunkt der Leiter mindestens 1m, aber nicht weiter als m von der Wand entfernt sein soll? (Runde auf 1 Nachkommastelle.) Für den minimalen Winkel gilt sin(α min ) = Für den minimalen Winkel gilt sin(α max ) = a l a 1 4,7 ==> α min 1,845 ==> α max 5,1843 l 4,7 Der Anstellwinkel gegenüber der Wand muss sich zwischen 1,3 und 5, bewegen. Aufgabe 6: 1m : 6 Für den Steigungswinkel gilt cos(α) = ==> α = 31, m 7 Für die Dachhöhe giolt nach dem Satz des Pythagoras: h² = (7m)² (6m)² = 13 m² ==> h = 13 m. Also ist der Dachraum etwa 3,6 1 m hoch. Aufgabe 7: Der Turm ist 1,50 m + 6 m tan(3 ) = 1,50 n + 16,466 m = 17,7466 m 17,5 m hoch. Aufgabe 8: Tobias überquert schräg (aber auf geradem Weg) eine 8,50 m breite Straße und legt dabei 11,0 m zurück. a) Skizziere den Sachverhalt. b) Berechne den (spitzen) Winkel α, den der Straßenrand mit Tobias Weg bildet. Straße. 8,50 m α Tobias Weg 11,0 m cos(α) = Leiter l = 4,7 m Abstand a = 1 m bzw. m 8,50m 0,7589 ==> α = 40,630 40,6. 11,0m Aufgabe 9: a) Berechne den Flächeninhalt eines Dreiecks ABC mit den Seiten b = 6,3 cm, c = 7,5 cm und dem Winkel α = 39. Für die Höhe h c auf c gilt: sin(α) = b h c <==> h c = b sin(α) Damit ergibt sich die folgende Formel für den Flächeninhalt (die ganz allgemein gilt und auch in der Formelsammlung zu finden ist:) 1 1 A c hc c b sin( ) = 0,5 6,3 cm 7,5 cm sin(39 ) = 14,86769 cm² 14,9 cm². b) Berechne den Flächeninhalt einer Raute mit der Seitenlänge 6 cm, deren Kanten einen Winkel von 60 bilden. a a Allgemein gilt in einer Raute mir Seitenlänge a und Innenwinkel β für die Längen e und f der beiden Diagonalen: e/ e f. f/ cos( ) e acos( ) und ) a sin( f a sin( ) β/ a a a Da sich die Raute aus 4 rechtwinkligen Dreiecken zusammensetzt, deren Katheten jeweils halbe Diagonalen sind, gilt: a cos( ) asin( ) 1 e f ef 4 A a cos( )sin( ) = 1 3 (6 cm)² sin(30 ) cos(30 ) = 36 cm² = 18 3 cm² 31,177 cm². (Man kann mit der Überlegung aus a) kann man die Raute auch in zwei kongruente (hier sogar gleichseitige!) Dreiecke zerlegen. Dann erhät man direkt und allgemein A = a² sin(β)!) α.

14 Aufgabe 10: Von einem Dreieck ABC sind drei Größen gegeben. Überprüfe, ob es ein solches Dreieck geben kann. Wenn ja, berechne die übrigen Seitenlängen und Innenwinkel. Wenn nein, begründe weshalb nicht. a) a = 14 mm, b =,3 cm, c = 0,8 dm <==> a = 14 mm, b = 3 mm, c = 8 mm. SSS Berechne die Innenwinkel mit dem Kosinussatz. Rechne vorher alles in dieselbe Einheit um, Kontrolliere, ob die Winkelsumme 180 beträgt. b c a cos( ) 0,867 ==> α 9,9 bc 3 8 a c b cos( ) 0,5753 ==> β 54,9 ac 14 8 a b c cos( ) 0,0916 ==> γ 95,3. ab 14 3 b) b = 5,8 cm, c = 8,5 cm, β = 76. Vorgabe ssw (β liegt gegenüber b, b<c), daher keine oder zwei Lösungen möglich. c 8,5 sin( ) sin( ) sin(76) 1,4 > 1 unerfüllbar, daher gibt es kein solches Dreieck! b 5,8 c) a = 5,8 cm, c = 8,5 cm, γ = 76. Vorgabe SsW (γ liegt gegenüber c, c>a), daher eindeutige Lösung. a 5,8 sin( ) sin( ) sin(76) 0,661 ==> α 41,5 oder α ,5 = 138,5. c 8,5 Die zweite Lösung führt auf α + γ 14,5 > 180, ist also nicht sinnvoll. β = 180 α γ ,5 = 6,5. sin( ) sin(41, ) b c 8.5cm 7,8 cm. sin( ) sin(76) d) a = 5,8 cm, b = 8,5 cm, γ = 76. Vorgabe SWS, daher eindeutige Lösung. Berechne c mit Hilfe des Kosinussatzes, dann die übrigen Winkel ebenfalls mit Hilfe des Kosinussatzes und der Winkelsumme im Dreieck: c a b abcos( ) 5,8 8,5 5,8 8,6 cos(76) cm² 8,0365 cm² ==> c 9,1 cm. b c a 8,5 8, cos( ) 0,7835 ==> α 38,4 bc 8,5 9,0574 β = 180 α γ ,4 76 = 65,6. Aufgabe 11: a) Berechne die Länge des Rundwanderweges von der Schutzhütte zum Aussichtsturm über die Brücke zurück zur Schutzhütte. Vorgabe WSW: a = 5,5 km, β = 54, γ = 66,5. Berechne den fehlenden Innenwinkel mit der Winkelsumme im Dreieck: α = 180 β γ = 59,5. Berechne die beiden fehlenden Seiten mit sin( ) sin(54) dem Sinussatz: b a 5. 5 km 5,16416 km ((Schutzhütte bis Aussichtsturm). sin( ) sin(59,5) sin( ) sin(66,5) c a 5.5 km 5,85383 km (Aussichtsturm bis Brücke). sin( ) sin(59,5) Die Länge des Rundwanderweges beträgt also U = a + b + c = 16,518 km 16,5 km. b) Wie weit sind Y-Dorf und Z-Dorf in Luftlinie voneinander entfernt? Direkt berechnet mit dem Kosinussatz: x y z yz cos( ) cos(75) km² 106,01 km² x 34,776 km 35 km beträgt die Entfernung (Luftlinie) von Y-Dorf nach Z-Dorf.

15 Aufgabe 1: Die Länge einer Strecke PQ lässt sich nicht direkt messen. Auf ihrer Verlängerung wird daher ein Punkt A markiert und eine Standlinie AC abgesteckt. Ferner wird auf der Strecke AC ein Punkt B markiert. Von der Standlinie aus werden die Endpunkte der Strecke wie abgebildet angepeilt. Gemessen wurden: AB =17 m, BC =96 m, α = 73, β = 80 und γ = 5. Bestimme die Länge der Strecke PQ. Berechne zunächst im Dreieck ACQ (WSW-Vorgabe) den fehlenden Winkel bei Q zu 8 und dann mit Hilfe des Sinussatzes AQ 95,17 m. Auch im Dreieck ABP sind WSW vorgegeben. Berechne daher den Winkel bei P zu 7 und mit Hilfe des Sinussatzes AP 75,49 m. Damit ist PQ AP AQ 180,3 m 180 m.

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