Trigonometrie. Geometrie. Kapitel 3, 4 & 5. MNProfil - Mittelstufe. Ronald Balestra CH Zürich

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1 Trigonometrie Geometrie Kapitel 3, 4 & 5 MNProfil - Mittelstufe Ronald Balestra CH Zürich März 2019

2 Überblick über die bisherigen Geometrie - Themen: 1 Ähnlichhkeit 1.1 Definition & Eigenschaft 1.2 Die Kongruenzabbildungen 1.3 GeoGebra in der Geometrie 1.4 Zentrische Streckungen & deren Eigenschaften 1.5 Ähnlichkeit im Dreieck 1.6 Die Verallgemeinerung des Satzes des Pythagoras 1.7 Ähnlichkeit im & am Kreis 1.8 Die Strahlensätze 1.9 Meine Zusammenfassung 2 Kreisberechnungen 2.1 Definitionen 2.2 Repetitionen geometrischer Figuren 2.3 Die Fläche geradlinig begrenzter Figuren 2.4 Kreisfläche 2.5 Kreisumfang 2.6 π 2.7 Anwendungen & erstaunliche Eigenschaften 2.8 Meine Zusammenfassung I

3 Inhaltsverzeichnis 3 Trigonometrie Warum Trigonometrie Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck Trigonometrie am Einheitskreis Das Bogenmass & die Graphen der trigonometrischen Funktionen Astrometrie - ein WebQuest Längen- & Winkelmessgeräte Die alten Griechen Kepler & seine Gesetze Sinus- und Cosinussatz Der Venustransit Radioastronomie Trigonometrie - 2. Teil Repetition Trigonometrie im beliebigen Dreieck Der Cosinussatz Der Sinussatz Eindeutigkeit der Lösungen bei der Anwendung des Sinusund Cosinussatzes Durch unser Sonnensystem und etwas weiter Trigonometrie - 3.Teil Additionstheoreme Goniometrische Gleichungen Meine Zusammenfassung II

4 3 Trigonometrie 3.1 Warum Trigonometrie In der Trigonometrie (von griechisch trigonon - Dreieck und métron - Mass) werden wir uns mit der Berechnung von Seiten und Winkeln in einem Dreieck befassen. Im Falle eines rechtwinkligen Dreiecks lassen sich mit Hilfe des Satzes von Pythagoras schon einige Aufgaben exakt lösen: Beispiel 3.1 In einem rechtwinkligen Dreieck ABC sind die Länge der Hypotenuse c = 6 und die Länge einer Kathete b = 3.7 bekannt. Konstruiere das Dreieck ABC und berechne die Länge der zweiten Kathete und die Höhe des Dreiecks ABC. Doch schon für die Bestimmung der Winkelöffnungen sind wir auf wenig genaue Hilfsmittel angewiesen: 1

5 Durch das Konstruieren mit Zirkel und Lineal und dem Bestimmen der Winkelöffnung mit Hilfe des Geodreiecks schleichen sich Fehler ein, die wir später durch die Anwendung trigonometrischer Berechnungsmethoden werden verhindern können. Zu dem sind wir bei unseren bisherigen Berechnungen, um den Satz des Pythagoras überhaupt anwenden zu können, auf die Existenz eines rechten Winkel angewiesen und auch auf die Angabe der richtigen Dreiecksteile: Beispiel 3.2 In einem rechtwinkligen Dreieck ABC sind die Länge der Kathete mit a = 5.5 und die Öffnung des Winkels mit α = 63 0 bekannt. Konstruiere das Dreieck ABC und berechne die Längen der übrigen Seiten und die Grösse des fehlenden Winkels. Mit Hilfe der trigonometrischen Beziehungen werden wir später auch diese Aufgabe (und ähnliche) exakt lösen können. Vorerst noch einen Link zu Aufgaben (mit Lösungsweg) zum Thema Satzgruppe des Pythagoras: 2

6 3.2 Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck Wir beginnen mit den trigonometrischen Beziehungen im rechtwinkligen Dreieck und untersuchen dazu die folgenden Dreiecke auf Gemeinsamkeiten: Was haben die folgenden Dreiecke gemeinsam? 3

7 Wir fassen zusammen: Def.: In einem rechtwinkligen Dreieck ABC mit den üblichen Bezeichnungen werden die trigonometrischen Funktionen wie folgt definiert: sin α := cos α := tan α := Bem.: sin β := cos β := tan β :=... und wir können schon die ersten Beziehungen zwischen sin und cos (in einem rechtwinkligen Dreieck) formulieren: 4

8 Aufgaben 3.1 Bestimme mit dem Taschenrechner die folgenden Werte: 1. den Sinus von 13 0, , , 2. den Cosinus von 77 0, , 54 0, 3. den Tangens von 2 0, , 812 0, 4. den Winkel mit dem zugehörigen Sinuswert 0.8, 0.2, 0.6, 5. den Winkel mit dem zugehörigen Cosinuswert 0.8, 0.2, 2.1, 6. den Winkel mit dem zugehörigen Tangenswert 0.8, 0.2, 2.1. Bestimme die folgenden Werte exakt und verifiziere deine Resultate mit dem TR: α sin cos tan Die Ansätze zur exakten Berechnung: 5

9 zur Herleitung der exakten trigonometrischen Werte... 6

10 Standardaufgaben: Für die folgenden Aufgaben arbeiten wir wieder in einem rechtwinkligen Dreieck ABC mit den üblichen Bezeichnungen: Aufgaben 3.2 Gegeben sind: c = 5.6 β = Konstruiere das Dreieck ABC und berechne die Seiten a und b. 7

11 Aufgaben 3.3 Gegeben sind: b = 4.8 α = Konstruiere das Dreieck ABC und berechne die Seiten a und c. 8

12 Aufgaben 3.4 Gegeben sind: a = b = 6.48 Konstruiere das Dreieck ABC und berechne die Seite c und die Winkel α und β. 9

13 Aufgaben 3.5 Berechne die in den Beispielen und gemessenen Grössen. Geometrie-Aufgaben: Trigonometrie 1 (Zugehörige Lösungen) Geometrie-Aufgaben: Trigonometrie 2 (Zugehörige Lösungen) 10

14 3.3 Trigonometrie am Einheitskreis In diesem Abschnitt werden wir den Einheitskreis einführen und an ihm die trigonometrischen Beziehungen neu definieren. Wir werden ihn als praktisches Hilfsmittel kennenlernen und festellen,... dass die bisherigen Definitionen (im rechtwinkligen Dreieck) auch weiterhin Gültigkeit haben, dass wir die trigonometrischen Funktionen nicht nur auf Winkel zwischen 0 0 und 90 0 anwenden können und dass es einige interessante Beziehungen zwischen den trigonometrischen Funktionen gibt. Der Einheitskreis: Def.: cos ϕ := x-koordinate von P sin ϕ := y-koordinate von P tan ϕ := Quotient der y- & der x-koordinate von P Veranschaulichung: 11

15 Verwende zur Lösung der folgenden Aufgaben den Einheitskreis: Beispiel 3.3 Bestimme die folgenden Werte: ϕ sin cos tan und beweise sin 2 ϕ + cos 2 ϕ = 1 2. sin ϕ = cos(ϕ 90 0 ) 3. cos ϕ = sin(90 0 ϕ) Als einen weiteren Zusammenhang wollen wir festhalten: tan ϕ = sin ϕ cos ϕ 12

16 Aufgaben Verifiziere die Aussage 2 im 2. Quadranten, 2. Verifiziere die Aussage 3 im 3. Quadranten, 3. Verifiziere die Aussage 4 im 4. Quadranten 4. und die Definition des Tangens im 2. Quadranten. 13

17 Mit Hilfe des Einheitskreises lassen sich viele Beziehungen und Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen erkennen: Für welche Winkel ist der sin-wert negativ? Für welche Winkel ist der cos-wert > 0, 5? Für welche Winkel ist der tan-wert positiv? 14

18 Für welche Winkel erhalten wir den selben sin-wert? und aus dem Verhalten der x-koordinaten können wir schliessen: Für welche Winkel erhalten wir denselben cos-wert? und aus dem Verhalten der y-koordinaten können wir schliessen: Aufgaben 3.7 Überprüfe die Aussagen für negative Argumente. 15

19 Was für Beziehungen zwischen sin und cos lassen sich mit Hilfe des 3. Quadranten bestimmen? Aufgaben 3.8 Formuliere eigene Beziehungen zwischen sin und cos. 16

20 Wir wollen uns abschliessend noch mit dem Tangens beschäftigen: Nach Definition gilt für den Tangens: tan ψ := sin ψ cos ψ im 2. Quadranten: tan ψ = im 3. Quadranten: tan ψ = im 4. Quadranten: tan ψ = Geometrie-Aufgaben: Trigonometrie 3, 1. Seite (Zugehörige Lösungen) (zugehörige Lösungen mit Weg von Cyrill Püntener) 17

21 3.4 Das Bogenmass & die Graphen der trigonometrischen Funktionen Neben der Darstellung der Argumente der trigonometrischen Funktionen im Gradmass ist auch die Darstellung im sog. Bogenmass üblich. Wir verwenden als Grundlage den Zusammenhang zwischen dem Umfang des Einheitskreises und der zugehörigen Winkelöffnung:... und definieren: Aufgaben 3.9 Stelle die Aufgabe im Bogenmass dar und berechne exakt den zugehörigen Funktionswert: 1. sin cos tan 90 0 Aufgaben 3.10 Stelle die Aufgabe im Gradmass dar und bestimme exakt den zugehörigen Funktionswert: 1. sin π 2 2. cos π 6 3. tan 2π 3 Aufgaben 3.11 Verifiziere deine Resultate mit dem TR. 18

22 Die graphischen Darstellungen von sin, cos & tan: für den Sinus: für den Cosinus: 19

23 für den Tangens: Aufgaben 3.12 Untersuche den Einfluss der Parameter in fx = a sin(bx ϕ) auf die Sinuskurve. Geometrie-Aufgaben: Trigonometrie 3, 1. Seite (Zugehörige Lösungen) (zugehörige Lösungen mit Weg von Cyrill Püntener) 20

24 3.5 Astrometrie - ein WebQuest Die Astrometrie beschäftigt sich mit den geometrischen Methoden der Distanzbestimmung in der Astronomie. In diesem WebQuest werdet ihr euch dazu in Gruppen mit den folgenden Themen auseinandersetzen: Längen- & Winkelmessgeräte Die Entwicklung und Anwendung verschiedener Messgeräte Die alten Griechen Das Wissen über die Entfernungen in unserem Sonnensystem vor der Zeit Keplers Kepler & seine Gesetze Seine Gestze und die Anwendung auf die Entfernungsbestimmungen Sinus- und Cosinussatz Die Verallgemeinerung der trigonometrischen Bezieheung auf beliebige Dreiecke Der Venustransit Die Bestimmung der Distanz Erde-Sonne Radioastronomie Moderne Methoden der Entfernungsbestimmung 21

25 4 Trigonometrie - 2. Teil Wir werden im 2. Teil der Trigonometrie mit einer kurzen Repetition der bisherigen trigonometrischen Beziehungen beginnen und uns anschliessend mit den trigonometrischen Beziehungen im beliebigen Dreieck befassen. Dies wird uns auf den Sinus- und Cosinussatz führen, dessen Anwendungen wir an Beispielen besprechen werden und uns inbesondere auch die Eindeutigkeit von Lösungen bei deren Anwendungen diskutieren. Wir werden uns mit weiteren trigonometrischen Beziehungen auseinandersetzen, den sog. Additionstheoremen. Abschliessend werden wir noch die Goniometrischen Gleichungen diskutieren. 4.1 Repetition 22

26 .. Geometrie-Aufgaben: Repetitionsserie zur Trigonometre I (Zugehörige Lösungen) 23

27 4.2 Trigonometrie im beliebigen Dreieck Der Cosinussatz In einem beliebigen Dreieck ABC gilt: Beweis: (für den Winkel α) 1. Fall: α ist spitz 2. Fall: α ist stumpf 24

28 3. Fall: 25

29 Aufgaben 4.1 In einem beliebigen Dreieck ABC sind folgende Grössen gegeben: a = 8, b = 5, γ = 75 0 Konstruiere das Dreieck ABC und berechne c, α & β. 26

30 Aufgaben 4.2 Leite den Cosinus-Satz her, für β, mit β = spitz. 27

31 Aufgaben 4.3 Berechne die Winkel in den Dreiecken ABC mit folgenden Seiten: 1. a = 1, b = 2, c = 3 2. a = 1, b = 2, c = 4 3. a = 1, b = 2, c =

32 4.2.2 Der Sinussatz In einem beliebigen Dreieck ABC gilt: Beweis: (für den Winkel α) 29

33 Aufgaben 4.4 In einem beliebigen Dreieck ABC sind folgende Grössen gegeben: α = 25 0, a = 4, b = 6 Berechne c, β & γ und konstruiere zur Kontrolle das Dreieck ABC. 30

34 Aufgaben 4.5 Leite eine Flächenformel für ein beliebiges Dreieck ABC, mit γ = stumpf, her. Geometrie-Aufgaben: Trigonometrie 4 (Zugehörige Lösungen) 31

35 4.2.3 Eindeutigkeit der Lösungen bei der Anwendung des Sinus- und Cosinussatzes Wir wollen nun der Frage nachgehen, unter welchen Bedingungen eine oder mehrere Lösungen existieren und wir wie viele Lösungen gebrauchen. Grundsätzlich gilt, das bei Dreiecksaufgaben die Lösungen eindeutig bestimmt sind, wenn die Kongruenzsätze erfüllt sind: Bei der Umkehrung der Sinus- und Cosinusfunktion (sin 1 und cos 1 ) entstehen aber mehrere Lösungen: Ist der Cosinuswert bekannt, so liefert uns der TR einen zugehörigen Winkel, während die Anwendung des Einheitskreises und die Periodizität unendlich viele Lösungen liefert: Bsp.: cos ϕ = 0.7 der TR liefert: ϕ 0 =... der Einheitskreis liefert : ϕ 0 =... ψ 0 =... die Periodizität des Cosinus liefert: ϕ 1 =... ϕ 2 =.... ϕ k =... ψ 1 =... ψ 2 =.... ψ k =... 32

36 Ist der Sinuswert bekannt, so liefert uns der TR einen zugehörigen Winkel, während die Anwendung des Einheitskreises und die Periodizität unendlich viele Lösungen liefert: Bsp.: sin ϕ = 0.4 der TR liefert: ϕ 0 =... der Einheitskreis liefert : ϕ 0 =... ψ 0 =... die Periodizität des Cosinus liefert: ϕ 1 =... ϕ 2 =.... ϕ k =... ψ 1 =... ψ 2 =.... ψ k =... Welche Lösung/ Lösungen sind nun zu verwenden und unter welchen Bedingungen ist es überhaupt notwendig, eine zweite Lösung zubestimmen? Im Fall Cosinus: die zweite Lösung ist immer Im Fall Sinus: die zweite Lösung ist immer 33

37 Aufgaben 4.6 In einem beliebigen Dreieck ABC sind die folgenden Grössen gegeben: Berechne α, β & a. b = 14.1, c = 26.4, γ =

38 Aufgaben 4.7 In einem beliebigen Dreieck ABC sind die folgenden Grössen gegeben: Berechne α, γ & c. b = 6.5, a = 8.7, β =

39 Aufgaben 4.8 Beweise folgende Aussage: In jedem beliebigen Dreieck teilt die Winkelhalbierende die Gegenseite im Verhältnis der anlie- genden Seiten. Geometrie-Aufgaben: Trigonometrie 5 (Zugehörige Lösungen) 36

40 4.3 Durch unser Sonnensystem und etwas weiter wir haben in den Aufgaben schon frühe Anwendungen der Trigonometrie in der Entfernungsbestimmung kenngelernt. Mit einem Auszug aus folgendem Unterrichtsprojekt wollen wir diese Anwendungen etwas vertiefen: Von der Tannenspitze zum Andromedanebel Entlang der Distanzbestimmung in der Astrometrie durch die Trigonometrie ein Blended-Learning Projekt in der Mathematik mit Bili - Klassen-SOL - Charakter und Möglichkeiten interdisziplinärer Beteiligungen Ronald Balestra CH Zürich März

41 5 Trigonometrie - 3.Teil Im letzten Teil unserer Trigo-Triologie befassen wir uns mit den Additionstheoremen, damit wir wissen, warum z.b. sin(α + β) sin α + sin β gilt und wie die rechte Seite angepasst werden muss, damit doch noch eine Gleichung entsteht. Abschliessend werden einen neuen Gleichungsytp, die goniometrischen Gleichungen kennen & lösen lernen. 5.1 Additionstheoreme Wir werden uns in diesem Kapitel mit exakt berechenbaren Sinus- & Cosinuswerten beschäftigen und beginnen mit den uns schon bekannten Werten im rechtwinkligen Dreieck: Über den Einheitskreis können wir nun auch die folgenden Werte exakt berechnen: Die Periodizität liefert noch unendlich viele weitere, aber mathematisch nicht weiter interessante, exakt berechenbare trigonometrischen Werte. 38

42 Da die trigonometrischen Funktionen nicht linear sind, lässt sich z.b. sin(30 0 ) nicht einfach durch 1 2 sin(600 ) berechnen: oder z.b. sin(30 0 ) + sin(60 0 ) sin( ) = sin(90 0 ): Wir wollen nun Formeln entwickeln, welche u.a. einen Zusammenhang zwischen sin(α + β) und sin α und sin β herstellt. Dies führt uns auf die sog: Summenformeln / Additionstheoreme 39

43 Aufgaben 5.1 Analog lassen sich die folgenden Beziehungen herleiten: sin(α β) = sin α cos β cos α sin β cos(α β) = cos α cos β + sin α sin β Für den Fall, dass α und β spitz, die Summe α + β aber stumpf ist, hilft die folgende Figur: 40

44 Die Gültigkeit der Aussage im Fall, dass α und β nicht mehr spitz sind, lässt sich durch geschicktes Umformen und Anwenden der Additionstheoreme auf die bewiesenen Situationen zeigen: Aufgaben 5.2 Berechne exakt die folgenden Werte: sin 75 0 cos 75 0 tan

45 Wir wollen noch das Additionstheorem für den Tangens herleiten und seine Anwendung im Bestimmen von Schnittwinkeln zwischen Geraden untersuchen: Beispiel 5.1 Bestimme den Schnittwinkel, unter welchem sich die folgenden Geraden schneiden: g(x) = 5 2 x + 6 und h(x) = 7 3 x 4 42

46 Aufgaben 5.3 Leite die Doppelwinkelformeln her: sin 2α = 2 sin α cos α (1) cos 2α = (cos α) 2 (sin α) 2 (2) = 1 2(sin α) 2 (3) = 2(cos α) 2 1 (4) tan 2α = 2 tan α 1 (tan α) 2 (5)... und Veranschauliche an folgender Figur die Gleichung (1), (3) & (4): 43

47 Für die Herleitung von sin 36 0 (und der exakten Berechnung weiterer Werte) verwende, für ein selbständiges Durcharbeiten, den folgenden Link: 44

48 Verschaffe Dir einen Überblick über die weiteren Formeln (Halbwinkel-Formeln, Produkt-Summen-Formeln, Summen-Produkt-Formeln,... ) und löse die folgenden Aufgaben: Aufgaben 5.4 Berechne die folgenden Winkel exakt: sin 15 0 =

49 cos 3 0 = tan 27 0 =

50 5.2 Goniometrische Gleichungen Wir schliessen unsere Trigonometrie mit einem kurzen Einblick in die Goniometrische Gleichungen. Das sind Gleichungen, in welchen die Unbekannte in mindestens einem trigonometrischen Term vorkommt. Ein einfaches Beispiel: cos x = 1 2 Wir wollen im Folgenden uns mit vier ausgewählten Beispielen befassen, welche durch geschicktes Umformen einfach zu lösen und interessant zu diskutieren sind: (tan x) 2 = tan x cos 2x cos x = 0 47

51 3 sin x 4 cos x = 0 3 sin x 4 cos x = 5 Geometrie-Aufgaben: Trigonometrie 6 (Zugehörige Lösungen) 5.3 Meine Zusammenfassung 48