Kreisberechnungen. GEOMETRIE Kapitel 2 MNProfil - Mittelstufe KZN. Ronald Balestra CH Zürich

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1 Kreisberechnungen GEOMETRIE Kapitel 2 MNProfil - Mittelstufe KZN Ronald Balestra CH Zürich Name: Vorname: 21. Februar 16

2 Überblick über die bisherigen Geometrie - Themen: 1 Ähnlichkeit 1.1 Definitionen & Eigenschaften 1.2 Die Kongruenzabbildungen 1.3 Zentrische Streckungen & deren Eigenschaften 1.4 Ähnlichkeit im Dreieck 1.5 Die Verallgemeinerung des Satzes des Pythagoras 1.6 Ähnlichkeit im & am Kreis 1.7 GeoGebra in der Geometrie 1.8 Die Strahlensätze I

3 Inhaltsverzeichnis 2 Kreisberechnungen Definitionen Repetition Die Flächen geradlinig begrenzter Figuren Kreisfläche Kreisumfang π Anwendungen & erstaunliche Eigenschaften Mond - Durchmesser & Entfernung Entfernung Erde - Sonne Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit nach O. Römer Das Additionstheorem von Einstein Letzte Aufgabe II

4 2 Kreisberechnungen 2.1 Definitionen Wir werden in diesem Abschnitt die wichtigsten Begriffe im Zusammenhang mit einem Kreis besprechen. Def.: Der Kreis/ die Kreislinie ist eine geschlossene Kurve, deren Punkte von einem ausgezeichneten Punkt, dem Mittelpunkt, den gleichen Abstand haben. Bem.: geschlossene Kurve ohne Abstandsbedingung Abstandsbedingung für eine nicht-geschlossene Kurve Weitere Begriffe: 1

5 2.2 Repetition Wir beginnen mit der Repetition einiger wichtiger geometrischer Figuren und den zugehörigen Formeln zur Berechnung von Umfang und Flächeninhalt. Anschliessend besprechen wir eine Idee zur Flächenberechnung von krummlinig begrenzten Figuren, welche wir auch zur Herleitung von π und der Flächenformel des Kreises verwenden werden. Aufgaben : Ergänze die folgende Liste mit den geometrischen Figuren und zugehörigen Formeln, an welche Du Dich noch erinnern kannst: Skizze Namen Charakteristika Flächeninhalt & -umfang 2

6 Skizze Namen Charakteristika Flächeninhalt & -umfang Geometrie-Aufgaben: Kreisberechnungen 1 (Zugehörige Lösungen) 3

7 2.3 Die Flächen geradlinig begrenzter Figuren Aufgaben : Leite die Formel zur Berechnung einer Dreiecksfläche her. 4

8 Aufgaben : Formuliere den Satz von Heron und leite ihn her. 5

9 2.4 Kreisfläche Wir wollen uns im Folgenden über die Abschätzung einer beliebigen krummlinigen Figur an den Flächeninhalt eines Kreises heranarbeiten: Flächeninhalt einer krummlinig begrenzten Figur: Eine erste grobe Abschätzung des Flächeninhaltes eines Kreises: 6

10 Eine erste Verfeinerung: 7

11 Aufgaben : Schätze den Flächeninhalt eines Kreises in Abhängigkeit eines beliebigen Radius r ab. Verwende hierzu die Beziehung 1 12 A = A MCBD A MCB und die folgende Verfeinerung: für die äusseren Rechtecke: 8

12 für die inneren Rechtecke: Auf der nächsten Seite sind in einer Tabelle fast alle notwendigen Teilstrecken und -flächen berechnet: 9

13 Zu den inneren & äusseren Rechtecksflächen: Aufgaben : Zeige durch Nachrechnen, dass die Werte für A i6 und A a6 stimmen und berechne selbständig A i7 und A a7. y n A in y n A an y 1 = r A i1 = r2 y 1 = r A a1 = r2 y 2 = r A i2 = r2 y 2 = r A a2 = r2 y 3 = r A i3 = r2 y 3 = r A a3 = r2 y 4 = r A i4 = r2 y 4 = r A a4 = r2 y 5 = r A i5 = r2 y 5 = r A a5 = r2 y 6 = r A i6 = r2 y 6 = r A a6 = r2 y 7 = A i7 = y 7 = A a7 = y 8 = r A i8 = r2 y 8 = r A a8 = r2 y 9 = r A i9 = r2 y 9 = r A a9 = r2 y 10 = r A i10 = r2 y 10 = r A a10 = r2 Berechne nun weiter: die Summe aller inneren Rechtecke = die Summe aller äusseren Rechtecke =... 10

14 Aufgaben : Bestimme die Inhalte der folgenden eingefärbten Flächen: 1. (a) für d = 5, (b) allgemein. 2. (a) für r 1 = 4 und r 2 = 2, (b) allgemein. 3. Bestimme den Radius r 2 des kleinen Kreises, so dass dieser die Fläche des grossen Kreises mit r 1 = 4 halbiert. 11

15 4. (a) für r = 5 und Öffnungswinkel α = 33 0, (b) allgemein. 5. (a) für r 1 = 3, r 2 = 5 und Öffnungswinkel α = 60 0 (b) allgemein. Geometrie-Aufgaben: Kreisberechnungen 2 (Zugehörige Lösungen) 12

16 Aufgaben : Die Möndchen des Hippokrates Die Flächen A 2 und A 3 werden als die Möndchen des Hippokrates bezeichnet, nach dem griech. Mathematiker aus Chios (2. Hälfte des 5. Jahrhunderts. Berechne und vergleiche den Flächeninhalt A 1 des Dreiecks ABC mit dem Flächeninhalt A 2 + A 3 der beiden Möndchen. (Verwende mit den üblichen Bezeichnungen a = 85 und b = 36 ) 13

17 Was für eine Vermutung drängt sich auf? Beweise Deine Vermutung: 14

18 2.5 Kreisumfang Wir werden die Formel zur Berechnung des Kreisumfangs über die Zerlegung der Kreisfläche herleiten: 15

19 Aufgaben : Zwei wichtige Formeln gleich in der folgenden Aufgabe: 1. Bestimme die Länge des Kreisbogens b in einem Kreis mit Radius r und zugehörigen Öffnungswinkel α. und beweise, dass für den Inhalt des zugehörigen Kreissektors gilt: A = 1 2 rb 2. Gegeben ist die folgende Kreisbogenfigur in einem Quadratgitter mit der Gitterkonstante s. Berechne den Umfang in Abhängigkeit von s. 16

20 Aufgaben : 2. Gegeben ist wieder die folgende Kreisbogenfigur in einem Quadratgitter mit der Gitterkonstante s. Berechne diesmal den Flächeninhalt in Abhängigkeit von s. Geometrie-Aufgaben: Kreisberechnungen 3 (Zugehörige Lösungen) 17

21 2.6 π Weiterführende & vertiefende Themen... Die Transzendenz von π Berechnungsmethoden/ Näherungsverfahren zur Bestimmung von π Historische π-näherungen bis zur Monte Carlo - Methode (vergl. Barth: Anschauliche Geometrie 10) 18

22 2.7 Anwendungen & erstaunliche Eigenschaften Wir wollen uns mit weiteren Schattenspielen in der Astronomie beschäftigen. Dazu werden wir die Kenntnisse von Eratosthenes (Kreisberechnungen 3 / Aufg.6) und erstaunlich einfache Überlegungen verwenden, um den Monddurchmesser zu bestimmen, die Entfernung Erde-Mond zu berechnen, die Entfernung Erde - Sonne zu berechnen und die Lichtgeschwindigkeit abzuschätzen. Anschliessend werden wir uns noch mit dem Additionstheorem von Einstein befassen, welches sich mit den Eigenschaften von sich sehr scnell bewegenden Körpern befasst. Abschliessen werden wir dieses Kapitel mit einer letzten Aufgabe und einer interessanten Erkenntnis. 19

23 2.7.1 Mond - Durchmesser & Entfernung Mit dem Wissen über den Durchmesser der Erde (Eratosthenes, und wer es nochmals durcharbeiten will: und der Vermutung, dass die Sonne sehr viel weiter von der Erde entfernt ist als der Mond, konnten schon die alten Griechen die Grösse des Mondes abschätzen. Wir gehen also von folgender Situation aus und verwenden noch die einfache Beobachtung, dass der Mond ca. 1 Stunde benötigt, um sich um die Länge seines eigenen Durchmessers zu bewegen. Während einer Zentralfinsternis bleibt der Mond ca. 2 volle Stunden im Erdschatten. Für den Durchmesser des Mondes folgt somit: Da wir den Mond unter einem Winkel von rd. 1/2 Grad sehen, folgt für die Distanz Erde-Mond :

24 2.7.2 Entfernung Erde - Sonne Mit weiteren einfachen Überlegungen hat Aristarch auch schon die Entfernung von der Erde zur Sonne abgeschätzt: Aristarch ist bei seiner Winkelmessung auf eine Öffnung von 87 0 erhalten und hat somit die folgende Entfernung berechnet: Mit heutigen Methoden wird die Winkelöffnung mit gemessen. Bestimme die daraus folgende Entfernung. 21

25 2.7.3 Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit nach O. Römer Aufgrund astronomischer Beobachtungen entdeckte und mass Olaf Römer als erster bereits 1675 die Endlichkeit der Lichtgeschwindigkeit: Die Zeit zwischen zwei aufeinanderfolgenden Verfinsterungen des Jupitermondes Io, die während seines Umlaufs durch seinen Eintritt in den Schatten des Jupiters verursacht werden, beträgt 42,5 Stunden. Es wird nun genau dann der Zeitpunkt der Verfinsterung gemessen, wenn die Erde auf ihrer Bahn um die Sonne dem Jupiter am nächsten steht. Nach Ablauf eines halben Jahres sind 103 Verfinsterungen einander gefolgt und es lässt sich vorausberechnen, wann die 104. Verfinsterung eintreten wird. Die beobachtete Verfinsterung tritt jedoch ungefähr 1000 Sekunden später ein als berechnet. Inzwischen hat sich nämlich die Erde von der Position E 1 auf die Position E 2 weiterbewegt und ist somit vom Jupiter um rd. einen Erdbahndurchmesser, also um etwa 300 Millionen Kilometer, weiter entfernt. Die Verfinsterung ist um die Zeit verzögert eingetreten, die das Licht braucht, um diese Strecke zu durchlaufen. Wir gehen also von folgender Situation aus: 22

26 Eine schöne Animation ist zu finden unter und können daraus für die Lichtgeschwindigkeit folgern: (Olaf Römer fand als Wert für die Lichtgschwindigkeit: c = km/s.) 23

27 2.7.4 Das Additionstheorem von Einstein Wenn wir schon die ungefähre Grösse der Lichgeschwindigkeit kennen (der aktuelle Wert ist: ), so wollen wir uns mit einer interessanten Eigenschaft von sich sehr schnell (relativistisch) bewegenden Körpern beschäftigen, die durch das sog. Additionsheorem von Einstein beschrieben wird. Die folgenden Situationen sind uns vertraut: 24

28 Einstein sches Additionstheorem : Wenn zwei Körper sich mit sehr grossen Geschwindigkeiten aufeinander zubewegen, so gilt für die resultierende Geschwindigkeit: v r = v 1 + v v 1v 2 c 2 Wir wollen nun einige interessante Aussagen & Folgen dieses Theorems untersuchen: 1. Für kleine Geschwindigkeiten gilt das bisher bekannte: v r = v 1 + v 2 2. Die resultierende Geschwindigkeit ist immer kleiner als die Summe der zu addierenden Geschwindigkeiten: v r < v 1 + v 2 25

29 3. Die Addition von zwei Geschwindigkeiten die kleiner als c sind, ergibt eine resultierende Geschwindigkeit, die immer kleiner als c ist: 26

30 4. Was geschieht, falls eine der zu addierenden Geschwindigkeiten gleich der Lichtgeschwindigkeit ist? 5. Und wenn beide zu addierenden Gewschwindikeiten gleich c sind? 6. Zeige, dass die obige Eigenschaft für die resultierende Geschwindigkeit auch dann gilt, wenn beide Geschwindigkeiten gleich der Lichtgeschwindigkeit ist. 7. Existiert immer genau eine resultierende Geschwindigkeit? 27

31 2.7.5 Letzte Aufgabe Wir gehen von einem Globus von 0.25m Radius aus. Um seinen Äquator biegen wir einen Draht so, dass dieser eng anliegt. Wir nehmen nun einen neuen Draht, welcher genau 1m länger ist, biegen ihn zu einem Kreis und legen ihn konzentrisch in die Äquatorialebene. Bestimme den Abstand zwischen dem neuen Draht und dem Globus. 28

32 Wir gehen nun von der Erdkugel aus und legen wieder einen neuen Draht, der 1m länger ist, konzentrisch in die Äquatorialebene und bestimme den Abstand zur Erde. Was fällt beim Vergleichen der Resultate auf? Formuliere eine Vermutung und beweise sie. 29

33 Aufgaben : Bestimme den konstanten Abstand für die folgenden Verlängerungen a des Drahtes: 1. a = 3 2. a = 5 3. a = a 30