Grundlagen IV der Kathetensatz

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1 Grundlagen IV der Kathetensatz Der Kathetensatz ergibt sich wie auch der Höhensatz aus dem Ähnlichkeitssatz: b a a c = p a a 2 = p c p q b c = q b b 2 = q c c Löse die folgenden Teilaufgaben mithilfe des Kathetensatzes. In einem rechtwinkligen Dreieck wurden folgende Werte gemessen: a = 4 cm b = 3 cm c = 5 cm Berechne die fehlenden Werte p und q. 2. In einem rechtwinkligen Dreieck wurden folgende Werte gemessen: p = 4,55 cm a = 4,8 cm q = 0,5 cm Berechne die fehlenden Werte c und b. Runde auf zwei Nachkommastellen. Addiere die errechneten Werte: = 11,65 45

2 Satz des Pythagoras I Aus den Kathetensätzen lässt sich mit einem einfachen Additionsschritt nun der Satz des Pythagoras herleiten. Versuche die folgenden Rechen- und Umformungsschritte nachzuvollziehen. a 2 = p c und b 2 = q c + a 2 = pc b 2 = qc a 2 + b 2 = pc + qc = (p + q ) c = c 2 a 2 + b 2 = c 2 Löse die folgenden Teilaufgaben mithilfe des Satzes des Pythagoras. Bei einem Dreieck wurden folgende Werte gemessen. Berechne den fehlenden Wert. a = 4,2 cm b = 5,6 cm 2. Ein Dreieck hat eine Hypotenuse der Länge 8,2 cm und eine Kathete der Länge 2,8 cm. Berechne die Länge der fehlenden Kathete. 3. In einem Garten soll eine dreieckige Fläche gepflastert werden. Diese hat die Seitenlängen von 8,0 m bzw. 5,6 m. Berechne die Hypotenuse und zudem Fläche und Umfang der zu pflasternden Fläche. Diese brauchst du, um zu berechnen, wie viele Pflaster- und Randsteine benötigt werden. Runde dabei jeweils auf zwei Nachkommastellen. Lösungen: Dreiundzwanzigkommadreisiebenmeter Zweiundzwanzigkommavierquadratmeter Neunkommasiebensiebenmeter Siebenkommasieben zentimeter Siebenzentimeter 46

3 Satz des Pythagoras II Übungsaufgaben Löse die Teilaufgaben mithilfe des Satzes des Pythagoras. In einem Dreieck sind die bekannten Größen c = 5 und a = 2,5. Berechne die fehlende Größe b. 2. Ein Dreieck hat die Kathetenlängen 2 cm und 3 cm. Berechne die Länge der Hypotenuse. 3. Drei Orte bilden ein rechtwinkliges Dreieck. Von Ort B zu Ort C sind es 34 km, von Ort C zu Ort A 26 km. Runde jeweils auf eine Nachkommastelle. a) Berechne den direkten Weg von B nach A. b) Zusatzaufgabe: Berechne die Wegersparnis in Prozent. 4. a) Ein Berg hat eine Höhe von 1235 m. Der Durchmesser des Berges beträgt ca m. Nähere den Weg, den man bergauf bestreiten muss, durch eine Berechnung mit Pythagoras an. Tipp: Betrachte den Querschnitt des Berges. Runde dabei auf eine ganze Zahl. b) Zusatzaufgabe: Berechne die durchschnittliche Steigung des Berganstiegs. Trage die Summe der Beträge (1, 2, 3a, 4a) als Lösungswort ein (ü = ue): Ein ben 47

4 Gemischte Übungen Löse die folgenden Teilaufgaben mit einem der erlernten Sätze. Die Drahtseile und die Fahrbahn einer Brücke bilden ein rechtwinkliges Dreieck. Berechne die Höhe des Stahlträgers. 80 m 30 m 2. Ein Dachgiebel hat die Höhe von 2 m. Außerdem sind die in der Skizze angegebenen Werte bekannt. Berechne die Länge der beiden Dachseiten. 1,2 m 3,2 m 3. Das Segel beim Windsurfing hat eine Höhe von 3,2 m und eine Breite von 1,2 m. Berechne die diagonale Länge des Segels. Runde auf eine Nachkommastelle. Streiche die richtigen Lösungen und bilde aus den übrigen das Lösungswort: 4,4 m (D) 3,8 m (A) 3,4 m (S) 49 m (K) 3,0 m (R) 2,3 m (N) 1,2 m (E) 47,3 m (I) 48

5 Grundlagen Fülle die Lücken mit den richtigen Stichworten aus Die oben aufgeführte Figur ist ein (5). Dieser definiert sich durch alle Punkte, die um einen bestimmten (3) vom (2) entfernt sind. Innerhalb dieses Themenbereichs werden zusätzlich vor allem zwei Körper betrachtet. Der erste Körper bildet sich dadurch, dass zwei Kreisflächen durch eine Mantelfläche verbunden sind; dieser nennt sich auch (6). Dabei liegen die Kreisflächen stets parallel. Der zweite Körper bildet sich dadurch, dass eine Kreisfläche und ein Punkt durch eine Mantelfläche verbunden sind; dieser nennt sich auch (7). Dabei ist der Mittelpunkt des Kreises eine Projektion des Punktes auf die Kreisfläche Kreis, Zylinder und Kegel 49

6 Umfang des Kreises Der Umfang ist die komplette Länge der Kreislinie. Er berechnet sich als Produkt aus dem Durchmesser d = 2r und der Kreiszahl π. Als Formel ausgedrückt sieht das so aus: U = 2 πr bzw. U = πd Beides ist gleichbedeutend, da der Durchmesser stets doppelt so lang ist wie der Radius. Die erste Formel ist jedoch üblicher, da hier der Zusammenhang zur Flächeninhaltsformel klarer ist. Diese wirst du auf den folgenden Seiten lernen. Berechne die folgenden Teilaufgaben mithilfe der Umfangsberechnungsformeln. Ein Kreis hat den Durchmesser von 13 cm. Berechne den Umfang. Runde dabei auf zwei Nachkommastellen. 2. Eine Kirchenuhr hat den Radius von 1,5 m. Berechne den Umfang. Runde auf drei Nachkommastellen. 3. Ein Platz in der Innenstadt soll neu mit einer Mauer umrandet werden. An allen vier Straßen, die auf den Platz treffen, wird eine Öffnung von 3 m gelassen. Der Platz hat einen Durchmesser von 22 m. Berechne die Länge der gesamten Mauer. Runde auf drei Nachkommastellen. Zusatzaufgabe: Pro Meter werden 22,8 Steine benötigt. Berechne, wie viele Steine erforderlich sind. Eine Palette Steine hat 300 Steine. Runde also auf k 300 auf und finde damit heraus, wie viele Paletten bestellt werden müssen. Rechne alle Ergebnisse in Dezimeter um und addiere die Längen: dm + dm + dm + = 669,484 dm 50 Kreis, Zylinder und Kegel

7 Lösungen Seite 30 Systematische Modifikation Übungsaufgaben Die Figur ist ein Parallelogramm. 2. Lösungswort: RATEN Seite 31 Systematische Modifikation die Formkonstante a Lösungswort: X-ACHSE Seite 35 Schnittpunkte berechnen Schnittpunkte (2 1) und ( 1 4) Seite 37 Quadratische Ergänzung I Einzusetzen sind: Normalform, Acht, Q, C Quadrat Seite 38 Quadratische Ergänzung II y = (x + 2) 2 6; y = (x 1) 2 5; y = (x + 1,5) 2 2 Seite 39 Quadratische Ergänzung III y = (x + 2) 2 6; y = 2(x + 2) 2 + 2; y = 1,5(x 3) 2 6; y = 4 (x 3) Die Figur ist ein Rechteck. Seite 40 Umrechnungen gemischt y = (x + 1) 2 5 A; y = x 2 4x + 8 F; y = x 2 + 2x M; y = 2(x + 1) 2 6 P; y = (x + 0,5) 2 2,25 G; y = x 2 + 2x + 4 C; y = 3x x + 75 N; y = 4(x + 0,5) H Lösungswort: MAUS Seite 41 Einstieg und Wiederholung der Begriffe Seite 43 Grundlagen II weitere Begriffe (1) Gegenkathete, (2) Ankathete, (3) Hypotenuse D R E C H T E R W I N K E L E Ö I I H A N E C K E K Seite 42 Grundlagen I die Ähnlichkeitssätze Nürnberg Stuttgart: ca. 160 km; Nürnberg München: ca. 150 km 2. Höhe des Winkels: ca. 2,95 cm 7 C B S E I T E N K L Lösungswort: UHU Seite 44 Grundlagen III der Höhensatz 9,22 cm m m; m 2 Seite 45 Grundlagen IV der Kathetensatz p = 3,2 cm; q = 1,8 cm 2. c = 5,06 cm; b = 1,59 cm 64 Lösungen

8 Lösungen Seite 46 Satz des Pythagoras I c = 7 cm 2. 7,7 cm 3. c = 9,77 m; U = 23,37 m; A = 22,4 m 2 Seite 47 Satz des Pythagoras II Übungsaufgaben b = 4,3 2. 3,6 cm 3. a) 42,8 km b) 28,7 % 4. a) m b) 1,37 bzw. 72,9 % Lösungswort: Eintausendfuenfhundertachtundsiebzigkommasieben Seite 48 Gemischte Übungen 49 m 2. a = 3,8 m; b = 2,3 m 3. 3,4 m Lösungswort: DREI Kreis, Zylinder und Kegel Seite 49 Grundlagen Seite 51 Fläche des Kreises K 1 3 D U R C H M E S S E R A E D I 6 Z Y L I N D E R S 7 U K K R E I S L I N I E G E 2 M I T T E L P U N K T 4 Seite 50 Umfang des Kreises 40,84 cm = 4,084 dm 2. 9,425 m = 94,25 dm 3. 57,115 m = 571,15 dm Zusatzaufgabe: 1302,222 St.; aufgerundet: 1 500, das entspricht 5 Paletten dm ,5027 km ,75 m 2 Zusatzaufgabe: ,15 St.; das entspricht 55 Paletten. Seite 52 Anwendung: Umfang und Fläche A = 3,30 cm 2 2. d = km; r = km Zusatzaufgabe: v = km / h Mio. km. Zusatzaufgabe: v = km / h 2,87 cm 2 4,02 cm km 3,30 cm km km km km 940 Mio. km km Mio. km 808 Mio. km Lösungen 65