Grundlagen. Einteilung der Dreiecke. Besondere Punkte des Dreiecks

Transkript

1 Der Name leitet sich von den griechischen Begriffen Tirgonon Dreieck und Metron Maß ab. ist also die Lehre vom Dreieck, d.h. die Grundaufgabe der besteht darin, aus drei Größen eines gegebenen Dreiecks (Seiten, Winkel, etc.) andere Größen zu berechnen. Grundlagen In einem Dreieck werden die Eckpunkte mit Großbuchstaben, die Seiten mit Kleinbuchstaben und die Winkel (Innenwinkel) mit griechischen Buchstaben bezeichnet. Die Winkelsumme beträgt in einem Dreieck immer 180 ( 180 ). Der Umfang U eines Dreiecks ist die Summe der Seitenlängen ( U a b c ). Einteilung der Dreiecke Es gibt allgemeine Dreiecke mit den Seiten a, b und c, gleichschenkelige Dreiecke, die Seiten a und b sind gleich lang, gleichseitige Dreiecke, all drei Seiten sind gleich lang, daher sind auch alle drei Winkel gleich groß (60 ) rechtwinkelige Dreiecke, ein Winkel des Dreiecks beträgt 90, zwei Seiten stehen somit senkrecht aufeinander spitzwinkelige Dreiecke, alle drei Winkel des Dreiecks sind kleiner als 90 stumpfwinkelige Dreiecke, ein Winkel muss ein stumpfer (> 90 ) sein Besondere Punkte des Dreiecks In einem Dreieck gibt es vier besondere Punkte der Höhenschnittpunkt H : ist der Schnittpunkt der drei Höhenlinien h a, h b und h c, die vom jeweiligen Eckpunkt ausgehen und senkrecht auf die gegenüberliegende Seite stehen.

2 der Umkreismittelpunkt U : ist der Schnittpunkt der Seitensymmetralen m a, m b und m c, die durch die jeweiligen Mittelpunkte der Seiten gehen und im rechten Winkel zur dazugehörigen Seite stehen. der Inkreismittelpunkt I : ist der Schnittpunkt der Winkelsymmetralen w, w und w, die vom jeweiligen Eckpunkt ausgehend den Winkel halbieren. der Schwerlpunkt I : ist der Schnittpunkt der drei Schwerlinien s a, s b und s c, die vom jeweiligen Eckpunkt zum Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite verlaufen.

3 Der Umkreismittelpunkt U, der Höhenschnittpunkt H und der Schwerpunkt S liegen auf einer Geraden, der Euler-Geraden e. Kongruenz und Ähnlichkeit von Dreiecken Als Kongruenzsatz bezeichnet man in der euklidischen Geometrie Aussagen, anhand derer sich einfach die Kongruenz (Deckungsgleichheit) von Dreiecken nachweisen lässt. Kongruenzsatz: zwei Dreiecke sind genau dann kongruent, wenn sie SSS-Satz: in allen drei Seiten übereinstimmen SWS-Satz: in zwei Seiten und dem von ihnen eingeschlossenen Winkel übereinstimmen

4 SSW-Satz: in zwei Seiten und dem der längeren Seite gegenüberliegenden Winkel übereinstimmen WSW-Satz: in einer Seiten und den dieser Seite anliegenden Winkeln übereinstimmen Stimmen zwei Dreiecke in den drei Innenwinkeln überein, so sind sie nicht notwendigerweise kongruent. Sie sind jedoch ähnlich. Ähnlichkeitssätze des Dreiecks: zwei Dreiecke sind genau dann ähnlich, wenn a) sie in zwei (und damit automatisch in allen drei) Winkeln übereinstimmen. b) Ihre Seitenlängen proportional sind, d.h.: a a 1 : b 1 : c 1 a : b : c oder 1 b 1 c 1 a b c

5 Peripher- Zentriwinkel Umfangswinkel oder Peripherwinkel nennt man einen Winkel ACB dessen Scheitel auf dem Umkreis des Dreiecks ABC liegt. Ist M der Mittelpunkt des Umkreises des Dreiecks ABC, dann ist der Winkel A M B der zum Winkel ACB gehörige Mittelpunktswinkel oder Zentriwinkel. Peripherwinkelsatz: Der Mittelpunktswinkel (Zentriwinkel) eines Kreisbogens ist doppelt so groß wie der zugehörige Umfangswinkel (Peripherwinkel) Berechnungen in rechtwinkeligen Dreiecken Die Satzgruppe von Pythagoras Satzgruppe des Pythagoras: In jedem rechtwinkeligen Dreieck gilt: a b c Hauptsatz h p q Höhensatz a p c Kathetensätze b q c

6 Beweis des Hauptsatzes: Für den Beweis des Hauptsatzes zeichnen wir ein Quadrat, indem wir die Katheten eines rechtwinkeligen Dreiecks ABC um a bzw. b so wie in der obigen Abbildung gezeigt, verlängern. Damit erhalten wir ein Quadrat mit der Seitenlänge a b. Die Fläche des Quadrates über der Hypotenuse c berechnet sich nun aus der Fläche des Quadrates mit der Seitenlänge a b minus der Fläche der vier Dreiecke mit den Kathetenlängen a und b. Wir können also schreiben: c a b Fläche des großen Quadrates 4 a b Dreieckflächen a ab b ab a b c a b

7 Beweis des Höhensatzes: In der obigen Abbildung drei rechtwinkelige Dreiecke zu erkennen. Ein Dreieck hat die Seitenlängen a, b, c. Die beiden restlichen Dreiecke haben jeweils die Seitenlängen h, p, a und h, q, b. Für jedes dieser Dreiecke gilt der Hauptsatz des Pythagoras: a b c h p a h q b h p a h q b c h p q c Andererseits gilt c p q c p pq q Setzen wir nun für c ein, erhalten wir: h p q p pq q p q h pq h pq

8 Beweis der Kathetensätze: Wegen des Hauptsatzes des Pythagoras gilt: a c b. Außerdem gilt c p q c p pq q. Aus dem rechtwinkeligen Dreieck mit den Seiten h, q, b erhalten wir: b h q. Wir setzen nun für c und h ein und erhalten: a c b p pq q h q p pq q h q p pq h Wir nutzen nun den Höhensatz h pq : a p pq h p pq pq p pq c p p q p c

9 Fläche im rechtwinkeligen Dreieck Die Fläche des rechtwinkeligen Dreiecks errechnet sich über die beiden Katheten a und b oder über die Hypotenuse c und der Höhe h : A 1 a b 1 c h Umkreisradius des rechtwinkeligen Dreiecks Der Umkreisradius R errechnet sich mit Hilfe des Hauptsatzes des Pythagoras aus dem rechtwinkeligen a Dreieck mit den Seitenlängen, b und R : R a b a 4 b 4 a b 4 c 4 c

10 Inkreisradius Der Inkreisradius kann aus den Dreiecken BCI, CAI und ABI bestimmt werden. Wir berechnen die Fläche jedes dieser Dreiecke und verwenden dazu die Flächenformel für das Dreieck: A a h a b h b c h c Der Inkreisradius stellt für jedes der Dreiecke BCI, CAI und ABI die Höhe dar. Damit erhalten wir für deren Flächen: A BCI a r A CAI b r A ABI c r Summiert man die Flächen der Dreiecke BCI, CAI und ABI erhält man die Gesamtfläche des Dreiecks ABC : A A BCI A CAI A ABI a r b r c r r a b c Durch Umformung dieses Ausdrucks erhält man: r A a b c Festlegung von Winkeln durch rechtwinkelige Dreiecke In einem rechtwinkeligen Dreieck sind die Längenverhältnisse der drei Seiten nur vom Maß der beiden spitzen Winkel und abhängig. Aus dem Umstand, dass 90 ist folgt,

11 dass durch einen der beiden spitzen Winkel bereits der andere Winkel festgelegt wird. Damit hängen die Längenverhältnisse in einem rechtwinkeligen Dreieck nur vom Maß eines der beiden spitzen Winkel ab. Deshalb definiert man die Längenverhältnisse in Abhängigkeit eines der beiden spitzen Winkel: Sinus eines Winkels: sin Gegenkathete Hypothenuse Kosinus eines Winkels: cos Ankathete Hypothenuse Tangens eines Winkels: tan Gegenkathete Ankathete Winkelfunktionen und Kreisfunktionen Zu einem bestimmten Winkel gibt es unendlich viele rechtwinkelige Dreiecke ABC, deren Seiten alle in den selben Verhältnissen sin Gegenkathete, cos Ankathete Hypothenuse Hypothenuse und tan Gegenkathete stehen, d.h. durch den Winkel sind die Seitenverhältnisse dieser Ankathete Dreiecke eindeutig festgelegt. Betrachtet man nun den Winkel als unabhängige Variable und die Werte der jeweiligen Seitenverhältnisse als abhängige Variable, dann erhält man die sogenannten trigonometrischen Funktionen oder die Winkelfunktionen. Fasst man nun umgekehrt die Werte der Seitenverhältnisse als unabhängige Variablen auf und den zugehörigen Winkel als abhängige Variable auf, so nennt man die so entstehenden Funktionen zyklometrische Funktionen oder Kreisfunktionen.

12 Sinus: Cosinus: Tangens: Winkelfunktionen sin Gegenkathete Hypotenuse cos Ankathete Hypotenuse tan Gegenkathete Ankathete Cotangens: cot Ankathete Gegenkathete Secans: Cosecans: sec Hypotenuse Ankathete cosec Hypotenuse Gegenkathete Arcus-Sinus: Arcus-Cosinus: Arcus-Tangens: Arcus-Cotangens: Arcus-Secans: Arcus-Cosecans: Kreisfunktionen arcsin Gegenkathete Hypotenuse arccos Ankathete Hypotenuse arcsin Gegenkathete Ankathete arccot Ankathete Gegenkathete arcsec Hypotenuse Ankathete arccosec Hypotenuse Gegenkathete Zusammenhänge zwischen den Winkelfunktionen Trigonometrische Grundbeziehungen: 1.) sin cos 1.) sin cos tan Beweis: Es bezeichne G die Gegenkathete, A die Ankathete und H die Hypotenuse. ad 1) Aus den Definitionen sin G H und cos A H sin cos G H erhalten wir: A H G H A H H H 1

13 ad ) Aus den Definitionen sin G H, cos A H und tan G A erhalten wir: sin cos G H A H G H H A G A tan Umrechnungstabelle für Winkelfunktionen: sin cos tan sin 1 1 cos cos 1 sin 1 tan sin 1 sin 1 cos cos tan 1 tan 1 1 tan 1 Zusammenhänge zwischen Winkel- und Kreisfunktionen Arcustangensregel: y 1.) arcsin y arctan 1 y.) arccos y arctan 1 y y Spezielle Werte der Winkelfunktionen sin

14 cos tan Komplementärwinkelsatz Komplementärwinkelsatz: Der Wert einer Winkelfunktion eines Winkels ist gleich dem Wert der Co-Funktion für den komplementären Winkel 90 1.) sin 90 cos cos 90 sin [ 0, 90 ].) tan 90 cot cot 90 tan [ 0, 90 ]

15 Berechnungen in beliebigen Dreiecken Die trigonometrische Flächeninhaltsformel für Dreiecke Das Dreieck ABC lässt sich, wie in der Abbildung gezeigt zu einem Rechteck vervollständigen. Die Fläche des Dreiecks entspricht dann der halben Fläche des Rechtecks: A c h c Die Höhe h c ist eine Kathete im rechtwinkeligen Dreieck APC und errechnet sich aus: sin h c b h c b sin Setzen wir nun für h c in die Flächenformel ein, erhalten wir: A c h c b c sin Auf die gleiche Weise lassen sich die folgenden Beziehungen zeigen:

16 A a h a sin h a c h a c sin A a h a a c sin A b h b sin h a b h a b sin A a h a a b sin

17 Der Sinussatz Die Höhe h c teilt das Dreieck ABC in zwei rechtwinkelige Dreiecke APC und PBC. Die Höhe h c lässt sich über die Winkel und wie folgt berechnen: sin h c b sin h c a h c b sin h c a sin a sin b sin sin a sin sin b sin a sin b sin Unter Verwendung der Höhe h a lässt sich die Gültigkeit von b sin c sin zeigen. Damit gilt der Sinussatz in der allgemeinen Form: a sin b sin c sin

18 Der Cosinussatz Im Dreieck ABC werden durch die Höhe h c die beiden rechtwinkeligen Dreiecke APC und PBC gebildet. Für den Winkel gelten die folgenden Zusammenhänge: sin h c b cos u b h c b sin u b cos Für das Dreieck PBC gilt der Zusammenhang: a h c c u b sin c b cos b sin c bc cos b cos b cos c bc cos sin 1 b c bc cos Auf gleiche Weise lassen sich unter Verwendung der Höhen h a und h b die restlichen Aussagen des Cosinussatzes ableiten. Zusammenfassend gilt: a b c bc cos b a c ac cos c a b ab cos Trigonometrische Monotoniesatz Trigonometrischer Monotoniesatz: In jedem Dreieck liegt der größte Winkel der größten Seite, der kleinste Winkel der kleinsten Seite gegenüber. D.h.: a b c

19 Additionstheoreme sin sin cos cos sin cos cos cos sin sin sin sin cos cos sin cos cos cos sin sin tan tan tan tan 1 tan tan tan tan 1 tan tan sin sin cos cos cos sin tan tan 1 tan cos 1 cos sin 1 cos sin sin sin cos cos cos cos cos sin sin cos sin cos cos sin sin