Winkel im rechtwinkeligen Dreieck

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1 Theorie 1 1 Winkel im rechtwinkeligen Dreieck Winkel im rechtwinkeligen Dreieck Für die Winkel im rechtwinkeligen Dreieck gilt: Gegenkathete sin Hypotenuse Gegenkathete tan Ankathete cos cot Ankathete Hypotenuse Ankathete Hypotenuse Begründung: Hypotenuse B sin 1 X tan Gegenkathete von A cos Y Ankathete von C Die Dreiecke ABC und AXY sind ähnlich. Aufgrund des Strahlensatzes folgt: Die Gegenkathete von verhält sich zur Hypotenuse (Dreieck ABC) wie sin zu 1 (Dreieck AXY). Daraus folgt die Behauptung für den Sinus. Analog für den Kosinus: Das Verhältnis von Ankathete zur Hypotenuse ist gleich dem Verhältnis von cos zu 1. Daraus folgt die Behauptung für den Kosinus. sin Aus der Beziehung tan folgt weiters die Behauptung für den Tangens. cos Maturavorereitung 8. Klasse ACDCA 1999 Trigonometrie

2 Theorie 2 2 Kongruenzsätze Kongruenzsätze Zwei Dreiecke sind genau dann kongruent, wenn sie SSS-Satz: SWS-Satz: SSW-Satz: WSW- u. SWW-Satz in allen drei Seiten in zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel in zwei Seiten und dem der größeren Seite gegenüerliegenden Winkel in einer Seite und zwei Winkeln üereinstimmen. Bemerkung zum SSW Satz: Ist der der kleineren Seite gegenüerliegende Winkel gegeen, so müssen die Dreiecke nicht kongruent sein. Bei dieser Angae ist es möglich, dass das Dreieck nicht konstruierar ist oder dass es zwei Lösungen git. Maturavorereitung 8. Klasse ACDCA 1999 Trigonometrie

3 Theorie 3 3 Trigonometr. Flächeninhaltsformel Trigonometrische Flächeninhaltsformel Für den Flächeninhalt A eines Dreiecks gilt: A a sin 2 a c c sin sin 2 2 Begründung: sin git die Höhe h a (Höhe des Eckpunktes A auf die Seite a) an. sin ist die Länge der Gegenkathete des rechtwinkeligen Dreiecks mit A, C und dem Fußpunkt der durch A verlaufenden Höhe als Eckpunkte. C ha sin ha sin A sin B Eenso geen c sin die Länge der Höhe h und a sin die Länge der Höhe h c an. Maturavorereitung 8. Klasse ACDCA 1999 Trigonometrie

4 Theorie 4 4 Polarkoordinaten Polarkoordinaten Zur Unterscheidung von den kartesischen Koordinaten (x / y) eines Punktes P, welche die Lage des Punktes durch den orientierten Astand zur x- und y-achse festlegen, nennt man das geordnete Zahlenpaar (r / ) die Polarkoordinaten von P, woei der Radius r den Astand vom Ursprung und der Winkel die Richtung des Ortspfeils vom Ursprung zum Punkt angeen. Für die Umrechnung der Koordinaten gilt: x r und y r zw r x y und 2 2 = cos = sin = + tan= x y Begründung: P r y O x Die Umrechnungsformeln ergeen sich unmittelar aus den Formeln für Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkeligen Dreieck, zw. aus dem pythagoreischen Lehrsatz. Bemerkung: Es ist darauf zu achten, in welchem Quadranten der Punkt P liegt! Maturavorereitung 8. Klasse ACDCA 1999 Trigonometrie

5 Theorie 5 5 Winkelmaße Winkelmaße 1. Gradmaß (Altgrad) Die geräuchlichste Winkelmessung stammt aus der Zeit der Baylonier. Sie teilten den vollen Winkel in 360 gleich große Teile und nannten 1/360 des vollen Winkels 1 Grad (Altgrad, degree). 1 = 1/360 des vollen Winkels 1/90 des rechten Winkels 1 (1 Bogenminute) = 1/60 eines Grades 1 (1 Bogensekunde) = 1/60 einer Minute 2. Neugrad Vermessungstechniker einigten sich darauf, Winkel in sogenannten Neugrad oder Gon zu messen: 1 g (1 Gon) = 1/400 eines vollen Winkels 1/100 eines rechten Winkels 1 c (1 Neuminute) = 1/100 eines Neugrads 1 cc.(1 Neusekunde) = 1/60 einer Neuminute 3. Bogenmaß Diese Winkelmessung eruht auf der Idee, die Länge eines zum Winkel gehörigen Winkelogens anzugeen. In der neenstehenden Figur ist ein Winkel mit zugehörigen Winkelögen mit den Radien r und r eingezeichnet. Die jeweiligen Bogenlängen etragen ' und. Auf Grund der Ähnlichkeit gilt:. Daraus r r' erkennt man, dass der Quotient für einen r estimmten Winkel stets gleich einer festen Zahl a ist, unahängig vom Radius. Für einen vollen Winkel ist die Länge des zugehörigen Winkelogens: = 2r (Kreisumfang). Daraus folgt: r r a r 2r 2 r Winkelmaß-Proportionen: ( ) : ( g ) : (rad) = 180 : 200 : Maturavorereitung 8. Klasse ACDCA 1999 Trigonometrie

6 Theorie 6 6 Höhen-, Tiefen-, Horizontalwinkel Höhenwinkel, Tiefenwinkel, Horizontalwinkel, Sehwinkel, Schwenkwinkel Definitionen Unter einem Höhenwinkel versteht man einen Winkel, der von der Horizontalen aufwärts gemessen wird. Beispiel: Von einem Punkt A aus erscheint die Spitze eines Berges unter dem Höhenwinkel. Unter einem Tiefenwinkel versteht man einen Winkel, der von der Horizontalen awärts gemessen wird. Beispiel: Von der Spitze eine Berges erscheint der Fußpunkt eines Turms unter dem Tiefenwinkel. Unter einem Horizontalwinkel versteht man einen Winkel, der in der Waagrechten gemessen wird. Beispiel: Nach Schwenken des Fernrohrs um den Horizontalwinkel erscheint... Sehwinkel und Schwenkwinkel sind elieige Winkel, die im Allgemeinen keine esondere Lage haen, also z.b. nicht waagrecht gemessen werden müssen. Maturavorereitung 8. Klasse ACDCA 1999 Trigonometrie

7 Theorie 7 7 Sinussatz Sinussatz In jedem Dreieck gilt: a = = c sin sin sin Begründung: Von einem Dreieck kennt man die Länge der Seite a und die Größe der Winkel und. Die Seitenlänge ist zu erechnen. Dazu zerlegt man das Dreieck durch die Höhe h c in zwei rechtwinkelige Dreiecke. Man erkennt: C h c h c sin und sin a h c a Daraus folgt: h c = a sin hc a sin sin sin a sin sin A c B Analog kann man die ürigen Beziehungen egründen Auf Grund des Peripheriewinkelsatzes, der esagt, dass alle Peripheriewinkel gleich groß oder supplementär sind, kann man sich mittels des Sinussatzes auch die Länge des Umkreisradius erechnen: a c 2r = = = sin sin sin Maturavorereitung 8. Klasse ACDCA 1999 Trigonometrie

8 Theorie 8 8 Cosinussatz Cosinussatz In jedem Dreieck gilt: a² = ² + c² - 2 c cos ² = c² + a² - 2 c a cos c² = a² + ² - 2 a cos Begründung: Von einem Dreieck kennt man, c und. Die Länge der dritten Dreiecksseite a soll erechnet werden. Die Aufgae ist lösar, wenn man das Dreieck durch die Höhe h c in zwei rechtwinkelige Dreiecke zerlegt. Dann gilt: h sin h sin x cos x cos y c x c cos A x C h c a y B Nach dem pythagoreischen Lehrsatz gilt: a² h² y² ² sin ² c cos ² ² sin ² c² 2c cos ² cos ² ² ² c² 2c cos sin ² cos ² c² 2c cos c Analog kann man die eiden anderen Beziehungen herleiten. Maturavorereitung 8. Klasse ACDCA 1999 Trigonometrie

9 Theorie 9 9 Winkelfunktionen Die Funktionen Sinus und Cosinus Jeder Zahl x R wird eine Zahl sin x und eine Zahl cos x zugeordnet. Es liegen daher folgende Funktionen vor: Sinusfunktion sin: R R x sin x Cosinusfunktion cos: R R x cos x Diese Funktionen werden Winkelfunktionen genannt. Graph der Sinusfunktion Graph der Cosinusfunktion Maturavorereitung 8. Klasse ACDCA 1999 Trigonometrie

10 Theorie 9 10 Winkelfunktionen Die Funktion Tangens 3 5 Tangensfunktion tan: A R x tan x mit A = R\ ; ; ; Graph der Tangensfunktion Beziehungen zwischen sin, cos und tan Aus der Zeichnung erkennt man, dass die Graphen von sin und cos einen gleichartigen Kurvenverlauf haen, jedoch gegeneinander in Richtung der ersten Achse verschoen sind. Daher gilt: cos sin zw. sin cos 2 2 sin 3 5 Weiters kann man definieren tan ; woei R und,,,... cos Maturavorereitung 8. Klasse ACDCA 1999 Trigonometrie

11 Theorie Normalprojektion Normalprojektion Der Neigungswinkel einer Geraden g gegen eine Eene E wird von g und der Normalprojektion g der Geraden g auf E geildet. Die Normalprojektion g von g erhält man, indem man alle Punkte von g auf E normal projiziert. Die Normalprojektion P eines Punktes P auf E erhält man, indem man durch P eine Normale n zu E legt und diese mit E schneidet. Für das Maß des Neigungswinkels einer Geraden gegen eine Eene gilt: E g P n P g Länge der Normalprojektion einer Strecke Die Strecke [P,Q ] ist die Normalprojektion der Strecke [P,Q] auf die Eene E. Ist das Neigungswinkelmaß der Geraden PQ ezüglich der Eene E, dann gilt für die Längen d = PQ und d = P 'Q' : d' cos d' d cos d Bei der Normalprojektion diner Strecke auf eine Eene wird also die Länge der Strecke mit dem Faktor cos verkleinert. Inhalt der Normalprojektion einer Fläche Analog der Normalprojektion eines Punktes oder einer Geraden kann auch die Normalprojektion einer Fläche auf eine Eene erfolgen. A sei der Flächeninhalt der ursprünglichen Figur, A der Flächeninhalt der projizierten Figur. Dann gilt: A' A cos Der Inhalt der Fläche wird also ei der Normalprojektion eenfalls mit dem Faktor cos verkleinert. Maturavorereitung 8. Klasse ACDCA 1999 Trigonometrie

12 Theorie Additionstheoreme Additionstheoreme 1) sin( + ) = sincos+ cossin 2) cos( + ) = coscossinsin Begründung: sin sin(+) sin.cos 1 cos.sin cos Weitere Formeln lassen sich schrittweise unter Verwendung von 1) und 2) herleiten: 3) sin( ) = sin coscossin 4) cos( ) = coscos+ sinsin 5) tan tan tan( ) + 1 tan tan 6) tan tan tan( ) 1 tan tan 7) sin 2 = 2sincos 8) 2 2 cos 2 = cos sin 2tan 9) tan 2 = 2 1 (tan ) Maturavorereitung 8. Klasse ACDCA 1999 Trigonometrie