Trigonometrie. Winkelfunktionen und Einheitskreis

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1 Trigonometrie Die Trigonometrie ist die Lehre der Winkel- oder Kreisfunktionen. Die auffälligste Eigenschaften der Funktionen der Trigonometrie ist die Periodizität: Trigonometrische Funktionen zeigen eine sich wiederholendes Verhalten 1. Die grundlegendste trigonometrische Funktion ist der Sinus (sin). Alle anderen basieren direkt oder indirekt auf dieser. Die Form der Sinuskurve entsteht beispielsweise wenn man auf einem Kreis einen Punkt (P) markiert und dessen Abstand zur horizontalen aufzeichnet, während man den Kreis gleichmässig dreht. Nach einer vollständigen Umdrehung (eine Periode) wird sich das dabei entstehende Bild wiederholen. Winkelfunktionen und Einheitskreis Die neben dem Sinus häufigsten Winkelfunktionen sind der Cosinus (cos) und der Tangens (tan). Wählt man für den Kreis von oben einen Radius von 1 (Einheitskreis) kann man die Werte aller drei Funktionen direkt an diesem ablesen. Die Skizze rechts gibt entsprechend Aufschluss. Da sowohl der Sinus als auch der Cosinus sich innerhalb des Kreises befinden, können deren Werte maximal den Wert 1 (respektive -1) erreichen. Der Tangens hingegen kann beliebig grosse Werte annehmen und ist für den Fall, dass der Punkt P sich ganz oben respektive ganz unten befindet nicht definiert 2. Achtung: der Tangens wird immer vom Punkt (1/0) aus senkrecht zur (beidseitig verlängerten) Geraden gemessen, auch dann, wenn der Winkel zwischen 90 und 270 liegt. Die Graphen der drei Funktionen sind links abgebildet. Der Cosinus hat prinzipiell die gleiche Form wie der Sinus, einfach um eine Vierteldrehung versetzt 3. Der Tangens steigt zunächst flach und dann immer steiler an, bevor er bei einer Vierteldrehung von + auf - springt. 1 Die meisten anderen Funktionen zeigen an beiden Enden (± ) ein eher langweiliges geradliniges Verhalten. 2 Der Definitionsbereich des Tangens muss entsprechend diese Punkte ausschliessen. 3 Merksatz: Der Cosinus fängt oben an, der Sinus in der Mitte. Trigonometrie 1/5 Jörg Mäder ( )

2 Mathematische Winkelsysteme Architekten und Ingenieure nutzen für Winkel in der Regel das Gradsystem (englisch degree, abgekürzt: deg), das eine volle Kreisumdrehung in 360 aufteilt. Dieses System ist auch aus der Geometrie bekannt. In der Algebra und Analysis ist zudem das Bogenmass-System (englisch radian, abgekürzt rad) verbreitet. Dieses basiert wiederum auf dem Einheitskreis. Dieser hat nach der Formel U =2 π r einen Umfang von 2π. Und genau dieser Wert wird einer vollen Umdrehung zugeordnet. Ähnlich wie die Zahl e, ist dieses Winkelsystem im Alltag eher unhandlich, erweist sich aber in verschiedenen Berechnungen 4 als vorteilhaft. Die Umrechnung zwischen diesen beiden ist recht einfach (g: Winkel in Grad, b in Bogenmass). Bei TR und Computerprogramme ist darauf zu achten, mit welchem Winkelsystem gearbeitet wird. Missverständnisse führen hier zu grossen Fehlern. In Formeln sollte man Winkelangaben im Gradmass stets mit dem -Zeichen versehen (Beispiel: 45 ), im Bogenmass wenn möglich als Multiplikation von π (Beispiel: 2.5π) oder mit einem r markiert (0.56 r ). In der Mathematik wird der Winkel immer im Gegenuhrzeigersinn gemessen, startend von der rechten Hälfte der X-Achse. Umkehrfunktionen g=b 180 b=g π 180 Alle drei trigonometrischen Funktionen haben entsprechende Umkehrfunktionen: Arcussinus (arcsin, asin oder sin -1 ), Arcuscosinus (arccos, acos oder cos -1 ) und Arcustangens (arctan, atan oder tan -1 ). Da sin und cos nur Werte zwischen -1 und +1 liefern, sind auch nur Zahlen aus diesem Bereich als Argumente für asin und acos zugelassen, der atan kann hingegen für alle reellen Zahlen berechnet werden. Als Ergebnis liefern asin und atan nur Werte zwischen -90 und +90, acos solche zwischen 0 und 180. Ein TR liefert also sowohl für asin(sin (60 )) und asin(sin (120 )) den Wert 60 zurück. Will man aber gültige Lösungen aus einem anderen Bereich haben, muss man die Lösungen des TR gemäss Grafik (vorherige Seite) verschieben um diese zu erhalten ( n Z, n:... -2, -1, 0, 1, 2...): sin: n 360 +α & n α cos: n 360 +α & n 360 α tan: n 180 +α 4 Speziell bei Differential und Integral. Trigonometrie 2/5 Jörg Mäder ( )

3 Geometrie Vorbemerkungen zu Dreiecken In einem Dreieck gilt bezüglich Beschriftung, dass die zu einem Winkel gehörende Seite (α & a) gegenüber liegt. Typischerweise wir im Uhrzeigersinn angeschrieben. Die wichtigsten Regeln im Dreieck sind: Winkelsumme: 180 rechtwinkliges Dreieck Fläche= Seite Höhe 2 Ist in einer Skizze kein brauchbares Dreieck sichtbar, darf man nach Belieben Linien verlängern oder zusätzliche einzeichnen. Beispielsweise in der Skizze links die gestrichelten, um einen rechten Winkel (rechts unten) zu erhalten. Die Skizze mit dem Einheitskreis zeigt ein rechtwinkliges Dreieck, bei dem Sinus und Cosinus je eine Kathete bilden und der Radius die Hypotenuse. Somit gilt nach dem Satz von Pythagoras (Die Summe der Katheten-Quadrate entspricht dem Quadrat der Hypotenuse): sin(ϕ) 2 +cos(ϕ) 2 =1 Für ein Kreis mit Radius r 1 gelten folgende Verallgemeinerungen: sin(ϕ)= Gegenkathete Hypothenuse cos(ϕ)= Ankathete Hypothenuse tan (ϕ)= Gegenkathete Ankathete Um diese Grundgesetze der Trigonometrie anwenden zu können, muss ein rechtwinkliges Dreieck gesucht werden. Die drei Grundgesetze beinhalten einen Winkel und zwei Seiten. Sind zwei dieser drei Werte bekannt, kann der fehlende berechnet werden. Welches der drei Gesetze zur Anwendung kommt, kann man aus den Skizzen rechts ablesen. Die vierte Skizze entspricht dem Pythagoras Allgemeines Dreieck Sinussatz: sin (α) sin (β) = a b Cosinussatz: c 2 =a 2 +b 2 2 a b cos(γ) Diese beiden Sätze gelten im allgemeinen Dreieck 5, es muss also nicht zwingend ein rechter Winkel vorhanden sein. Somit sind auch alle Seiten und Winkel untereinander gleichwertig. Entsprechend könnte der Sinussatz auch mit den Seiten b und c und den zugehörigen Winkeln formuliert werden. Der Sinussatz besteht aus zwei Winkeln und den zugehörigen Seiten, der Cosinussatz aus einem Winkel und allen drei Seiten (er ist eine Art Verallgemeinerung des Satz des Pythagoras). Sind jeweils drei der vier Grössen bekannt, kann die fehlende berechnet werden. 5 Nicht vergessen: Laut Konvention liegt die Seite a gegenüber dem Winkel α. Trigonometrie 3/5 Jörg Mäder ( )

4 Nicht mathematische Winkelsysteme Kreise und Unterteilungen davon haben auch ausserhalb der Mathematik grosse Bedeutung. Nicht immer werden diese aber in 360 unterteilt. Zeit: Einteilung in 12 (Stunden) respektive 60 Einheiten (Minuten und Sekunden). Im Uhrzeigersinn gemessen, oben startend. Geographie 6 Himmelsrichtung: 360 im Uhrzeigersinn, oben startend; Nord: 0, Ost: 90, Süd: 180 West: 270 Positionsangabe: Längengrad: 360 von West nach Ost gemessen, beim Nullmeridian (Greenwich, GB) startend West: -180 (oder 180 W), Nullmeridian: 0, Ost: +180 (oder 180 E, E für East) Breitengrad: Halbkreis 180, Von Süd nach Nord gemessen, am Äquator startend Nordpol: +90 (oder 90 N), Äquator: 0, Südpol: -90 (oder 90 S) Zählen der Umdrehungen: Vollkreis = 1 Umdrehungen. Richtung und Startpunkt je nach Anwendung. Häufig bei (Stell-) Motoren verwendet. (als Vergleich) Mathematik: 360 (Gradmass) oder 2π (Bogenmass), sehr selten 400 g (Neugrad) im Gegenuhrzeigersinn, rechts (auf der positiven Hälfte der x-achse) startend. 6 Werte kleiner 1 werden entweder dezimal oder mit Minuten und Sekunden notiert '30 = Umrechnung analog zur Zeitmessung. Trigonometrie 4/5 Jörg Mäder ( )

5 Zusammengesetze Schwingungen Jedes kontinuierliche 7 periodische Signal kann als Summe von mehreren Sinusfunktionen ausgedrückt werden. Die Überlagerung von mehreren periodischen Funktionen (Wellen) wird in der Physik als Interferenz bezeichnet. Die blaue Kurve unten besteht aus drei Sinusschwingungen sin( x+ π /3)+ 0.5 sin(4x)+ 0.2 sin(6x), wobei die mit der tiefsten Frequenz (rot) um 60 (π/3) verschoben ist (Phasenverschiebung, Summand in der Klammer) und die anderen beiden mit höheren Frequenzen (Faktor in der Klammer) und kleineren Amplituden (Faktor vor der Klammer) versehen sind. Die Zerlegung eines periodischen Signals in seine Einzelkomponenten wird als Frequenzzerlegung bezeichnet und wird mittels Fouriertransformation gemacht (höhere Mathematik). Der am häufigsten eingesetzte Algorithmus ist die Fast-Fourier-Transformation (FFT). Schwebungen Sind die Frequenzen zweier Komponenten sehr ähnlich, entstehen sogenannte Schwebungen. Diese sind meist sehr störend, da sich die beiden Signale zeitweise aufheben (Summe nahe bei 0) oder verstärken. Dadurch fängt die Amplitude mit einer tiefen Frequenz an zu oszillieren. Beispiel rechts: sin(50 x)+sin(60 x) Hüllkurve Oft ist man bei einem schnell schwingenden Signal nicht an den einzelnen Schwingungen interessiert, sondern am Verhalten auf einer etwas grösseren Zeitskala. Im Beispiel der Schwebung im lässt sich der Form dieser Hüllkurve leicht erahnen. 7 Kontinuierlich: die Funktion weist keine Sprünge auf. Trigonometrie 5/5 Jörg Mäder ( )