Winkel und Winkelmessung
|
|
- Stefanie Hermann
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 4. Trigonometrie
2 Winkel und Winkelmessung Winkel... Teil der Ebene, der von zwei Strahlen ( Schenkeln ) mit gleichem Anfangspunkt ( Scheitel ) begrenzt wird Winkelmessung... Quantitative Erfassung der Öffnungweite, d. h. lediglich der relativen Lage der Strahlen zueinander S. Bernstein, Vorkurs Mathematik für Ingenieure, September /87
3 Bogenmaß Die Winkelmessung im Bogenmaß erfolgt unter Beachtung des Drehsinns am Einheitskreis: 0 ' ' Die Größe des Winkels im Bogenmaß entspricht der Länge des ausgeschnitten Bogens auf dem Einheitskreis. Einheit: Zur Identifikation als Winkel verwendet man mitunter den Radiant: rad = m m =. Mathematisch gesehen ist das verzichtbar. S. Bernstein, Vorkurs Mathematik für Ingenieure, September /87
4 Gradmaß Beim Gradmaß wird die Größe des Vollkreises auf 360 ± normiert. Damit entspricht dem Winkel º im Bogenmaß die Gradangabe 80 ±. Für beliebige Winkel gelten die Umrechnungsformeln Winkel in Grad = 80 º Winkel in Radiant = º 80 Winkel in Radiant Winkel in Grad Wie groß ist der rechte Winkel (90 ± ) im Bogenmaß? Wieviel Grad entspricht rad? S. Bernstein, Vorkurs Mathematik für Ingenieure, September /87
5 Degree und Radiants Prägen Sie sich einige Werte auch im Bogenmaß ein. Achten Sie beim Rechnen mit Winkeln auf korrekte Taschenrechnereinstellung ( ± /rad). S. Bernstein, Vorkurs Mathematik für Ingenieure, September 207 8/87
6 Winkelfunktionen und Trigonometrie Unter dem Begriff Winkelfunktionen fasst man die Funktionen Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens zusammen. Wir erinnern uns zunächst an die Definition von Sinus und Kosinus am Einheitskreis. sin ' ' 0 ' cos ' Durch Skalieren der Skizze erhält man die klassischen Winkelbeziehungen im rechtwinkligen Dreieck. S. Bernstein, Vorkurs Mathematik für Ingenieure, September /87
7 Eigenschaften von Sinus und Kosinus sin(x +2º) = sin(x), cos(x +2º) = cos(x), d. h. Sinus und Kosinus sind 2º-periodisch, sin( x) = sin(x), cos( x) = cos(x), d. h. der Sinus ist ungerade, der Kosinus gerade, sin(x) = cos(x º/2) und cos(x) = sin(x + º/2), d. h. die Graphen sind um º/2 gegeneinander verschoben, sin 2 (x) +cos 2 (x) = (Satz des Pythagoras), sin(x) = 0, x = kº mit k 2 Z und cos(x) = 0, x = (k +0.5)º mit k 2 Z, S. Bernstein, Vorkurs Mathematik für Ingenieure, September /87
8 Markante Funktionswerte Es ist emphehlenswert, wenigstens einige Funktionswerte von Sinus und Kosinus zu kennen. 0/0 ± º 6 /30± º 4 /45± º 3 /60± º 2 /90± sinx 0 2 p 2 cosx p p p Aufgrund von Periodizität, Symmetrien und dgl. kann man auf weitere Werte schliessen. Zum Beispiel ist sin20 ± = sin60 ± = p 3 2. S. Bernstein, Vorkurs Mathematik für Ingenieure, September /87
9 Aufgaben Bestimmen Sie sämtliche Lösungen der Gleichungen sin(2x +) = 0 und cos( º 2 3x) = p 3 2. Nutzen Sie die die Eigenschaften von Seite 83 wie auch die Funktionswerttabelle auf Seite 84. Zeichnen Sie die Graphen der Funktionen f (x) = sin(2x +) und g(x) = cos( º 2 3x). Interpretieren Sie Ihre Ergebnisse aus dem vorigen Beispiel graphisch. Was ändert sich am Graphen einer Funktion y = f (x), wennmanx durch kx (k > 0), x bzw. x c ersetzt? Was ändert sich wenn man y = kf (x)(k > 0) statt y = f (x) betrachtet? S. Bernstein, Vorkurs Mathematik für Ingenieure, September /87
10 Tangens und Kotangens Der Tangens von x ist definiert durch n f : R \ k + o 2 º : k 2 Z! R, x 7! tan(x):= sin(x) cos(x). Der Kotangens von x ist definiert durch f : R \ {kº : k 2 Z}! R, Im Gebrauch ist vor allem der Tangens. Wichtige Eigenschaften: tan und cot sind º-periodische Funktionen, x 7! cot(x):= cos(x) sin(x). tan( x) = tan(x) und cot( x) = cot(x), d. h. beide Funktionen sind ungerade, tan ist auf ( º/2,º/2) streng monoton wachsend und cot ist auf (0,º) streng monoton fallend. S. Bernstein, Vorkurs Mathematik für Ingenieure, September /87
11 Seiten-Winkel-Beziehungen im rechtwinkligen Dreieck Satz des Pythagoras: a 2 +b 2 = c 2. Winkelbeziehungen: sinø = b c cosø = c a, tanø = b a Flächeninhalt: A = 2 ab c b a Machen Sie sich klar, dass die Winkelbeziehungen unmittelbar aus der Definition von Sinus und Kosinus am Einheitskreis folgen. S. Bernstein, Vorkurs Mathematik für Ingenieure, September /87
Vorkurs Mathematik 2016
Vorkurs Mathematik 2016 Vorkurs Mathematik Wozu braucht man den Logarithmus? Schallpegel (db) Schallintensität (W/m 2 ) 120 Düsenjet in 500m Entfernung Rock-Konzert 1 90 U-Bahn 10-3 60 PKW leise Unterhaltung
MehrVorkurs Mathematik 2014
Dr. Mario Helm et al. Institut für Numerische Mathematik und Optimierung Fakultät für Mathematik und Informatik Vorkurs Mathematik 4 Winkelmessung und trigonometrische Funktionen 6.-..4 Winkel und Winkelmessung
MehrMathematischer Vorkurs
Mathematischer Vorkurs Dr. Agnes Lamacz Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite / 50 Kapitel 5 Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 54 / 50 Scheitel S Schenkel α Winkelbereich Winkel werden in Grad
MehrKapitel 5 Trigonometrie
Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite / 7 Schenkel Winkelbereich Scheitel S α Winkel werden in Grad oder im Bogenmaß (auch Rad) angegeben: 360 =. y cot α r = sin α α cos α tan α x Durch diese Betrachtungen
MehrTrigonometrie. In der Abbildung: der Winkel 120 (Gradenmaß) ist 2π = 2π (Bogenmaß).
Trigonometrie. Winkel: Gradmaß oder Bogenmaß In der Schule lernt man, dass Winkel im Gradmass, also als Zahlen zwischen 0 und 60 Grad angegeben werden. In der Mathematik arbeitet man lieber mit dem Bogenmaß,
MehrMathematischer Vorkurs NAT-ING II
Mathematischer Vorkurs NAT-ING II (0.09.03 0.09.03) Dr. Jörg Horst WS 03-04 Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite / 5 Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 6 / 5 Schenkel Winkelbereich Scheitel S
MehrNullstellen. Häufig interessiert man sich für die Werte der unabhängigen Variable einer Funktion, für die der Funktionswert 0 ist:
15 y 10 5 5 x 10 15 Nullstellen Häufig interessiert man sich für die Werte der unabhängigen Variable einer Funktion, für die der Funktionswert 0 ist: 98 Sei f : R R eine Funktion. Ist x 0 D(f) eine reelle
Mehr3.1 Rationale Funktionen
3.1 Rationale Funktionen EineFunktionf : R R der Formx P(x) Q(x) mit Polynomen P(x), Q(x) heißt rationale Funktion. Der maximale Definitionsbereich von f = P(x) Q(x) Sei x 0 R mit Q(x 0 ) = 0. Ferner sei
MehrKOMPETENZHEFT ZUR TRIGONOMETRIE, II
KOMPETENZHEFT ZUR TRIGONOMETRIE, II 1. Aufgabenstellungen Aufgabe 1.1. Bestimme alle Winkel in [0 ; 360 ], die Lösungen der gegebenen Gleichung sind, und zeichne sie am Einheitskreis ein. 1) sin(α) = 0,4
Mehr1 Die Strahlensätze 2. 2 Winkel 3. 3 Rechtwinklige Dreiecke 3. 4 Kreise 6. 5 Trigonometrische Funktionen 8. 6 Kurven in Parameterdarstellung 10
Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Abteilung Quantitative Methoden Mathematischer Vorkurs Dr. Thomas Zehrt Geometrie Inhaltsverzeichnis 1 Die Strahlensätze 2 2 Winkel 3 3 Rechtwinklige
MehrTrigonometrie. Mag. DI Rainer Sickinger HTL. v 1 Mag. DI Rainer Sickinger Trigonometrie 1 / 1
Trigonometrie Mag. DI Rainer Sickinger HTL v 1 Mag. DI Rainer Sickinger Trigonometrie 1 / 1 Verschiedene Winkel DEFINITION v 1 Mag. DI Rainer Sickinger Trigonometrie 2 / 1 Verschiedene Winkel Vermessungsaufgaben
MehrDefinition von Sinus und Cosinus
Definition von Sinus und Cosinus Definition 3.16 Es sei P(x y) der Punkt auf dem Einheitskreis, für den der Winkel von der positiven reellen Halbachse aus (im Bogenmaß) gerade ϕ beträgt (Winkel math. positiv,
MehrBogenmaß, Trigonometrie und Vektoren
20 1 Einführung Bogenmaß: Bogenmaß, Trigonometrie und Vektoren Winkel können in Grad ( ) oder im Bogenmaß (Einheit: 1 Radiant, Abkürzung 1 rad) angegeben werden. Dabei gilt 2 rad 360. Die Einheit 1 rad
MehrFolgende Eigenschaft beschreibt eine gewisse Symmetrie des Funktionsgraphen:
für alle x [0,2000]. Das Intervall [0,2000] könnte aus ökonomischer Sicht relevant sein, wenn etwa die Maximalauslastung bei 2000 produzierten Waschmaschinen liegt. Folgende Eigenschaft beschreibt eine
Mehr2.3 Elementare Funktionen
.3 Elementare Funktionen Trigonometrische Funktionen (Winkelfunktionen) Vorbemerkung. Wir definieren die Winkelfunktionen bezogen auf die Bogenlänge x auf dem Einheitskreis, d.h. für x [0,π]. Alternativ
MehrSpezielle Klassen von Funktionen
Spezielle Klassen von Funktionen 1. Ganzrationale Funktionen Eine Funktion f : R R mit f (x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, n N 0 und a 0, a 1,, a n R, (a n 0) heißt ganzrationale Funktion n
MehrFH Gießen-Friedberg, Sommersemester 2010 Skript 9 Diskrete Mathematik (Informatik) 30. April 2010 Prof. Dr. Hans-Rudolf Metz.
FH Gießen-Friedberg, Sommersemester 010 Skript 9 Diskrete Mathematik (Informatik) 30. April 010 Prof. Dr. Hans-Rudolf Metz Funktionen Einige elementare Funktionen und ihre Eigenschaften Eine Funktion f
MehrTrignonometrische Funktionen 6a
Schuljahr 2015/16 andreas.kucher@uni-graz.at Institute for Mathematics and Scientific Computing Karl-Franzens-Universität Graz Graz, November 23, 2015 Winkelmaße Winkelmaß bis 6. Klasse: Grad (0 360 )
MehrAnkathete Hypothenuse
Arbeitsauftrag: Trigonometrische Funktionen Bearbeitet folgendes Blatt und macht Euch mit den Trigonometrischen Funktionen und ihren Eigenschaften vertraut. 1.) Grundlagen - Wiederholung: Trigonometrische
Mehr1. Definition der trigonometrischen Funktionen für beliebige Winkel
1 Trigonometrie 2 1. Definition der trigonometrischen Funktionen für beliebige Winkel In einem Kreis mit Mittelpunkt M(0,0) und Radius r ist der zunächst spitze Winkel α gezeichnet. α legt auf dem Kreis
Mehr1 Einleitung. 2 Sinus. Trigonometrie
1 Einleitung Die Trigonometrie (trigonon - griechisch für Dreieck) und die trigonometrischen Funktionen sind wichtige mathematische Werkzeuge zur Beschreibung der Natur. In der Physik werden trigonometrische
MehrDie trigonometrischen Funktionen
Die trigonometrischen Funktionen Betrachte die Funktion f(x) = 1 x auf dem Intervall [ 1, 1]. Für x = 1 erhält man den Punkt P 1 = ( 1, ), für x = den Punkt P = (, 1) und für x = 1 den Punkt P 1 = (1,
Mehr21 Winkelfunktionen
Winkelfunktionen. Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck Ein Dreieck, in dem ein Winkel genau 90 hat nennt man ein rechtwinkliges Dreieck. Für die Dreiecksseiten hat man hier verschiedene Bezeichnungen
Mehr11 Spezielle Funktionen und ihre Eigenschaften
78 II. ANALYSIS 11 Spezielle Funktionen und ihre Eigenschaften In diesem Abschnitt wollen wir wichtige Eigenschaften der allgemeinen Exponentialund Logarithmusfunktion sowie einiger trigonometrischer Funktionen
MehrBerechnungen am rechtwinkligen Dreieck Der Einheitskreis. VI Trigonometrie. Propädeutikum Holger Wuschke. 21. September 2018
Propädeutikum 018 1. September 018 Denition Trigonometrie Die Trigonometrie beschäftigt sich mit dem Messen (µɛτ ρoν) von dreiseitigen (τ ρίγωνo) Objekten. Zunächst gilt in Dreiecken: A = 1 g h Abbildung:
MehrTrigonometrische Funktionen
Abbildungsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Trigonometrische Funktionen Die hier behandelten trigonometrischen Funktionen sind sin, cos, tan, cot. Es zeigt sich, dass die Umkehrfunktionen der trigonometrischen
MehrII.1 sin, cos, tan im rechtwinkligen Dreieck und im Einheitskreis
II.1 sin, cos, tan im rechtwinkligen Dreieck und im Einheitskreis 263/1 a) c = 5 cm; 53,13 ; 36,87 b) b = 12 cm; 22,62 ; 67,38 c) a 4,11 cm; b 5,66 cm; = 54 d) c 7,46 cm; b 6,58 cm; = 62 e) c 1631,73 cm;
MehrDie Funktion f (x) = e ix
Die Funktion f (x) = e ix Wir wissen e ix = 1, liegt also auf dem Einheitskreis. Mit wachsendem x läuft e ix immer wieder um den Einheitskreis herum. Die Laufrichtung ist gegen den Uhrzeigersinn (mathematisch
Mehrmathphys-online TRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN y-achse x-achse Graph von sin(x) Graph von cos(x) Graph von tan(x)
TRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN 5 4 8 7 6 5 4 0 4 5 6 7 8 4 5 Graph von sin(x) Graph von cos(x) Graph von tan(x) x-achse Trigonometrische Funktionen Inhaltsverzeichnis Kapitel Inhalt Seite Winkelfunktionen
MehrTrigonometrie aus geometrischer und funktionaler Sicht
Trigonometrie aus geometrischer und funktionaler Sicht Der Kosinussatz und der Sinussatz: Wenn in einem Dreieck nur zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel gegeben sind, oder nur die drei Seiten bekannt
Mehr3. Erweiterung der trigonometrischen Funktionen
3. Erweiterung der trigonometrischen Funktionen 3.1. Polarkoordinaten 1) Rechtwinklige und Polarkoordinaten Üblicherweise gibt man die Koordinaten eines Punktes in der Ebene durch ein Zahlenpaar vor: P(x
MehrSerie 1: Repetition von elementaren Funktionen
D-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik I HS 15 Dr. Ana Cannas Serie 1: Repetition von elementaren Funktionen Bemerkung: Die Aufgaben der Serie 1 bilden den Fokus der Übungsgruppen in der zweiten Semesterwoche
Mehr2015, MNZ. Jürgen Schmidt. 3.Tag. Vorkurs. Mathematik FUNKTIONEN WS 2015/16
Vorkurs Mathematik FUNKTIONEN WS 05/6 3.Tag Funktionen einer Veränderlichen Eine Funktion f einer reellen Variablen Definition 3 ist eine eindeutige Zuordnungsvorschrift zwischen den Zahlen einer nichtleeren
Mehr2.3 Exponential- und Logarithmusfunktionen
27 2.3 Exponential- und Logarithmusfunktionen Die natürliche Exponentialfunktion f(x) = e x ist definiert durch die Potenzreihe e x = + x! + x2 2! + x3 3! + = für alle x in R. Insbesondere ist die Eulersche
MehrF u n k t i o n e n Trigonometrische Funktionen
F u n k t i o n e n Trigonometrische Funktionen Jules Antoine Lissajous (*1822 in Versailles, 1880 in Plombières-les-Bains) wurde durch die nach ihm benannten Figuren bekannt, die bei der Überlagerung
MehrFunktionen einer reellen Veränderlichen
KAPITEL Funktionen einer reellen Veränderlichen.1 Eigenschaften von Funktionen........................... 39. Potenz- und Wurzelfunktionen............................ 1.3 Trigonometrische Funktionen.............................
MehrGrundwissen 10. Überblick: Gradmaß rπ Länge eines Bogens zum Mittelpunktswinkels α: b = α
Grundwissen 0. Berechnungen an Kreis und Kugel a) Bogenmaß Beispiel: Gegeben ist ein Winkel α=50 ; dann gilt: b = b = π 50 0,8766 r r 360 Die (reelle) Zahl ist geeignet, die Größe eines Winkels anzugeben.
MehrMusterlösungen zu Serie 7
D-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik I HS 13 Dr. Ana Cannas Musterlösungen zu Serie 7 1. Für jede der vier trigonometrischen Funktionen gilt: Genau in den Nullstellen x k ist y x k = 0 und y x k 0, was bedeutet,
MehrTrigonometrische Funktionen
Trigonometrische Funktionen Rainer Hauser September 013 1 Einleitung 1.1 Der Begriff Funktion Eine Funktion ordnet jedem Element m 1 einer Menge M 1 ein Element m einer Menge M zu. Man schreibt dafür f:
MehrTrigonometrie. 3. Kapitel aus meinem Lehrgang Geometrie. Ronald Balestra CH St. Peter
Trigonometrie 3. Kapitel aus meinem Lehrgang Geometrie Ronald Balestra CH - 7028 St. Peter www.ronaldbalestra.ch 17. August 2008 Inhaltsverzeichnis 3 Trigonometrie 46 3.1 Warum Trigonometrie........................
MehrLogarithmusfunktion zur Basis 2, Aufgaben. 7-E Vorkurs, Mathematik
Logarithmusfunktion zur Basis 2, Aufgaben 7-E Vorkurs, Mathematik Logarithmusfunktion zur Basis 2: Aufgaben 7-9 Aufgabe 7: Bestimmen Sie eine vertikale Asymptote für die folgenden Funktionen: f ( x) =
MehrUnterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form. Auszug aus: Schritt für Schritt erklärt - Sinus und Kosinus
Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form Auszug aus: Schritt für Schritt erklärt - Sinus und Kosinus Das komplette Material finden Sie hier: School-Scout.de S 1 Schritt für Schritt erklärt
MehrDr. O. Wittich Aachen, 12. September 2017 S. Bleß, M. Sc. Analysis. Übungsaufgaben. im Vorkurs Mathematik 2017, RWTH Aachen University
Dr. O. Wittich Aachen,. September 7 S. Bleß, M. Sc. Analysis Übungsaufgaben im Vorkurs Mathematik 7, RWTH Aachen University Intervalle, Beschränktheit, Maxima, Minima Aufgabe Bestimmen Sie jeweils, ob
MehrTrigonometrie. Geometrie Kapitel 3 MnProfil - Mittelstufe KSOe. Ronald Balestra CH Zürich
Trigonometrie Geometrie Kapitel 3 MnProfil - Mittelstufe KSOe Ronald Balestra CH - 8046 Zürich www.ronaldbalestra.ch 29. Januar 2012 Inhaltsverzeichnis 3 Trigonometrie 1 3.1 Warum Trigonometrie........................
MehrKREISFUNKTIONEN. Allgemeines
KREISFUNKTIONEN Allgemeines Um die Graphen der Winkelfunktionen zeichnen und verstehen zu können, ist es wichtig, den Einheitskreis zu kennen. Zunächst stellt man sich einen Kreis mit dem Radius 1 vor.
MehrSchulmathematik: Lineare Algebra & Analytische Geometrie. Kapitel 2: Trigonometrie. MAC.05043UB/MAC.05041PH, VU im SS 2017
Schulmathematik: Lineare Algebra & Analytische Geometrie Kapitel 2: Trigonometrie MAC.05043UB/MAC.05041PH, VU im SS 2017 http://imsc.uni-graz.at/pfeiffer/2017s/linalg.html Christoph GRUBER, Florian KRUSE,
Mehr2.3 Exponential- und Logarithmusfunktionen
26 2.3 Exponential- und Logarithmusfunktionen Die natürliche Exponentialfunktion f(x) = e x ist definiert durch die Potenzreihe e x = + x! + x2 2! + x3 3! + = für alle x in R. Insbesondere ist die Eulersche
MehrTrigonometrie. Geometrie - Kapitel 3 Sprachprofil - Mittelstufe KSOe. Ronald Balestra CH Zürich
Trigonometrie Geometrie - Kapitel 3 Sprachprofil - Mittelstufe KSOe Ronald Balestra CH - 8046 Zürich www.ronaldbalestra.ch Name: Vorname: 31. Januar 2013 Überblick über die bisherigen ALGEBRA - Themen:
Mehr1 Übungen zu Mengen. Aufgaben zum Vorkurs B S. 1. Aufgabe 1: Geben Sie folgende Mengen durch Aufzählen ihrer Elemente an:
Aufgaben zum Vorkurs B S. 1 1 Übungen zu Mengen Geben Sie folgende Mengen durch Aufzählen ihrer Elemente an: A = {x N 0 < x < 4, 8} B = {t N t ist Teiler von 4} C = {z Z z ist positiv, durch 3 teilbar
MehrVorkurs Analysis und lineare Algebra. Teil 4
Vorkurs Analysis und lineare Algebra Teil 4 Steven Köhler mathe@stevenkoehler.de mathe.stevenkoehler.de 2 Inhaltsverzeichnis Teil 1 Teil 2 Teil 3 Teil 4 Abbildungen & Funktionen Potenz, Wurzel, Exponential
MehrMathematik. für das Ingenieurstudium. 1 Grundlagen. Jürgen Koch Martin Stämpfle.
1 Grundlagen www.mathematik-fuer-ingenieure.de 2010 und, Esslingen Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Alle Rechte, auch die der Übersetzung, des Nachdruckes und der Vervielfältigung des Werkes,
MehrBeispiel: Bestimmung des Werts 3 2 ( 2 1, 4142) Es gilt 3 1,41 = 3 141/100 = , 707. Es gilt 3 1,42 = 3 142/100 = , 759.
(4) Exponential- und Logarithmusfunktionen Satz Für jedes b > 1 gibt es eine eindeutig bestimmte Funktion exp b : R R + mit folgenden Eigenschaften. exp b (r) = b r für alle r Q Die Funktion exp b ist
Mehr(3) Wurzelfunktionen. Definition Sei f : D R eine Funktion. Eine Funktion g : D R heißt Umkehrfunktion von f, wenn für alle (x, y) R 2 die Äquivalenz
(3) Wurzelfunktionen Definition Sei f : D R eine Funktion. Eine Funktion g : D R heißt Umkehrfunktion von f, wenn für alle (x, y) R 2 die Äquivalenz Definition y = f (x) g(y) = x gilt. Für jedes k N ist
MehrV4. VORKURSWISSEN: Funktionen
Prof. Dr. Wolfgang Konen Mathematik, WS05 09.0.05 V4. VORKURSWISSEN: Funktionen INHALT: V4. VORKURSWISSEN: Funktionen... V4.. Allgemeine Funktionseigenschaften... V4.. Funktionsübersicht... 6 4... Polynome
MehrPriv. Doz. Dr. A. Wagner Aachen, 19. September 2016 S. Bleß, M. Sc. Analysis. Übungsaufgaben. im Vorkurs Mathematik 2016, RWTH Aachen University
Priv. Doz. Dr. A. Wagner Aachen, 9. September 6 S. Bleß, M. Sc. Analysis Übungsaufgaben im Vorkurs Mathematik 6, RWTH Aachen University Intervalle, Supremum und Infimum Für a, b R, a < b nennen wir eine
Mehrf(x nk ) = lim y nk ) = lim Bemerkung 2.14 Der Satz stimmt nicht mehr, wenn D nicht abgeschlossen oder nicht beschränkt ist, wie man z.b.
Proposition.13 Sei f : D R stetig und D = [a, b] R. Dann ist f(d) beschränkt. Außerdem nimmt f sein Maximum und Minimum auf D an, d.h. es gibt x max D und ein x min D, so dass f(x max ) = sup f(d) und
Mehr1 Kreissektoren und Kugeln Kreissektor mit dem Mittelpunktswinkel α und dem Radius r:
Mathematikgrundwissen der 0. Jahrgangsstufe Kreissektoren und Kugeln Kreissektor mit dem Mittelpunktswinkel und dem Radius r: r A r b Bogenlänge: b = 60 r Flächeninhalt: b = 60 r Berechne jeweils den Umfang
MehrKurve in der Ebene. Mit seiner Hilfe kann man sich. ein Bild von f machen.
Kapitel Elementare Funktionen (Prof. Michael Eiermann) In diesem Abschnitt werden wir einfache Funktionen untersuchen, die Ihnen wahrscheinlich schon bekannt sind. Uns interessieren Polynome, rationale
MehrV4. VORKURSWISSEN: Funktionen
Prof. Dr. Wolfgang Konen Mathematik, WS06 30.09.06 V4. VORKURSWISSEN: Funktionen INHALT: V4. VORKURSWISSEN: Funktionen... V4.. Allgemeine Funktionseigenschaften... V4.. Funktionsübersicht... 5 4... Polynome
MehrVerlauf Material LEK Glossar Lösungen. Schritt für Schritt erklärt Sinus und Kosinus. Florian Borges, Traunstein VORANSICHT
Reihe 9 S Verlauf Material Schritt für Schritt erklärt Sinus und Kosinus Florian Borges, Traunstein y 5 6 R ϕ( t ) 7 0 Die Sinusfunktion entsteht durch Projektion eines rotierenden Zeigers auf die y-achse.
Mehrϕ (im Bogenmaß) = ϕ (in ) π
1 Kurze Einführung in die trigonometrischen Funktionen: Die trigonometrischen Funktionen gehören zum Standardstoff im Mathematik Unterricht der Gmnasien. Deshalb werde ich mich auf eine knappe Einführung
Mehr(k +2)(k +3) x 2 (k +3)!
5.3. SINUS UND KOSINUS 9 5.35. Lemma. Es gilt (i) (ii) (iii) cos() < 0, sin(x) > 0 für alle x (0, ], x cos(x) ist streng monoton fallend in [0, ]. Beweis. (i) Es ist cos() = 1! + 4 6 4! 6! 8 10 8! 10!
MehrBrückenkurs Mathematik. Dienstag Freitag
Brückenkurs Mathematik Dienstag 2.0. - Freitag 2.0. Vorlesung 5 Elementare Funktionen Kai Rothe Technische Universität Hamburg Dienstag 9.0. 0 Brückenkurs Mathematik, c K.Rothe, Vorlesung 5 Umkehrfunktion........................
MehrMathematischer Vorkurs Dr. Thomas Zehrt Funktionen 1. 1 Grundlagen 2. 2 Der Graph einer Funktion 4. 3 Umkehrbarkeit 5
Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Abteilung Quantitative Methoden Mathematischer Vorkurs Dr. Thomas Zehrt Funktionen 1 Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen 2 2 Der Graph einer Funktion
MehrFachdidaktik Mathematik: Mathematik erleben (Teil 1)
Fachdidaktik Mathematik: Mathematik erleben (Teil 1) Um was es geht? Im folgenden werden Beispiele zum Thema Trigonometrie gezeigt, in denen sich die Schüler aktiv mit einer Aufgabenstellung auseinander
MehrSinusfunktion* Aufgabenformat: halboffenes Format Grundkompetenz: FA 6.1
Sinusfunktion* Aufgabennummer: 1_410 Aufgabentyp: Typ 1 T Typ Aufgabenformat: halboffenes Format Grundkompetenz: FA 6.1 Die nachstehende Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion f mit f(x) = a sin(b
MehrAnalysis: Trigonometr. Funktionen Analysis Trigonometrische Funktionen Gymnasium ab Klasse 10 Alexander Schwarz
Analysis Trigonometrische Funktionen Gymnasium ab Klasse 0 Alexander Schwarz www.mathe-aufgaben.com Dezember 0 Hinweis: Außer bei Aufgabe darf der GTR benutzt werden. Aufgabe : Bestimme ohne GTR: a) sin(405
MehrAufgaben zum Basiswissen 10. Klasse
Aufgaben zum Basiswissen 10. Klasse 1. Berechnungen an Kreisen und Dreiecken 1. Aufgabe: In einem Kreis mit Radius r sei α ein Mittelpunktswinkel mit zugehörigem Kreisbogen der Länge b und Kreissektor
Mehr3.2 Trigonometrische Funktionen
3. Trigonometrische Funktionen Vorbemerkung. Wir definieren die Winkelfunktionen bezogen auf die Bogenlänge x auf dem Einheitskreis, d.h. für x [0,π]. Alternativ werden die Argumente der Winkelfunktionen
MehrTrigonometrische Gleichungen/Ungleichungen
Trigonometrische Gleichungen/Ungleichungen Arkusfunktionen Arkussinus Der Arkussinus ist die Umkehrfunktion der Einschränkung der Sinusfunktion auf [, ]. Die Sinusfunktion sin : [, ] [, ] ist bijektiv
MehrTrigonometrische Funktionen
Trigonometrische Funktionen Mathematik-Übungskurs 8.05.19 bis 06.06.19 marius.wenz@fu-berlin.de Stichworte Dreiecke, Satz des Pythagoras, Kosinus- und Sinussätze, Einheitskreis, Radiant vs. Grad, Periodizität,
MehrKreissektoren und Bogenmaß
M 10.1 Kreissektoren und Bogenmaß In einem Kreis mit Radius r gilt für einen Kreissektor mit Mittelpunktswinkel α: Länge des Kreisbogens Fläche des Kreissektors b = α α 2rπ A = 360 360 πr2 Das Bogenmaß
MehrTrigonometrie. Geometrie. Kapitel 3, 4 & 5. MNProfil - Mittelstufe. Ronald Balestra CH Zürich
Trigonometrie Geometrie Kapitel 3, 4 & 5 MNProfil - Mittelstufe Ronald Balestra CH - 8046 Zürich www.ronaldbalestra.ch 25. März 2019 Überblick über die bisherigen Geometrie - Themen: 1 Ähnlichhkeit 1.1
MehrBildungszentrum Limmattal. Semesterplan Mathematik. Logistik und Technologie Polymechaniker/in, Konstrukteur/in V17.4
Bildungszentrum Limmattal Logistik und Technologie Semesterplan Mathematik V17.4 2/5 1. Semester XXF1.1 Grundlagen der Mathematik XXF1.1.1 Zahlen, Zahlendarstellung, Gebrauch des Taschenrechners XXF1.1.2
MehrFunktionen einer reellen Veränderlichen
KAPITEL Funktionen einer reellen Veränderlichen. Grundbegriffe Definition.. Eine Abbildung oder Funktion f ist eine Zuordnung(svorschrift), die jeder Zahl x aus dem Definitionsbereich D(f) der Funktion
Mehr2.8 Trigonometrische Funktionen (Thema aus dem Bereich Analysis/Geometrie)
.8 Trigonometrische Funktionen (Thema aus dem Bereich Analysis/Geometrie) Inhaltsverzeichnis Repetition und Einleitung Verhältnisse beim Kreis mit Radius r 3 3 Die Graphen der Sinus- und der Cosinusfunktion
MehrRepetition Begriffe Geometrie. 14. Juni 2012
Repetition Begriffe Geometrie 14. Juni 2012 Planimetrie 1. Strahlensatz Planimetrie 1. Strahlensatz Werden zwei sich schneidende Geraden von zwei Parallelen geschnitten, so verhalten sich die Abschnitte
Mehr1. Sem. 60 Lektionen. Profil E 140 Lektionen. Mathematik
1. Sem. 60 Lektionen Grundlagen / 15L Zahlen, Zahlendarstellung, Gebrauch des Taschenrechners Koordinatensystem, grafische Darstellungen SI-Einheiten Zeitberechnungen Prozente, Promille Taschenrechner
MehrProf. U. Stephan Wi-Ing 1.2
Seite 1 von 5 Prof. U. Stephan Wi-Ing 1. inweis: Dateien Starmath.ttf und Starbats.ttf im Verzeichnis C:\WINDOWS\FONTS erforderlich Ich vermisse im Vorspann "Was man weiß, was man wissen sollte" die trigonometrischen
MehrTRIGONOMETRISCHE UND HYPERBOLISCHE FUNKTIONEN
TRIGONOMETRISCHE UND HYPERBOLISCHE FUNKTIONEN Zusammenfassung. Wir listen die wichtigsten Grundtatsachen trigonometrischer und hyperbolischer Funktionen auf... Sinus.. Trigonometrische Funktionen analytische
Mehr1. Unterteilung von allgemeinen Dreiecken in rechtwinklige
Trigonometrie am allgemeinen Dreieck Wir können auch die Seiten und Winkel von allgemeinen Dreiecken mit Hilfe der Trigonometrie berechnen. Die einfachste Variante besteht darin, ein beliebiges Dreieck
Mehr16 Trigonometrie: Sinus und Freunde, Arcusfunktionen
6 Trigonometrie: Sinus und Freunde, Arcusfunktionen Jörn Loviscach Versionsstand: 2. Dezember 20, 6:28 Die nummerierten Felder sind absichtlich leer, zum Ausfüllen in der Vorlesung. Videos dazu: http://www.j3l7h.de/videos.html
MehrDie elementaren Funktionen (Überblick)
Die elementaren Funktionen (Überblick) Zu den elementaren Funktionen zählen wir die Potenz- und die Exponentialfunktion, den Logarithmus, sowie die hyperbolischen und die trigonometrischen Funktionen und
MehrTrigonometrie - die Grundlagen in einem Tag
Trigonometrie - die Grundlagen in einem Tag Fachtage Dezember 2012 an der Kantonsschule Zürich Nord Klasse W3n R. Balestra Name: Vorname: 6. Dezember 2012 Inhaltsverzeichnis 1 Zielsetzung & Ablauf 1 2
MehrTrigonometrie. Winkelfunktionen und Einheitskreis
Trigonometrie Die Trigonometrie ist die Lehre der Winkel- oder Kreisfunktionen. Die auffälligste Eigenschaften der Funktionen der Trigonometrie ist die Periodizität: Trigonometrische Funktionen zeigen
Mehr5.5. UMKEHRFUNKTIONEN TRIGONOMETRISCHER FUNKTIONEN 115
5.5. UMKEHRFUNKTIONEN TRIGONOMETRISCHER FUNKTIONEN 5 Satz 5.5.2 (Ableitung der Umkehrfunktion einer Winkelfunktionen) Die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen sind nach Satz 5.2.3 auf den
MehrVorlesung Mathematik für Ingenieure (WS 11/12, SS 12, WS 12/13)
1 Vorlesung Mathematik für Ingenieure (WS 11/12, SS 12, WS 12/13) Kapitel 6: Differenzialrechnung einer Veränderlichen Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg (Version vom 22. Dezember 2011)
MehrMathematik 3 für Informatik im Februar/März 2016 Teil 1: Analysis
Mathematik 3 für Informatik im Februar/März 2016 Teil 1: Analysis Funktionen, Stetigkeit Dierentialrechnung Funktionen mit mehreren Variablen Integralrechnung Dierentialgleichungen Teil 2: Wahrscheinlichkeitsrechnung
MehrTrigonometrische Funktionen
Trigonometrische Funktionen Wir beginnen mit der Sinusfunktion: f(x) = sin(x) Wir schränken den Definitionsbereich auf eine Periode ein, d.h. xœ 0,2 bzw. 0 x 2p. Hier ist der Graph: Folgendes sollte beachtet
MehrTrigonometrische Funktionen
Trigonometrische Funktionen Was mag das sein? Wir haben auch hier wieder eine Grundform, in die sich alle trigonometrischen Funktionen pressen lassen, mit denen wir zu tun haben werden: f(x) = a sin(bx
MehrAbbildung 14: Winkel im Bogenmaß
Mathematik für Naturwissenschaftler I. (7) Trigonometrische Funktionen (in R): Trigonometrische Funktionen wie sin x und cos x stehen üblicherweise in Zusammenhang mit Winkeln. Während im Alltag Winkel
MehrTrigonometrie am rechtwinkligen Dreieck
1. Geschichtliches Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck Die Trigonometrie ein Teilgebiet der Geometrie, welches sich mit Dreiecken beschäftigt. Sie entstand vor allem aus der frühen stronomie 1, hat
MehrUnterrichtsprogramm 3. Semester
Unterrichtsprogramm 3. Semester Die Seitenzahlen (fett gedruckt) beziehen sich auf die 6. Auflage des Lehrbuches Kusch Mathematik, Arithmetik und Algebra, Band mit der ISBN 978-3-06-4506-, bzw. auf die
MehrMathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016
und Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 5. Juni 2016 Definition 5.21 Ist a R, a > 0 und a 1, so bezeichnet man die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion x a x als
MehrÁ 3. Die trigonometrischen Funktionen
Á. Die trigonometrischen Funktionen Materialien zur Vorlesung Elementare Analysis, Wintersemester / 4 Diß ist der vorbeschryben schneck vnd seyn grund. Aus: Abrecht Dürer: Unterweisung der Messung mit
MehrVerschiebung/Streckung von Funktionsgraphen. Verwenden von Schablonen zum Zeichnen von Funktionsgraphen. Idee der Koordinatentransformation
Verschiebung/Streckung von Funktionsgraphen Verwenden von Schablonen zum Zeichnen von Funktionsgraphen Idee der Koordinatentransformation Rahmenlehrplan Berlin P4 9/10: Situationen mit n und Potenzfunktionen
MehrM Kreissektoren und Bogenmaß. Kreissektor mit Mittelpunktswinkel? Kreissektors mit Mittelpunktswinkel? Was versteht man unter dem Bogenmaß?
M 10.1 Kreissektoren und Bogenmaß Wie berechnet man in einem Kreis mit Radius Kreissektor mit Mittelpunktswinkel? die Länge des Kreisbogens für einen Wie berechnet man in einem Kreis mit Radius Kreissektors
Mehr