Vorkurs Analysis und lineare Algebra. Teil 4

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1 Vorkurs Analysis und lineare Algebra Teil 4

2 Steven Köhler mathe.stevenkoehler.de 2

3 Inhaltsverzeichnis Teil 1 Teil 2 Teil 3 Teil 4 Abbildungen & Funktionen Potenz, Wurzel, Exponential & Logarithmusfunktionen Trigonometrische Funktionen 3

4 4 Kapitel X Abbildungen & Funktionen

5 Kapitel X: Abbildungen & Funktionen Definition I Eine Funktion f : A! B stellt eine Abbildungsvorschrift dar, die jedem Element der Menge A ein Element der Menge B zuordnet. Eine Funktion kann formal wie folgt geschrieben werden: f : A! B a 7! f(a): 5

6 Kapitel X: Abbildungen & Funktionen Definition II Bildlich läasst sich eine Abbildung so darstellen: 6

7 Kapitel X: Abbildungen & Funktionen Definition III Bezeichnungen: ² A: De nitionsbereich, Urbildmenge ² B: Bildmenge, Bildbereich ² A! B: Signatur ² a 7! f(a): Funktionsvorschrift, Abbildungsvorschrift n o ² Wertebereich: W f := f(a) = f(a) :a 2 A. NichtalleElementederBildmengemÄussen ein Urbild haben. Es gilt f(a) μ B. 7

8 Kapitel X: Abbildungen & Funktionen Definition IV Beispiel: f : R! R x 7! x 2 De nitions- und Wertebereich dieser Funktion sehen wie folgt aus: n o D f = x 2 R ; n o W f = x 2 R : x 0 : FÄur dieses Beispiel gilt also W f ½ R. 8

9 Kapitel X: Abbildungen & Funktionen Eigenschaften von Abbildungen I Eine Abbildung hei¼t: ² injektiv, fallsfäur alle x; y 2 A gilt: Aus x 6= y folgt immer f(x) 6= f(y). ² surjektiv, fallseszujedemb 2 B mindestens ein a 2 A gibt, fäur das f(a) =b gilt. ² bijektiv, falls sie injektiv und surjektiv ist. 9

10 Kapitel X: Abbildungen & Funktionen Eigenschaften von Abbildungen II Beispiele ² Es sei A = 1; 2; 3 ª und B = 1; 2; 3 ª. f : A! B sei de niert durch f(1) = 1, f(2) = 1 und f(3) = 2. ² Es sei A = 1; 2; 3 ª und B = 1; 2; 3; 4 ª. f : A! B sei de niert durch f(1) = 1, f(2) = 3 und f(3) = 4. ² Es sei A = 1; 2; 3 ª und B = 4; 5 ª. f : A! B sei de niert durch f(1) = 4, f(2) = 5 und f(3) = 4. ² Es sei A = 1; 2; 3 ª und B = 3; 4; 5 ª. f : A! B sei de niert durch f(1) = 4, f(2) = 5 und f(3) = 3. 10

11 Kapitel X: Abbildungen & Funktionen Eigenschaften von Abbildungen III Es sei f : A! B eine Abbildung mit der endlichen Urbildmenge A und der endlichen Bildmenge B. Esgilt: ² Ist jaj > jbj, sokannf nicht injektiv sein; ² Ist jaj < jbj, so kann f nicht surjektiv sein. Wichtig: Dies gilt ausschlie¼lich fäur endliche Mengen A und B. 11

12 Kapitel X: Abbildungen & Funktionen Umkehrfunktion Ist f : A! B eine bijektive Funktion, dann bezeichnet man mit f 1 : B! A die zugehäorige Umkehrfunktion. Der Funktionswert f 1 (y) ist de niert als das (eindeutig bestimmte) x 2 A, fäur das f(x) =y gilt. 12

13 Kapitel X: Abbildungen & Funktionen Nachweis der Injektivität I Der Nachweis der InjektivitÄat erfolgt immer nach demselben einfachen Schema: f(x) =f(y) # x = y: Ist f(x) =f(y) nur genau dann wahr, wenn x = y gilt, so ist die Funktion injektiv. Anderfalls ist sie nicht injektiv. 13

14 Kapitel X: Abbildungen & Funktionen Nachweis der Injektivität II Aufgabe Entscheide, ob die folgende Funktion injektiv ist. f : Z! Z f(x) =3x +1 14

15 Kapitel X: Abbildungen & Funktionen Nachweis der Injektivität III LÄosung f(x) =f(y) 3x +1=3y +1 3x =3y x = y Aus f(x) =f(y) folgt nur die LÄosung x = y. Dies bedeutet, dass keine zwei verschiedenen Elemente x und y auf denselben Wert abgebildet werden. Die Funktion ist also injektiv. 15

16 Kapitel X: Abbildungen & Funktionen Nachweis der Injektivität IV Aufgabe Entscheide, ob die folgende Funktion injektiv ist. f : Z Z! Z Z f(a; b) = ³a 2 + b; a 16

17 Kapitel X: Abbildungen & Funktionen Nachweis der Injektivität V LÄosung f(a; b) =f(c; d) ³a 2 + b; a = ³c 2 + d; c Zwei Tupel sind genau dann gleich, wenn sie in ihren Komponenten Äubereinstimmen. Es muss gelten: a + b = c + d a 2 = c 2 : 17

18 Kapitel X: Abbildungen & Funktionen Nachweis der Injektivität VI Aus der zweiten Gleichung folgt a = c. Einsetzen in die erste Gleichung und Umstellen nach b ergibt zwei mäogliche LÄosungen: (I) a = c (II) a = c b = d b =2c + d Da es mehr als eine LÄosung gibt, folgt also insbesondere, dass die Abbildung nicht injektiv sein kann. 18

19 Kapitel X: Abbildungen & Funktionen Nachweis der Injektivität VII Alternative LÄosung Der Nachweis, dass die Funktion nicht injektiv ist, häatte auch durch Angabe eines Gegenbeispiels erfolgen käonnen: f(1; 2) = (3; 1) = f( 1; 4): Es gibt also fäur mindestens ein Element der Bildmenge mehrere Urbilder, im Widerspruch zur InjektivitÄatsbedingung. 19

20 Kapitel X: Abbildungen & Funktionen Nachweis der Injektivität VIII Aufgabe X-1 Entscheide, ob die folgenden Funktionen injektiv sind. f : Z! Z f(x) =(x +2) 2 g : N! Z g(x) =(x +2) 2 h(a; b) = ³ h : Z 2! Z 3 ab; (a +1)b; a(b 2 +1) 20

21 Kapitel X: Abbildungen & Funktionen Nachweis der Injektivität IX Abschlie¼end noch zwei Bemerkungen zur InjektivitÄat: ² Falls die Bildmenge ein Tupel ist, ist keine Aussage Äuber die InjektivitÄat der Abbildung mäoglich, wenn die InjektivitÄat lediglich fäur einzelne Komponenten gezeigt wurde. f : Z 2! Z 2 f(a; b) = ³3a 2 +2; (b 1) ² Obwohl fäur keine der Komponenten InjektivitÄat gilt, kann die gesamte Abbildung dennoch injektiv sein. f : Z ³ 2! Z 2 f(a; b) = a + b; a b 21

22 Kapitel X: Abbildungen & Funktionen Nachweis der Surjektivität I Der Nachweis der SurjektivitÄat ist im Allgemeinen deutlich schwieriger als der Nachweis der InjektivitÄat. FÄur jedes Element b der Bildmenge muss gezeigt werden, dass es mindestens ein Element a der Urbildmenge gibt, fäur das f(a) =b gilt. Es gibt leider kein allgemeingäultiges Verfahren, dies zu bewerkstelligen. Eine MÄoglichkeit ist es jedoch, die Umkehrfunktion zu bestimmen, falls diese existiert. 22

23 Kapitel X: Abbildungen & Funktionen Nachweis der Surjektivität II Aufgabe Entscheide, ob die folgende Funktion surjektiv ist. f : Z! Z f(x) =3x +1 23

24 Kapitel X: Abbildungen & Funktionen Nachweis der Surjektivität III LÄosung Es gilt y = f(x) =3x +1 Um die Umkehrfunktion zu bestimmen, stellen wir die Gleichung nach x um. 3x = y 1 x = y 1 3 Dies sieht wie die Umkehrfunktion aus, ABER im Allgemeinen gilt y 1 =2 Z. Beispielsweise hat y =2keinzugehÄoriges x 2 Z. 3 Die Funktion ist also nicht surjektiv. 24

25 Kapitel X: Abbildungen & Funktionen Nachweis der Surjektivität IV Aufgabe Entscheide, ob die folgende Funktion surjektiv ist. f : Z! Z f(x) =x +7 25

26 Kapitel X: Abbildungen & Funktionen Nachweis der Surjektivität V LÄosung Es gilt y = f(x) =x +7: Um die Umkehrfunktion zu bestimmen, stellen wir die Gleichung nach x um: x = y 7: Ist y 2 Z, soistauchy 7 2 Z. Es bleibt zu präufen, ob y 7 tatsäachlich ein Urbild fäur y ist. Einsetzen in f ergibt f(y 7) = y 7+7 = y: Die Funktion f ist also surjektiv. 26

27 Kapitel X: Abbildungen & Funktionen Nachweis der Surjektivität VI Aufgabe X-2 Entscheide, ob die folgenden Funktionen surjektiv sind. f : Z 2! Z f(a; b) =a + b g : Z ¹! Z º x +1 g(x) = 2 h(a; b) = ³ h : Z 2! Z 3 2a +3b; a 2 ; (b 1) 2 a 27

28 Kapitel X: Abbildungen & Funktionen Nachweis der Surjektivität VII Abschlie¼end noch zwei Bemerkungen zur SurjektivitÄat: ² Ist eine Komponente einer Abbildung nicht surjektiv, so ist es auch die gesamte Abbildung nicht. h(a; b) = ³ h : Z 2! Z 3 2a +3b; a 2 ; (b 1) 2 a ² Ist jede Komponente einer Abbildung surjektiv, so muss dies dennoch nicht fäur die gesamte Abbildung gelten. ³ f(a) = a; a +1 28

29 Kapitel X: Abbildungen & Funktionen Verkettung von Funktionen I Es sei h : A! C eine Komposition (Verkettung) der Funktionen f : A! B und g : B! C. h = g ± f ³ h(x) =g f(x) Statt Komposition kann man auch NacheinanderausfÄuhrung sagen. g ± f bedeutet also, g wird nach f ausgefäuhrt. 29

30 Kapitel X: Abbildungen & Funktionen Verkettung von Funktionen II Es gelten die folgenden Eigenschaften: ² Sind sowohl f als auch g injektiv, so ist auch g ± f injektiv. ² Sind sowohl f als auch g surjektiv, so ist auch g±f surjektiv. 30

31 Kapitel XI Potenz, Wurzel, Exponential & Logarithmusfunktionen 31

32 Kapitel XI: Potenz, Wurzel, Exponential & Logarithmusfunktionen Potenzfunktionen I Potenzfunktionen sind spezielle Funktionen der folgenden Form: f(x) =a x r (a; r 2 R): 32

33 Kapitel XI: Potenz, Wurzel, Exponential & Logarithmusfunktionen Potenzfunktionen II Gerade Parabel f(x) =x f(x) =x 2 33

34 Kapitel XI: Potenz, Wurzel, Exponential & Logarithmusfunktionen Potenzfunktionen III kubische Funktion f(x) =x 3 f(x) =x 4 34

35 Kapitel XI: Potenz, Wurzel, Exponential & Logarithmusfunktionen Hyperbeln f(x) = 1 x = x 1 f(x) = 1 x 2 = x 2 35

36 Kapitel XI: Potenz, Wurzel, Exponential & Logarithmusfunktionen Exponentialfunktionen I Exponentialfunktionen sind Funktionen vom Typ R! R und besitzen die folgende Form: f(x) =c a x (a 2 R + ;c2 R): Im Gegensatz zu Potenzfunktionen steht die Variable x bei Exponentialfunktionen im Exponenten. FÄur alle Exponentialfunktionen f(x) =a x gilt: f(0) = 1: 36

37 Kapitel XI: Potenz, Wurzel, Exponential & Logarithmusfunktionen Exponentialfunktionen II f(x) =e x f(x) = μ x

38 Kapitel XI: Potenz, Wurzel, Exponential & Logarithmusfunktionen Exponentialfunktionen III Aufgrund der Regeln fäur das Rechnen mit Potenzen besitzen Exponentialfunktionen ein enormes Wachstum: a (m+n) = a m a n Eine Exponentialfunktion a x wäachst viel schneller als jede Potenzfunktion x n. 38

39 Kapitel XI: Potenz, Wurzel, Exponential & Logarithmusfunktionen Logarithmusfunktionen I Logarithmusfunktionen sind Funktionen vom Typ R +! R und besitzen die folgende Form: f(x) =c log a x (a 2 R + ;c2 R; a 6= 1): FÄur alle Logarithmusfunktionen log gilt: log(1) = 0 39

40 Kapitel XI: Potenz, Wurzel, Exponential & Logarithmusfunktionen Logarithmusfunktionen II f(x) =lnx f(x) =log 2 x 40

41 Kapitel XI: Potenz, Wurzel, Exponential & Logarithmusfunktionen Wurzelfunktionen I Wurzelfunktionen sind Funktionen vom Typ R + [ 0 ª! R + [ 0 ª und besitzen die folgende Form: f(x) =c ap x (a 2 N; c2 R; a6= 1): 41

42 Kapitel XI: Potenz, Wurzel, Exponential & Logarithmusfunktionen Wurzelfunktionen II f(x) = p x f(x) = 5p x 42

43 Kapitel XII Trigonometrische Funktionen 43

44 Kapitel XII: Trigonometrische Funktionen Trigonometrische Funktionen I Im Folgenden wollen wir uns mit den trigonometrischen Funktionen beschäaftigen. Dabei wollen wir uns auf reellwertige Funktionen beschräanken. Im Wesentlichen werden wir uns ein wenig mit der Sinus-, der Cosinus-, der Tangens- und der Cotangensfunktion beschäaftigen und ihre Bedeutung geometrisch veranschaulichen. 44

45 Kapitel XII: Trigonometrische Funktionen Trigonometrische Funktionen II ZunÄachst die De nitionen der Sinus- und Cosinusfunktion: sin : R! R x 7! sin(x) cos : R! R x 7! cos(x) 45

46 Kapitel XII: Trigonometrische Funktionen Trigonometrische Funktionen III Und die De nitionen der Tangens- und Cotangensfunktion: tan : R! R x 7! tan(x) Es gilt cot : R! R x 7! cot(x) tan x = sin x cos x und cot x = 1 tan x = cos x sin x : 46

47 Kapitel XII: Trigonometrische Funktionen Trigonometrische Funktionen IV f(x) =sinx f(x) =cosx 47

48 Kapitel XII: Trigonometrische Funktionen Trigonometrische Funktionen V f(x) =tanx = sin x cos x f(x) =cotx = 1 tan x = cos x sin x 48

49 Kapitel XII: Trigonometrische Funktionen Geometrische Interpretation I Bezeichnungen (bezogen auf den Winkel ): ² a: Gegenkathete ² b: Ankathete ² c: Hypotenuse 49

50 Kapitel XII: Trigonometrische Funktionen Geometrische Interpretation II Im rechtwinkligen Dreieck gilt (Satz des Pythagoras): c 2 = a 2 + b 2 : 50

51 Kapitel XII: Trigonometrische Funktionen Geometrische Interpretation III sin = Gegenkathete des Winkels Hypotenuse = a c cos = Ankathete des Winkels Hypotenuse = b c tan = Gegenkathete des Winkels Ankathete des Winkels = a b cot = Ankathete des Winkels Gegenkathete des Winkels = b a 51

52 Kapitel XII: Trigonometrische Funktionen Geometrische Interpretation IV Interpretation am Einheitskreis: 52

53 Kapitel XII: Trigonometrische Funktionen Sinus & Cosinus im Detail I Wir wollen uns die Sinus-Funktion etwas genauer ansehen. f(x) = sin k x +! + c Bezeichnungen: ² : die Amplitude ² k: der Streckungs-/Stauchungsfaktor ² ' =! k : die Phasenverschiebung ² 2¼ k :dieperiodenläange Dieselben Bezeichnungen gelten auch fäur die Cosinusfunktion. 53

54 Kapitel XII: Trigonometrische Funktionen Sinus & Cosinus im Detail II Jede Sinusfunktion läasst sich auch durch eine Cosinusfunktion darstellen(undumgekehrt),dadieselediglichinderphaseverschoben sind: ³ sin x =cos cos x =sin x ¼ ³ 2 x + ¼ 2 ; : 54

55 Kapitel XII: Trigonometrische Funktionen Sinus & Cosinus im Detail III Einige wichtige Funktionswerte: Winkel (Grad) Winkel (Bogenma¼) 0 ¼ 6 ¼ 4 ¼ 3 ¼ 2 ¼ 3¼ 2 2¼ sin p 2 2 p cos 1 p 3 2 p

56 Kapitel XII: Trigonometrische Funktionen Rechenregeln I Doppelter Winkel: sin 2 = 2sin cos cos 2 = cos 2 sin 2 Additionstheoreme: sin + cos + = sin cos +cos sin = cos cos sin sin 56

57 Kapitel XII: Trigonometrische Funktionen Rechenregeln II Eine weitere wichtige Eigenschaft ist die folgende: sin 2 +cos 2 =1: Sie kann mit dem Satz des Pythagoras am Einheitskreis leicht bewiesen werden. 57

58 Kapitel XII: Trigonometrische Funktionen Umkehrfunktionen Zu jeder der 4 trigonometrischen Funktionen gibt es eine entsprechende Umkehrfunktion, die dem Winkel wieder das SeitenverhÄaltnis zuordnet: arcsin; arccos; arctan; arccot: 58