Tutorium: Analysis und lineare Algebra

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1 Tutorium: Analysis und lineare Algebra Vorbereitung der Abschlussklausur (Teil 2) Steven Köhler mathe.stevenkoehler.de 2

2 Komplexe Zahlen 3 Komplexe Zahlen Komplexe Zahlen I Es sei z = a + ib 2 C. Dann hei¼t ² a Realteil von z (Bezeichnung: a =Rez oder a = <z); ² b ImaginÄarteil von z (Bezeichnung: b =Imz oder b = =z); ² jzj = p a 2 + b 2 absoluter Betrag von z; ² z = a ib konjugiert komplexe Zahl zu z. 4

3 Komplexe Zahlen Komplexe Zahlen II 5 Komplexe Zahlen Rechnen mit komplexen Zahlen I Addition & Subtraktion Es seien z 1 = a 1 + ib 1 und z 2 = a 2 + ib 2.Dannist z 1 + z 2 = ³a 1 + a 2 + i ³b 1 + b 2 ; z 1 z 2 = ³a 1 a 2 + i ³b 1 b 2 : 6

4 Komplexe Zahlen Rechnen mit komplexen Zahlen II Multiplikation & Division Es seien z 1 = a 1 + ib 1 und z 2 = a 2 + ib 2.Dannist z 1 z 2 = ³a 1 a 2 b 1 b 2 + i ³a 1 b 2 + a 2 b 1 ; z 1 z 2 = μ a1 a 2 + b 1 b 2 a b2 2 + i μ a2 b 1 a 1 b 2 a b2 2 : 7 Komplexe Zahlen Polarkoordinatendarstellung I Komplexe Zahlen käonnen alternativ auch mit Hilfe der folgenden Polarkoordinatendarstellung angegeben werden: z = r ³cos ' + i sin ' : Die Bezeichnungen sind bei dieser Darstellung wie folgt: ² r: Betrag von z; ² ': Argument von z. 8

5 Komplexe Zahlen Polarkoordinatendarstellung II Es seien z 1 = r 1 (cos ' 1 + i sin ' 1 )undz 2 = r 2 (cos ' 2 + i sin ' 2 ). Dann gilt: ³ z 1 z 2 = r 1 r 2 cos ' 1 + ' 2 + i sin '1 + ' 2 ; z 1 = r ³ 1 cos ' 1 ' 2 + i sin '1 ' 2 : z 2 r 2 9 Komplexe Zahlen Umrechnung Zu einer gegebenen komplexen Zahl z 2 C mit z = a + ib ist die Polarkoordinatendarstellung ³ z = r cos (')+isin (') ; wobei sich r und ' wie folgt berechnen lassen: r = p a 2 + b 2 ' = 8 ³ a >< arccos r ³ >: a 2¼ arccos r,fäur b 0,fÄur b<0 10

6 Komplexe Zahlen Die komplexe Exponentialfunktion Eine weitere MÄoglichkeit zur Darstellung komplexer Zahlen ergibt sich durch die Verwendung der komplexen Exponentialfunktion: r ³cos ' + i sin ' = r e i' 11 Komplexe Zahlen Aufgabe 9 a) Es seien z 1 =6+i und z 2 =2 3i zwei komplexe Zahlen. Berechne z 1 + z 2, z 1 z 2, z 1 z 2 sowie z1 z 2. Gib die Ergebnisse jeweils in der Form z = a + ib an. b) Gegeben ³ seien die beiden komplexen Zahlen z 1 =3 3i und z 2 =5 cos ¼ 8 + i sin ¼ 8. (i) Bestimme Betrag und Argument von z = z1 3 z 2. (ii) Es sei z = z 1 z 2.Gibzin der Form a + ib an. c) Bestimme das Produkt AB der beiden Matrizen A und B: 2i 1+i 3+i 1 A = und B = : 2 i 5 i 1+i 12

7 Die Landau-Symbole 13 Landau-Symbole Landau-Symbole I ³ n o O f(n) = g(n) j 9c>0:8n n 0 : g(n) c f(n) \g(n) wäachst häochstens so schnell wie f(n)." ³ n o Ð f(n) = g(n) j 9c>0:8n n 0 : g(n) c f(n) \g(n) wäachst mindestens so schnell wie f(n)." ³ n o f(n) = g(n) j9c 1 ;c 2 > 0:8n n 0 : c 1 f(n) g(n) c 2 f(n) \g(n) wäachst genau so schnell wie f(n)." 14

8 Landau-Symbole Landau-Symbole II ³ n o o f(n) = g(n) j 8c>0:8n n 0 : g(n) c f(n) \g(n) wäachst langsamer als f(n)." ³ n o! f(n) = g(n) j 8c>0:8n n 0 : g(n) c f(n) \g(n) wäachst schneller als f(n)." 15 Landau-Symbole Aufgabe 10 Bringe die folgenden Funktionen bezäuglich ihres Wachstumsverhaltens in eine aufsteigende Reihenfolge, d.h., es soll gelten: Steht f(n) vor g(n), sosollf(n) 2 O(g(n)) gelten. f 1 (n) =n 3 f 2 (n) =n log n f 3 (n) =n log n f 4 (n) = p n f 5 (n) =2 2n f 6 (n) =2 n f 7 (n) =3 log n f 8 (n) =n! 16

9 Aufgaben 17 Aufgabe 1 a) Die Funktion f sei gegeben durch f(x) = 4x+2 3x. T (x) seidie Tangente an den Graphen von f im Punkt 2;f(2). Bestimme die Tangentengleichung in der Form y = ax + b. b) Berechne Z p x dx. 1P 1 c) Zeige die Konvergenz der Reihe sowohl mit dem k! k=1 Quotienten- als auch mit dem Wurzelkriterium. Gib au¼erdem den Grenzwert der Reihe an! 18

10 Aufgabe 2 a) Di erenziere die folgende Funktion: g(x) = ³ x e ¼ arcsin (x2 ) : b) Berechne die partiellen Ableitungen erster Ordnung: h(x; y; z) =y sin ³xze 2 x+y2 + z : 19 Aufgabe 3 Z Berechne lnx dxauf zwei Arten: a) mit partieller Integration (Hinweis: ln x = 1 ln x); b) mit der Substitutionsregel (Hinweis: t = lnx). 20

11 Aufgabe 4 a) Berechne eine Stammfunktion von e 3px und mache die Probe, dass es sich bei der gefundenen Funktion tatsäachlich um eine Stammfunktion von e 3px handelt! b) Berechne ¼ Z4 0 sin x cos xdx. 21 Aufgabe 5 Berechne ZZ G 1 2 xy2 d(x; y) aufzweiarten. DasDreieckG sei dabei durch die folgenden Eckpunkte de niert: 0; 1, 2; 1 und 2; 2. 22

12 Aufgabe 6 Berechne die folgenden Grenzwerte: μ e x + e 2x a) lim x!0 x 2 +3x +1 μ e x e 2x b) lim x!0 x 2 +3x μ 2x 3 + x +5 c) lim x!1 ln x μ 1 d) lim px 1 x!0 ln x 23 Aufgabe 7 Bestimme die stationäaren Stellen der Funktion f : R 2! R, f(x; y) =3x 2 y 2 unter der Nebenbedingung x + y = 2: 1. mithilfe der Lagrangeschen Multiplikatorenregel; 2. ohne die Lagrangesche Multiplikatorenregel; 3. Enscheide: Minimum, Maximum oder kein lokales Extremum. 24

13 Aufgabe 8 Bestimme die stationäaren Stellen fäur die Funktion f : R 3! R und entscheide, ob lokale Minima oder Maxima vorliegen: f(x; y; z) = 2x 2 3y 2 z 2 +2xz +2x +8y: 25 Viel Erfolg bei der Klausur 26