Klausur zum Fach Mathematik 1 Teil 1

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1 (Name) (Vorname) (Matrikelnummer) Fachbereich Elektrotechnik und Informationstechnik Prof. Georg Hoever Klausur zum Fach Mathematik Teil Bearbeitungszeit: 90 Minuten Hilfsmittel: ein (beidseitig) handbeschriebenes DinA4-Blatt, keintaschenrechner Bitte schreiben Sie Ihre Lösungen auf diese Aufgabenblätter. Das Verlassen des Hörsaals während der Klausur ist nicht gestattet. Die Klausureinsicht findet voraussichtlich am 07. oder statt. Ggf. notwendige mündliche Ergänzungsprüfungen finden Mitte April statt. Mit meiner Unterschrift bestätige ich, dass ich die obigen Klausurbedingungen gelesen habe,unddassalle8aufgaben(aufgabe-aufgabe8)ingutleserlichemdruckvorliegen. Viel Erfolg! (Unterschrift) Aufgabe Σ Σ 2 B. Σ Max Ist Note:

2 Aufgabe (5 Punkte) Die Funktion f : R R besitze den folgenden Funktionsgraf: 2 f Skizzieren Sie die folgenden Funktionen jeweils in dem darüber stehenden Koordinatensystem: a) g b) g g(x) = f(x )+2 g(x) = 2 f(x) c) g d) g g(x) = f( 2 x) g(x) = f(x)+2 e) g g(x) = f(2 x)

3 Aufgabe 2 (5 Punkte) Geben Sie die Werte der folgenden Ausdrücke an: sin π 3 = tan π 4 = arcsin(0) = arccos(0) = 3 2 = ( 2) 3 = log 2 8 = log 8 2 = log 4 = log 4 2 =

4 Aufgabe 3 (3 Punkte) Seien f(x) = cosx, g(x) = x 2 und h(x) die Heaviside-Funktion h(x) = Durch Verkettung werden neue Funktionen definiert: { 0, falls x 0, falls x > 0. k = f g, k 2 = f h, k 3 = g h, k 4 = g f, k 5 = h f, k 6 = h g. Welche dieser sechs Funktionen sind in den folgenden Skizzen abgebildet? Schreiben Sie die richtigen Funktionen neben die Abbildung! x x x

5 Aufgabe 4 (6 Punkte) Geben Sie jeweils eine komplexe Zahl z C, z 0 an, für die gilt a) z = j z, b) z 2 = 2j. c) Rez = Imz, d) Imz = z, e) z = z, f) j z = z, (Tipp: Überlegen Sie sich geometirsch, welche z in Frage kommen.)

6 Aufgabe 5 (5 Punkte) Geben Sie jeweils Folgen (a n ) n N und (b n ) n N an, die die angegebenen Grenzwertbedingungen erfüllen. a) a n, b n 0, und a n b n 2 a n = b n = b) a n, b n, und a n +b n 2 a n = b n = c) a n 0, b n 0, und a n b n 3 a n = b n = d) a n 0, b n 0, und a n b n 0 a n = b n = e) a n 0, b n 0, und a n b n a n = b n =

7 Aufgabe 6 (3+2+ = 6 Punkte) Eine Schnecke geht auf Wanderschaft. Am ersten Tag kriecht sie 0m weit. Im Zuge wachsender Erschöpfung schafft sie an den folgenden Tagen immer nur 7 der Strecke des 8 vorangegangenen Tages. a) Geben Sie eine Formel an, wie weit die Schnecke nach n Tagen insgesamt gekommen ist. b) An welchem Tag hat die Schnecke insgesamt 40m zurückgelegt? (Ein formelmäßiger Ausdruck, in dem noch ein Logarithmus vorkommt, reicht.) c) Wie weit kommt die Schnecke insgesamt?

8 Aufgabe 7 ( = 5 Punkte) Sei f(x) = x. a) Welchen angenäherten Wert für f (4) erhält man bei Auswertung des Differenzenquotienten bei h = 0.? Geben Sie den Wert unter Benutzung von als Dezimalzahl an. b) Zeigen Sie mit Hilfe des Differenzenquotienten, dass für x 0 > 0 gilt: f (x 0 ) = 2 x 0. (Tipp: Geschicktes Erweitern im Hinblick auf die dritte binomische Formel.)

9 Aufgabe 8 (5 Punkte) Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte: a) lim x π 2 b) lim x 0 e x2 sinx cos 2 x sin 2 x c) lim x x ln x x+ d) lim x x+sinx x 2 +cosx

10 (Name) (Vorname) (Matrikelnummer) Fachbereich Elektrotechnik und Informationstechnik Prof. Georg Hoever Klausur zum Fach Mathematik Teil 2 Bearbeitungszeit: 90 Minuten Hilfsmittel: ein (beidseitig) handbeschriebenes DinA4-Blatt, keintaschenrechner Bitte schreiben Sie Ihre Lösungen auf diese Aufgabenblätter. Das Verlassen des Hörsaals während der Klausur ist nicht gestattet. Die Klausureinsicht findet voraussichtlich am 07. oder statt. Ggf. notwendige mündliche Ergänzungsprüfungen finden Mitte April statt. Mit meiner Unterschrift bestätige ich, dass ich die obigen Klausurbedingungen gelesen habe, und dass alle 8 Aufgaben (Aufgabe 9 - Aufgabe 6) in gut leserlichem Druck vorliegen. Viel Erfolg! (Unterschrift) Aufgabe Σ 2 Max Ist

11 Aufgabe 9 (5 Punkte) Für welche Punkte auf der Hyperbel f(x) = x, x 0, führt die Tangente durch den Punkt ( 3, )?

12 Aufgabe 0 (3+++2 = 7 Punkte) Sei f(x) = x 2 x 2. a) Wie lautet die Partialbruchzerlegung von f? b) Skizzieren Sie f. c) Berechnen Sie d) Exisitert 0 f(x)dx. f(x) dx? Begründen Sie Ihre Aussage! 3

13 Aufgabe (4 Punkte) Geben Sie die Werte der folgenden Integrale an. (Sie brauchen Ihre Angabe nicht zu begründen.) (Tipp: Sie brauchen keine Stammfunktion zu bestimmen; sehen Sie sich den Integranden bzw. die dadurch dargestellte Funktion an an!) a) b) c) π x2 dx, x 3 x 2 + dx, cos 2 xdx, d) 0 2 ( x 2)dx. 2

14 Aufgabe 2 ( = 5 Punkte) ( ) ( ) 3 Sei a = und 2 2 b =. a) Wie groß ist der Winkel ϕ zwischen a und b? (Ein formelmäßiger Ausdruck reicht.) ( ) 0 b) Wie kann man als Linearkomination von a und b darstellen? c) Skizzieren Sie in einem Koordinatensystem die Menge M = {λ a+µ b λ [0,2], µ [0,]}.

15 Aufgabe 3 (maximal 4, minimal 0 Punkte) Welche der folgenden Aussagen gelten für alle a, b R 3? ( kennzeichnet dabei stets das Vektorprodukt; kann in den verschiedenen üblichen Bedeutungen vorkommen; 0 bezeichnet einerseits 0 R und andererseits 0 R 3.) Jeder richtige Eintrag zählt +0.5 Punkte, jeder falsche 0.5; kein Eintrag zählt 0 Punkte. Sie brauchen Ihre Antwort nicht zu begründen. gilt gilt nicht a b = b a a b = b a ( a b) b = ( b b) a ( a b) b = a ( b b) ( a a) b = 0 ( a b) b = 0 ( a b) b = 0 ( a b) b = 0

16 Aufgabe 4 (7 Punkte) An den drei Punkten A, B und C der nebenstehenden Karte (mit km-raster) gibt es bereits Kohlebohrungen. Die Kohle liegt bei A in 700m Tiefe, bei B in 200m Tiefe und bei C in 000m Tiefe. Nun soll bei D ein Schacht errichtet werden. Wie tief liegt dort die Kohle (unter der Annahme, dass die Kohleflöze eine Ebene E bilden)? Tipp: Stellen Sie zunächst eine Ebenengleichung für E auf (zu einem geeigneten Koordinatensystem). A B D C

17 Aufgabe 5 (4 Punkte) Geben Sie jeweils eine Matrix X an, so dass gilt ( ) ( ) a) X =, b) 3 2 X = 0 6 2, ( ) c) X = (Tipp: Schauen Sie sich die Matrizen genau an!)

18 Aufgabe 6 (4 Punkte) Berechnen Sie det