Klausur zum Fach Mathematik 1 Teil 1

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1 (Name) (Vorname) (Matrikelnummer) Fachbereich Elektrotechnik und Informationstechnik Prof. Georg Hoever Klausur zum Fach Mathematik Teil Bearbeitungszeit: 90 Minuten Hilfsmittel: ein (beidseitig) handbeschriebenes DinA4-Blatt, keintaschenrechner Bitte schreiben Sie Ihre Lösungen auf diese Aufgabenblätter. Das Verlassen des Hörsaals während der Klausur ist nicht gestattet. Die Klausureinsicht findet voraussichtlich am.0 statt. Ggf. notwendige mündliche Ergänzungsprüfungen finden am 9.0. statt. Mit meiner Unterschrift bestätige ich, dass ich die obigen Klausurbedingungen gelesen habe,unddassalle7aufgaben(aufgabe-aufgabe7)ingutleserlichemdruckvorliegen. Viel Erfolg! (Unterschrift) Aufgabe Σ Σ 2 B. Σ Max Note:

2 Aufgabe (5 Punkte) Die Funktion f : R R besitze den folgenden Funktionsgraf: 2 f Skizzieren Sie die folgenden Funktionen jeweils in dem darüber stehenden Koordinatensystem: a) g b) g g(x) = f(x )+2 g(x) = 2 f(x) c) g d) g g(x) = f(x)+ g(x) = f( 2 x) e) g g(x) = f( x)

3 Aufgabe 2 (5 Punkte) Ein Volleyballspieler steht am Rand des 8m langen Volleyballfeldes. Beim Aufschlag will er den Ball aus 2m Höhe knapp über das Netz schlagen, so dass er dort eine Höhe von 2,50m hat, und genau am Rand des gegnerischen Spielfeldes landet (s. Skizze). 2m 8m 2,5m Zeichnen Sie in die Skizze ein Koordinatensystem ein und stellen Sie bzgl. Ihres Koordinatensystems die (parabelförmige) Flugbahn dar.

4 Aufgabe 3 (maximal 5, minimal 0 Punkte) Kreuzen Sie an, ob die jeweiligen Ausrücke dem Ausdruck in den Tabellen oben entsprechen (Spalte ) oder nicht (Spalte ). Hinweis: Es können mehrere richtige Darstellungen vorliegen. Jeder richtige Eintrag zählt Punkte, jeder falsche 0.25; kein Eintrag zählt 0 Punkte. Sie brauchen Ihre Angabe nicht zu begründen cos = ld9 = sin 2 ld3 sin 2 3 ld3 cos(2π ) sin tan ld3+ld6 ln9 ln2 2 = e = 2 2 ln ( 2) 2 ( ) 2 sin ( ) π 4 tan ( ) π 4 sinh+cosh lim n ( ) + n n lim n (+n) n k=0 k=0 k! k 2

5 Aufgabe 4 (2+5 = 7 Punkte) Sei z = j, z 2 = e j π 6 und z 3 = j. a) Markieren Sie z, z 2 und z 3 sowie z z 2 und z 2 z 3 in der dargestellten Gaußschen Zahlenebene. (Sie brauchen die Werte nicht zu berechnen.) j b) Geben Sie jeweils z i 0 (i =,2,3) in kartesischer Darstellung (als a+bj, a,b R) an. (Sie brauchen Ihre Angaben nicht zu begründen.)

6 Aufgabe 5 (maximal 5, minimal 0 Punkte) Welche Folgerungen gelten für alle Folgen (a n ) n N und (b n ) n N mit a n > b n > 0 für alle n N? Tragen Sie jeweils den Folgerungspfeil in der richtigen Richtung bzw. im Falle der Äquivalenz den Äquivalenzpfeil ein. (Falsche Einträge können zu Punktabzug führen. Sie brauchen Ihre Antwort nicht zu begründen.), oder lim a n = 0 n an ist konvergent a n n 2 an ist konvergent lim a n = 0 n lim b n = 0 n an ist konvergent bn ist konvergent an ist divergent bn ist divergent

7 Aufgabe 6 (maximal 4, minimal 0 Punkte) Welche der folgenden Aussagen gelten für die jeweils abgebildeten Funktionen f : D R bzgl. der ersten und zweiten Ableitung in [a, b]? (Jeder richtige Eintrag zählt 0.5 Punkte, jeder falsche 0.5; kein Eintrag zählt 0 Punkte. Sie brauchen Ihre Antwort nicht zu begründen.) f (x) ist f (x) ist für alle x [a,b] für alle x [a,b] f > 0 > 0 < 0 < 0 a b = 0 = 0 keines davon keines davon f > 0 > 0 a b < 0 < 0 = 0 = 0 keines davon keines davon f > 0 > 0 < 0 < 0 a b = 0 = 0 keines davon keines davon f > 0 > 0 a b < 0 < 0 = 0 = 0 keines davon keines davon

8 Aufgabe 7 ( = 9 Punkte) Sei f(x) = x 2 +x 2. a) Führen Sie eine Partialbruchzerlegung von f durch. b) Wie lautet die Gleichung der Tangente t(x) an f zu x 0 = 2? c) Berechnen Sie das Taylorpolynom zweiten Grades T 2;0 zu x 0 = 0. d) Skizzieren Sie f in dem Koordinatensystem, zeichnen Sie die bei b) berechnete Tangente t ein und skizzieren Sie den groben Verlauf von T 2;0 aus c) x 2

9 (Name) (Vorname) (Matrikelnummer) Fachbereich Elektrotechnik und Informationstechnik Prof. Georg Hoever Klausur zum Fach Mathematik Teil 2 Bearbeitungszeit: 90 Minuten Hilfsmittel: ein (beidseitig) handbeschriebenes DinA4-Blatt, keintaschenrechner Bitte schreiben Sie Ihre Lösungen auf diese Aufgabenblätter. Das Verlassen des Hörsaals während der Klausur ist nicht gestattet. Die Klausureinsicht findet voraussichtlich am.0 statt. Ggf. notwendige mündliche Ergänzungsprüfungen finden am 9.0. statt. Mit meiner Unterschrift bestätige ich, dass ich die obigen Klausurbedingungen gelesen habe, und dass alle 8 Aufgaben (Aufgabe 8 - Aufgabe 5) in gut leserlichem Druck vorliegen. Viel Erfolg! (Unterschrift) Aufgabe Σ 2 Max Ist

10 Aufgabe 8 (5 Punkte) Aus einer 8dm 3dm großen Pappe sollen an den Ecken Quadrate ausgeschnitten werden, um dann durch nach-oben-klappen der Seiten eine nach oben offene Kiste zu erhalten (s. Skizze). Wie groß müssen die Quadrate sein, um ein maximales Volumen der Kiste zu erhalten?

11 Aufgabe 9 (3++ = 5 Punkte) Das Integral 0 x 2 dx soll als Grenzwert von Riemannschen Zwischensummen bei äquidistanter Zerlegung und Zwischenstellen am rechten Intervallrand berechnet werden. a) Welchen Wert hat die entsprechende Zwischensumme bei einer Zerlegung in 4 Teilintervalle? Fertigen Sie eine entsprechende Skizze an! b) Welcher der folgenden Ausdrücke beschreibt den Integralwert? Kreisen Sie den richtigen Ausdruck ein! (Beachten Sie die unterschiedlichen Potenzen von k und n.) lim n n k= k 2 n 2, lim n n k= k 2 n 3, lim n n k= k 3 n 2, lim n n k= k 3 n 3. c) Wie lautet eine Formel (ähnlich zu b) bei Zwischenstellen am linken Intervallrand?

12 Aufgabe 0 (+2 = 3 Punkte) Berechnen Sie a) (2x+) 5 dx, b) sin( x) x dx.

13 Aufgabe (4 Punkte) Geben Sie eine jeweils eine Basis der angegebenen Vektorräume V an. (Sie brauchen Ihre Aussage nicht zu begründen.) a) V = Menge aller kubischen Polynome f(x) = ax 3 +bx 2 +cx+d, (a,b,c,d R). b) V = Menge aller Funktionen f : R R der Gestalt f(x) = r cos(x + ϕ) mit r,ϕ R. ( c) V = { v R 3 0 ) v }. 3

14 Aufgabe 2 (5 Punkte) Gibt es jeweils einen Vektor x R 3 mit a x = b? Falls ja: Geben Sie einen solchen Vektor x an. Falls nein: Begründen Sie Ihre Aussage. 2 3 a) a =, b = b) a =, b =

15 Aufgabe 3 (3+3 = 6 Punkte) Bestimmen Sie die Menge aller Punkte P = (x,y) R 2, diedengleichenabstandzua = (,2)undB = (3, ) haben, auf zwei verschiedene Weisen: A P a) in der Form y = f(x), indem Sie zu einem beliebigen Punkt den Abstand zu A und B ausrechnen und gleichsetzen. b) als vektorielle Geradengleichung g = {...}, indem Sie die Menge als Gerade darstellen, die zur Verbindungslinie von A und B senkrecht und durch deren Mittelpunkt verläuft (s. Skizze). B

16 Aufgabe 4 ( = 6 Punkte) a) Betrachtet wird die Abbildung f : R 2 R 2, f (x) = ( ) x, 2 0 die jedem Punkt x R 2 der Ebene einen Punkt f(x) R 2 zuordnet. Wie wird bei dieser Abbildung das dargestellte Dreieck abgebildet? Zeichnen Sie das Bild in das rechte Koordinatensystem. B A f C b) Betrachtet wird neben der Abbildung f aus a) die Abbildung f 2 : R 2 R 2, f 2 (x) = ( ) 2 3 x. Geben Sie eine Matrix M an, so dass die Verkettung g := f 2 f dargestellt werden kann als g(x) = M x. c) Geben Sie eine Matrix M an, so dass die Abbildung h : R 3 R 3, h(x) = M x 3 den Vektor 0 auf und den Vektor auf 2 und 0 2 den Vektor auf 3 abbildet.

17 Aufgabe 5 (3+3 = 6 Punkte) Betrachtet wird das lineare Gleichungssystem 2x x 3 = 0 2x 2 + x 3 = 4 x + 2x 2 = 3. a) Bestimmen Sie x 3 mit Hilfe der Cramerschen Regel. b) Bestimmen Sie eine Lösung mittels des Gaußschen Eliminationsverfahrens.