Höhere Mathematik II. Variante B

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1 Lehrstuhl II für Mathematik Prof. Dr. E. Triesch Höhere Mathematik II SoSe 202 Variante B Zugelassene Hilfsmittel: Als Hilfsmittel zugelassen sind handschriftliche Aufzeichnungen von maximal 0 DinA4-Blättern. Keine Fotokopien oder Ausdrucke. Taschenrechner sind nicht zugelassen. Das Konzeptpapier zur Bearbeitung der Aufgaben (Schmierblätter ist von den Studierenden zur Klausur mitzubringen. Bewertung: Bitte nutzen Sie zur Beantwortung aller Aufgaben die in der Klausur ausgeteilten Blätter! Es werden nur die Antworten gewertet, die auf dem Lösungsbogen stehen! Zur Bewertung der einzelnen Teile: I: (Aufgabe I.-I. Sie müssen unter expliziter Darstellung des Lösungsweges nachvollziehbar zu einer Lösung kommen. Ohne Lösungsweg gibt es keine Punkte. II: (Aufgabe II.-II.4 Sie müssen das richtige Ergebnis in die entsprechenden Kästchen des Antwortbogens eintragen. Darüberhinaus können Sie im Feld Lösungsskizze einen kurzen Rechenweg angeben, der in die Bewertung mit einbezogen wird, sollte Ihr Ergebnis falsch sein. III: (Aufgabe III.-III. Hier müssen Sie Aussagen Wahrheitswerte zuordnen. Sie erhalten nur dann Punkte, wenn Sie in einer Teilaufgabe alle Wahrheitswerte richtig und komplett zuordnen. Beispiel: Bestimmen Sie die Wahrheitswerte der folgenden zwei Aussagen: ( 2 = 6 (2 + =. (2 Pkt. Antwort ( (2 Punkte. W W 0 2. W F 2. F W 0 4. F F 0 Antwort ( (2 Punkte 5. F W F W 0 Es gibt keine Minuspunkte. Bitte schreiben Sie keine Rechnungen oder Begründungen zu Teil III auf den Antwortbogen. Nutzen Sie dafür Ihr eigenes Konzeptpapier. Viel Erfolg!

2 Teil I Aufgabe I.: (4+6 Pkt. a Bestimmen Sie den Stetigkeitsbereich der Funktion f : R 2 R xy 2 f(x, y = x 2 + y cos( x 2 + y 2, falls (x, y (0, 0 2 0, falls (x, y = (0, 0. b Gegeben seien die eindimensionalen Funktionen g : R R und h : R R mit ( ( x cos, falls x 0 x 2 cos, falls x 0 g(x = x und h(x = x 0, falls x = 0 0, falls x = 0. Bestimmen Sie jeweils den Bereich, in dem die Funktion g bzw. h differenzierbar ist und berechnen Sie g und h. Aufgabe I.2: Gegeben sei die Kurve γ durch die Parametrisierung γ(t = ( 2 5 t5 6 t6 4 t4 a Bestimmen Sie die Bogenlänge L von γ für das Intervall [0, T ] mit T > 0. mit t R. (4+4+4 Pkt. b Bestimmen Sie die Krümmung der Kurve γ an der Stelle t > 0. c Geben Sie Radius und Mittelpunkt des Krümmungskreises von γ(t an der Stelle t 0 = an. Aufgabe I.: Bestimmen Sie eine Stammfunktion von f : [2, ] R mit (0 Pkt. f(x = x 2 x + x 2x 2 + 2x.

3 Teil II Aufgabe II.: (+5 Pkt. a Skizzieren Sie die Fläche A im R 2, die durch die Kurven bzw. Geraden f(x = x 2, g(x = 2 x2 + 2, h(x = 2 begrenzt wird und den Punkt (, 2 enthält. Zeichnen Sie dabei die Schnittpunkte der Kurven bzw. Geraden untereinander und der Kurven bzw. Geraden mit der x-achse bzw. y-achse ein. b Geben Sie den Flächeninhalt von A an. Aufgabe II.2: (5+2 Pkt. a Bestimmen Sie das Taylorpolynom T, (x dritten Grades an der Stelle der Funktion f(x = cos 2 (x. b Geben Sie das zu T, (x zugehörige Restglied in der Form von Lagrange an. Aufgabe II.: ( Pkt. a Berechnen Sie den Wert der konvergenten Reihe n=0 b Sind die folgenden Reihen konvergent oder divergent? 2 n (n! n4 + n 2 i ii n n 2n 2 n= n= c Berechnen Sie den Konvergenzradius der Reihe n= 2 2n + 5 n ( n 0 n. 2 (n2 xn. Aufgabe II.4: (5+ Pkt. a Bestimmen Sie die Jacobimatrix und die Hessematrix von g : R 2 R mit g(x, y = e x+y cos(x. b Bestimmen Sie alle partiellen Ableitungen erster Ordnung von f(x, y, z = x 2 yz + arcsin(ze y + ln(yy 2. für x R, y > 0 und z (,. (Diese Bereiche sind so gewählt, damit f wohldefiniert ist.

4 Teil III Aufgabe III.: Beurteilen Sie den Wahrheitswert der folgenden Aussagen: a Sei f : R R eine Funktion und a, b R mit a < b. (++5 Pkt.. Ist f auf [a, b] integrierbar, so ist f auf [a, b] stetig. 2. Wenn f auf R stetig ist und f(a < 0 < f(b, so besitzt f eine Nullstelle im Intervall [a, b].. Ist f auf [a, b] stetig, so ist f auf (a, b differenzierbar. b Sei f : R R eine auf ganz R differenzierbare Funktion und a, b R mit a < b.. f ist stetig auf ganz R. 2. f ist monoton steigend auf ganz R.. f besitzt mindestens eine Nullstelle. 4. Es existiert ein χ (a, b mit f(b f(a b a = f (χ. c Die Funktion f : [ 4, ] R, f(x = x + x 2 hat. im Punkt (0, ein lokales Maximum, im Punkt ( 2, ein lokales Minimum, im Randpunkt 4 ein Maximum und im Randpunkt ein Minimum. 2. im Punkt (0, ein globales Maximum, im Punkt ( 2, ein globales Minimum, im Randpunkt 4 ein Maximum und im Randpunkt ein Minimum.. im Punkt (0, ein lokales Minimum, im Punkt ( 2, ein globales Maximum, im Randpunkt 4 ein Minimum und im Randpunkt ein Maximum. 4. im Punkt (0, ein globales Minimum, im Punkt ( 2, ein globales Maximum, im Randpunkt 4 ein Minimum und im Randpunkt ein Maximum.

5 Aufgabe III.2: (++ Pkt. a Berechnen Sie den Grenzwert lim x 0 cos x (e x sin x. Der Grenzwert ist b Berechnen Sie den Grenzwert Der Grenzwert ist lim x 0 + x. x c Berechnen Sie den Grenzwert ( lim x 0 x. sin x Der Grenzwert ist

6 Aufgabe III.: (++ Pkt. a Berechnen Sie den Wert des folgenden Integrals: 2 cos x sin 2 x dx. (Tipp: cos ( ( 4 = sin 4 = Das Ergebnis ist: 2, cos ( =, sin ( ( 2 = 2, cos 6 ( = 2 und sin 6 = b Geben Sie den Wert des folgenden Integrals an: Der Wert des Integrals ist: 0 sin x cos x + cos 2 x dx c Gegeben sei f : R R mit f(x = e x sin x. Eine Stammfunktion von f ist. F (x = 2 ex (sin x cos x. 2. F (x = 2e x (cos x+sin x.. F (x = e x cos x. 4. F (x = e x (sin x. 5. F (x = 2e x (cos x sin x. 6. F (x = 2 ex (sin x+cos x.