D-CHAB Grundlagen der Mathematik I (Analysis B) FS 2016 Theo Bühler

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Gotthilf Holzmann
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1 D-CHAB Grundlagen der Mathematik I Analysis B) FS 6 Theo Bühler Lösung. Finde eine Stammfunktion von a) f : R R, fx) := x cosx 5 ) sinx 5 ) ) = 5 cosx 5 )x, also die Stammfunktion von fx) durch F x) := sinx5 ) 5 + C gegeben ist. b) f : R R, fx) := x ) sin ) ) cos ) )) = sin ) ) ) ) = sin ) ) ) x ), also die Stammfunktion von fx) durch cos ) ) F x) := + C gegeben ist. c) f : R R, fx) := e x + e x arcsinhx)) =. Also ist die Stammfunktion F x) := arcsinhe x ) Bitte wenden!

2 d) f :, ) R, fx) := e x e x arcsinx)) = x. Also ist die Stammfunktion F x) := arcsine x ). e) f :, π ) R, fx) := tanx) + tanx) und tanx) Also ist die Stammfunktion tanx) = + tan x) + tanx) + tanx) =. tanx) F x) := ln tanx)) + C.. Berechne zunächst die Konstante a und dann den Inhalt der Fläche zwischen den Funktionen fx) und gx). a) Betrachte Lösung. Es gilt f π ) =, also π ) + a = und a = π ). Der Inhalt der Fläche zwischen den Funktionen fx) und gx) ist F = cosx) dx π ) ) x dx π π Siehe nächstes Blatt!

3 Wir haben und π Also F = + π3 6. b) Betrachte π cosx) dx = sinx) π π = π ) ) x dx = π ) π 3 x3 x π = ) π 3 π ) π3 3 π + 8 = π3 π3 = π3 6 ) 3 ) Lösung. Es gilt g ) = sina) =, also a = π. Der Inhalt der Fläche zwischen den Funktionen fx) und gx) ist Wir haben F = sin π x) dx x dx. sin π x) dx = π cosπ x) = π und x dx = 3 x3 = 3 Bitte wenden!

4 Also F = π 3. c) Betrachte Lösung. Es gilt f ) = e, also a = e. Wegen Symmetrie haben wir F = e x dx Wir haben e x dx = e und ex = e 3 x3 = e 3 Also F = e 3 e) = e 3. ) ex dx 3. Berechne die folgenden bestimmten Integrale: a) / sin n x) cosx) dx, n N Lösung. Substituiere sinx) = y dx = dy, ersetze die x-grenzen cosx) durch die y-grenzen sin) =, sin π ) = und erhalte / sin n x) cosx) dx = y n dy cosx) cosx) = n + yn+ = n +. Siehe nächstes Blatt!

5 b) e 3x ex dx Lösung. Substituiere e x = y dx = dy, ersetze die x-grenzen durch ex die y-grenzen e =, e = e und erhalte mit partieller Integration e 3x ex dx = e e e y e y dy = e y y + ye y dy e = e y y ye y ) + e = e y y + y + ) = 5 e e e e + e + ). e e y dy c) d) / Lösung. 5 / e x sin x) dx / / / π/ / e x sin x) dx = e x sin x) + e x sinx) cosx) dx π/ / = e x sin x) + e x sinx) dx π/ / = e x sin x)) e x sinx)) + e x cosx) dx π/ / = e x sin x)) e x sinx)) + e x sin x)) dx π/ = e x sin x)) e x sinx)) + / e x dx / e x sin x) dx e x sin x) dx = e x sin x)) e x sinx) e x ) e x sin x) dx = e x π/ 5 sin x)) + sinx) + ) + cosx) dx = 5 3e π/. 5 π/ Bitte wenden!

6 Lösung. Mit der trigonometrischen Umformumg erhält man sofort / π/ + cosx) dx = + cosx) = cos x) = d dx tan x) d dx tan x) dx = tan x) π/ = tan π ) tan) =. Das selbe Ergebnis erhält man mit der Substitution y = tan x) dx = cos x )dy. Die Grenzen ändern sich zu tan) =, tan π ) = und somit ist / + cosx) dx = cos x) + cosx) dy = cos x) cos x) dy = dy = y =.. Multiple choiche. t cos t ln t + c ist für jede Konstante c R eine Stammfunktion von a) Richtig. t cos t t sin t ln t. b) Falsch. Mit der Produktregel folgt d dt cos t ln t + c) = sin t ln t + cos t t +.. t sint) + t ist eine Stammfunktion von t cos t. a) Richtig. b) Falsch. Es gilt d dt sint) + t ) = cost) + = cos t ) + = cos t. Siehe nächstes Blatt!

7 3. Es ist sin x cos x dx = sin x + c, aber auch sin x cos x dx = sinx) dx = cosx) + c, also sin x = cosx). a) Richtig. b) Falsch. Es gelten d dt d sin x + c ) = sin x cos x + und dt ) cosx) + c = sinx)) + = sin x cos x, also unterscheiden sich die beiden Funktionen nur um eine Konstante. Es ist aber sin x + cosx) = sin x + cos x ) = sin x + cos x =. Was auch einfach zu sehen ist, wenn man die Funktionen an der Stelle auswertet: sin ) = cos) =.

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