Übungsaufgaben zur Integralrechung

Größe: px

Ab Seite anzeigen:

Download "Übungsaufgaben zur Integralrechung"

Hajo Kurzmann
vor 6 Jahren
Abrufe

1 Übungsaufgaben zur Integralrechung Produktintegration Zeigen Sie mit Hilfe der Produktintegration, dass die Integrale die angegebenen Werte annehmen. PR PR 3 PR3,5 x e x dx = e ( ) x (x 3) 5 dx = x e (x+) dx = e PR4 (x + 3)e ( x) dx = e 3e ( ) PR5 π (x + ) sin(x)dx = Nastia 4x e x dx = (x e x ) e x Anna x cos(5x)dx = x 5 sin(5x) + 5 cos(5x) Nastia Bestimmen Sie x sin(ax)dx = Anna 5x e x dx = 5 4 e( ) e Amos x cos(x)dx = cos(x) x sin(x) Amos 4x cos(x + 5)dx = 4x sin(x + 5) 8 sin(x + 5) + 8x cos(x + 5) Konstantin 4xe (x+) dx = ( + x)e x+ Nima x cos(x)dx =.54758

2 Nima x e x dx = e + Lea x sin(x + )dx = x cos(x + ) + cos(x + ) + x sin(x + ) Lea xe x dx = ( + x)e x Emmanuil x sin(x)dx = x cos(x) + cos(x) + x sin(x) Emmanuil x 3 cos(x)dx = x 3 sin(x) + 3x cos(x) 6 cos(x) 6x sin(x) Kasia Kasia 7x e (x+) dx = e x cos(x)dx =.378 Belina 7x e (3x) dx = 7 ( + 3x)e3x 9 Belina 9( sin(ax)+x cos(ax)a) 9x sin(ax)dx = a Lisa Lisa Tobias 8 x e x dx = 5e + e (x + 3) e ( x) dx = x cos(x)dx = 5.7 Tobias x cos(x)dx = x sin(x) sin(x) + x cos(x) PR7 dx =

3 Substitutionsmethode Zeigen mit der Substitutionsmethode, dass folgende Aussagen richtig sind. Anna 5 sin (3 x ) dx = 5/3 cos (3 x ) + C Elena (4 x + 3) 3 dx = (4 x + 6 3)4 + C Elena x dx = x x x Nastia Nastia x x ( x ) dx = x x ( x ) dx = Anna 4 x 3 5 x 4 dx = 5 x 4 + C Amos (x + ) dx = 56 3 Amos 3 π x 7 dx = (x+4) 3/ Konstantin x + 4dx = Nima (4 x + 3) 4 dx = (4 x + 3)5 Nima x 3 (x 4 +8) 3 dx = 8 (x4 + 8) Lea ( x) dx = 3 ( x)3 + C Emmanuil (4 x + 5) 4 dx = (4 x + 5)5 Emmanuil x 4 (x 5 +) dx = 5 (x5 + ) Kasia ( x) dx = Kasia (sin (x)) 5 cos (x) dx = 6 (sin (x))6 + C Belina 5 x 7 (5+x 8 ) 3 dx =

4 Belina (3 x 9) 5 dx = 8 Tobias 7 (3 x 9)6 x x + dx = Tobias Diese Aufgabe könnte als deutlich schwieriger empfunden werden: x x 3 6 x 4 6 dx = 64 x ln ( x 4 6 ) + C SB7 π SB8 SB9 3 SB3 SB3 4 x cos (x ) dx = / sin (/ π) x x+ dx = 3 ( + x) dx = 3 4 ( + x) dx = 9 xdx = 6 3 SB3 x x 3 dx = / 3 x 3 SB33 SB34 5 SB35 3 x 3 +x dx =.4655 x 5 xdx = 3 x 5 x+ dx = SB36 ( x dx = arctan x SB37 x a x dx = a x SB38 (sin (x)) dx = cos(x) sin(x) x SB39 (sin (x)) 3 (cos (x)) 3 dx = 6 (sin (x)) (cos (x)) 4 ) 4 (cos (x))4

5 3 Trigonometrische Funktionen Berechnen Sie die Werte der folgenden Integrale und zeigen Sie so, dass die angegebenen Gleichungen richtig sind. Zur Berechnung benötigen Sie die Produktintegration oder die Substitutionsmethode. TR TR3 TR4 TR5 TR6 TR7 TR8 TR9 TR TR TR TR3 π π π π π π π π π π π π z sin(z)dz = π z cos(z)dz = 4π z sin(z)dz = z 3 sin(z)dz = π + π 3 z cos(z)dz = z sin ( z) dz = 8 z cos ( z) dz = (sin(z)) dz = π (sin(z)) 4 dz = 3 4 π sin(z) cos(z)dz = dz = dz = 5

6 4 Uneigentliche Integrale Bestimmen Sie, falls die Integrale existieren deren Wert. UE UE UE3 UE4 dx (Lösung: ) x 3 4 dx (Lösung: ) x 8x 5 dx (Lösung: 8 ) x dx (Lösung: existiert nicht) UE5 dx (Lösung: ) (4 x) 3 8 UE6 +x x 4 dx (Lösung: ) UE7 x + x dx (Lösung: 5/) UE8 / π (cos (x)) Lösung: exisitiert nicht UE9 UE UE UE b a b a b a b a dx (Lösung: ) dx (Lösung: ) dx (Lösung: ) dx (Lösung: ) 6

7 5 Ohne Rechnung Beweisen Sie, dass folgende Aussagen richtig sind, ohne die Integrale zu berechnen: OR Für k ungerade ist a OR Für k gerade ist a OR3 π OR4 π OR5 x+π OR6 a x a sin(x)dx = cos(x)dx = sin(x)dx = a a a e x dx = e x dx x k dx = x k a dx = x k dx OR7 Ist der Graph einer Funktion f achsensymmetrisch zur y-achse und ist [ a, a] D f, so gilt: a a f(x)dx = f(x)dx a OR8 dx = 6 Flächeninhalte FL Gegeben sind die Funktionen f(x) = 5 6 x4 + 3a x und x4 6 a x. Wie muss a gewählt werden, dass die Fläche zwischen den zwei Graphen zwischen den Schnittpunkte 64, 8 ergibt? (Diese Aufgabe stammt von Chris, Bao, Katharina und Miltos) FL Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x und die Funktionenschar g a mit g a (x) = x a, a >. 7

8 Wie muss a gewählt werden, damit die Fläche zwischen den Graphen von f und g a den Flächeninhalt 3 hat? 3 (Diese Aufgabe stammt von Aaron, Thao, Anna-Marie und Jörg) FL3 Berechnen Sie den Inhalt A der Flächen zwischen den Graphen von f mit f(x) = sin(x) und g mit g(x) = cos(x) über dem Intervall [ ; 3 π]. (Diese Aufgabe stammt von Wasil, Ugur, Enes und Polina) FL4 Es sei eine kubische Parabel der Form f(x) = x 3 und eine weitere verschobene quadratische Parabel g(x) = 3x + 4 gegeben. a) Bestimme die Fläche, die zwischen den beiden Graphen eingeschlossen ist. b) In welchem Verhältnis teilt die Winkelhalbierende des zweiten und vierten Quadranten die eingeschlossene Fläche? (Diese Aufgabe stammt von Joscha, Micha, Sarah und Tanja) FL5 Gegeben sind die beiden Funktionenscharen f a und g a mit f a (x) = sin(ax) und g a (x) = cos(ax). Beide Werte für a sollen stets gleich sein. Bestimmen Sie a so, dass die eingeschlossene Fläche den Flächeninhalt A =, 5 hat. (Diese Aufgabe stammt von Robin, Serkan und Tolik) 8

9 FL6 Wie muss a bestimmt sein, damit die Fläche zwischen den Graphen von f und der Funktionenschar g a mit f(x = x + 4 und g a (x) = x 3 + ax den Flächeninhalt 5 hat? (Diese Aufgabe stammt von Emre, Larissa, Cathryn und Justin) 7 Lösungstipps TR TR TR3 TR4 TR5. Produktintegration. z ableiten. Zweimalige Produktintegration. sin(z) = sin(z), cos(z) = cos( z) 3. sin π =, cos(π) =. Zweimalige Produktintegration. sin(z) = sin(z), cos(z) = cos( z) 3. sin π =, cos(π) =. Produktintegration. Ergebnisse von anderen Aufgaben verwenden. Produktintegration. z ableiten TR6. Substitution x =. Produktintegration TR SB36 3. sin ( π ) =, sin ( π ) =, cos ( π. Produktintegration. v := sin(z) ) = cos ( π ) = 3. Gleiche Integrale auf eine Seite des =-zeichens bringen 4. cos(π) = cos() =. Substitution: x = z. (arctan(x)) = +x SB37 Substitution: z = a x SB38. Substitution: z = tan x 9

10 FL FL FL3. tan x = sin x cos x. Beide Graphen sind symmetrisch zur y-achse.. Schnittpunkte bestimmen (x S =, x S = a, x S3 = a). 3. Stammfunktion ist 5 x a x.. Die Graphen von f und g a sind achsensymmetrisch zur y-achse.. Schnittpunkte bestimmen (x S = a, x S = a). 3. Stammfunktion ist 3 x3 ax.. Schnittpunkte bestimmen führt zu x S = tan (). Dies liefert im angegebenen Intervall zwei Schnittpunkte (x S = π 4, x S = 5π 4 ).. Fläche durch drei Integrale berechnen: π 4 5π 4 f(x) g(x)dx, π 4 g(x) f(x)dx, 3π 5π f(x) g(x)dx Bei der Bildung der jeweiligen Stammfunktion und deren Auswertung genau auf die Vorzeichen achten. FL4. Schnittpunkte bestimmen (SP (/), SP ( / 8)). Skizze 3. Hier ist f(x) < g(x). 4. Winkelhalbierende einzeichnen, s. oben. Schnittpunkt der Winkelhalbierenden mit g bestimmen. 5. Berechnen von drei Flächen, die zusammen die Gesamtäche ergeben.

11 8 Lösungen FL a =, 5. FL a = 4. FL3 A, 46. FL4 a) 6, 75, b) 7. FL5 a =, 5. FL6 a = 7.

Ähnliche Dokumente

Abituraufgabe zur Analysis, Hessen 2009, Grundkurs (TR)

Abituraufgabe zur Analysis, Hessen 2009, Grundkurs (TR) Gegeben ist die trigonometrische Funktion f mit f(x) = 2 sin(2x) 1 (vgl. Material 1). 1.) Geben Sie für die Funktion f den Schnittpunkt mit der y