2 x x 2 y 2 vol(a) = d(x, y, z) = 4 3 x3 dx = [ 1

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1 UNIVERSITÄT ARLSRUHE Institut für Analsis HDoz Dr P C unstmann Dipl-Math M Uhl Sommersemester 9 Höhere Mathematik II für die Fachrichtungen Elektroingenieurwesen, Phsik und Geodäsie inklusive omplexe Analsis und Integraltransformationen Lösungsvorschläge zum 9 Übungsblatt Aufgabe a) Für x,, z) A gilt nach Definition der Menge x [, ] sowie x, also x, dh x x wegen x > Mit A : { x, ) R : x [, ], x x } b) lässt sich A folgendermaßen schreiben A { x,, z) R : x, ) A, z x } [In der Notation von Abschnitt : B A, a, b, ux) x, vx) x, gx, ), hx, ) x ] Da der Integrand fx,, z) stetig ist, erhält man nach x x x vola) dx,, z) dz d dx x ) d dx A x [ x ] x x dx z x 4 x dx [ x4] x 6 ) 5 x Die Menge B wird von den oordinatenebenen und von der Ebene durch die drei Punkte,, ),,, ) und,, ) begrenzt siehe Skizze) Damit ist x,, z) B äquivalent zu Bei B handelt es sich also um x, x, z x ) B { x,, z) R : x, ) B, z x ) }, wobei B : { x, ) R : x, x } Da x,, z) sinz) auf B stetig ist, ergibt sich für das Integral nach x x )/ sin z dx,, z) sin z dz d dx B x [ cos z ] x )/ z d dx [ sin x [ x x 4 cos x ) + ] x dx x cos x x sin x ) ) dx ) + ) d dx )] x 4 cos ) + 4 cos ) cos )

2 Aufgabe Seien R r Geometrische Überlegungen führen auf A { x, ) R : r x + R, x, } { ϱ cos ϕ, ϱ sin ϕ) : r ϱ R, ϕ π } Nun seien R und a > Die Bedingung x bedeutet cos ϕ, also ϕ [, π ] oder ϕ [ π, π] Zusätzlich muss wegen ax die Ungleichung sin ϕ a cos ϕ gelten Diese ist für kein ϕ [ π, π] erfüllt Auf [, π ] gilt sin ϕ a cos ϕ für ϕ π und ϕ [, π sin ϕ ) mit tan ϕ cos ϕ a, also ϕ π oder ϕ arctan a, π ) Somit ergibt sich B { x, ) R : x + R, x, ax } { ϱ cos ϕ, ϱ sin ϕ) : ϱ R, arctan a ϕ π } Die Menge C wurde bereits im Beispiel 6 der Vorlesung mittels ugelkoordinaten dargestellt Wir betrachten daher eine andere Menge { x,, z) R : x + + z, x <,, z } Aufgabe { r cos ϕ cos ϑ, r sin ϕ cos ϑ, r sin ϑ ) : r [, ], ϕ π, π], ϑ [ π, ]} a) Seien a, b, c > Um vole) : E dx,, z) für die Menge { E x,, z) R : x ) ) z ) } + + a b c zu berechnen, führen wir die Substitution x,, z) au, bv, cw) durch Die Substitutionsfunktion lautet also Φu, v, w) au, bv, cw) und hat die Ableitung a Φ u, v, w) b c mit det Φ u, v, w) abc > Ist : {u, v, w) R : u + v + w } gesetzt, so gilt Φ) E, denn au ) bv ) cw ) u, v, w) + + au, bv, cw) Φu, v, w) E a b c Daher erhalten wir mit Hilfe der Transformationsformel dx,, z) abc du, v, w) abc E du, v, w) Nach Beispiel ) mit r ) beträgt das Volumen von : 4 π, so dass dx,, z) abc 4π E folgt Alternativ liefern ugelkoordinaten u, v, w) r cos ϕ cos ϑ, r sin ϕ cos ϑ, r sin ϑ) mit r [, ], ϕ [, π], ϑ [ π, π ] für vol) ebenfalls du, v, w) π π π r cos ϑ dϑ dϕ dr π r dϕ dr 4πr dr 4π

3 b) Wir greifen auf Zlinderkoordinaten zurück: x r cos ϕ, r sin ϕ, z z, dx,, z) r dr, ϕ, z) Für x,, z) A gilt z, und die zweite A definierende Ungleichung liefert die Bedingung r z) Die Menge A ist also charakterisiert durch Die Transformationsformel liefert nun x + ) e z)7 dx,, z) A π z, ϕ π, r z z r 5 e z)7 dr dz π π z)6 e z)7 dz π z ] [ πe z)7 4 r ) e z)7 r dr dϕ dz [ 6 r6] z r e z)7 dz z πe ) 4 c) Sei < r < R Zur Berechnung von x dx, ), B { x, ) R : x, ) [r, R], x } B führen wir Polarkoordinaten ein: B x ϱ cos ϕ, ϱ sin ϕ mit ϱ [r, R], ϕ ) [ π 4, π 4 ] Hierbei ergibt sich ) durch die Bedingung x Würde man ϕ [, π] fordern, so müsste man ϕ [, π 4 ] [ 7 4 π, π] wählen und B in B {x, ) R : x, ) [r, R], x} und B {x, ) R : x, ) [r, R], x } zerlegen Dann ist B x dx, ) B x dx, ) + B x dx, )) Wir erhalten π 4 R π sin ϕ dx, ) x π r cos ϕ ϱ dϱ dϕ R r 4 ) tan ϕ dϕ π 4 4 Das letzte Gleichheitszeichen ergibt sich, weil der Tangens eine ungerade Funktion ist und über ein zu smmetrisches Intervall integriert wird Aufgabe 4 Definiere {x,, z) R : x + + z } Dann müssen wir m : ϱx,, z) dx,, z) + x + dx,, z) + z B berechnen Hierzu benutzen wir ugelkoordinaten x r cos ϕ cos ϑ, r sin ϕ cos ϑ, z r sin ϑ mit r [, ], ϕ [, π], ϑ [ π, π ] Die Transformationsformel liefert m π π π π π π + r r cos ϑ dϕ dϑ dr r + r cos ϑ dϑ dr r 4π dr 4π + r 4π [arctan r] r) 4π π 4 )) 4π π ) + r dr

4 Aufgabe 5 Wir berechnen zunächst die Volumina der beiden Mengen: Die Menge ist ein Ellipsoid, und es gilt M Φ) für M { x,, z) R : 6 x z } : { u, v, w) R : u + v + w }, Φu, v, w) : 4u, 8 v, w) Aus der Vorlesung ist bekannt: vol) 4 π Wegen 4 det Φ u, v, w) det liefert die Transformationsformel also volm) dx,, z) Φ) 8 du, v, w) 8 vol) π [vgl Aufgabe a) mit a 4, b 8, c ] Für die neue Marzipankartoffel ergibt sich vol M) x x dz d dx x d dx x dx) mit der Substitution x t, dx dt folgt ) ) d x dx ; t ) ) dt 8 t dt, und die Substitution t sin τ, dt cos τ dτ liefert π/ π/ 8 sin τ cos τ dτ) 8 cos τ dτ) π/ π/ Wegen π/ π/ cos τ dτ π π cos τ dτ π folgt vol M) 9 π Nun gilt es noch festzustellen, ob der Quotient vol M)/volM) größer oder kleiner als das Preisverhältnis,97 ist Statt zum neumodischen Taschenrechner zu greifen, zeigen wir vol M)/volM) <,97 allein durch Verwendung der Abschätzungen π <, und >,4: 9 vol M) volm) π 7π π 64 < 7, 64, <,97 Also: Wir kaufen die bewährte Marzipankartoffel, da wir auf diese Weise pro Geldeinheit mehr Volumen bekommen 4

5 Aufgabe 6 Eine Parametrisierung des egelmantels F ist gegeben durch x r cos ϕ r sin ϕ : gr, ϕ) mit r, ϕ) [, ] [, π] z r Mit und erhält man U a) ϱ ϱ r gr, ϕ) ϕ gr, ϕ) cos ϕ r sin ϕ sin ϕ r cos ϕ r cos ϕ r sin ϕ r r F π Aufgabe 7 gr, ϕ) a r cos ϕ r sin ϕ r cos ϕ r sin ϕ r r + r r x a do ϱ [,] [,π] r r + r gr, ϕ) ϕ gr, ϕ) dr, ϕ) gr, ϕ) a r dϕ dr π ϱ r Hinweis dr πϱ ln ) r r + N sei stets die Einheitsnormale auf, die ins Äußere von gerichtet ist Für den Fluß des Vektorfeldes f durch die Oberfläche des egels nach außen gilt f N do Die Oberfläche besteht aus dem egelmantel und dem Grundkreis Wir parametrisieren zunächst den egelmantel M : { x,, z) R : z x +, z } durch Dann ist x r cos ϕ r sin ϕ : gr, ϕ) z r mit r, ϕ) [, ] [, π] cos ϕ r sin ϕ r cos ϕ r gr, ϕ) ϕ gr, ϕ) sin ϕ r cos ϕ r sin ϕ r Dieser Vektor zeigt nach außen Weiter gilt f gr, ϕ)) r gr, ϕ) ϕ gr, ϕ) ) r r cos ϕ r sin ϕ r sin ϕ r)r cos ϕ + r sin ϕ + r)r r r r r ) cos ϕ + r sin ϕ + r r ) 5

6 Für den Fluß von f durch die Mantelfläche M nach außen erhält man f N r gr, ϕ) ϕ gr, ϕ) do f gr, ϕ)) r gr, ϕ) ϕ gr, ϕ) r gr, ϕ) ϕ gr, ϕ) dr, ϕ) M [,] [,π] [,] [,π] π f gr, ϕ)) r gr, ϕ) ϕ gr, ϕ) ) dr, ϕ) r r ) cos ϕ + r sin ϕ + r r ) ) dϕ dr πr + r r )π ) dr Eine Parametrisierung des Grundkreises [π r + r r ) ] π 8 π G : { x,, z) R : x + 4, z } ist gegeben durch x r cos ϕ r sin ϕ : gr, ϕ) z mit r, ϕ) [, ] [, π] Dann ist cos ϕ r sin ϕ r gr, ϕ) ϕ gr, ϕ) sin ϕ r cos ϕ r Dieser Vektor zeigt nach innen Wegen f gr, ϕ)) r gr, ϕ) ϕ gr, ϕ) ) r sin ϕ r r ergibt sich für den Fluß von f durch die Grundfläche G nach außen f N do f gr, ϕ)) r gr, ϕ) ϕ gr, ϕ) ) dr, ϕ) G [,] [,π] π r dϕ dr πr dr 4π Der Fluß von f durch die gesamte Oberfläche des egels nach außen beträgt somit f N do f N do + f N do 8 π 4π 6 π M G 6

7 Bemerkung: Alternativ kann man f N do auch mit dem Divergenzsatz im R Diesen nennt man auch den Gaußschen Integralsatz) berechnen: f N do f dτ dx,, z), wobei wir hier dτ für dx,, z) geschrieben haben Mit Zlinderkoordinaten lässt sich charakterisieren durch x r cos ϕ, r sin ϕ, z z r [, ], ϕ [, π], z [, r], so dass folgt f N do 4π r dx,, z) r π r dz dr 4π r dϕ dz dr r r ) dr 4π [ r r] 6 π 7