Übungen zu Doppel- und Dreifachintegralen Lösungen zu Übung 15

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1 5. Es sei Übungen zu Doppel- und Dreifachintegralen Lösungen zu Übung 5 f(x, y) : x y, : x, y, x + y, y x. erechnen Sie f(x, y) d. Wir lösen diese Aufgabe auf zweierlei Art. Zuerst betrachten wir das Gebiet so, wie es rechts liegt. Um es zu beschreiben, zerlegen wir es in zwei Teilgebiete. y y x : x, y x : x, y x Denken Sie sich im Punkt (, ) eine senkrechte Linie nach oben eingezeichnet, die zerteilt genau in der Form. Sie sehen es hoffentlich, wir wollen die Figur nicht überfrachten. (, ) x + y x Jetzt greift unsere erste erechnungsmethode von Seite. Vergleichen wir die ezeichnungen. Für das Integral über ist für das Integral über ist a, b, y (x), y (x) x, Dann berechnen wir unser Integral so: a, b, y (x), y (x) x.

2 f(x, y) d f(x, y) d + f(x, y) d x x y xy dy dx + x 5 dx + + ( x yx dx + y x x x y x ( x ) dx ) xy dy dx y x y dx 5 4 etrachten Sie jetzt folgende Skizze. Diese Skizze ist gegenüber der obigen um 9 im Gegenuhrzeigersinn, also im mathematisch positiven Sinn gedreht. Jetzt liegt das Gebiet über der y- Achse und kann so entsprechend der zweiten erechnungsmethode einheitlich beschrieben werden: y x y (, ) x x + y y, y x y. Dann können wir wieder rechnen:

3 f(x, y) d y xy dx dy y y x y y dy y ( y y) dy ) (y y y dy [ ] y y4 8 y Selbstverständlich ergibt sich dasselbe wie oben. 5. Sei : x, y, x + y R und sei f(x, y) : x + y. erechnen Sie (x + y ) d. [Hinweis: Polarkoordinaten] Das Gebiet ist, wie man hoffentlich sofort sieht, der Viertelkreis vom Radius R > im ersten Quadranten. Mit Polarkoordinaten x r cos α, y r sin α transformiert sich das Gebiet zum Rechteck und wir erhalten: : r R, α π

4 (x + y ) d ((r cos α) + (r sin α) ) r d e e π R π r r d R 4 4 dα r dr dα R4 4 π πr estimmen Sie die Fläche, die begrenzt ist durch die Parabeln y 4 x und y 4 4x. Zunächst erinnern wir an Formel (7.4) von Seite 8 zur erechnung von Flächeninhalten: F d Das Gebiet haben wir rechts skizziert. Zur erechnung der Flächhe ist es wieder einfacher, wenn wir das Gebiet im mathematisch positiven Sinn drehen. Vielleicht machen Sie das mit diesem latt. Dann sehen wir, dass es eine Fläche über der y-achse ist mit den beiden Parabeln als obere und untere egrenzung. Die beiden Schnittpunkte sind (, ) und (, ). x y + 4 x y x Schon ist die Rechnung ganz einfach: 4

5 F d x4 y x y 4 x4 y dx dy x dy x y 4 ) (4 y ( y dy 4 ) (4y y y + y ( ( 8) ) + ( ) ( 8 ) 5.4 erechnen Sie das Integral e (x +y ) d, wobei der Kreis in der (x, y)-ebene sei: x + y a, a IR, a >. Wieder bietet sich wegen des Kreises die Verwendung von Polarkoordinaten x r cos α, y r sin α an. Um die ganze Fläche abzudecken, betrachten wir r a, π α π. Mit der Transformationsformel (7.6) von Seite 5 ergibt sich dann mit der Funktionaldeterminante r 5

6 e (x +y ) d a a a a a r e r dα dr π r e r α dr π r e r (π ( π)) dr r e r π setze u : r π e u du π ( e u ) 5.5 erechnen Sie das Volumen V der Kugel vom Radius R. Natürlich kennen wir das a π ( e a ) Kugelvolumen 4 π R. So etwas kann man auswendig hersagen, aber wie kommt man auf diese Formel? In der Schule macht man das geometrisch, wir lösen das jetzt analytisch. Wir berechnen wegen der Symmetrie nur die obere Halbkugel, das Ergebnis verdoppeln wir dann einfach. Die obere Halbkugel vom Radius R wird dargestellt durch die Funktion z f(x, y) R x y. Als zugrunde liegendes Gebiet betrachten wir die vollen Kreis mit Radius R in der (x, y)-ebene. eachten Sie bitte folgende Ungleichung, die für alle reellen Zahlen gilt: a b b a b. Dann können wir den Kreis beschreiben durch : R x R, R x y R x. Jetzt natürlich Polarkoordinaten verwenden: x r cos α, y r sin α, r R, α π, und schon können wir losrechnen. Es ist f(x, y) f(x(r, α, y(r, α) R ((r cos α) + (r sin α) ) R r. 6

7 Damit folgt V π R π π π f(x, y) d e R r r dr dα (R r ) Nebenrechnung: rr r ( + R dα R dα π R R r r d dα d dr ( (R r ) ) (R r ) ( r) R r Damit ist das Volumen der Kugel V 4 π R. 5.6 erechnen Sie auf zwei verschiedenen Wegen den Flächeninhalt der Fläche, die im. Quadranten liegt und durch die (halb-kubische) Parabel y x und die Gerade y x begrenzt wird. Um genau zu bestimmen, berechnen wir zuerst die beiden Schnittpunkte der zwei Kurven: y x, y x y y y ( y). also folgt (x, y ) (, ), (x, y ) (, ) y y x y x x Erster Weg: Gemäß dieser Skizze denken wir uns jetzt ein beliebiges x [, ] fest gewählt und integrieren entlang der senkrecht über x liegenden Linie innerhalb von, also von y x bis y x, anschließend dann lassen wir x von bis laufen: 7

8 Zweiter Weg: d yx yx dy dx Jetzt drehen wir die Figur, so dass die y- Achse unten liegt. Dann denken wir uns jetzt ein beliebiges y [, ] fest gewählt und integrieren entlang der senkrecht über y liegenden Linie innerhalb von, also von x y bis x y, anschließend lassen wir y von bis laufen: d xy xy dx dy (x x ) dx [ y y x y x (y y) dy [ x x 5 5 x ] ] y 5 5 y 5.7 Wie lautet die Funktionaldeterminante bei Doppelintegralen für eine Transformation mittels verallgemeinerter Polarkoordinaten? x a r cos α, y b r sin α, a, b IR, a, b > Wir setzen so wie in der Vorlesung x ϕ(r, α) a r cos α, y ψ(r, α) b r sin α und rechnen die Funktionaldeterminante aus: ( ϕr (r, α) ϕ det α (r, α) ψ r (r, α) ψ α (r, α) ) ( a cos α a r sin α det b sin α) b r cos α) a cos α b r cos α ( a r sin α) b sin α a b r(cos α + sin α) a b r ) 5.8 Für die Funktion y e x ist keine elementare Stammfunktion bekannt. Daher kann das Integral y e x dx dy in der Form nicht berechnet werden. erechnen Sie es durch Umkehrung der Integrationsreihenfolge. 8

9 Als erstes müssen wir uns über das Gebiet klar werden, über das wir integrieren sollen. Wir arbeiten von innen nach außen. Außen sollen wir über y integrieren. Also halten wie ein beliebiges y [, ] fest. Erst im zweiten Schritt lassen wir das laufen. Dann soll x von y bis laufen. Nun, x y ist ja die Gerade y x. y x x y y x Sie müssen also von links auf die Skizze schauen. Sie können das latt auc gegen den Uhrzeiger um 9 drehen, so dass die y-achse unten liegt. Dann sehen Sie, dass das schraffierte Gebiet zu Grunde liegt. Weil wir keine Stammfunktion für y e x kennen, versuchen wir jetzt, die Integrationsreihenfolge uizudrehen. Wir integrieren also außen über x und innen über y. Dazu halten wir jetzt ein beliebiges x [, ] fest und betrachten y von y bis y x. Wenn wir dann x von bis laufen lassen, überstreichen wir wieder das schraffierte Gebiet. x y e x dx dy x e x dy dx Und sehen Sie, hier wird die Funktion e x zuerst über y integriert. Da ist dieser Term also eine Konstante und wir eralten e x y x dx e x x dx Für diese Funktion y x e x erhalten kennen wir aber eine Stammfunktion y ex, und wir 6 ex 6 (e9 ) 9

10 6. erechnen Sie folgende Dreifachintegrale: (a) Lösungen zu Übung 6 (b) x x x y z dz dy dx, pi z r sin α dz dr dα. Dies sind reine Rechenaufgaben, die Sie aber auch bearbeiten sollten. Schließlich sollte ein Mathematiker seine Theorie auch mal anwenden können. Zu (a): x x x y z dz dy dx x [ x x x x y z ] x y z dz dy dx z x z dy dx x y ( x) dy dx x y ( x) y x 4 dx y (4x x + x 6x 4 + x 5 ) dx 4 4

11 Zu (b): pi z r sin α dz dr dα pi z pi π cos α π r sin α dr dα r sin α dr dα r r sin α dα r 6. (a) V sei der von den Koordinatenebenen und der Ebene E : x + y + z begrenzte Körper. Skizzieren Sie diesen Körper. (b) erechnen Sie das Dreifachintegral ( x + y + z) dv. V Zu (a): z Die Ebene E kennen wir von der Schule her. Sie geht durch die Punkte (,, ), (,, ) und (,, ). Rechts haben wir sie schraffiert. Der Körper V liegt dann unterhalb dieser Ebene und wir von den beiden Kordinatenebenen, der (x, z)- Ebebe und der (y, z)-ebene begrenzt. V E y x Zur eschreibung wählen wir x. Die Verbindungsgerade zwischen den Punkten (,, ) und (,, ) hat die Gleichung x + y, wie wir schon aus der 8. Klasse wissen. Also gilt für den Körper V y x für x.

12 Die Koordinate z wird dann begrenzt von der Ebene E, also Zu (b) z x y für x, y. Damit können wir das Dreifachintegral jetzt ausrechnen: ( x + y + z) dv V x x y x x x (x + y + z) dz dy dx ) (xz + yz + z z x y dy dx z [( x( x y) + y( x y) ) ] ( x y) + dy dx [ x x xy + y xy y + x y x + ] x + xy y + xy + y dy dx x [ ] y x xy + x + dy dx [ ] x x y xy y y + xy + 6 [ x + x + ] dx 6 Im letzten Teil haben wir einige Rechenschritte ausgelassen. Die beziehen sich auf reine Rechentechnik aus der Schule. 6.4 erechnen Sie den Schwerpunk S (S, S, S ) der Halbkugel H vom Radius R > bei konstanter Massendichte ϱ. Wir legen die Halbkugel so auf die (x, y)-ebene, dass der Mittelpunkt des Grundkreises mit dem Koordinatenursprung übereinstimmt. Die z-achse ist dann der senkrechte Durchmesser nach oben. Aus Symmetriegründen liegt dann der Schwerpunkt der Halbkugel auf der z-achse. Also sind seine Koordinaten S (S, S, S ) (,, S ). Nach unserer Formel (8.6) von Seite 45 ist dann zu berechnen: S z ϱ(x, y, z) dh H. ϱ(x, y, z) dh H

13 Wegen ϱ ist der Nenner gleich dem Volumen der Halbkugel H, also Dann ist H ϱ(x, y, z) dh π R. S πr z dh. H Wir berechnen zuerst das Dreifachintegral mittels Kugelkoordinaten: H z dh R π R π R π R r R π r cos β r sin β dβ dα dr [ r sin β r dα dr π α dr r R4 8 π π dr ] π dα dr Damit erhalten wir für die dritte Koordinate des Schwerpunktes S π R R4 8 π R 8. eachten Sie btte, dass in dieser Formel kein transzendentes π mehr drinsteckt. Ist der Radius der Halbkugel R 8, so liegt der Schwerpunkr bei z. 6.5 erechnen Sie das Dreifachintegral wo V die Einheitskugel ist. Wegen V x y z dv, f(x, y, z) x y z f (x) f }{{} (y) f }{{} (z) }{{} x y z

14 können wir uns auf Satz 8. beziehen, der uns die Arbeit wesentlich erleichtert. Mit Kugelkoordinaten für die Einheitskugel x ϕ(r, α, β) r cos α sin β, r y ψ(r, α, β) r sin α sin β, α π z χ(r, α, β) r cos β, β π. ergibt sich nach Satz 8. V x y z dv π π π π r 5 dr (r cos α sin β) (r sin α sin β) (r cos β) (r sin β) }{{} Funkt.-det. π dβ dα dr r 5 sin β cos β cos α sin α dβ dα dr sin β cos β dβ π cos α sin α dα Jetzt beschäftigen wir uns nur mal mit dem rechten Integral. Es ist (sin α) sin α cos α, also ist sin α eine Stammfunktion von sin α cos α. Daraus folgt π cos α sin α dα sin α π. Damit verschwindet das rechte Integral, und da es eine Faktor der ganzen rechten Seite ist, verschwindet auch das ganze Integral: V x y z dv 4

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