19.3 Oberflächenintegrale

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1 19.3 Oberflächenintegrale Definition: Sei D R 2 ein Gebiet und p : D R 3 eine C 1 -Abbildung x = p(u) mit x R 3 und u = (u 1, u 2 ) T D R 2 Sind für alle u D die beiden Vektoren und u 1 linear unabhängig, so heißt u 2 F := {p(u) : u D} eine Fläche bzw. ein Flächenstück. Die Abbildung x = p(u) nennt man dann eine Parametrisierung oder Parameterdarstellung der Fläche F. Analysis III TUHH, Wintersemester 27/28 Armin Iske 186

2 Beispiel. Wir betrachten für gegebenes r > die Abbildung r cos(ϕ) p(ϕ, z) = r sin(ϕ) für (ϕ, z) R 2. z Die dadurch parametrisierte Fläche ist ein unbeschränkter Zylinder im R 3. Schränken wir den Definitionsbereich ein, etwa (ϕ, z) K := [, 2π] [, H] R 2, so erhalten wir einen beschränkten Zylinder der Höhe H. Die partiellen Ableitungen ϕ = ( r sin(ϕ), r cos(ϕ), )T und von p(ϕ, z) sind linear unabhängig auf ganz R 2. z = (,, 1)T Analysis III TUHH, Wintersemester 27/28 Armin Iske 187

3 Beispiel. Der Graph einer skalaren C 1 -Funktion ϕ : D R, D R 2, ist eine Fläche. Eine Parametrisierung ist etwa gegeben durch p(u 1, u 2 ) := u 1 u 2 ϕ(u 1, u 2 ) für u D. Die partiellen Ableitungen u 1 = 1 ϕ u1, und u 2 = 1 ϕ u2 sind linear unabhängig. Analysis III TUHH, Wintersemester 27/28 Armin Iske 188

4 Die Tangentialebene einer Fläche. Die beiden linear unabhängigen Vektoren u 1 (u ) liegen tangential an die Fläche F. und u 2 (u ) Sie spannen die Tangentialebene T x (F) der Fläche F im Punkt x = p(u) auf. Die Tangentialebene hat die Parameterdarstellung T x (F) : x = x + λ u 1 (u ) + µ u 2 (u ) für λ, µ R. Frage: Wie kann man den Flächeninhalt einer gegebenen Fläche F berechnen? Analysis III TUHH, Wintersemester 27/28 Armin Iske 189

5 Das Oberflächenintegral eines Flächenstücks. Definition: Sei p : D R 3 Parameterdarstellung einer Fläche, und sei K D kompakt, messbar und zusammenhängend. Dann wird der Flächeninhalt von p(k) definiert durch das Oberflächenintegral do := (u) (u) u 1 u 2 du p(k) K Dabei nennt man den Term do := u 1 u 2 du das Oberflächenelement der Fläche x = p(u). Bemerkung: Das Oberflächenintegral ist unabhängig von der speziellen Parametrisierung der Fläche. Dies folgt direkt aus dem Transformationssatz. Analysis III TUHH, Wintersemester 27/28 Armin Iske 19

6 Beispiel. Für die Mantelfläche des Zylinders Z = p(k) mit K := [, 2π] [, H] R 2 und erhält man mit den Wert x = p(ϕ, z) := O(Z) = Z do = K r cos(ϕ) r sin(ϕ) z ϕ z = r rd(ϕ, z) = für (ϕ, z) R 2 2π H r dz dϕ = 2πrH. Analysis III TUHH, Wintersemester 27/28 Armin Iske 191

7 Beispiel. Ist die Fläche der Graph einer skalaren Funktion, d.h. x 3 = ϕ(x 1, x 2 ), so gilt für die zugehörigen Tangentialvektoren 1 ϕ x1 = x 1 x 2 1 = ϕ x2 1 ϕ x1 ϕ x2 Damit ergibt sich und O(p(K)) = x 1 x 2 1 = + ϕ 2 x 1 + ϕ 2 x 2 p(k) do = K 1 + ϕ 2 x 1 + ϕ 2 x 2 d(x 1, x 2 ). Analysis III TUHH, Wintersemester 27/28 Armin Iske 192

8 Beispiel. Für die Oberfläche des Paraboloids P, gegeben durch P := {(x 1, x 2, x 3 ) T R 3 : x 3 = 2 x 2 1 x 2 2 und x x 2 2 2}, gilt O(P) = x 2 1 +x x x2 2 d(x 1, x 2 ) = = π 2 2π r2 r dϕ dr = π 1 + 4s ds [ 1 (1 + 4s)3/2 6 ] 2 = π ( ) 1 (27 1) 6 = 13 3 π. Analysis III TUHH, Wintersemester 27/28 Armin Iske 193

9 Bemerkung. Für das Kreuzprodukt zweier Vektoren a,b R 3 gilt Daraus folgt Definiert man x 1 x 2 E := x 1 so ergibt sich die Beziehung a b 2 = a 2 b 2 a,b =, F := 2 x 1 x 2 2,, G := x 1 x 2 do = EG F 2 d(u 1, u 2 )., 2. x 1 x 2 x 2 2, Analysis III TUHH, Wintersemester 27/28 Armin Iske 194

10 Beispiel. Für das Oberflächenelement der Sphäre S 2 r = { (x 1, x 2, x 3 ) T R 3 : x x x 2 3 = r 2} ergeben sich mit der Parametrisierung über Kugelkoordinaten x 1 cos(ϕ) cos(θ) x 2 = r sin(ϕ) cos(θ) für (ϕ, θ) [, 2π] sin(θ) x 3 [ π 2, π ] 2 die Beziehungen sin(ϕ) cos(θ) ϕ = r cos(ϕ) cos(θ) und θ = r cos(ϕ) sin(θ) sin(ϕ) sin(θ) cos(θ) Daraus folgt E = r 2 cos 2 (θ), F, G = r 2. Analysis III TUHH, Wintersemester 27/28 Armin Iske 195

11 Fortsetzung des Beispiels. Mit E = r 2 cos 2 (θ), F, G = r 2. folgt aus der Beziehung do = EG F 2 d(u 1, u 2 ) daher do = r 2 cos(θ)d(ϕ, θ), für (ϕ, θ) [, 2π] [ π 2, π ] 2 Wir können nun die Oberfläche der Sphäre wie folgt berechnen. O = do = S 2 r π/2 π/2 2π r 2 cos(θ)dϕ dθ = 2πr 2 sin(θ) π/2 π/2 = 4πr2. Analysis III TUHH, Wintersemester 27/28 Armin Iske 196

12 Oberflächenintegrale erster und zweiter Art. Definition: Sei x = p(u) eine C 1 -Parametrisierung einer Fläche F = p(k), wobei K D kompakt, messbar und zusammenhängend ist. Für eine stetige Funktion f : F R ist das Oberflächenintegral 1. Art definiert durch f(x)do := f(p(u)) u 1 u 2 du F K Für ein stetiges Vektorfeld f : F R 3 ist das Oberflächenintegral 2. Art definiert durch f(x)do := f(p(u)), du u 1 u 2 F K Analysis III TUHH, Wintersemester 27/28 Armin Iske 197

13 Alternative Darstellung für Oberflächenintegrale. Andere Darstellungen des Oberflächenintegrals 2. Art: Der Einheitsnormalenvektor n(x) auf der Fläche F ist gegeben durch u n(x) = n(p(u)) = 1 u 2 u 1 u 2 Wir schreiben daher auch f(x) do = F = = K K F f(p(u)), u 1 u 2 f(p(u)),n(p(u)) f(x),n(x) do. du u 1 u 2 du Analysis III TUHH, Wintersemester 27/28 Armin Iske 198

14 Interpretation der Oberflächenintegrale. Bemerkung: Ist ρ(x) die Dichte einer massenbelegten Fläche, so liefert das Oberflächenintegral 1. Art gerade die Gesamtmasse der Fläche. Ist f(x) ein Geschwindigkeitsfeld einer stationären Strömung, so liefert das Oberflächenintegral 2. Art die Flüssigkeitsmenge, die pro Zeiteinheit durch die Fläche F strömt, d.h. den Fluss von f(x) durch die Fläche F. Ist F eine geschlossene Fläche, d.h. die Oberfläche eines kompakten und einfach zusammenhängenden Körpers im R 3, so schreiben wir f(x) do bzw. f(x) do. F Die Parametrisierung ist dabei so gewählt, dass der Einheitsnormalenvektor n(x) nach außen weist. F Analysis III TUHH, Wintersemester 27/28 Armin Iske 199