Klausur zur Mathematik III

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1 Fachbereich Mathematik SoSe 17 Prof. r. M. Hinze lausur zur Mathematik III (Modul: Analysis III) 1. September 17 Sie haben 6 Minuten Zeit zum Bearbeiten der lausur. Bitte kennzeichnen Sie jedes Blatt mit Ihrem Namen und Ihrer Matrikelnummer. Tragen Sie bitte zunächst Ihren Namen, Ihren Vornamen und Ihre Matrikelnummer in RUCSCHRIFT in die folgenden jeweils dafür vorgesehenen Felder ein. iese Eintragungen werden auf atenträger gespeichert. Name: Vorname: Matr.-Nr.: Stg: AIW BU CI ET GES IN LUM MB MTB SB BV EUT VT Wertung nach PO : zus. mit ifferentialgleichungen I Einzelwertung Ich bin darüber belehrt worden, dass die von mir zu erbringende Prüfungsleistung nur dann bewertet wird, wenn die Nachprüfung durch das Zentrale Prüfungsamt der TUHH meine offizielle Zulassung vor Beginn der Prüfung ergibt. (Unterschrift) Lösen Sie die 3 angegebenen Aufgaben. Aufg. Punkte orrekteur 1 =

2 Analysis III, , SoSe 17, Lösungen (Hinze/iani) Aufgabe 1) Gegeben sei die Funktion f : R R, f(x, y) := x 3 + y 3 7xy + 5. a) Bestimmen Sie alle stationären Punkte von f und klassifizieren Sie diese. Prüfen Sie also, ob es sich jeweils um ein Minimum, ein Maximum oder einen Sattelpunkt handelt. Tipp: 9 3 = 9 81 = 7 7 = 79. b) Zeigen Sie, dass durch f(x, y) = in der Umgebung von P = (1, 1) implizit eine Funktion y(x) definiert ist. Es gilt also lokal Lösung: f(x, y) = y = g(x) mit g(1) = 1. Bestimmen Sie das Taylor-Polynom zweiten Grades der Funktion g(x) zum Entwicklungspunkt x = 1. a) (5 Punkte) f x (x, y) = 3x 7y! = x = 9y Es gilt also f y (x, y) = 3y 7x! = y = 9x x = y 9 y 4 9 = 9y y4 9 3 y = y = y = 9. amit erhalten wir zwei stationäre Punkte P 1 = (, ) und P = (9, 9). [ Punkte] H f(x, y) = H f(, ) = ( 6x 7 7 6y ( 7 7 ), ), H f(9, 9) = ( ) Für die Eigenwerte der Hesse Matrix von P 1 gilt λ 7 = = λ = ±7 Hier liegt ein Sattelpunkt vor. Für die Hesse Matrix von P gilt Hauptunterdeterminanten der Hesse Matrix sind positiv, alternativ: Gerschgorin alternativ: Eigenwerte berechnen (54 λ) 7 = 54 λ = ±7 = λ = 54 ± 7 > In P wird also ein (lokales) Minimum der Funktion.

3 Analysis III, , SoSe 17, Lösungen (Hinze/iani) 3 b) Es gilt f(1, 1) = und f y (1, 1) = 3 7. aher gibt es lokal eine Funktion g mit f(x, y) = y = g(x) mit g(1) = 1. arüber hinaus gilt g (1) = fx(1,1) f y(1,1) Implizietes ifferenzieren liefert = 4 4 = 1. F (x, g(x)) = x 3 + g(x) 3 7xg(x) + 5 = = df dx = F (x, g(x)) = F (x, g(x)) = 3x + 3g(x) g (x) 7g(x) 7xg (x) = F (x, g(x)) = 6x + 6g(x)(g (x)) + 3g(x) g (x) 7g (x) 7g (x) 7xg (x) =. In die letzte Gleichung setzen wir x = g(x) = 1 und g (x) = 1 ein: g (1) 54( 1) 7g (1) = = g (1) = 66 4 = Und damit T (x; 1) = g(1) + g (1)(x 1) + 1 g (1)(x 1) = 1 (x 1) (x 1).

4 Analysis III, , SoSe 17, Lösungen (Hinze/iani) 4 Aufgabe ) Gegeben sei := x y R 3 : x + y 1, x + y z 1, z und das Vektorfeld a) Berechnen Sie f : R 3 R 3, f (x, y, z) = div f (x, y, z) d(x, y, z). x y. z b) ist berandet durch ein ebenes Flächenstück und ein gewölbtes Flächenstück M. Geben Sie Parametrisierungen von und M an und berechnen Sie den Fluss von f durch, also f do. c) Wie groß ist nach a) und b) der Fluss durch den gewölbten Teil des Randes von, also f do? Lösung: a) div f (x, y, z) d(x, y, z) = z = + z. Parametrisierung von : x = r cos(φ), y = r sin(φ), z = z φ π, r 1, r z 1. M div f(x, y, z) d(x, y, z) = = 1 π = π 1 π 1 r [ z + z ] 1 r dφ dr = [ ] 3 r r4 r6 6 r ( + z) r dz dφ dr 1 π [ 3r r 3 r 5] dφ dr = π ( ) = 5 π. [ Punkte] 3 b) Parametrisierung von : p(r, φ) = ( r cos(φ), r sin(φ), 1) T, φ π, r 1. Parametrisierung von M : p(r, φ) = ( r cos(φ), r sin(φ), r ) T, φ π, r 1.

5 Analysis III, , SoSe 17, Lösungen (Hinze/iani) 5 cos φ r sin φ sin φ dp, dφ = r cos φ dp, dr dp dφ =, f > = r f 3 (r cos φ, r sin φ, 1) = r 1. dp dr = < r f do = 1 π [ r r dφ dr = π ] 1. r = π. c) Mit dem Satz von Gauß ergibt sich aus a) und b) f do = div f (x, y, z) d(x, y, z) f do = 5 3 π π = 3 π. M