Klausur zur Mathematik II (Modul: Lineare Algebra II)

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1 Technische Universität Hamburg Institut für Mathematik Prof. Dr. Marko Lindner Sommersemester 7 Klausur zur Mathematik II (Modul: Lineare Algebra II.8.7 Sie haben 6 Minuten Zeit zum Bearbeiten der Klausur. Tragen Sie bitte zunächst Ihren Namen, Ihren Vornamen und Ihre Matrikelnummer in DRUCKSCHRIFT in die folgenden jeweils dafür vorgesehenen Felder ein. Name: Vorname: Matr.-Nr.: Stg.: AIW BU ET EUT IIW LUM MB MEC SB VT VTBIO Sch. Grundsätzlich gilt für alle Studierenden, dass die Module Analysis II und Lineare Algebra II die Gesamtnote für das Fach Mathematik II ergeben. Ich bin darüber belehrt worden, dass die von mir zu erbringende Prüfungsleistung nur dann als Prüfungsleistung bewertet wird, wenn die Nachprüfung durch das Zentrale Prüfungsamt der TUHH meine offizielle Zulassung vor Beginn der Prüfung ergibt. (Unterschrift Bearbeiten Sie alle wie folgt angegebenen Aufgaben. Es werden insgesamt Punkte vergeben. Aufgabe Punkte Korrektor 4 5

2 Aufgabe: ( Punkte Sei A :. Bestimmen Sie alle Eigenwerte und zugehörige Eigenvektoren von p(a : A A + A I. Mit p(λ : λ λ + λ (λ gilt p(a A A + A I. Es genügt, die Eigenwerte und Eigenvektoren von A auszurechnen. Die Eigenwerte von p(a sind einfach p angewandt auf die Eigenwerte von A, die Eigenvektoren ändern sich nicht. Wir rechnen λ χ A (λ det(a λi det λ ( λ( λ( λ. λ Damit besitzt A die Eigenwerte λ, λ und λ. ( Punkte Somit hat p(a die Eigenwerte p(λ, p(λ und p(λ 8. ( Punkt Für die Eigenvektoren von A (und damit von p(a bestimmen wir die von o verschiedenen Lösungen von (A λ i Ix i o. Für λ erhalten wir (A λ Ix o x o. Span{ Daraus ergibt sich x }. ( Punkte Für λ erhalten wir (A λ Ix o x o. Span{ Daraus ergibt sich x }. ( Punkte Für λ erhalten wir (A λ Ix o x o. 9 Span{ Daraus ergibt sich x. ( Punkte Alternativ: Es gilt p(a. ( Punkte Damit erhält man dann als Eigenwerte 8, und 8 ( Punkte ( Punkte und als zugehörige Eigenvektoren die drei von oben.

3 Aufgabe : (5 Punkte Sei P der R-Vektorraum der Polynome. Für p, q P sei p, q : p(xq(x dx. (a Zeigen Sie, dass, ein Skalarprodukt auf P ist. (b Ermitteln Sie die orthogonale Projektion von m P gegeben durch m (x : x für alle x R auf P (die Polynome vom Höchstgrad bezüglich dieses Skalarproduktes. (a Seien p, q, r P, α R. Dann gilt p, p p(x dx. Ist p, dann ist p(x dx > und damit p, p >. Somit ist, positiv definit. ( Punkte Weiterhin gilt p + q, r Analog gilt αp, r (p + q(xr(x dx p(xr(x dx + (αp(xr(x dx α p, r. Damit ist, linear. ( Punkt Wegen p, q p(xq(x dx ( p(x + q(x r(x dx q(xr(x dx p, r + q, r. αp(xr(x dx q(xp(x dx q, p q, p ist, auch symmetrisch. auf P. ( Punkte Insgesamt ist, also ein Skalarprodukt (b Wir wissen, dass B : (m, m eine Basis von P ist, wobei m k (x : x k. Wir nutzen das Gram-Schmidt-Verfahren zur Bestimmung einer Orthonormalbasis. Es ist v : m, w : v v m m, m m m. ( Punkt Weiter gilt v : m m, w w m m m, w : v v v v, v m 6 4 m. ( Punk

4 Somit ist (w, w eine Orthonormalbasis von P. Es gilt damit m P m, w w + m, w w 8 m + 4 m 4 m. ( Punkt Alternativ kann man die Gram sche Matrix benutzen. Es gilt ( G(B(m P B m, m, ( m, m Punkte wobei G(B ( m, m m, m m, m m, m ( 4 6, ( ( m, m 6. ( Punkt m, m Damit sind und (m P B ( 4 m P 4 m + m 4 m. ( Punkte ( Punkt.

5 Aufgabe : (4 Punkte Sei P der R-Vektorraum der Polynome vom Höchstgrad. Wir betrachten die lineare Abbildung l: P P, die bezüglich der Monom-Basis B : ( m, m, m die Darstellungsmatrix 4 l B B : 6 4 hat. Weiterhin ist die Basis C : ( m + m + m, m + m + m, m von P gegeben. (a Ermitteln Sie die Transformationsmatrix T B C, die einen Koordinatenvektor bezüglich C in den zugehörigen Koordinatenvektor bezüglich B transformiert. (b Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix l C C von l bezüglich der Basis C. (a Zur Ermittlung dieser Transformationsmatrix stellen wir die Basisvektoren von C bezüglich der Basis B dar. Es gelten m + m + m m + m + m (m + m + m B, m + m + m m + m + m ( m + m + m B, m m + m + m (m B. Damit gilt T B C. ( Punkt (b Es gilt l C C T } C B l {{} B B T B C. T B C Wir rechnen die inverse Matrix zunächst aus: ( Punkte

6 Also gilt l C C ( Punkt

7 Aufgabe4: (5 Punkte Sei A :. Ermitteln Sie eine Jordan-Normalform J von A. Da A eine Dreiecksmatrix ist, finden wir die Eigenwerte von A auf der Diagonalen. Somit ist λ der einzige Eigenwert von A ( Punkt, und dieser hat algebraische Vielfachheit α 5. ( Punkte Es gibt also nur einen Jordanblock, nämlich den zum Eigenwert λ. Sei N : A λ I. Für die geometrische Vielfachheit von λ ermitteln wir γ dim(kern(n 5 Rang(N (die zweite und vierte Spalte von N sind linear unabhängig. ( Punkte Wir rechnen N. ( Punkte Somit sind auch alle höheren Potenzen von N gleich der Nullmatrix. Für die Dimensionsdifferenzen erhalten wir d dim(kern(n dim(kern(n γ, d dim(kern(n dim(kern(n 5, d dim(kern(n dim(kern(n 5 5. ( Punkte Wir benötigen also Etagen für die Jordan-Ketten und erhalten folgendes Bild:. Etage: d Punkte. Etage: d Punkte Somit gibt es Ketten, zwei der Länge und eine der Länge. ( Punkte Also gibt es Jordankästchen, zwei der Größe und eins der Größe. Wir erhalten damit J. ( Punkt

8 Aufgabe 5: ( Punkte Bestimmen Sie α, β, γ R so, dass f : R R gegeben durch f(x : α + βx + γ sin ( π x die Fehlerquadratsumme zu den Datenpunkten x y 9 minimiert, indem Sie das zugehörige lineare Ausgleichsproblem lösen. Wir stellen die entsprechenden Daten für das lineare Ausgleichsproblem auf. Es gelten A, b. ( Punkt 9 Damit lösen wir α A β b. γ α Die Normalengleichung dazu lautet A A β A b, also γ 5 α 5 β 8. γ ( Punkt Dieses Gleichungssystem lässt sich leicht lösen, die Lösung ist gegeben durch. ( Punkt α β γ