Klausur zur Mathematik II (Modul: Lineare Algebra II) Sie haben 60 Minuten Zeit zum Bearbeiten der Klausur.

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1 Technische Universität Hamburg-Harburg Institut für Mathematik Prof. Dr. Wolfgang Mackens Sommersemester 03 Klausur zur Mathematik II (Modul: Lineare Algebra II) Sie haben 60 Minuten Zeit zum Bearbeiten der Klausur. Tragen Sie bitte zunächst Ihren Namen, Ihren Vornamen und Ihre Matrikelnummer in DRUCKSCHRIFT in die folgenden jeweils dafür vorgesehenen Felder ein. Diese Eintragungen werden auf Datenträger gespeichert. Name: Vorname: Matr.-Nr.: Stg.: AIW BU ET EUT IIW LUM MB MEC SB VT VTBIO Sch. Grundsätzlich gilt für alle Studierenden, dass die Module Analysis II und Lineare Algebra II die Gesamtnote für das Fach Mathematik II ergeben. Ich bin darüber belehrt worden, dass die von mir zu erbringende Prüfungsleistung nur dann als Prüfungsleistung bewertet wird, wenn die Nachprüfung durch das Zentrale Prüfungsamt der TUHH meine offizielle Zulassung vor Beginn der Prüfung ergibt. (Unterschrift) Bearbeiten Sie die angegebenen zwei Teile A und B. In Teil A werden 5 Punkte und in Teil B werden 5 Punkte vergeben. Teil A Definition Punkte Korrekteur Teil B Aufgabe Punkte Korrekteur = 0

2 Teil A: Definitionen Wählen Sie bis zu fünf der folgenden zehn Begriffe aus, und schreiben Sie deren Definitionen in die jeweils dafür vorgesehene Textlücke. Jede korrekte Definition unter den maximal fünf ausgewählten Definitionen wird mit einem Punkt bewertet. Schreiben Sie für mehr als fünf Begriffe Definitionen auf, so wählen wir für die Bewertung hiervon die ersten fünf. Begriffe: Rayleigh-Quotient; algebraisches Komplement; Minor; adjungierte Matrix; ähnliche Matrizen; Spur; symmetrische Matrix; Spektralradius; ungerade Permutation; Frobenius-Matrix. Rayleigh-Quotient: Es sei A C (n,n) eine hermitesche Matrix und x C n, x 0. Dann heißt R A (x) = x Ax x x der Rayleigh-Quotient von A an der Stelle x. algebraisches Komplement: Sei A ij aus A R (n,n) durch Streichen der i-ten Zeile und j-ten Spalte hervorgegangen, i, j {,..., n}. Dann heißt ( ) i+j det A ij algebraisches Komplement oder Kofaktor zum Matrixelement a ij. Minor: Sei A ij aus A R (n,n) durch Streichen der i-ten Zeile und j-ten Spalte hervorgegangen, i, j {,..., n}. Dann heißt det A ij Minor zum Matrixelement a ij. adjungierte Matrix: Für A = (a ij ) C (m,n) heißt A = (b ij ) C (n,m) die adjungierte Matrix von A, wenn b ij = a ji für i =,..., n und j =,..., m. ähnliche Matrizen: Zwei Matrizen A, à R(n,n) heißen ähnlich, wenn es eine reguläre Matrix S R (n,n) gibt mit à = S AS. Spur: Es sei A R (n,n) eine quadratische Matrix. Dann heißt Spur(A) := n j= a jj die Spur der Matrix A. symmetrische Matrix: Eine Matrix A C (n,n) heißt symmetrische Matrix, falls A T = A gilt und schiefsymmetrische Matrix, falls A T = A gilt. Spektralradius: Der Spektralradius einer quadratischen Matrix A C (n,n) ist die nichtnegative reelle Zahl ρ(a) := max{ λ λ ist Eigenwert von A}. ungerade Permutation: Eine Permutation (i,..., i n ) von {,..., n} heißt ungerade, wenn man eine ungerade Anzahl an Vertauschungen benötigt, um (i,..., i n ) in (,..., n) zu überführen.

3 Frobenius-Matrix: Die Frobenius-Matrix A eines Polynoms p definiert als p(λ) := n j=0 a jλ j, a n = ist A = a 0 a a... a n a n.

4 Teil B: Aufgaben Bearbeiten Sie alle wie folgt angegebenen Aufgaben: Aufgabe : ( Punkte) Berechnen Sie die Jordan-Normalform der Matrix ( ) 0 A := zusammen mit einer Basis des R aus Eigen- und, sofern nötig, Hauptvektoren von A. Das charakteristische Polynom lautet χ A (λ) = det(a λe) = λ λ + = ( λ), also ist λ = Eigenwert von A mit algebraischer Vielfachheit α() =. ( Punkt) Zur Bestimmung zugehöriger Eigenvektoren lösen wir das Gleichungssystem ( ) (A E)v = v = 0. Wir lesen ab: der Rang der Matrix A E ist eins, also ist der Lösungsraum eindimensional, und somit die geometrische Vielfachheit des Eigenwertes gegeben durch γ() =. Der Eigenraum wird zum Beispiel von v = (, ) T aufgespannt. ( Punkt) Für die Suche nach einem Hauptvektor lösen wir das Gleichungssystem ( ) ( ) (A E)u = u = = v. Eine Lösung ist u = (0, ) T. Die Jordan-Normalform von A ist damit gegeben durch ( ) 0 ( Punkt) ( Punkt) mit der Basis ( ), aus Eigen- bzw. Hauptvektoren. ( ) 0

5 Aufgabe : (3 Punkte) Bestimmen Sie das Polynom p Π mit p(x) := a x + a 0, welches zu den Daten die Fehlerquadratsumme x i 0 y i Φ(a, a 0 ) := 3 (a x i + a 0 y i ) i= minimiert. Wir formulieren zunächst in Matrizenschreibweise: es gilt ( ) 3 Φ(a, a 0 ) = 0 a 0 a 0 3 Wir lösen also (nach Wurzelziehen) ein Ausgleichsproblem Av b =! min für v = (a, a 0 ) T mit den Daten A = 0 ( Punkt) und Die Normalengleichungen dazu lauten 3 b = 0 3. ( Punkt) A T Av = A T b also ( ) 0 v = 0 3 Damit ist und somit das Polynom p gegeben durch v = (0, ) T ( ) 0 6 ( Punkt) ( Punkt) ( Punkt) p(x) = x R. ( Punkt) Alternativ hätte man sehen können, dass sowohl die Daten als auch das ausgewertete nullte Monom gerade Funktionen sind und das ausgewertete erste Monom eine ungerade Funktion ist. Demnach ist a = 0 und man kann a 0 einfach bestimmen, z. B. mit Mitteln der Analysis.

6 Aufgabe 3: (3 Punkte) Bestimmen Sie zwei verschiedene (4 4)-Matrizen, die genau die verschiedenen Eigenwerte {,, 3} und die Eigenvektoren q :=, q :=, q3 :=, q4 := haben. Hinweis: Die Matrizen dürfen als (nicht ausmultiplizierte) Produkte von Matrizen angegeben werden. Jede solche Matrix ist von der Form A = V ΛV mit einer Diagonalmatrix Λ, die die Eigenwerte von A enthält, und der regulären Matrix V, deren Spalten die zugehörigen linear unabhängigen Eigenvektoren sind. ( Punkt) Damit ist hier z. B. V = (q, q, q 3, q 4 ). Die Spalten von V sind natürlich linear unabhängig, da sie sogar orthogonal und, da Eigenvektoren, ungleich Null sind. ( Punkt) Wir finden als zulässige Matrizen beispielsweise A = V V, A = V V Alternativ kann man skalierte Eigenvektoren verwenden; so ist Q := V sogar eine orthogonale Matrix und damit gilt vereinfacht A = QΛQ T. ( Punkt) ( Punkt)

7 Aufgabe 4: (3 Punkte) Die lineare Abbildung T : R R habe bezüglich der Standardbasis im Urbild- und Bildraum die Darstellungsmatrix ( ) 4 M :=. 4 Es sei die folgende Orthogonalbasis des R gegeben: ( ) ( ) v :=, v :=. a) Bestimmen Sie die Matrix B, welche beim Basiswechsel die Transformation von Koeffizientenvektoren zur Basis v, v auf Koeffizientenvektoren zur Standardbasis beschreibt. b) Berechnen Sie die Einträge der Darstellungsmatrix M der Abbildung T bezüglich der Basis v, v im Urbild- und Bildraum. a) Die Matrix B erhält man, indem man die Basisvektoren der alten Basis in der neuen Basis darstellt. Sie ist hier gegeben durch ( ) B = (v, v ) =. ( Punkt) b) Die Darstellungsmatrix M ist gegeben durch M = B MB. ( Punkt) Da B = ( ) ein Vielfaches einer orthogonalen Matrix ist, gilt ( B = ) T = ( ). ( Punkt) Damit ist ( ) 5 0 M =. ( 0 3 Punkt) Alternativ hat man sofort gesehen, dass der Vektor (, ) T ein Eigenvektor zum Eigenwert 3 ist, und aufgrund der Symmetrie und daher Normalität, dass der Vektor (, ) T ein Eigenvektor, und zwar zum Eigenwert 5 ist. Das hätte man natürlich auch beim direkten Ausrechnen der Matrixdarstellung gesehen.

8 Aufgabe 5: (4 Punkte) Zeigen oder widerlegen Sie: Die Matrix C := hat nur reelle Eigenwerte. Die Matrix C hat Blockgestalt; es gilt mit C = ( ) A B 0 D A = 0 0, B = 47 47, D = ( ). Aufgrund des Nullblocks in der linken unteren Ecke von C genügt es zu zeigen, dass die Eigenwerte von A und D reell sind. ( Punkt) Die Matrix D ist symmetrisch und hat damit reelle Eigenwerte. ( Punkt) Für die Matrix A nutzen wir Gershgorin-Kreise (zeilenweise). Demnach liegen die drei Eigenwerte in der Vereinigung der Kreise um 0 mit Radius, um 0 mit Radius und um 0 mit Radius 3. Da die Kreise disjunkt sind, liegt in jedem Kreis genau ein Eigenwert von A. ( Punkt) Da die Matrix A nur reelle Einträge besitzt, kommen Eigenwerte von A immer als Paare konjugiert komplexer Zahlen vor; somit müssen die drei Eigenwerte in den Kreisen reell sein. ( Punkt) Ende der Klausur