Lösung zur Prüfung HM 1,2 el+phys+kyb+geod, Teil 2

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1 Lösung zur Prüfung HM, el+phys+kyb+geod, Teil Universität Stuttgart Fachbereich Mathematik Institut für Analysis, Dynamik und Modellierung Name Vorname Matr.-nummer Raum Anmerkungen zur Korrektur:... Aufgabe Aufgabe 4 4 Summe Note

2 Bitte tragen Sie in die folgende Tabelle die Lösungen der Aufgaben. ein: Aufgabe. Ergebnis..a..b Aufgabe. Ja Nein..c..d..e Die Reihe n= n e n konvergiert X Die Reihe cos n 4 ) n= konvergiert X n+) Die Reihe n= n ln n konvergiert X Bitte tragen Sie in die folgende Tabelle die Lösungen der Aufgaben. ein: Aufgabe...a..b lim x 4 +x x 4 lim x cos x cos x x 4 Ergebnis Bitte tragen Sie in die folgende Tabelle die Lösungen der Aufgaben 4. ein: Aufgabe a Ergebnis e x cos x) dx e x cos x) + e x sin x) ) + C 4..b x +x+ dx arctan x + ) + C

3 Aufgabe 5 Punkte). 5 Punkte) Bestimmen Sie Konvergenzradien folgender Potenzreihen und tragen Sie diese in die Tabelle auf Seite ein:..a n= x n n Die Formel von Cauchy-Hadamard ergibt: R = lim n n =..b n= n! e n x n Die Formel von Cauchy-Hadamard ergibt: R = lim n n! e n = lim e n n n! =, da n n! n und lim ne n =. Sind desweiteren folgende Aussagen wahr? Markieren Sie Ihre Antworten in der Tabelle auf Seite. Eine Begründung ist nicht erforderlich...c Da lim n n e n = e lim n n = e <, konvergiert die Reihe nach dem Wurzelkriterium...d Die Reihe n= konvergiert, also konvergiert auch die Reihe n+) weil cos n4 ) n+) n+). n= cosn 4 ) n + ),

4 ..e Für n gilt ln n = ln n n n ln n n. Da die harmonische Reihe n= n n= divergiert, so divergiert auch die Reihe n ln n.. 4 Punkte) Bestimmen Sie folgende Grenzwerte und tragen Sie Ihre Antworten in die Tabelle auf Seite ein. Eine Begründung ist nicht erforderlich...a lim x 4 +x x. Nach der Regel von l Hospital gilt lim x 4 + x x = lim x 4 +x x = 4...b lim x cos x cos x x. Zweifache Anwendung der Regel von l Hospital ergibt cosx cos x lim x x = lim x sin x + sin x x = lim x cos x + 9 cos x = Punkte) Die Kurve γ sei gegeben durch yx) = x, x [, ]...a P) Bestimmen Sie die Länge der Kurve γ.

5 Aus y x x) = x folgt für die Länger von γ L = + y x)) dx = x dx = [arcsin x] = π...b P) Bestimmen Sie den Flächeninhalt der Figur, die von der Kurve γ und den Achsen x = sowie y = begrenzt wird. Der Flächeninhalt ist gegeben durch P = yx) dx = x dx. Mit der Substitution x = sin t erhalten wir π/ π/ [ P = cos cos t t + sin t cost t dt = dt = ] π/ = π 4...c P) Bestimmen Sie die Oberfläche des Körpers, der durch Drehung der Kurve γ um die x Achse entsteht. Für die Oberfläche gilt O = π yx) + y x)) dx = π dx = π...d P) Bestimmen Sie das Volumen des Körpers, der durch Drehung der Kurve γ um die x Achse entsteht. V = π y x) dx = π x ) dx = π...e P) Bestimmen Sie den Schwerpunkt der Figur, die von der Kurve γ und den Achsen x = sowie y = begrenzt wird. Es sei S = x, y ) der Schwerpunkt der Figur. Da die Volumen der Körper, die durch Drehung der Kurve γ um die x bzw. y Achse gleich sind, folgt aus der zweiten Guldinschen Regel, dass x = y = V πp = 4 π.

6 Aufgabe 4 5 Punkte) 4. 4 Punkte) Bestimmen Sie folgende Integrale und tragen Sie Ihre Antworten in die Tabelle auf Seite ein. Eine Begründung ist nicht erforderlich. 4..a e x cos x) dx. Zweifache partielle Integration ergibt e x cos x) dx = e x cos x) + e x cos x) dx + C = e x cos x) + e x sin x) e x cos x) dx + C. Daraus foglt e x cos x) dx = e x cos x) + e x sin ) x) + C. 4..b dx. x +x+ Da x + x + = ) x + = 4 + verwenden wir die subtituttion dx x + x + = x + ), + x + ) = t. So bekommen wir dt t + = arctan x + ) + C Punkte) 4..a P) Untersuchen Sie die Funktion auf lokale Extremwerte. ux, y) = x + y xy

7 Gleichungen für die kritischen Punkte: Zwei Lösungen: u x = x y =, u = y x =. y P =, ), P =, ). Die zweiten partiellen Ableitungen von f sind durch u x = 6x, u y = 6y, u x y = u y x = gegeben. Für die Hesse-Matrix Hx, y) erhalten wir ) 6x Hx, y) =. 6y Die Spur und die Determinante der Matrix ) 6 H, ) = 6 sind positiv. Also sind auch beide Eigenwerte von H, ) positiv und damit nimmt die Funktion u im Punkt P =, ) ein lokales Minimum an. Die Matrix H, ) = hat Eigenwerte und, also nimmt die Funktion u im Punkt P =, ) keinen Extremwert an. ) 4..b P) Entwicklen Sie die Funktion ux, y) = x xy y 6x y + 5 im Punkt, ) in eine Taylorsumme bis zur Ordnung o h ). Für die partiellen Ableitungen von u erhalten wir u u = 4x y 6, x u = 4, x u x y y u x =, = u y x =. = x y,

8 Da die ersten partiellen Ableitungen im Punkt, ) gleich Null sind, folgt aus dem Satz von Taylor, dass ux, y) = 5 + x ) x )y + ) y + ) + r x, y) Punkte) Finden Sie die kritischen Punkte der Funktion vx, y, z) = x y + z, x, y, z R mit der Nebenbedingung x + y + z =. Wir verwenden die Methode der Lagrange-Faktoren und definieren die Funktion Lx, y, λ) durch Lx, y, λ) = x y + z λx + y + z ). Gleichungen für die kritischen Punkte: Daraus folgt Nebenbedingung: L x = λx =, L y = λy =, L z = λz =. x = λ, y = λ, z = λ. x + y + z = λ, = ±. Wir haben also zwei kritischen Punkte: P =, ),, P =,, ).